GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Trong hình học không gian thuần túy, góc và khoảng cách giữa các yếu tố trong không gian, các quan hệ vuông góc là nội dung trọng tâm. Trong đó các quan hệ vuông góc sẽ xoay quanh quan hệ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Nếu bài toán chỉ dừng lại ở việc tìm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng, đa số học sinh có thể làm được do kiến thức đã được rèn luyện và hệ thống khá rõ ràng. Tuy nhiên để áp dụng nó trong các bài tập khác thì đa số học sinh còn lúng túng do không hiểu vận dụng như thế nào

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH

MỤC LỤC

Vị trí của nội dung sáng kiến trong chương trình 2

Phần I: Giải pháp cũ thường làm trong việc giảng dạy các bài

toán về góc và khoảng cách trong hình học không gian

4

I Nội dung về góc và khoảng cách trong hình học không gian ở

các tài liệu giáo khoa hiện hành

4

Phần II: Những giải pháp mới để ứng dụng hình chiếu vuông

góc của một điểm xuống mặt phẳng trong hình học không gian

6

II Những giải pháp mới trong các nội dung cụ thể 7

1 Hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng 71.1 Khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt

2 Ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt

phẳng trong các bài toán về góc

11

2.1 Ứng dụng trong bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt

phẳng

11

2.2 Ứng dụng tròn bài toán về góc giữa hai mặt phẳng 15

3 Ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt

phẳng trong các bài toán về khoảng cách

20

3.1 Khoảng cách giữa hai điểm hay độ dài đoạn thẳng 20

3.4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 34

Phần III: Kết quả thực nghiệm và hiệu quả kinh tế của sáng

kiến

43

VỊ TRÍ CỦA NỘI DUNG SÁNG KIẾN TRONG CHƯƠNG TRÌNH

Hình học không gian chiếm vai trò quan trọng trong chương trình ToánTHPT Nội dung về hình học không gian được trình bày trong toàn bộ chươngtrình hình học 12 và hình học 11, trong đó hình học không gian thuần túy đượctrình bày trong học kỳ I hình học 12 và toàn bộ chương trình hình học 11 Quanhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song hình học không gian vẫn là nội dungbắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, GDTX Trong chương trình trướcđây cũng như trong những năm 2002 tới nay (khi thi theo đề chung), trong các

đề thi Đại học, Cao đẳng thì hình học học không gian là phần bắt buộc và khôngthể thiếu Trong đó, có hai phần là hình học không gian thuần túy và hình họcgiải tích trong không gian Mặc dù hình học giải tích trong không gian là phầnứng dụng giải tích vào hình học không gian, tuy nhiên cách phân tích vấn đềcũng như giải bài tập đều sử dụng hình học không gian thuần túy

Với các đề thi Đại học, Cao đẳng gần đây; câu hình học không gian thuầntúy có hai phần, một phần tương đối dễ với học sinh, phần còn lại là câu phânloại học sinh khá Đa số học sinh hiểu đề và không khó khăn để giải phần đầutiên chủ yếu là tính thể tích khối đa diện Tuy nhiên phần thứ hai liên quan đếnnhiều yếu tố hình học không gian như yếu tố về góc, về độ dài, về khoảng cáchgiữa các yếu tố trong không gian Do đó, chỉ một phần các em dự thi có thể làmđược và chủ yếu là các học sinh khá, giỏi môn Toán Hơn nữa, hình học khônggian thuần túy vốn là phần cần khả năng tưởng tượng, phân tích, phán đoán và

tư duy tốt nên học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong giải quyết các bài toánhình học không gian thuần túy

Trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh các năm gần đây thì hình họckhông gian luôn là phần kiến thức trọng tâm và không thể thiếu Đây cũng làcâu hỏi phân loại mức độ tư duy của các học sinh giỏi Để làm được các bài toán

đó, không những cần nắm chắc các kiến thức cơ bản mà còn có hệ thống liên kếtchặt chẽ các kiến thức trong hình học không gian

Trong hình học không gian thuần túy, góc và khoảng cách giữa các yếu tốtrong không gian, các quan hệ vuông góc là nội dung trọng tâm Trong đó cácquan hệ vuông góc sẽ xoay quanh quan hệ đường thẳng vuông góc với mặtphẳng Nếu bài toán chỉ dừng lại ở việc tìm hình chiếu vuông góc của một điểmxuống mặt phẳng, đa số học sinh có thể làm được do kiến thức đã được rènluyện và hệ thống khá rõ ràng Tuy nhiên để áp dụng nó trong các bài tập khácthì đa số học sinh còn lúng túng do không hiểu vận dụng như thế nào Nguyên

nhân chính là sự liên hệ các kiến thức trên của học sinh còn kém, sự tư duytưởng tượng và phán đoán còn yếu.

Ngoài ra, việc trình bày các kiến thức cơ bản để giải các bài tập đó cònchưa đầy đủ, các kiến thức được trình bày đơn lẻ, còn nằm rải rác và các bài tậpcòn ít ở SGK, SBT cũng như các sách tham khảo, hệ thống các bài tập còn dàitrải và học sinh thường lúng túng khi giải bài tập mà chỉ biết làm theo các bàitập mẫu có sẵn

Từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy ban KHTN, các lớphọc sinh trình độ khá và đều nhau, các lớp luyện thi đại học cũng như sự tìm tòi,tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và trên internet, tôi lựa chọn đề tài:

“GIẢI PHÁP MỚI TRONG ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” với mong muốn giúp đỡ các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng

cũng như cách giải dạng toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy vàhọc, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi

Cấu trúc của sáng kiến gồm trang, ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phầnnội dung của sáng kiến gồm 3 phần:

Phần I: GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM TRONG VIỆC GIẢNG DẠY CÁC

BÀI TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNGGIAN

Phần II: NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU VUÔNG

GÓC CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌCKHÔNG GIAN

Phần III: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ HIỆU QUẢ KINH TẾ CỦA SÁNG

KIẾN

mà thông thường không thể áp dụng ngay trong bài học (khoảng cách từ điểmđến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng…), một số dạng toán còn không có hoặcrất ít các ví dụ minh họa cũng như bài tập rèn luyện (góc giữa đường thẳng vàmặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng…)

II Hạn chế của giải pháp cũ:

Ở phần trên đã trình bày một số nội dung cơ bản về góc và khoảng cáchtrong hình học không gian ở các tài liệu giáo khoa hiện hành Sau một thời giannghiên cứu các nội dung trên, cũng như đọc qua rất nhiều tài liệu tham khảo và

dự giờ nhiều giáo viên khác, tôi nhận thấy trong cách giảng dạy cũ còn một sốhạn chế như sau:

Hạn chế 1: Các bài toán cũng như cách giải nêu ra còn khá tổng quan,

chưa rõ ràng chi tiết theo từng bước cụ thể chi tiết nên làm học sinh khó tiếp thu.Một số dạng toán còn chưa được nêu đầy đủ trong các tài liệu giáo khoa dolượng thời gian có hạn trong chương trình Tuy nhiên trong các đề thi vẫn xuấthiện những dạng toán đó làm cho học sinh lúng túng, không định hướng đượccách giải

Hạn chế 2: Các bài toán cơ bản nêu trong các tài liệu giáo khoa đã nêu ra

một số cách giải tổng quát để học sinh áp dụng Tuy nhiên thực tế giảng dạy chothấy chỉ một số ít học sinh có thể áp dụng được cách giải đó Còn đa số học sinhcảm thấy lúng túng, có thể hiểu cách giải nhưng không biết áp dụng, bắt đầu từđâu và áp dụng thế nào để giải bài toán Trong các tài liệu giáo khoa cũng đãnêu ra một số ví dụ và bài tập để minh họa cho phương pháp và học sinh rèn

luyện Tuy nhiên, thông thường học sinh chỉ biết áp dụng một cách máy móc đểgiải các bài tập tương tự, khi gặp bài toán khác vẫn gặp những lúng túng nhưban đầu Nguyên nhân là học sinh chưa hiểu để giải bài toán đó, ta phải trải quacác bước nào, ý nghĩa của từng bước trong bài toán, chưa hình thành được lối tưduy để giải quyết các bài toán.

Hạn chế 3: Hệ thống bài tập trong các tài liệu giáo khoa cũng như trong

các tài liệu tham khảo thường viết theo các bài trong sách giáo khoa Do đó nộidung các bài tập còn dàn trải, mang tính giới thiệu là chủ yếu Số lượng câu hỏi

và bài tập cho từng nội dung cụ thể còn khá ít, các câu hỏi và bài tập chuyên sâucho học sinh khá, giỏi, học sinh chuẩn bị thi vào đại học, cao đẳng trình bàychưa hệ thống và chưa đủ về số lượng và chất lượng Do đó học sinh chưa có tưduy hệ thống về các dạng bài tập, kỹ năng giải cũng hạn chế

Hạn chế 4: Hình học không gian là nội dung mà học sinh mới làm quen

trong chương trình phổ thông Do đó các em phải tiếp cận với rất nhiều các kháiniệm, định nghĩa, tính chất, định lý mới cũng như một hệ thống hoàn toàn mớicác dạng bài tập Các kiến thức đó được trình bày trong từng bài học cụ thể.Theo cách dạy thông thường, giáo viên chỉ cung cấp các kiến thức của từng bài

cụ thể, việc liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức trên còn bị xem nhẹ Từ đó dẫnđến học sinh phải nhớ quá nhiều kiến thức mới, không có lối suy nghĩ mạch lạckết nối các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán Do đó việc tiếp thu cáckiến thức về hình học không gian gặp rất nhiều khó khăn

Hạn chế 5: Để dạy các kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học

không gian, giáo viên thường nhấn mạnh và chọn quan hệ “đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” làm nền tảng chủ đạo Hầu hết mọi bài toán đều sử dụng

quan hệ đó Tuy nhiên việc áp dụng quan hệ đó để giải bài tập của học sinh cònlúng túng và gặp nhiều khó khăn Nguyên nhân do để giải được bài tập phải qua

rất nhiều bước sử dụng quan hệ trên và bài làm không phải lúc nào cũng “tự nhiên”.

Như vậy có thể thấy rằng nếu giáo viên chỉ giảng dạy theo các tài liệugiáo khoa hiện hành thì làm cho học sinh khó tiếp thu các kiến thức về góc vàkhoảng cách trong hình học không gian, dẫn đến tâm lý ngại học và nghĩ rằngchúng quá khó và chỉ dành cho học sinh giỏi Ngoài ra, kiến thức các em đượchọc không đủ để các em tham gia các kì thi học sinh giỏi hoặc thi tuyển sinh đạihọc, cao đẳng Và học sinh thường mất điểm ở câu hỏi này, một điểm mất rấtđáng tiếc Do đó những yêu cầu của giải pháp mới cần phải đạt được và chi tiếthóa trong các nội dung của sáng kiến sẽ được trình bày trong phần tiếp theo

Để khắc phục những hạn chế của giải pháp cũ, giúp học sinh và các thầy

cô giáo có cách tiếp cận tốt hơn với các ứng dụng của hình chiếu vuông góc củamột điểm xuống mặt phẳng trong hình học không gian, tôi đưa ra các giải phápsau:

Giải pháp 1: Đưa ra các nguyên tắc cơ bản và một số trường hợp thường

gặp để dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng Từ đó

chuyển nội dung trọng tâm từ “đường thẳng vuông góc vơi mặt phẳng” sang nội dung trọng tâm “hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng”.

Với nội dung này, học sinh dễ nhớ và áp dụng hơn

Giải pháp 2: Hệ thống hóa thành một số dạng bài tập cơ bản về góc và

khoảng cách trong hình học không gian, hoàn thiện và bổ sung các dạng toánthường gặp trong các đề thi Đại học Cao đẳng mà trong các tài liệu giáo khoachưa trình bày Với mỗi dạng bài tập đều đưa ra phương pháp giải ứng dụnghình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng với các bước áp dụng cụthể Qua đó học sinh có kiến thức tổng hợp, hệ thống và tư duy mạch lạc để giảicác bài toán

Giải pháp 3: Bổ sung các câu hỏi bài tập bằng một hệ thống các bài tập

trong các đề thi Đại học Cao đẳng chính thức của BGD và các đề thi thử Đại học

ở các trường THPT để học sinh bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ năng Qua đódần làm quen với các dạng đề thi, từ đó học sinh tự tin và đạt kết quả cao hơntrong các kỳ thi

Giải pháp 4: Mỗi dạng đều phải có các ví dụ đặc trưng minh họa cho

phương pháp, đồng thời phải có hệ thống các ví dụ khác để minh họa nhiềutrường hợp thường gặp khi giải quyết dạng toán đó Cuối mỗi dạng toán là cácbài tập áp dụng đa dạng và có nhiều câu hỏi khó, hay phục vụ nâng cao kiếnthức cho học sinh giỏi

Chương tiếp theo sẽ là nội dung chính của sáng kiến, khắc phục được cáchạn chế của phương pháp cũ cũng như giải quyết trọn vẹn được các yêu cầu đặt

ra ở trên trong các nội dung kiến thức cụ thể

II Những giải pháp mới trong các nội dung cụ thể:

1 Hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng.

Để ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng, trướchết ta tìm hiểu khái niệm cũng như cách dựng hình chiếu vuông góc của mộtđiểm xuống mặt phẳng Qua đó học sinh có thể hiểu cách tư duy mạch lạc theotrình tự cụ thể để giải quyết bài toán Ngoài ra, để học sinh có thể thuần thụchơn trong làm bài, ta đưa ra một số trường hợp thường gặp trong bài toán dựnghình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng

1.1 Khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng.

Trong không gian, cho điểm A và mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) Hình chiếu vuông góccủa A xuống mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) là điểm H nằm trên mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) sao cho AH (α) Hình chiếu vuông góc)

Do đó, nếu điểm A nằm trên (α) Hình chiếu vuông góc) thì hình chiếu của A trên (α) Hình chiếu vuông góc) là chính nó

Vì vậy trong toàn bộ nội dung về sau, ta luôn quy định A  Ngoài ra, hìnhchiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) luôn tồn tại duy nhất

Hình chiếu vuông góc của một điểm có tính chất hình học rất thú vị Nếu

M là điểm bất kỳ trên (α) Hình chiếu vuông góc) thì AM ≥ AH hay H là điểm thỏa mãn khoảng cách từ

A đến một điểm bất kỳ trên (α) Hình chiếu vuông góc) là nhỏ nhất

1.2 Cách dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng.

Để dựng hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc), ta thườngdựng đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) Khi đó, H chính làgiao điểm của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc)

Tuy nhiên, việc dựng đường thẳng ∆ thông thường là khó khăn Do đó, việcxác định điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) thôngthường được xác định thông qua các bước sau:

Bước 1: Qua điểm A, dựng mặt phẳng (β) vuông góc với mặt phẳng (α).) vuông góc với mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) Bước 2: Xác định d là giao tuyến của mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) và (β) vuông góc với mặt phẳng (α).).

α) Hình chiếu vuông góc H

A

M

Bước 3: Trong mặt phẳng (β) vuông góc với mặt phẳng (α).), từ A kẻ đường thẳng ∆ vuông góc với d tại H.

Dạng I: Tồn tại hai mặt phẳng (β) vuông góc với mặt phẳng (α).) và (γ) qua A cùng vuông góc với mặt) qua A cùng vuông góc với mặt

phẳng (α) Hình chiếu vuông góc)

Khi đó giao tuyến ∆ của (β) vuông góc với mặt phẳng (α).) và (γ) qua A cùng vuông góc với mặt) qua A và ∆  (α) Hình chiếu vuông góc) Hình chiếu vuông góc

H của A xuống (α) Hình chiếu vuông góc) là giao điểm của ∆ và (α) Hình chiếu vuông góc)

Dạng II: Tồn tại đường thẳng a  (α) Hình chiếu vuông góc) (A không thuộc đường thẳng a).

Dựng mặt phẳng (β) vuông góc với mặt phẳng (α).) chứa A và a Tìm giao tuyến d của mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) và (β) vuông góc với mặt phẳng (α).).Trong mặt phẳng (β) vuông góc với mặt phẳng (α).), từ A kẻ đường thẳng ∆ vuông góc với d và cắt d tại H Khi

đó H là điểm cần dựng

∆

d A

Dạng III: Tồn tại mặt phẳng (β) vuông góc với mặt phẳng (α).) qua A và vuông góc với mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc).

Tìm giao tuyến d của (α) Hình chiếu vuông góc) và (β) vuông góc với mặt phẳng (α).) Trong mặt phẳng (β) vuông góc với mặt phẳng (α).), qua A dựng đườngthẳng ∆ vuông góc với d và cắt d tại H Khi đó H là điểm cần dựng

Dạng IV: Tồn tại điểm M và đường thẳng d (M  d) nằm trong mặt phẳng

(α) Hình chiếu vuông góc) sao cho AM  d

Trong mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc), từ M kẻ đường thẳng d’  d Từ A dựng đường thẳng

AH vuông góc với d’ tại H Khi đó H là điểm cần dựng

Dạng V: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt nằm trên mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) sao cho

AM = AN = AP (hay AM, AN, AP tạo với mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) các góc bằng nhau)

H

β) vuông góc với mặt phẳng (α).

α) Hình chiếu vuông góc

d H

d'

A

M α) Hình chiếu vuông góc

Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) là tâm đường trònngoại tiếp của ∆MNP.

Dạng VI: Tồn tại hai điểm M, N phân biệt nằm trên mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) sao cho

AM = AN (hay AM, AN tạo với mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) các góc bằng nhau)

Gọi I là trung điểm của MN Trong mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc), kẻ đường thẳng d qua I,vuông góc với MN Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d Khi đó H làđiểm cần dựng

Dạng VII: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho AM, AN, AP đôi một

vuông góc với nhau tại A

Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) là trực tâm

∆MNP Hoặc ta gọi I là hình chiếu của M trên đường thẳng NP, H là hình chiếucủa A trên MI Khi đó H là điểm cần dựng

Dạng VIII: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho các mặt bên (AMN),

(ANP), (AMP) tạo với mặt phẳng đáy (α) Hình chiếu vuông góc) (hay chính là mặt phẳng (MNP)) cácgóc bằng nhau

Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) là tâm đường trònnội tiếp của ∆MNP

d I

A

I α) Hình chiếu vuông góc

Dạng IX: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho các mặt bên (AMN),

(ANP) tạo với mặt phẳng đáy (α) Hình chiếu vuông góc) (hay chính là mặt phẳng (MNP)) các góc bằngnhau

Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) nằm trên đườngphân giác trong của góc MNP

2 Ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng trong các bài toán về góc.

2.1 Ứng dụng trong bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Trong không gian, cho đường thẳng d và mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) Trường hợp d songsong hoặc nằm trong (α) Hình chiếu vuông góc) thì góc giữa d và (α) Hình chiếu vuông góc) là 00 Do đó, ta chỉ xét trường hợpđường thẳng d và mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) cắt nhau Khi đó, góc giữa đường thẳng d vàmặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) được xác định thông qua các bước sau:

Bước 1: Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc).

Bước 2: Trên đường thẳng d, chọn một điểm A khác M sao cho dễ dàng dựng

hình chiếu vuông góc H của A xuống mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc)

Bước 3: Chứng minh góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) là AMH.Việc tính góc đó cũng rất đơn giản do đó là một góc nhọn trong ∆AMHvuông tại H Điều quan trọng là việc chọn điểm A thích hợp Để làm rõ hơn, taxét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết

rằng ∆ABC đều cạnh a

a/ Tính SA biết rằng góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là 600

b/ Xác định và tính góc giữa SM và mặt phẳng (ABC), với M là trung điểm

b/ Tương tự như trên, góc giữa SM và mặt phẳng (ABC) là góc SMA Xét

c/ AC cắt mặt phẳng (SBC) tại C Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên

SM Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC) Do đó góc giữa AC và

(SBC) là ACH Xét ∆ACH vuông tại H Ta có AC = a,

d/ BC cắt mặt phẳng (SAB) tại B Gọi N là trung điểm của cạnh AB Khi đó

CN  AB nên N là hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng (SAB) Do đógóc giữa BC và mặt phẳng (SAB) là CBN 600

SC cắt mặt phẳng (SAB) tại S Hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng

(SAB) là N nên góc giữa SC và (SAB) là CSN

H

N

a/ Do S.ABCD là hình chóp đều nên O là hình chiếu vuông góc của S xuống(ABCD) Do đó góc giữa SA và (ABCD) là SAO450 Do SA = 2a nên

5

SO SMO

OM

c/ Gọi P là trung điểm của cạnh OD Khi đó NP // SO hay P là hình chiếu

vuông góc của N trên (ABCD) Do đó góc giữa AN và (ABCD) là NAP Xét

d/ Góc giữa AC và (SAB) là góc giữa OA và (SAB) Gọi E là trung điểm của

AB, khi đó OE  AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên SE Khi đó H

là hình chiếu vuông góc của O trên (SAB) Do đó góc giữa AC và (SAB) là

S

M N

P E

H

Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC Biết góc giữa MN và mặtphẳng (ABCD) là 600 Xác định và tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD)

Giải:

Do S.ABCD là hình chóp đều nên hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)

là O Gọi H là trung điểm của OA Khi đó MH // SO nên H là hình chiếu vuônggóc của M trên (ABCD) Do MN cắt (ABCD) tại N nên góc giữa MN và

Dễ thấy rằng AC  (SBD) Gọi Q là trung điểm của OB, P là trung điểm của

SO Khi đó NQ // MP // AC nên P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, Ntrên (SBD) Gọi I là giao điểm của MN và PQ Khi đó I là giao của MN và(SBD) Do đó góc giữa MN và (SBD) là MIP Dễ thấy MPNQ là hình bìnhhành nên I là trung điểm của PQ Ta có

IP

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BA =

a ∆SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) Gọi M, N là

A

D O

S

N M

P

Q

H I

trung điểm của SA, BC Tính độ dài cạnh SB biết góc giữa MN và (ABC) bằng

600

Bài 2: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa AB’ và mặt phẳng

(ABC) là 600 Gọi M là trung điểm đoạn thẳng B’C’

a/ Tính côsin góc giữa đường thẳng AI và mặt phẳng (A’B’C’), với I là giao

điểm của BC’ và B’C

b/ Tính góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng (A’BC).

c/ Tính côsin góc giữa AN và (BCC’B’), với N là điểm trên cạnh BB’ sao cho

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2,

∆SAC có SA a SC a ,  3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tínhcôsin góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC)

Bài 5: Cho ∆ABC vuông tại A có cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc);

cạnh AC a 2 và tạo với mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) một góc 600 Chứng minh rằng đườngthẳng BC tạo với mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) góc 450

2.2 Ứng dụng trong bài toán về góc giữa hai mặt phẳng.

Trong chương trình sách giáo khoa đã đưa ra hai phương pháp xác định gócgiữa hai mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) và (β) vuông góc với mặt phẳng (α).) Cách thứ nhất là xác định hai đường thẳng d và d’lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng; khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa

d và d’ Cách thứ hai là xác định mặt phẳng (P) vuông góc với giao tuyến ∆ củahai mặt phẳng, xác định giao tuyến a và b của (P) lần lượt với (α) Hình chiếu vuông góc) và (β) vuông góc với mặt phẳng (α).); khi đógóc giữa a và b là góc giữa hai mặt phẳng

Tuy nhiên, trên thực tế học sinh rất lúng túng trong việc xác định góc giữahai mặt phẳng Do với cách thứ nhất, việc xác định các đường thẳng vuông gócvới các mặt phẳng đã khó, việc xác định góc giữa hai đường thẳng bất kỳ đócũng không phải đơn giản Với cách thứ hai, việc xác định mặt phẳng (P) vuônggóc với giao tuyến là khá trừu tượng

Do đó, để học sinh có cách nhìn rõ ràng hơn, qua đó có thể giải quyết đượcbài toán về góc giữa hai mặt phẳng, ta xét hai cách tường minh hơn như sau:

Cách 1: Chọn trong không gian một điểm M sao cho từ M có thể dựng được

A và B lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống (α) Hình chiếu vuông góc) và (β) vuông góc với mặt phẳng (α).) Khi đó gócgiữa (α) Hình chiếu vuông góc) và (β) vuông góc với mặt phẳng (α).) là AMB (nếu là góc nhọn) hoặc 1800  AMB (nếu góc AMB tù)

Cách 2: Trên mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) chọn điểm A sao cho dựng được H là hình chiếu

vuông góc của A xuống mặt phẳng (β) vuông góc với mặt phẳng (α).) Xác định giao tuyến ∆ của hai mặtphẳng Từ A kẻ AI vuông góc với ∆ (I  ∆) Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là

AIH

Mặc dù hai cách trên đây chỉ là các trường hợp đặc biệt tuy nhiên đó lại làcác trường hợp thông dụng và hay gặp phải trong các đề thi Để là rõ hơn, ta xétcác ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng

vuông góc với mặt phẳng (ABC) Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SBC)

và (ABC) biết:

a/ ∆ABC đều cạnh a và SA = a

b/ ∆ABC vuông tại B, biết rằng SA = BC = a, AC = 2a

c/ ∆ABC cân tại C, biết rằng AC = 2a, ACB1200, SA = a

Giải:

Do (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) nên giao tuyến của hai mặtphẳng là SA  (ABCD) hay hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) là A.Giao tuyến của (SBC) và (ABC) là đường thẳng BC Do đó để dựng góc giữa(SBC) và (ABC), ta chỉ cần tìm hình chiếu của A xuống đường thẳng giao tuyếnBC

S

A

B

C M

N

a/ Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM  BC Do đó góc giữa (SBC) và

(ABC) là SMA Xét ∆SMA vuông tại A, ; 3 tan 2

a

SA a AM   SMA

b/ Do AB  BC nên góc giữa (SBC) và (ABC) là SBA450 (do ∆SABvuông cân tại A)

c/ Do ∆ABC cân tại C, ACB1200 nên hình chiếu của A xuống BC làđiểm N nằm ngoài đoạn thẳng BC về phía C (như hình vẽ) Do đó góc giữa(SBC) và (ABC) là SNA Xét ∆SAN vuông tại A,

O M

S

H G

Q

N P

giữa (SBC) và (ABCD) là SMO450 Xét ∆SMO vuông tại O,

(SAM) và (ABCD) là SHO Gọi G là giao của OB và AM, khi đó G là trọng

Gọi N là trung điểm của cạnh CD Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu củađiểm O xuống SM và SN Do ABCD là hình vuông, SO  (ABCD) chứa BC và

CD nên P, Q chính là hình chiếu vuông góc của điểm O xuống mặt phẳng (SBC)

và (SCD) Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa haiđường thẳng OM và ON

Xét ∆OMN cân tại O (do tính cân xứng của hình chóp đều),

22

BD

MN  a Do ∆SOM có SO = OM = a, SO  OM nên P là trung điểm

của đoạn thẳng SM Khi đó

Chú ý: Qua ví dụ 2, ta thấy việc áp dụng cách 1 hay cách 2 phụ thuộc vào

vị trí của hai mặt phẳng và cách nhìn vị trí điểm thuận lợi với mặt phẳng Tuynhiên, ở một số trường hợp cụ thể với các vị trí của hai mặt phẳng đặc biệt, ta cóthể dựng góc giữa hai mặt phẳng theo một cách khác Ví dụ câu 2c, ta có thể lợidụng tính chất SC  BD, do đó gọi I là hình chiếu của B trên SC thì I là hìnhchiếu của D trên SC Từ đó ta có thể thấy việc xác định cũng như tính góc đơngiản hơn nhiều so với cách làm trên Hơn nữa với cách trên, ta phải có vị trí của

P và Q đặc biệt thì việc tính góc thực hiện đơn giản, còn nếu có vị trí tùy ý thì

cách vừa trình bày ở trên ta sẽ thấy tính hiệu quả hơn hẳn Do đó, ta không nênquá máy móc trong cách làm bài mà phải tùy thuộc vào đề bài cụ thể để có cáchgiải hay và tối ưu nhất!

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Xác định và tính góc giữa mặt

phẳng (ABC) và (A’BC) biết rằng:

a/ ∆ABC cân tại A, AA’ = AB = AC = a, BAC 1200

b/ ∆ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a, AA'a 3

c/ ∆ABC vuông tại B, AC = 2BC = 2a, AA’ = a

Giải:

Giao tuyến của (A’BC) và (ABC) là đường thẳng BC Do lăng trụ đứng nênhình chiếu vuông góc của A’ xuống (ABC) là A Do đó để xác định góc giữa(A’BC) và (ABC), ta cần xác định hình chiếu của điểm A xuống BC

a/ Gọi M là trung điểm của cạnh BC Do ∆ABC cân tại A nên AM  BC Do

đó góc giữa (A’BC) và (ABC) là A MA' Xét ∆A’AM vuông tại A,

H

c/ Do AB  BC nên tương tự như trên, góc giữa (A’BC) và (ABC) là'

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4a M là

trung điểm của BC, H là trung điểm AM và SH  (ABC) Góc giữa mặt phẳng(SAB) và (ABC) bằng 600 Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với

AB = AC = a, BAC 1200, cạnh bên BB’ = a, gọi I là trung điểm của CC’.Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I)

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có các cạnh bên SA = SB = SD = a,

đáy ABCD là hình thoi có góc BAD 600 và mặt (SDC) tạo với (ABCD) mộtgóc 300 Tính V khối chóp S.ABCD

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = 2a,

Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông

tại B, AB = 1, AA’ = 2, BC  2 Mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc với A’C.Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABC)

Bài 7: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác

đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b Gọi α) Hình chiếu vuông góc là góc giữa hai mặt phẳng(ABC) và mặt phẳng (A’BC) Tính tanα) Hình chiếu vuông góc theo a và b

Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =

2, BC = 4 Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng vớitrung điểm của cạnh AC Góc giữa mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC) bằng 600.Tính độ dài AA’

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm I,

đường chéo BD = a Đường thẳng SC vuông góc với mặt phẳng đáy Tính độ dài

SC theo a để mặt phẳng (SAB) và (SAD) tạo với nhau góc 600

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D, AB = 2a, AD = CD = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SD tạo với đáygóc 450 Gọi  là góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) Tính tan

3 Ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng trong các bài toán về khoảng cách.

3.1 Khoảng cách giữa hai điểm hay độ dài đoạn thẳng.

Cho hai điểm A, B phân biệt bất kỳ Để tính khoảng cách giữa hai điểm A, Bhay độ dài đoạn thẳng AB; ta có thể tính dễ dàng được nếu vị trí của hai điểm A,

B là thuận lợi Tuy nhiên, nếu vị trí của hai điểm A, B là bất kỳ thì việc tính độdài AB còn phụ thuộc rất nhiều vào hình ban đầu và vị trí của A và B

Thông thường ta sẽ đặt đoạn thẳng AB vào một đa giác (thường là tam giáchoặc tứ giác), sau đó dựa vào tính chất đa giác đó để tính độ dài đoạn thẳng AB.Tuy nhiên đa giác đó được dựng như thế nào, có nguyên tắc cơ bản để dựngkhông? Tất nhiên không thể có nguyên tắc cơ bản cho mọi trường hợp Tuynhiên, ta có thể áp dụng cách sau đây có thể giải được đa số các bài toán về tính

độ dài đoạn thẳng AB:

Bước 1: Tìm mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) chứa điểm B sao cho có thể dễ dàng tìm hình

chiếu vuông góc của điểm A xuống mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc)

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (α) Hình chiếu vuông góc) Tính độ

dài đoạn thẳng AH và HB

Bước 3: Khi đó xét ∆AHB vuông tại H, ta có: AB AH2 HB2

Để làm rõ hơn phương pháp trên, ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a và đường thẳng A’B tạo

Góc giữa A’B và mặt phẳng (ABC) là A BA' 600  AA'a 3

a/ Do lăng trụ đứng nên hình chiếu vuông góc của P trên (A’B’C’) là C’ Do

b/ Gọi M’ là trung điểm của cạnh A’C’ Do đó MM’ // AA’ hay hình chiếu

B’

E K

Q

M’

F

G