SKKN giải pháp mới để ứng dụng hình chiếu của một điểm xuống mặt phẳng trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN: TỐN GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Giáo viên: Nguyễn Văn Lưu Tổ: Tốn – Tin Trường: THPT Gia Viễn A Ninh Bình, tháng 05 năm 2014 MỤC LỤC Nội dung Vị trí nội dung sáng kiến chương trình Phần I: Giải pháp cũ thường làm việc giảng dạy tốn góc khoảng cách hình học khơng gian I Nội dung góc khoảng cách hình học khơng gian tài liệu giáo khoa hành II Hạn chế giải pháp cũ Phần II: Những giải pháp để ứng dụng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng hình học khơng gian I Những giải pháp II Những giải pháp nội dung cụ thể Hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng 1.1 Khái niệm hình chiếu vng góc đ phẳng 1.2 Cách dựng hình chiếu vng góc đ mặt phẳng 1.3 Một số trường hợp đặc biệt tìm hình chiếu điểm xuống mặt phẳng Ứng dụng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng tốn góc 2.1 Ứng dụng tốn góc đường phẳng 2.2 Ứng dụng trịn tốn góc hai mặ Ứng dụng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng toán khoảng cách 3.1 Khoảng cách hai điểm hay độ dài đoạn 3.2 Khoảng cách điểm đường thẳng 3.3 Khoảng cách điểm mặt phẳng 3.4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nh Phần III: Kết thực nghiệm hiệu kinh tế sáng kiến KẾT LUẬN VỊ TRÍ CỦA NỘI DUNG SÁNG KIẾN TRONG CHƯƠNG TRÌNH Hình học khơng gian chiếm vai trị quan trọng chương trình Tốn THPT Nội dung hình học khơng gian trình bày tồn chương trình hình học 12 hình học 11, hình học khơng gian túy trình bày học kỳ I hình học 12 tồn chương trình hình học 11 Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song hình học khơng gian nội dung bắt buộc đề thi Tốt nghiệp THPT, GDTX Trong chương trình trước năm 2002 tới (khi thi theo đề chung), đề thi Đại học, Cao đẳng hình học học khơng gian phần bắt buộc khơng thể thiếu Trong đó, có hai phần hình học khơng gian túy hình học giải tích khơng gian Mặc dù hình học giải tích khơng gian phần ứng dụng giải tích vào hình học khơng gian, nhiên cách phân tích vấn đề giải tập sử dụng hình học không gian túy Với đề thi Đại học, Cao đẳng gần đây; câu hình học khơng gian túy có hai phần, phần tương đối dễ với học sinh, phần lại câu phân loại học sinh Đa số học sinh hiểu đề không khó khăn để giải phần chủ yếu tính thể tích khối đa diện Tuy nhiên phần thứ hai liên quan đến nhiều yếu tố hình học khơng gian yếu tố góc, độ dài, khoảng cách yếu tố không gian Do đó, phần em dự thi làm chủ yếu học sinh khá, giỏi mơn Tốn Hơn nữa, hình học khơng gian túy vốn phần cần khả tưởng tượng, phân tích, phán đốn tư tốt nên học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải tốn hình học khơng gian túy Trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm gần hình học khơng gian ln phần kiến thức trọng tâm thiếu Đây câu hỏi phân loại mức độ tư học sinh giỏi Để làm tốn đó, khơng cần nắm kiến thức mà cịn có hệ thống liên kết chặt chẽ kiến thức hình học khơng gian Trong hình học khơng gian túy, góc khoảng cách yếu tố khơng gian, quan hệ vng góc nội dung trọng tâm Trong quan hệ vng góc xoay quanh quan hệ đường thẳng vng góc với mặt phẳng Nếu toán dừng lại việc tìm hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng, đa số học sinh làm kiến thức rèn luyện hệ thống rõ ràng Tuy nhiên để áp dụng tập khác đa số học sinh cịn lúng túng không hiểu vận dụng Nguyên nhân liên hệ kiến thức học sinh kém, tư tưởng tượng phán đốn cịn yếu Ngồi ra, việc trình bày kiến thức để giải tập cịn chưa đầy đủ, kiến thức trình bày đơn lẻ, cịn nằm rải rác tập cịn SGK, SBT sách tham khảo, hệ thống tập dài trải học sinh thường lúng túng giải tập mà biết làm theo tập mẫu có sẵn Từ kinh nghiệm thân năm giảng dạy ban KHTN, lớp học sinh trình độ nhau, lớp luyện thi đại học tìm tịi, tham khảo tổng hợp tài liệu Tốn internet, tơi lựa chọn đề tài: “GIẢI PHÁP MỚI TRONG ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN” với mong muốn giúp đỡ em học sinh nắm bắt cách nhận dạng cách giải dạng tốn nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học, tạo tự tin cho học sinh kỳ thi Cấu trúc sáng kiến gồm trang, phần mở đầu kết luận, phần nội dung sáng kiến gồm phần: Phần I: GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM TRONG VIỆC GIẢNG DẠY CÁC BÀI TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Phần II: NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Phần III: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ HIỆU QUẢ KINH TẾ CỦA SÁNG KIẾN Phần I GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM TRONG VIỆC GIẢNG DẠY CÁC BÀI TOÁN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Nội dung góc khoảng cách hình học không gian tài liệu giáo khoa hành: Trong tài liệu giáo khoa hành (Sách giáo khoa Sách tập nâng cao), kiến thức góc khoảng cách hình học khơng gian trình bày học kỳ II sách giáo khoa Hình học 11 Về tổng thể, tài liệu giáo khoa trình bày khái niệm bản, trường hợp đặc biệt hệ thống ví dụ tập minh họa cho kiến thức góc khoảng cách hình học khơng gian Tuy nhiên số dạng tốn cịn chưa đưa (khoảng cách hai điểm), số dạng toán đưa cách giải chung mà thông thường áp dụng học (khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, góc hai mặt phẳng…), số dạng tốn cịn khơng có ví dụ minh họa tập rèn luyện (góc đường thẳng mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng…) AI Hạn chế giải pháp cũ: Ở phần trình bày số nội dung góc khoảng cách hình học khơng gian tài liệu giáo khoa hành Sau thời gian nghiên cứu nội dung trên, đọc qua nhiều tài liệu tham khảo dự nhiều giáo viên khác, tơi nhận thấy cách giảng dạy cũ cịn số hạn chế sau: Hạn chế 1: Các tốn cách giải nêu cịn tổng quan, chưa rõ ràng chi tiết theo bước cụ thể chi tiết nên làm học sinh khó tiếp thu Một số dạng tốn cịn chưa nêu đầy đủ tài liệu giáo khoa lượng thời gian có hạn chương trình Tuy nhiên đề thi xuất dạng tốn làm cho học sinh lúng túng, không định hướng cách giải Hạn chế 2: Các toán nêu tài liệu giáo khoa nêu số cách giải tổng quát để học sinh áp dụng Tuy nhiên thực tế giảng dạy cho thấy số học sinh áp dụng cách giải Cịn đa số học sinh cảm thấy lúng túng, hiểu cách giải khơng biết áp dụng, đâu áp dụng để giải toán Trong tài liệu giáo khoa nêu số ví dụ tập để minh họa cho phương pháp học sinh rèn luyện Tuy nhiên, thông thường học sinh biết áp dụng cách máy móc để giải tập tương tự, gặp toán khác gặp lúng túng ban đầu Nguyên nhân học sinh chưa hiểu để giải tốn đó, ta phải trải qua bước nào, ý nghĩa bước tốn, chưa hình thành lối tư để giải toán Hạn chế 3: Hệ thống tập tài liệu giáo khoa tài liệu tham khảo thường viết theo sách giáo khoa Do nội dung tập cịn dàn trải, mang tính giới thiệu chủ yếu Số lượng câu hỏi tập cho nội dung cụ thể cịn ít, câu hỏi tập chuyên sâu cho học sinh khá, giỏi, học sinh chuẩn bị thi vào đại học, cao đẳng trình bày chưa hệ thống chưa đủ số lượng chất lượng Do học sinh chưa có tư hệ thống dạng tập, kỹ giải hạn chế Hạn chế 4: Hình học khơng gian nội dung mà học sinh làm quen chương trình phổ thơng Do em phải tiếp cận với nhiều khái niệm, định nghĩa, tính chất, định lý hệ thống hoàn toàn dạng tập Các kiến thức trình bày học cụ thể Theo cách dạy thông thường, giáo viên cung cấp kiến thức cụ thể, việc liên hệ chặt chẽ kiến thức cịn bị xem nhẹ Từ dẫn đến học sinh phải nhớ nhiều kiến thức mới, lối suy nghĩ mạch lạc kết nối kiến thức học để giải toán Do việc tiếp thu kiến thức hình học khơng gian gặp nhiều khó khăn Hạn chế 5: Để dạy kiến thức góc khoảng cách hình học khơng gian, giáo viên thường nhấn mạnh chọn quan hệ “đường thẳng vng góc với mặt phẳng” làm tảng chủ đạo Hầu hết tốn sử dụng quan hệ Tuy nhiên việc áp dụng quan hệ để giải tập học sinh cịn lúng túng gặp nhiều khó khăn Nguyên nhân để giải tập phải qua nhiều bước sử dụng quan hệ làm lúc “tự nhiên” Như thấy giáo viên giảng dạy theo tài liệu giáo khoa hành làm cho học sinh khó tiếp thu kiến thức góc khoảng cách hình học khơng gian, dẫn đến tâm lý ngại học nghĩ chúng khó dành cho học sinh giỏi Ngồi ra, kiến thức em học không đủ để em tham gia kì thi học sinh giỏi thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Và học sinh thường điểm câu hỏi này, điểm đáng tiếc Do yêu cầu giải pháp cần phải đạt chi tiết hóa nội dung sáng kiến trình bày phần Phần II NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Những giải pháp mới: Để khắc phục hạn chế giải pháp cũ, giúp học sinh thầy giáo có cách tiếp cận tốt với ứng dụng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng hình học khơng gian, tơi đưa giải pháp sau: Giải pháp 1: Đưa nguyên tắc số trường hợp thường gặp để dựng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng Từ chuyển nội dung trọng tâm từ “đường thẳng vng góc vơi mặt phẳng” sang nội dung trọng tâm “hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng” Với nội dung này, học sinh dễ nhớ áp dụng Giải pháp 2: Hệ thống hóa thành số dạng tập góc khoảng cách hình học khơng gian, hồn thiện bổ sung dạng tốn thường gặp đề thi Đại học Cao đẳng mà tài liệu giáo khoa chưa trình bày Với dạng tập đưa phương pháp giải ứng dụng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng với bước áp dụng cụ thể Qua học sinh có kiến thức tổng hợp, hệ thống tư mạch lạc để giải toán Giải pháp 3: Bổ sung câu hỏi tập hệ thống tập đề thi Đại học Cao đẳng thức BGD đề thi thử Đại học trường THPT để học sinh bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ Qua dần làm quen với dạng đề thi, từ học sinh tự tin đạt kết cao kỳ thi Giải pháp 4: Mỗi dạng phải có ví dụ đặc trưng minh họa cho phương pháp, đồng thời phải có hệ thống ví dụ khác để minh họa nhiều trường hợp thường gặp giải dạng tốn Cuối dạng toán tập áp dụng đa dạng có nhiều câu hỏi khó, hay phục vụ nâng cao kiến thức cho học sinh giỏi Chương nội dung sáng kiến, khắc phục hạn chế phương pháp cũ giải trọn vẹn yêu cầu đặt nội dung kiến thức cụ thể II Những giải pháp nội dung cụ thể: Hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng Để ứng dụng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng, trước hết ta tìm hiểu khái niệm cách dựng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng Qua học sinh hiểu cách tư mạch lạc theo trình tự cụ thể để giải tốn Ngồi ra, để học sinh thục làm bài, ta đưa số trường hợp thường gặp tốn dựng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng 1.1 Khái niệm hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng Trong khơng gian, cho điểm A mặt phẳng (α) Hình chiếu vng góc A xuống mặt phẳng (α) điểm H nằm mặt phẳng (α) cho AH (α) Do đó, điểm A nằm (α) hình chiếu A (α) Vì tồn nội dung sau, ta ln quy định A Ngồi ra, hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (α) tồn A M α H Hình chiếu vng góc điểm có tính chất hình học thú vị Nếu M điểm (α) AM ≥ AH hay H điểm thỏa mãn khoảng cách từ A đến điểm (α) nhỏ 1.2 Cách dựng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng Để dựng hình chiếu vng góc H điểm A mặt phẳng (α), ta thường dựng đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với mặt phẳng (α) Khi đó, H giao điểm đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) Tuy nhiên, việc dựng đường thẳng ∆ thông thường khó khăn Do đó, việc xác định điểm H hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (α) thông thường xác định thông qua bước sau: Bước 1: Qua điểm A, dựng mặt phẳng (β) vng góc với mặt phẳng (α) Bước 2: Xác định d giao tuyến mặt phẳng (α) (β) Bước 3: Trong mặt phẳng (β), từ A kẻ đường thẳng ∆ vng góc với d H Khi H điểm cần dựng β ∆ A d H α 1.3 Một số trường hợp đặc biệt tìm hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng Trong phần trên, ta có bước để dựng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng Tuy nhiên, việc dựng mặt phẳng (β) không đơn giản số trường hợp cụ thể Do đó, để việc dựng hình chiếu vng góc điểm A xuống mặt phẳng (α) đơn giản cụ thể hơn, ta tìm hiểu số trường hợp đặc biệt thường gặp sau: Dạng I: Tồn hai mặt phẳng (β) (γ) qua A vuông góc với mặt phẳng (α) Khi giao tuyến ∆ (β) (γ) qua A ∆ (α) Hình chiếu vng góc H A xuống (α) giao điểm ∆ (α) γ β ∆ H α Dạng II: Tồn đường thẳng a (α) (A không thuộc đường thẳng a) Dựng mặt phẳng (β) chứa A a Tìm giao tuyến d mặt phẳng (α) (β) Trong mặt phẳng (β), từ A kẻ đường thẳng ∆ vng góc với d cắt d H Khi H điểm cần dựng β ∆ a A d α H Dạng III: Tồn mặt phẳng (β) qua A vng góc với mặt phẳng (α) Tìm giao tuyến d (α) (β) Trong mặt phẳng (β), qua A dựng đường thẳng ∆ vng góc với d cắt d H Khi H điểm cần dựng β ∆ A d α H Dạng IV: Tồn điểm M đường thẳng d (M d) nằm mặt phẳng (α) cho AM d Trong mặt phẳng (α), từ M kẻ đường thẳng d’ d Từ A dựng đường thẳng AH vng góc với d’ H Khi H điểm cần dựng A Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng b cho dễ dàng dựng hình chiếu a’ đường thẳng a mặt phẳng (α) Khi a b a’ b Bước 2: Xét mặt phẳng (β) mặt phẳng chứa a a’ Khi b (β) điểm H (H giao b a’) Bước 3: Trong mặt phẳng (β), kẻ HK a với K nằm đường thẳng a Khi HK đoạn vng góc chung hai đường thẳng a b hay khoảng cách a b độ dài đoạn thẳng HK Tính HK Để giải tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo dựa vào khoảng cách điểm mặt phẳng ta làm bước sau: Bước 1: Gọi hai đường thẳng chéo d d2 Dựng đường thẳng d1’ // d1 d1’ cắt d2 Xác định mặt phẳng (α) chứa d1’ d2 Bước 2: Khi d d1 ; d dd2; d A; với A điểm d2 Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α) kết luận Do đó, hai đường thẳng chéo vng góc với nhau, ta tính khoảng cách hai đường thẳng dựa vào đường vng góc chung; hai đường thẳng chéo khơng vng góc với nhau, ta tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cách đưa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Để làm rõ phương pháp so sánh hai phương pháp trường hợp cụ thể, ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD Giải: Cách 1: Sử dụng đường vng góc chung Gọi G trọng tâm ∆BCD Do tứ diện nên AG (BCD) Hình chiếu AB xuống mặt phẳng (BCD) BG mà BG CD nên AB CD Gọi N trung điểm CD Mặt phẳng (ABN) CD cắt CD N Gọi M hình chiếu N AB Khi MN đường vng góc chung hai 36 đường thẳng AB CD Do tứ diện ABCD nên BN = AN Do M trung điểm AB Ta có AN BN d AB ; CD MN M C N D G Q B EP Cách 2: Đưa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Gọi E điểm thỏa mãn BCDE hình bình hành Khi CD // BE Khi d AB; CD d CD ; ABE d C ; ABE Do CE = 3CG nên d C ; ABE d G ; ABE Gọi P hình chiếu G xuống BE, gọi Q hình chiếu G xuống AP Do Q hình chiếu vng góc G xuống mặt phẳng (ABE) Do d AB ; CD GQ Tính tốn tương tự ta kết Bình luận: Theo nhận xét trên, việc tính khoảng cách hai đường thẳng chéo dựa vào khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tối ưu trường hợp tổng quát Tuy nhiên, hai đường thẳng vng góc với nhau, việc dựng tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo đơn giản nhiều so với việc đưa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ví dụ (ta phải dựng ngồi hình) Do đó, với hai đường thẳng vng góc với nhau, ta chọn cách thứ sử dụng đường vng góc chung 37 Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi M trung điểm cạnh AA’ Biết góc hai mặt phẳng (BMC’) (ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB MC’ A’ Giải: M A E N B Kéo dài MC’ cắt AC E Khi A trung điểm EC hay ∆BEC vng B Xét góc mặt phẳng (BEC’) (chính mặt phẳng (BMC’)) mặt phẳng (ABC) Giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng BE, hình chiếu C’ xuống mặt phẳng (ABC) C mà CB BE nên góc (BEC’) (ABC) C ' BC 600 Do CC ' a Để tính khoảng cách hai đường thẳng AB MC’, ta có hai cách vẽ song song Cách 1: Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BB’ trung điểm N BB’ Khi d AB; MC ' d AB; C ' MN d B; C ' MN d C ; C ' MN Tuy nhiên với cách mặt phẳng (C’MN) nằm cắt lăng trụ nên để tính khoảng cách từ C đến (C’MN) ta lại kéo dài CN cắt đường thẳng BC F cho B trung điểm CF Khi hình vẽ tương đối khó nhìn Bạn đọc giải tiếp tốn theo định hướng 38 Cách 2: Từ A kẻ đường thẳng song song với C’M cắt CC’ trung điểm D C’ Khi d AB; MC ' d C ' M ; ABD d C '; ABD Rõ ràng với mặt phẳng (ABD) việc chọn điểm thích hợp dễ dàng việc dựng hình chiếu đơn giản có AB nằm mặt phẳng đáy Khi đó, với mặt phẳng (ABD) điểm thuận lợi C CD (ABC) Gọi N trung điểm AB, H hình chiếu vng góc C xuống DN Khi CN AB mà CD (ABC) nên H hình chiếu vng góc C xuống mặt phẳng (ABD) d C '; ABD d C ; ABD CH CC ' CD Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Giải: Rõ ràng với hai đường thẳng SA BC, để dựng đường thẳng song song ta phải vẽ phía ngồi hình ban đầu Với cách dựng vậy, học sinh khó nhìn hình, dẫn đến ngộ nhận số tính chất làm cho việc giải sai toán Đặc biệt học sinh khó hình dung đường thẳng vẽ ngồi thuộc mặt phẳng Để khắc phục khó khăn trên, ta vẽ lại hình mở rộng hình ban đầu để đường thẳng song song vẽ thêm nằm hình ban đầu, học sinh nhìn hình đơn giản xác Cụ thể, ta đựng sau: Gọi D điểm mặt phẳng (ABC) cho ABCD hình thoi (do ∆ABC đều) Do AD // BC nên d SA; BC d BC ; SAD d B; SAD d H ; SAD (do với mặt phẳng (SAD) điểm H điểm thuận lợi H hình chiếu S xuống (ABCD) chứa đường AD mặt phẳng (SAD)) Gọi I hình chiếu H xuống đường thẳng AD (chú ý I điểm nằm ngồi cạnh AD phía A HAD tù, học sinh dễ vẽ sai hình khơng vị trí tương đối điểm) Gọi K hình chiếu vng góc H xuống đường thẳng SI Do SH (ABCD) chứa đường AD, HI AD mà HK SI nên K hình chiếu vng góc điểm H xuống mặt phẳng (SAD) 39 S B Ta có: CH nên SCH 60 góc SH CH.tan 600 2a AH HI AH sin 600 d SA; BC HK a 42 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 600 , cạnh bên SA vng góc với đáy Góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 600 Điểm M trung điểm cạnh CD, điểm N thuộc cạnh SD cho SD = 4ND Tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC theo a Giải: 40 Do ∆ABC cạnh a nên AM CD AM góc (SCD) (ABCD) SMA 60 a SA Do SA (ABCD) nên AM.tan 600 3a S N F K A H E O D M B C Tương tụ ví dụ 1, để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, ta có hai cách để vẽ đường thẳng song song: mặt phẳng (ABCD) từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD trung điểm K AD, mặt phẳng (SCD) từ điểm C kẻ đường thẳng song song với MN cắt SC trung điểm I SC Để minh họa cho phương pháp, tơi trình bày theo cách dựng thứ Cách dựng thứ hai bạn dựng hình giải toán Gọi K trung điểm d AC ; MN cạnh AD, MK // AC Khi đó: d AC ; MNK d A; MNK Rõ ràng mặt phẳng (MNK) có vị trí hình chóp, điểm thuận lợi tốn chưa rõ ràng Và tương tự ví dụ mục 3.3 Khoảng cách điểm mặt phẳng, ta dựng hình chiếu H điểm N xuống mặt phẳng (ABCD) với H nằm đường thẳng AD Do NH // SA hay H trung điểm KD Khi đó, H điểm thuận lợi mặt phẳng (MNK) Do AH cắt mặt phẳng (MNK) K AK = 2KH nên d A; MNK 2d H ; MNK Gọi E hình chiếu H MK, F hình chiếu H NE Do MH (ABCD) chứa MK nên F hình chiếu vng góc H mặt phẳng (MNK) 41 3a d AC ; MN Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, ACB 300 , góc mặt phẳng (ABC) (AB’C) 45 Biết AA’ = a a/ Tính khoảng cách hai đường thẳng CM AC’, với M trung điểm đoạn thẳng AB b/ Tính khoảng cách AB’ BC’ Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, A’C’, B’C’ Tính khoảng cách hai đường thẳng DE A’F theo a Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A, SB vng góc với đáy, BC = a, SB = 2a Gọi M N trung điểm AB, SC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MN BC Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, BAC 1200 Gọi H, M trung điểm cạnh BC SC, SH vng góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a tạo với mặt đáy góc 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BC Bài 8: Cho hình S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, D, AB = 3a, CD = a, AD = 2a, ∆SAD cân S nằm mặt phẳng vng góc với 42 đáy Biết góc mặt phẳng (SBC) mặt đáy 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC 43 Phần III KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ HIỆU QUẢ KINH TẾ CỦA SÁNG KIẾN Tác giả tiến hành giảng dạy triển khai thực nghiệm sáng kiến trường THPT Gia Viễn A thu kết định Trong trình giảng dạy, rút kinh nghiệm sáng kiến ngày hồn thiện Sau tác giả cung cấp tài liệu cho đồng nghiệp trường THPT Gia Viễn A số trường THPT tỉnh, bạn đồng nghiệp tỉnh ngồi nhận nhiều ý kiến đóng góp phản hồi tích cực từ thầy Qua ý kiến phản hồi đó, tác giả hoàn thiện sáng kiến Hầu hết bạn đồng nghiệp đánh giá cao tư tưởng mà tác giả đưa hệ thống ví dụ, tập tài liệu áp dụng tài liệu vào việc giảng dạy, ôn tập, ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi Đại học, Cao đẳng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Qua áp dụng thực tế vào trình giảng dạy, tác giả đồng nghiệp nhận thấy tính hiệu sáng kiến, làm cho học sinh dễ tiếp thu kiến thức đạt kết cao kỳ thi Chẳng hạn tác giả áp dụng tài liệu vào giảng dạy thu kết sau Trong năm học 2012 – 2013 năm học 2013 – 2014, đề thi học kỳ II mơn Tốn lớp 11 có câu hình học khơng gian với số điểm 3,0 điểm Trong có 2,0 điểm liên quan đến góc khoảng cách khơng gian Kết lớp 11A năm học 2012 - 2013 mà tác giả dạy lớp 11B1 năm học 2013 – 2014 mà cô Vũ Thị Hoa dạy sau: Lớp 11A 11B1 Tương tự, cô Vũ Thị Hoa, tổ trưởng tổ Toán – Tin trường THPT Gia Viễn A áp dụng tài liệu vào giảng dạy Trong kỳ thi thử Đại học lần III trường THPT Gia Viễn A năm học 2013 - 2014 có câu tập hình học khơng gian có ứng dụng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng để giải toán góc khoảng cách Số điểm dành cho câu 1,0 điểm Kết lớp 12A tác giả giảng dạy lớp 12B1 mà cô Vũ Thị Hoa giảng dạy sau: Lớp Tổng học s 12A 12B1 Qua bảng số liệu cho thấy tỷ lệ lớn học sinh hoàn thành tốt câu hỏi hình học khơng gian với ứng dụng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng Với mức độ khó nội dung câu hỏi thấy ý nghĩa to lớn mà sáng kiến mang lại Là giáo viên cốt cán mơn Tốn trường THPT Gia Viễn A, tác giả cố gắng nêu gương tìm tịi, học hỏi, đưa nhiều giải pháp nhằm nâng cao chất lượng giáo dục mơn Cùng với cố gắng môn khác đạo sát trường THPT Gia Viễn A, điểm trung bình thi Đại học trường THPT Gia Viễn A tăng dần theo năm Thứ hạng trường Tỉnh đứng 10 trường dẫn đầu điểm thi đầu vào lớp 10 nằm trường thấp Tỉnh Đó nỗ lực lớn nhà trường Ngoài kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng năm 2014, trường THPT Gia Viễn A có em Nguyễn Trung Đức, tơi giảng dạy mơn Tốn suốt ba năm học đạt 27,25 điểm, cao thứ hai Tỉnh Tác giả cảm thấy tự hào kết có phần đóng góp sáng kiến, nhỏ bé Nếu xét hiệu kinh tế, khó tính xác nội dung sáng kiến kiến thức cung cấp cho học sinh tiếp thu áp dụng để giải tập đề thi Tuy nhiên để thấy hiệu kinh tế sáng kiến, ta làm vài phép tính sau: - Về thời gian lao động: Tác giả bỏ 60 để biên soạn tài liệu Số giáo viên dạy Toán trường THPT Gia Viễn A 10 người, số học sinh lớp 11 12 năm học 2013 – 2014 trường THPT Gia Viễn A 600 em (số liệu làm tròn) Như với sáng kiến tiết kiệm 60 x (600 + 10) = 36.600 công lao động, tức 1.525 ngày công lao động Nếu áp dụng sáng kiến cho nhiều năm học, cho giáo viên học sinh nhiều trường THPT khác số cịn lớn nhiều - Về tiền mặt: Để viết nên sáng kiến này, tác giả đọc đầu sách tham khảo với trung bình đầu sách 35.000 đồng, không kể tài liệu giáo khoa (học sinh giáo viên có), q trình lâu dài thu thập phân tích tài liệu tham khảo Internet Như áp dụng trường THPT Gia Viễn A cho khóa học tiết kiệm 35.000 x x (600 + 10) = 106.750.000 đồng! Nếu ta áp dụng cho nhiều năm học, cho giáo viên học sinh nhiều trường THPT khác số tiền tiết kiệm lớn 45 KẾT LUẬN + Sáng kiến trình bày số kiến thức hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng cách sử dụng để giải tập góc khoảng cách hình học khơng gian + Sáng kiến xây dựng hệ thống câu hỏi tập Hình học 11, Hình học 12 cho chun đề quan hệ vng góc hình học khơng gian, tốn góc khoảng cách không gian + Sáng kiến tạo liên hệ mật thiết hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng kiến thức góc, khoảng cách không gian, giúp nâng cao kiến thức cho học sinh thi Đại học, Cao đẳng + Kết thực nghiệm cho thấy tính khả thi hiệu sáng kiến Việc tự giải hệ thống tập, giúp em hiểu rõ chất, phương pháp giải dạng tốn này, từ em tự xây dựng tốn tương tự, tốn Chính điều kích thích say mê, tìm tịi khám phá, nâng cao lực tự học học sinh + Sáng kiến trước hết có ý nghĩa tác giả nội dung quan trọng chương trình giảng dạy Hi vọng sáng kiến tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh, bạn đồng nghiệp + Sáng kiến cố gắng trình bày vấn đề cách chi tiết, rõ ràng, dễ hiểu, có nhiều hình vẽ minh họa thông qua hệ thống tập phong phú Đặc biệt, số tốn tương tự hóa tổng quát hóa cho tốn trình bày cách giải theo nhiều phương pháp khác Ngồi ra, bạn xây dựng ví dụ khác khó hơn, giải tốn thơng qua việc thay đổi số kiện Ngồi ra, hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng số ứng dụng khác chứng minh quan hệ vng góc khơng gian, tính thể tích khối đa diện, tốn mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện… nhiên số có trùng lặp thời gian có hạn, tơi chưa nêu thật đầy đủ sáng kiến + Tôi đề nghị với trường THPT Gia Viễn A tạo điều kiện để tơi phổ biến rộng rãi với giáo viên học sinh tài liệu tham khảo hữu ích Ngồi tơi đề nghị Sở GD&ĐT với trường THPT Gia Viễn A tạo điều kiện để môn Toán tổ chức chuyên đề để giới thiệu nhận góp ý từ giáo viên Tốn khác tỉnh Từ tơi hồn thiện sáng kiến đồng thời sáng kiến áp dụng với giáo viên học sinh toàn tỉnh giúp nâng cao chất lượng giáo dục tăng tính hiệu sáng kiến 46 Xác nhận quan Gia viễn, tháng năm 2014 Người viết sáng kiến Nguyễn Văn L 47 ... giải pháp để ứng dụng hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng hình học khơng gian I Những giải pháp II Những giải pháp nội dung cụ thể Hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng 1.1 Khái niệm hình chiếu. .. vng góc điểm xuống mặt phẳng 1.1 Khái niệm hình chiếu vng góc điểm xuống mặt phẳng Trong không gian, cho điểm A mặt phẳng (α) Hình chiếu vng góc A xuống mặt phẳng (α) điểm H nằm mặt phẳng (α)... TOÁN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Phần II: NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Phần III: KẾT QUẢ THỰC