Một số cách trong giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp trung học phổ thông

Sáng kiến kinh nghiệm - I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI U I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Bất đẳng thức Cô si: Bất đẳng thức Bunhiacôpski: Tam thức bậc hai: Giá trị cực đại hàm số sin cosin: Khảo sát hàm số: II BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski: 3.Áp dụng tam thức bậc hai: Áp dụng giá trị cực đại hàm số sin hàm số cosin: Dùng phương pháp đạo hàm: C KẾT LUẬN Một số cách giải 2 2 4 4 4 5 10 12 13 15 16 Sáng kiến kinh nghiệm - A I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Từ năm học 2005- 2006, Bộ GD – ĐT định chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan đem lại đổi mạnh mẽ việc dạy học giáo viên họ sinh Tuy nhiên, qua thời gian thực tế giảng dạy trường THPT nhận thấy số vấn đề sau: Việc dạy học đánh giá thi cử theo hình thức trắc nghiệm khách quan đòi hỏi giáo viên học sinh phải có thay đổi cách dạy học Dạy học theo phương pháp trắc nghiệm khách quan đòi hỏi giáo viên khơng phải đầu tư theo chiều sâu mà phải đầu tư kiến thức theo chiều rộng, người dạy phải nắm tổng quan chương trình mơn học Điều gây nhiều khó khăn cho giáo viên, đặc biệt đội ngũ giáo viên trẻ chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy Khi chuyển sang hình thức dạy học đánh giá thi cử theo phương pháp trắc nghiệm khách quan số giáo viên mở rộng kiến thức kiến thức theo chiều rộng để đáp ứng cho vấn đề thi theo hình thức trắc nghiệm Vì vấn đề đầu tư cho việc giải toán theo phương pháp tự luận bị mờ nhạt Điều ảnh hưởng lớn đến chất lượng, mức độ hiểu sâu kiến thức Vật lý học sinh , đặc biệt học sinh trường Trong vật lý sơ cấp THPT có nhiều tốn giải theo phương pháp tính giá trị cực đại, cực tiểu đại lượng Vật lý Mỗi loại toán có số cách giải định Song, để chọn cách giải phù hợp điều khó khăn cho học sinh số giáo viên , Bởi lẽ: Chưa có tài liệu viết vấn đề có tính hệ thống Để góp phần cải thiện thực trạng , định thực đề tài “Một số cách giải toán cực trị Vật lý sơ cấp , - phương ph III Một số cách giải Sáng kiến kinh nghiệm - IV - Một số cách giải Sáng kiến kinh nghiệm - NỘI DUNG B I CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Khi giải tập Vật lý, để tính giá trị cực đại cực tiểu đại lượng Vật lý, ta thường số cơng thức, kiến thức tốn học Do đó, để giải tập cần nắm vững số kiến thức sau đây: Bất đẳng thức Cô si: a b ab ( a, b dương) a b c 3 abc ( a, b, c dương) - Dấu xảy số - Khi tích hai số khơng đổi, tổng nhỏ hai số - Khi tổng hai số khơng đổi, tích hai số lớn hai số Phạm vi ứng dụng: Thường áp dụng cho tập điện toán va chạm học Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1b1 a2b2 ) (a1 a2 ) (b1 b2 ) a b Dấu xảy 1 a2 b2 Phạm vi ứng dụng: thường dùng tập chuyển động học Tam thức bậc hai: y f ( x) ax bx c + Nếu a > ymin đỉnh pa rabol + Nếu a < ymax đỉnh parabol Tọa độ đỉnh: x b ; y 2a 4a ( b2 4ac ) + Nếu = phương trình : y f ( x) ax bx c có nghiệm kép +Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt *Phạm vi ứng dụng:Thường dùng tập chuyển động học tập phần điện Giá trị cực đại hàm số sin cosin: (cos ) max (sin ) max 900 *Phạm vi ứng dụng: Thường dùng toán học, điện xoay chiều Khảo sát hàm số: - Dùng đạo hàm - Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu *Phạm vi ứng dụng: thường áp dụng cho toán điện xoay chiều Một số cách giải Sáng kiến kinh nghiệm - +Ngồi ra, q trình giải tập thường sử dụng số tính chất phân thức: a b c d a c b d a c b d II BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: Bài tốn 1: Cho mạch điện hình vẽ: Cho biết: 12V , r = , R biến trở.Tìm giá trị R để cơng suất mạch ngồi đạt giá trị cực đại r R BÀI GIẢI -Dòng điện mạch: I - Công suất: R r P = I2.R = (R r) R P R R 2rR r = r2 R ( R Đặt y ( R r ) R R 2r r ) R P y2 Nhận xét: Để Pma x ymin Theo bất đẳng thức Côsi: Tích hai số khơng đổi, tổng nhỏ hai số Pmax r 2r r => 4r 122 4.4 ymin R r R R = r = 9(W ) Bài toán 2: Cho mạch điện hình vẽ: Cho biết: uAB 200 cos100 t (V ) L A R (H ) , C 10 ( F ) R thay đổi a Tìm R để công suất R cực đại r = Một số cách giải L,r C B ( ) Sáng kiến kinh nghiệm - b Tìm R để công suất R cực đại r = 50 ( ) BÀI GIẢI a + Cảm kháng Z L L C + Dung kháng: ZC + Tổng trở: Z 100( ) 200( ) R2 (Z L ZC )2 U2 + Công suất : P = I R = R Z U2 (Z L ZC )2 R R P R2 (Z L Đặt y R U2 R ( Z L ZC )2 ZC )2 R P + Nhận xét: Theo bất đẳng thức côsi y U2 Z L ZC Pmax U2 2.100 2002 200 U2 y R ZL ZC 100( ) , lúc 200(W) Vậy Pma x = 200(W) R = 100 ( ) b + Tổng trở Z ( R r )2 ( Z L ZC ) U2 R Z2 + Công suất P I R P R2 U2 R ( R r )2 ( Z L ZC ) U2 R = 2Rr r (Z L ZC )2 r (Z L ZC )2 Đặt y R 2r R ymin +Nhận xét: Để Pmax R 2r U2 y P Theo bất đẳng thức Côsi ymin U2 r (Z L ZC )2 R R r (Z L ZC )2 R r ( Z L ZC ) R U2 Pmax r ( Z L ZC )2 r ( Z L ZC )2 r ( ZC ZC )2 2r U2 Pmax r (Z L ZC )2 r ( Z L ZC ) r ( Z L r ( Z L ZC )2 r ( Z L ZC )2 Một số cách giải ZC ) 2r Sáng kiến kinh nghiệm Pmax U2 r ( Z L ZC )2 Pmax 2r 2002 2.( 502 (100 200) 124(W ) 50) Vậy để Pmax = 124(W) R r (Z L ZC )2 100( ) *Mở rộng: Khi tính P mạch: + Nếu ZL ZC r Pmax R ZL ZC r +Nếu ZL ZC r Pmax R = Bài tốn 3: Vật m1 chuyển động với vận tốc v1 A đồng thời va chạm với vật m2 nằm yên Sau va chạm, m1 có vận tốc v1' Hãy xác định tỉ số v1' m1 để góc lệch v1 v1 v1' lớn max Cho m1 > m2, va chạm đàn hồi hệ xem hệ kín BÀI GIẢI p1 * Động lượng hệ trước va chạm: PT P1 m1v1 ps * Động lượng hệ sau va chạm : PS P1' P'2 m1v1' m2v2' Vì hệ kín nên động lượng bảo tồn : PS PT p2 P1 Gọi (v1, v1' ) (P1, PS ) Ta có: P2'2 P1'2 P12 P1P2 cos (1) Mặt khác, va chạm đàn hồi nên động bảo toàn: m1v12 m1v1'2 m2v2 '2 m12v12 2m1 P2'2 2m2 P12 P1'2 2m1 P12 2m1 P1'2 2m1 P2'2 m2 ( P12 P1'2 (2) m1 m12v12 2m1 P2'2 2m2 m22v2'2 2m2 P12 P1'2 m2 v1' ) m1 v1 (1 m1 '2 P2 m2 Từ(1)và(2) ta suy (1 m2 P1 ) m1 P1' (1 m2 P1' ) m1 P1 2cos (1 Một số cách giải m2 v1 ) m1 v1' 2cos Sáng kiến kinh nghiệm - Đặt x v1' v1 Để (cos )min max (1 m2 m2 ).x (1 ) m1 m1 x cos Theo bất đẳng thức Côsi (cos )min (1 m2 m2 ).x (1 ) m1 m1 x Tích hai số khơng đổi, tổng nhỏ hai số m2 x m1 Vậy v1' v1 Khi đó, cos m2 m1 x x m1 m2 m1 m2 m1 m2 góc lệch v1 v1' cực đại m1 m2 max m12 m2 m1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cơpski: Bài tốn 1: Hai chuyển động AO BO hướng O với v2 v1 ; 300 Khi khoảng cách hai vật cực tiểu dmin khoảng cách từ vật đến O d1' 30 3(cm) Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O BÀI GIẢI Gọi d1, d2 khoảng cách từ vật vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = A ) Áp dụng định lý hàm sin ta có: d sin Vì v2 d1' d2' d sin sin sin v1 nên ta có: d1 v1t sin d sin 300 d1 v1t sin d v2t sin 3d v1t sin d2’ B Áp dụng tính chất phân thức ta có: d1 v1t sin 3d2 v1t sin d sin 300 ( 3d v1t ) (d1 v1t ) sin sin 3d2 d1 sin sin Một số cách giải d1’ d 3d d1 sin sin O Sáng kiến kinh nghiệm - Mặt khác, tacó: sin sin(1800 sin(300 sin d sin 300 ) sin(300 ) sin( cos ) 3(sin 300 cos cos d1 )sin 300 d ( 3d2 cos sin cos sin )2  ymax= Lúc đó: d1' sin 300 (( 3)2 12 ).(cos cos sin d 2' sin1200 sin 3d d1 y Khoảng cách hai vật dmin ymax với y = ( cos Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski: ( cos sin 3d2 d1 cos 30 sin ) 3d d1 1 sin sin 2 3d2 d1 cos sin Vậy d ) 300 sin1200 ' d1 sin 300 3d1' cot g d2' sin ) sin )2 1200 90(m) Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc là: d2’ = 90(m) F Bài toán 2: Cho hệ hình vẽ: m Cho biết: Hệ số ma sát M sàn k2 M Hệ số ma sát M m k1 Tác dụng lực F lên M theo phương hợp với phương ngang góc Hãy tìm Fmin để m khỏi M.tính góc tương ứng? BÀI GIẢI y + Xét vật m: P1 N1 Fms 21 ma (1) Chiếu lên Ox: Fms21= ma Chiếu lên Oy: N1 – P1 = Fms21= k1.N1 = k1.mg a1 N1 Fmn 21 m k1mg m N2 Fms12 Fms 21 N1 = P1 P1 P2 k1 g Khi vật bắt đầu trượt thì a1 = k1mg Một số cách giải F O Fms a1 x Sáng kiến kinh nghiệm - + Xét vật M: F P2 P1 N2 Fms12 Fms (M m)a2 Chiếu lên trục Ox: F cos Chiếu lên Oy: F sin Ta có: Fms12 k1mg Fms12 Fms ( P1 P2 ) N (M N2 m)a2 P1 P2 Fms k2 N k2 ( P1 P2 F sin ) F cos k1mg k2 ( P1 P2 F sin ) a2 M m F cos k1mg k2 ( P1 P2 Khi vật trượt a1 a2 k1 g M m k1 g ( M m) F (cos k2 sin ) k1mg k2 ( P1 P2 ) (k1 k2 ) Mg (2k1 k2 )mg cos k2 sin F Nhận xét: Fmin y ymax Vậy Lúc đó: Fms12 M m Fms F sin F sin ) (k1 k2 ) Mg (2k1 k2 ) mg y ymax Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski: k2 sin )2 (cos F cos a2 (12 k2 )(cos sin ) k2 k2 Fmin sin cos (k1 k2 )Mg (2k1 k2 )mg k2 k2 tg k2 3.Áp dụng tam thức bậc hai: Bài toán 1: Một kiến bám vào đầu B A cứng mảnh AB có chiều dài L dựng đứng cạnh tường thẳng đứng Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc khơng đổi v theo sàn ngang kiến bắt đầu bò dọc theo với vận tốc khơng đổi u Trong B q trình bò , kiến đạt độ cao cực đại sàn? Cho đầu A ln tì lên sàn thẳng đứng BÀI GIẢI Khi B di chuyển đoạn s = v.t kiến đoạn l = u.t Độ cao mà kiến đạt được: u h B 10 Một số cách giải Sáng kiến kinh nghiệm - h l sin L2 v 2t L với sin ut sin u 22 u L t v t y L L Vói y = L2t v t Đặt X = t2 h Nhận xét: hmax Parabol ymax L4 4( v ) ymax 4a L4 X 4v v2 X L X y tam thức bậc hai có a = - v2 < ymax ymax y L4 4v L2 2v b 2a Vây độ cao mà kiến đạt : hmax Bài toán 2: Cho mạch điện hình vẽ: u AB A 200 cos100 t (V ) R 100( ); C 10 ymax đỉnh u ymax L R L u.L 2v C B (F ) Cuộn dây cảm thay đổi độ tự cảm Hãy xác định L để hiệu điện UL đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó? BÀI GIẢI + Cảm kháng: Z L L , dung kháng ZC + Tổng trở: Z R ( ZC Ta (R2 U ZC ) ZL b' a ZL Thay số : L ZC R ZC 1002 1002 100.100 UL 2Z C 1 ZL I Z L U Z L Z U Z R ( Z L ZC )2 U y ymin, với y tam thức bậc hai có a = R2+ZC2 > + Nhận xét: để ULmax nên ymin đỉnh Parabol x 100( ) Z L )2 có: UL C R ZC ZC ZL L (H ) 11 Một số cách giải R ZC ZC L R ZC ZC Sáng kiến kinh nghiệm - U R ZC U L max 200 2(V ) R Mở rộng: Nếu L = cosnt , tụ C có điện dung thay đổi tìm C để UC cực đại ta làm tương tự kết quả: U R2 U C max ZC R ZC R2 Z L ZL Áp dụng giá trị cực đại hàm số sin hàm số cosin: Bài toán 1: Hai vật chuyển động từ A B hướng điểm O với vận tốc Biết AO = 20km; BO = 30km; Góc 600 Hãy xác định khoảng cách ngắn chúng chuyển động? Xét thời điểm t : Vật A A Vật B B’ Khoảng cách d = A’B’ Ta có: ’ BÀI GIẢI d sin d sin d sin AO vt BO vt sin sin BO AO 10 sin sin sin sin 10 O A’ A với 2cos 10sin 600 d sin Nhận xét: dmin B sin (sin B’ d cos 60 sin 1200 ) dmin V1 Bài tốn 2: Cho mạch điện hình vẽ: Cho biết: L 0.9 3(cm) L,r ( H ) , UMN không đổi, B M C thay đổi, RA = 0, RV lớn, tần số dòng điện f = 50Hz ; r = 90( ) Hãy chứng tỏ điều chỉnh C C V2 A để hiệu điện vôn kế lệch pha góc cực đại 12 Một số cách giải N UC đạt giá trị Sáng kiến kinh nghiệm - BÀI GIÀI Mạch điện vẽ lại : Ta có : Z L L 90( ) đồ véc tơ: Từ giản đồ véc tơ ta có: UL ZL + tg Ur r U UC + MN sin sin( ) 1 C B N A U MN sin( sin UC L,r M ) V1 V2 Mà UC 2 U MN sin( sin ) UL 2U MN sin( U BM ) Nhận xét: UC cực đại sin( ) 1 =1 Ur o Theo ra: Hiệu điện vôn kế lệch pha (U BM ,U MN ) 2 2 U MN Điều phải chứng minh Dùng phương pháp đạo hàm: Bài toán 1: Cho mạch điện hình vẽ: u AB 200 cos100 t (V ) R A R 100( ); C UC 10 (F ) L Cuộn dây cảm có độ tự cảm L thay đổi Tìm L để UAM đạt giá trị cực đại Tìm giá trị cực đại BÀI GIẢI Dung kháng: ZC Tổng trở : Z C 200( ) R (Z L ZC )2 ; Z AM R2 ZL2 13 Một số cách giải C M B Sáng kiến kinh nghiệm - Ta có : U AM U Z AM Z I Z AM Nhận xét: UAM cực đại y ' ZL R2 U Z L 2Z C Z L R2 Z L2 ZC Z C 2Z C Z L R2 Z L2 Z C 2Z C Z L R2 Z L Đăt y = y' U U AM y ymin 2ZC ( Z L ZC Z L R ( R Z L )2 ZL ZC Z L R ZC R ZC ZC R ZC ZL 241( ) (loại) Bảng biến thiên: ZL y’ y 241 - + + ymin Vậy, ZL = 241( ) U AM max U ( 4R ZC L = 0,767(H) ymin ZC ) UAM cực đại 482( ) 2R Bài tốn 2: Cho mạch điện hình vẽ: C R A L B M uAB U cos t R khơng đổi, cuộn dây cảm có L khơng đổi Tụ C có điện dung thay đổi Tìm C để UAM cực đại? Tính giá trị cực đại đó? BÀI GIẢI U AM I Z AM U Z AM R ( Z L ZC ) 2 UAM cực đại y = ymin 14 Một số cách giải U U AM Z L 2Z L ZC R ZC U y Sáng kiến kinh nghiệm - Tương tự toán 1, ta tìm : Khi ZC UAM cực đại U AM max U ( 4R2 Z L 2R ZL ) C ( 4R 15 Một số cách giải ZL2 ZL 4R2 Z L2 ZL ymin Sáng kiến kinh nghiệm - C KẾT LUẬN Bằng thực tế giảng dạy trường THPT, nhận thấy “các cách giải tốn Vật lý ” tìm giá trị cực đại, cực tiểu đại lượng vật lý nêu phát huy ưu điển , cố cách làm tập Vật lý cho học sinh Đây đề tài áp dụng để giải toán tương đối khó Vật lý, nên với kiến thức cá nhân hạn chế, đề tài q rộng nên viết sai sót định Tha thiết kính mong quý đồng nghiệp trao đổi, góp ý chân thành để đề tài , hồn thiện có tác dụng hữu hiệu Tôi xin chân thành cảm ơn! Người thực 16 Một số cách giải Sáng kiến kinh nghiệm - – 2.Gi - - :Lê Nguyên Long 17 Một số cách giải Sáng kiến kinh nghiệm - ……………………………………………………………………………………… .……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… … ………………………………………………………………………………… …… ……………………………………………………………………………… ……… …………………………………………………………………………… ………… ………………………………………………………………………… …………… ……………………………………………………………………… ……………… …………………………………………………………………… ………………… ………………………………………………………………… …………………… ……………………………………………………………… ……………………… …………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………… …………………………… ……………………………………………………… ……………………………… …………………………………………………… ………………………………… ………………………………………………… …………………………………… ……………………………………………… ……………………………………… …………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………… ……………………………………… ……………………………………………… …………………………………… ………………………………………………… ………………………………… …………………………………………………… ……………………………… ……………………………………………………… …………………………… ………………………………………………………… ………………………… …………………………………………………………… ……………………… ……………………………………………………………… …………………… ………………………………………………………………… ………………… …………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… …………… ………………………………………………………………………… ………… …………………………………………………………………………… ……… ……………………………………………………………………………… …… ………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… .……………………………………………………………………………………… 18 Một số cách giải Sáng kiến kinh nghiệm - …………………………………………………………………………………… … ………………………………………………………………………… 19 Một số cách giải ... kiến thức Vật lý học sinh , đặc biệt học sinh trường Trong vật lý sơ cấp THPT có nhiều tốn giải theo phương pháp tính giá trị cực đại, cực tiểu đại lượng Vật lý Mỗi loại tốn có số cách giải định... thấy “các cách giải tốn Vật lý ” tìm giá trị cực đại, cực tiểu đại lượng vật lý nêu phát huy ưu điển , cố cách làm tập Vật lý cho học sinh Đây đề tài áp dụng để giải tốn tương đối khó Vật lý, nên... NỘI DUNG B I CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Khi giải tập Vật lý, để tính giá trị cực đại cực tiểu đại lượng Vật lý, ta thường số cơng thức, kiến thức tốn học Do đó, để giải tập cần nắm vững số kiến thức sau