SKKN sáng tác bài toán tọa độ trong không gian có mức độ vận dụng cao từ một số mô hình không gian

MỤC LỤC Mục Nội Dung Trang Mục lục 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận vấn đề 2.2 Thực trạng vấn đề 10 2.3 Giải vấn đề 11 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động 18 giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường 12 Kết luận, kiến nghị 19 13 3.1 Kết luận 19 14 3.2 Kiến nghị 19 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong kỳ thi THPT Quốc gia, câu hỏi thi mơn Tốn phân thành mức độ, là: nhận biết, thơng hiểu, vận dụng thấp vận dụng cao Việc sáng tác toán vận dụng cao không đơn giản phải đảm bảo yêu cầu về: giới hạn kiến thức SGK, phân loại học sinh đồng thời lời giải không dài, tính tốn khơng q phức tạp để học sinh giải khoảng thời gian ngắn Có nhiều cách để sáng tác toán vận dụng cao, từ tốn thực tế, từ toán gốc tự luận hay từ đặc biệt hóa, tổng quát hóa Để đưa cách sáng tác toán vận dụng cao vậy, chọn đề tài: “SÁNG TÁC BÀI TỐN TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CĨ MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO TỪ MỘT SỐ MƠ HÌNH KHƠNG GIAN” 1.2 Mục đích nghiên cứu Để sáng tác tốn mức độ vận dụng cao thường xuất phát từ tốn gốc, từ đề xuất toán liên quan Để định hướng cách giải cho toán vận dụng cao, thường gợi ý cho học sinh tìm cách tư ngược, tìm tốn gốc từ tốn cho, giúp học sinh có phương pháp tư để giải nhiều toán khác Từ giả thiết, tơi xây dựng mơ hình khơng gian với điều kiện giải được, đề xuất cách tạo lập toán vận dụng cao, giúp giáo viên dần hình thành kỹ đề thi trắc nghiệm mơn Tốn, đặc biệt tốn vận dụng cao giúp học sinh hình thành cách tư để giải nhanh toán vận dụng cao 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Từ giả thiết đường thẳng hai mặt cầu, hình thành tình huống, mơ hình tồn tiếp tuyến, tiếp diện chung hai mặt cầu, đặt câu hỏi đưa hướng giải từ tọa độ hóa toán để toán trắc nghiệm mức độ vận dụng cao 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề xuất câu hỏi đưa hướng giải dựa mối liên hệ, tính chất yếu tố giả thiết Thực nghiệm sư phạm: Cho học sinh khá, giỏi làm câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra tính khoa học, hợp lý câu hỏi vận dụng cao NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Với kiến thức hình học khơng gian, đặc biệt tính chất tiếp tuyến, tiếp diện mặt cầu 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Phần lớn giáo viên thường gặp khó khăn sáng tác toán vận dụng cao, giáo viên thường copy có sẵn mạng biến đổi chút thay số hoặc lấy toán tự luận quen thuộc chuyển thể sang hình hình thức trắc nghiệm, khơng có nhiều sáng tạo Sáng kiến kinh nghiệm đề xuất hướng để sáng tạo toán vận dụng cao 2.3 Giải vấn đề Thông qua cách khai thác số mô hình từ giả thiết đường thẳng hai mặt cầu, tồn tiếp tuyến, tiếp diện chung hai mặt cầu, sáng tác lớp toán vận dụng cao tọa độ không gian Chúng ta xuất phát từ giả thiết sau: Trong khơng gian, cho thẳng kính R , mặt cầu S có tâm I d hai mặt cầu: mặt cầu , bán kính R Mơ hình 1: Đường thẳng đồng phẳng với đồng thời tiếp xúc với Hướng giải: S ,S 2 S có tâm I , bán I I , vng góc với đường thẳng d Nhận xét: Khi giải toán trắc nghiệm, đặc biệt toán mức độ vận dụng cao thường xem xét M I1 I2 yêu tố, mối liên hệ đặc biệt giả thiết để đưa hướng giải nhanh TH1: Nếu S ,S 1 + Nếu R R đồng phẳng với I I R d I I S II , S khơng có điểm chung tiếp tuyến chung song song với II qua trung điểm M có vơ số tiếp tuyến thỏa mãn d I I + Nếu khơng vng góc , xét mặt phẳng qua M vng góc với d S ,S tiếp tuyến chung vng góc với ( có ) nằm Nếu Nếu dI , R dI , R dI, d , suy có tiếp tuyến thỏa mãn khơng có tiếp tuyến thỏa mãn R Các toán trắc nghiệm: Bài toán 1.1 Trong không gian với hệ tọa độ S1 : x2 y2 z2 x z và hai điểm A 0; 1;3 , B 2; 2;1 Oxyz , cho hai mặt cầu: S : x2 y2 z2 y z 19 Số đường thẳng vng góc với AB , đồng S ,S phẳng với đường thẳng nối tâm hai mặt cầu tiếp xúc với 1 D Vô số A B C Hướng dẫn giải: 1 I S có tâm R R Ta có 2 ;0; R S2 I 0;1; , có tâm , I I R1 R2 2 suy S1 , S2 R 2, 2 là: khơng có điểm chung ;1; I I 12 AB 2; 1; vng góc với nên có vơ số đường thẳng vng góc với AB , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm hai mặt cầu tiếp xúc với S ,S Chọn đáp án D Bài tốn 1.2 Trong khơng gian với hệ tọa độ S1 : x2 y2 z2 x z và hai điểm A 1; 2;1 , B 1; 2;3 Oxyz , cho hai mặt cầu: S : x2 y2 z2 y z 19 Số đường thẳng vng góc với AB , đồng S ,S phẳng với đường thẳng nối tâm hai mặt cầu tiếp xúc với D Vô số A B C Hướng dẫn giải: Tương tự toán 1.1 ta có: là: I1I2 ;1; I1I2 Gọi M trung điểm Gọi mặt phẳng d I1, Ta có AB 0;0;2 khơng vng góc với 1 M ; ; qua M vng góc với AB , phương trình S1 : x2 y2 z2 x z A A 2; 1;1 , B 1; 2;3 Oxyz , cho hai mặt cầu: S : x2 y2 z2 y z AB , đồng phẳng S ,S Số đường thẳng vng góc với với đường thẳng nối tâm hai mặt cầu tiếp xúc với B có đường thẳng thỏa mãn Chọn đáp án B Bài tốn 1.3 Trong khơng gian với hệ tọa độ hai điểm :2z C 2 19 là: D Vô số Hướng dẫn giải: Tương tự tốn 1.2 ta có: I I 12 ;1; AB 1; 1;2 khơng vng góc với :x y 2z 15 qua M vng góc với AB , phương trình Gọi d I ,5 24 Ta có khơng có đường thẳng thỏa mãn Chọn đáp án A Bài tốn 1.4 Trong khơng gian với hệ tọa độ S1 : x2 y2 z2 x z và hai điểm A 1;1;2 , B 1;2;3 Oxyz , cho hai mặt cầu: S : x2 y2 z2 y z 19 AB , đồng phẳng Số đường thẳng vng góc với với đường thẳng nối tâm hai mặt cầu tiếp xúc với A B Hướng dẫn giải: Tương tự toán 1.3, ta có: C S , S là: D Vô số ;1; II Gọi AB 2;1;1 qua M vng góc với AB , phương trình Ta có d I1 , 21 TH2: Nếu R :2x y z a Xét khơng vng góc với có đường thẳng thỏa mãn Chọn đáp án C R S , S2 rời nhau: M2 I2 I1 M1 M I R R M I + Gọi điểm M thỏa mãn đồng phẳng với I I + Gọi mặt phẳng S ,S 2 , suy tiếp tuyến chung S , S2 qua M qua M vng góc với II d , suy tiếp tuyến chung đồng phẳng với nằm Nếu d I1 , R có tiếp tuyến thỏa mãn Nếu d I1 , R khơng có tiếp tuyến thỏa mãn Nếu d I1 , R có tiếp tuyến thỏa mãn S ,S b Xét gọi cắt nhau: MI R 1 R điểm M thỏa mãn giải tương tự M I I2 I1 Các toán trắc nghiệm: M Bài tốn 1.5 Trong khơng gian với hệ tọa độ I Oxyz , cho bốn điểm 0; 1;3 , J 2;1;1 , K 1;2;3 , H 2;0;4 J R2 S Gọi S R1 mặt cầu tâm I , bán kính , mặt cầu tâm , bán kính Số đường thẳng vng góc với KH , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm hai mặt cầu tiếp xúc với S ,S là: A B Hướng dẫn giải: Ta có IJ R1 R2 C suy S1 , S2 D Vơ số khơng có điểm chung M 4;3; MI MJ Gọi điểm M thỏa mãn 333 qua M vng góc với KH Gọi ; ; M :x 2y z dI, 54 : x y z d I, Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn Chọn đáp án C Mô hình 2: Đường thẳng đồng phẳng với tiếp xúc với S ,S I I , cắt đường thẳng d đồng thời Hướng giải: Để thuận lợi cho việc chuyển sang toán trắc nghiệm xét số trường hợp sau (có thể khơng cần xét hết khả xảy ra): S1,S2 R1R2R TH1: Nếu + Nếu + Nếu d / /I I d Nếu I I Nếu d khơng có tiếp tuyến thỏa mãn chéo nhau, gọilà mặt phẳng chứa dI ,R cắt Tương tự tốn mơ hình 1, d song song với I I khơng có tiếp tuyến thỏa mãn d I ,R I,R có tiếp tuyến thỏa mãn I I + Nếu đường thẳng Các tốn trắc nghiệm: d cắt có tiếp tuyến thỏa mãn : KH3; 1;4 KH : y x z M KH có vơ số tiếp tuyến thỏa mãn Chọn đáp án D Bài tốn 2.5 Trong khơng gian với hệ tọa độ S J 2;1;1 , K 1;2;3 , H 3;0; Gọi J R Oxyz , cho bốn điểm I 0; 1;3 mặt cầu tâm I , bán kính R4 S , mặt cầu tâm , bán kính Số đường thẳng cắt đường thẳng KH , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm hai mặt cầu tiếp xúc với S1,S2 A.0 B.1 C.2 , là: D Vô số Hướng dẫn giải: Tương tự Bài toán 2.4 suy MI MJ M 4;3; Gọi điểm M thỏa mãn KH 2;2;4 cắt S ,S x 1 KH : cos KH , IJ y MJ Ta có Chọn đáp án C z J KH R2 2 MJ có hai tiếp tuyến thỏa mãn Oxyz I 0; 1;3 , Bài toán 2.6 Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm S R J 2;1;1 , K 3;2;1 , H 0; 1;1 Gọi mặt cầu tâm I , bán kính J R mặt cầu tâm , bán kính S C Tương tự Bài toán 2.4 suy Gọi điểm M thỏa mãn Số đường thẳng cắt đường thẳng KH , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm hai mặt cầu tiếp xúc với S1,S2 A B Hướng dẫn giải: , D Vô số cắt S ,S là: MI MJ M 4;3; 11 x t KH : KH3; 3;0 y t J KH z MJ R22 MJ cos KH , IJ Ta có Chọn đáp án B có tiếp tuyến thỏa mãn d P S ,S Mơ hình 3: Mặt phẳng chứa đường thẳng tiếp xúc với ( tiếp S S S ,S xúc với cắt theo đường trịn có bán kính r cắt theo r ,r đường trịn có bán kính ) Hướng giải: TH1: Nếu R RR S ,S I2 P song song với d / /I I thì: + Nếu d d , I I R cắt I I I1 khơng có mặt d α phẳng thỏa mãn dd,I I dd,I I + Nếu d dI ,R R R I I có mặt phẳng thỏa mãn có hai mặt phẳng thỏa mãn chéo gọi mặt phẳng chứa khơng có mặt phẳng thỏa mãn d song song với dI ,R I I có mặt phẳng thỏa mãn TH2: Nếu P RRR song song với điểm M I I I I d S ,S 2 rời qua trung M I2 I1 12 d / /I I + Nếu M d + Nếu giống TH : d I ,d R d I ,d R khơng có mặt phẳng thỏa mãn có mặt phẳng thỏa mãn d I ,d R có hai mặt phẳng thỏa mãn d I I d I I + Nếu chéo gọi mặt phẳng chứa song song với , d mặt phẳng chứa qua M d I1 ,R có mặt phẳng thỏa mãn d I1 ,R khơng có mặt phẳng thỏa mãn d I1 ,R có mặt phẳng thỏa mãn d I1 ,R khơng có mặt phẳng thỏa mãn TH3: Nếu a Xét R R rời nhau: S ,S 2 R MI 1 + Gọi điểm M thỏa mãn Nếu dI , R dI , R2 + Gọi mặt phẳng qua M chứa hình 4) Nếu M I d (biết Md , TH Md giải Mơ có mặt phẳng thỏa mãn khơng có mặt phẳng thỏa mãn R 13 b Xét M I S ,S R RM I chứa d tiếp xúc với S ,S S giải tương tự cắt nhau: gọi điểm M thỏa mãn ( Các toán P S2 theo đường trịn có cắt bán kính r cắt theo đường trịn có bán kính giải tương tự xin dành cho bạn đọc) r ,r Các toán trắc nghiệm: Bài tốn 3.1 Trong khơng gian với hệ tọa độ S1 : x2 y2 z2 x z và hai điểm S ,S 2 A ;1; ,B 1;2;0 là: A Hướng dẫn giải: I S 1 Trung điểm AB : x y S : x2 y2 z2 y z 19 Số mặt phẳng chứa AB tiếp xúc với C D Vô số ;0; R z , S , I I R1 R2 M I I , cho hai mặt cầu: 1 có tâm R R Ta có B Oxyz 2 có tâm suy 1 ; ; AB 2 M AB 2 thỏa mãn Chọn đáp án C , 2 S ,S 2 khơng có điểm chung ;1;1 d I1 , AB Ta có Bài tốn 3.2 Trong không gian với hệ tọa độ R I 0;1; Oxyz nên có mặt phẳng , cho hai mặt cầu: 14 S1 : x2 y2 z2 x z Số mặt phẳng chứa AB tiếp xúc với hai điểm A 2;1;4 , B 1;3;0 là: S1,S2 A S : x2 y2 z2 y z 19 B C D Vô số M AB Hướng dẫn giải: Tương tự Bài tốn 3.1 Ta có Gọi mặt phẳng I I : x y chứa AB song song với Gọi mặt phẳng chứa AB qua M: 26 x y z 17 d I1 , , d I1, 749 Ta có mãn Chọn đáp án A Bài tốn 3.3 Trong khơng gian với hệ tọa độ nên khơng có mặt phẳng thỏa Oxyz , cho điểm A 1;1;2 , R2 B 2; 1;3 , C 3;1;4 , D1;0;1 S Gọi 1 mặt cầu tâm A bán kính 5, S R2 mặt cầu tâm B bán kính Có mặt phẳng chứa CD tiếp xúc với S ,S A.0 B.1 Hướng dẫn giải: Ta có C.2 S ,S D Vô số rời M 3; 3;4 MA 2MB M Gọi điểm M thỏa mãn Gọi mặt phẳng qua M chứa CD ; ; 33 : x z d A, R1 : x y z d A, 14 R1 Suy có mặt phẳng thỏa mãn Chọn đáp án B Bài tốn 3.4 Trong khơng gian với hệ tọa độ với S ,S Có mặt phẳng chứa B.1 Hướng dẫn giải: Ta có Gọi điểm M thỏa mãn chứa CD , ta có C.2 S , tiếp xúc cắt S ,S 2 MB M 3; 3;4 MA d A, R B 2; 1;3 ,C 0;0;6 , D 3;0;3 Gọi mặt cầu tâm B bán kính S A.0 cắt B.1 Hướng dẫn giải: Ta có Gọi điểm M thỏa mãn chứa CD , ta có S qua M R4 Oxyz mặt cầu tâm A bán kính , cho điểm A 1;1;2 , R Có mặt phẳng chứa CD r , , đường trịn có bán kính C.2 D Vơ số S ,S MA :x y z Gọi mặt phẳng , suy khơng có mặt phẳng thỏa mãn Chọn đáp án A Bài tốn 3.5 Trong khơng gian với hệ tọa độ xúc với R D Vô số S1 A 1;1;2 , A.0 S , cho điểm mặt cầu tâm A bán kính CD B 2; 1;3 , C 3;1;4 , D 1;0;1 Gọi S1 R mặt cầu tâm B bán kính Oxyz cắt MB M 1;5;0 d A, mặt phẳng thỏa mãn Chọn đáp án A Gọi mặt phẳngqua M R1 , suy khơng có 16 Mơ hình 4: Mặt phẳng P song song với đường thẳng S1 d tiếp xúc với S2 S1,S2 R1R2R S1,S2 ( tiếp xúc với S ,S cắt theo đường trịn có bán kính TH1: Nếu + Nếu + Nếu I I d / /I I d d I,R I I dI ,R Xét R S , S P I I ) song song với gọi mặt phẳng chứa chéo gọilà mặt phẳng chứa d II song song với d d song song với khơng có mặt phẳng thỏa mãn R có mặt phẳng thỏa mãn d I1 ,R TH: Nếu có vơ số mặt phẳng thỏa mãn d I ,R r ,r cắt khơng song song với + Nếu theo đường trịn có bán kính r cắt có mặt phẳng thỏa mãn : rời nhau: M + Gọi điểm M thỏa mãn I R M R2 I I I P + Gọi đường thẳng qua M song song với d Nếu khơng có mặt phẳng thỏa mãn Nếu dI ,R dI ,R 1 có mặt phẳng thỏa mãn 17 Nếu b Xét d I , R 1 có hai mặt phẳng thỏa mãn MI S ,S R song song d tiếp xúc với R cắt nhau: gọi điểm M thỏa mãn ( Các toán P S M I cắt giải tương tự S theo đường tròn S ,S có bán kính r cắt theo đường trịn có bán kính giải tương tự xin dành cho bạn đọc) r ,r Các toán trắc nghiệm: Bài toán 4.1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu : S1 : x2 y2 z2 x y S2 : x2 y2 z2 x hai điểm A 1;4;0 , B 0;1; Số mặt phẳng song song với AB tiếp xúc với S ,S là: A.0 B.1 C.2 D Vô số Hướng dẫn giải: S1 có tâm R I 1; 2;0 R Ta có Gọi mặt phẳng :xy2z30 , bán kính R1 , I I 2 R1 S có tâm I I 1 S ,S R2 suy chứa AB song song với I 3;0;0 2 , bán kính R3 cắt , ta có dI,3 , suy có mặt phẳng thỏa mãn Chọn đáp án B Bài tốn 4.2 3 Trong khơng gian với hệ tọa độ C 1;1;4 , D 5;3;0 Oxyz Gọi A 1;2; 3,B ; ; mặt cầu tâm A bán kính R1 , , 2 mặt cầu , cho điểm S S 18 R tâm B bán kính xúc với S , S A Có mặt phẳng song song với B Gọi điểm M thỏa mãn x y z : CD 2 , ta có d A, phẳng thỏa mãn Chọn đáp án C Bài tốn 4.3 Trong khơng gian với hệ tọa độ S S A B : CD , tiếp xúc với ,B ; ; 2 R S , CD , mặt cầu đồng thời tiếp x y z 2 , ta có R , suy khơng có mặt phẳng thỏa mãn Chọn đáp án A mặt cầu tâm B bán kính CD 3 B 2; 1;3 ,C 2; 1; ,D 5;2;0 , suy có mặt Bài tốn 4.4 Trong khơng gian với hệ tọa độ S D Vô số C cắt Tương tự Bài toán 4.2 S ,S Gọi qua M song song với 74 2R Có mặt phẳng song song với Hướng dẫn giải: Ta có d A, Gọi qua M song song với mặt cầu tâm A bán kính S , M 2;1;2 , cho điểm Gọi R xúc với D Vô số A 1;2; C 0;1; ,D 1; 1;1 tâm B bán kính đồng thời tiếp C cắt S ,S Hướng dẫn giải: Ta có 2 MB MA Oxyz CD S Gọi R4 cắt S Oxyz , cho điểm A 1;1;2 , mặt cầu tâm A bán kính R , Có mặt phẳng song song với S theo đường trịn có bán kính r7 19 A B Hướng dẫn giải: Ta có Gọi điểm M thỏa mãn : x y C S , S MA 2 D Vô số cắt MB M 1;5;0 z Gọi qua M song song với d A, 2090 R 31 CD , ta có phẳng thỏa mãn Chọn đáp án C 19 , suy có mặt 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường Để kiểm tra hiệu đề tài tiến hành kiểm tra số đối tượng học sinh khá, giỏi lớp trường THPT Đào Duy Từ Trong kiểm tra hình thức trắc nghiệm với 15 câu trắc nghiệm thời gian làm 45 phút Kết thu sau: Lớp 12A4 12A6 Sĩ số học sinh khá, giỏi 35 25 Số câu < Số lượng % 8.6 32 Số câu đúng