skkn sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học tổng hợp

Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT THUẬT ……….………………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Người thực hiện: Đào Quốc Dũng Tổ môn: Toán-Tin Số điện thoại cá nhân: 0977154666 Năm học: 2013 – 2014 Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Phần I Đặt vấn đề: Bài toán toạ độ phẳng chủ đề hay khó Gần chủ đề sử dụng nhiều kỳ thi chọn học sinh giỏi kỳ thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng Khi gặp toán toạ độ phẳng đa số học sinh gặp nhiều khó khăn việc khai thác kết hình học tổng hợp để giải toán toạ độ phẳng Đa số giáo viên đơn tìm toán có sẵn tài liệu để thực giảng dạy, suy nghĩ khai thác tự tìm tòi sáng tạo toán hạn chế Vì không rèn dũa nhiều tư sáng tạo, trình dạy học phần toạ độ phẳng gặp nhiều khó khăn , toán toạ độ phẳng đề thi yêu cầu học sinh phải suy nghĩ độc lập sáng tạo giải Chính việc khai thác kết hình học tổng hợp để tạo nên toán toạ độ phẳng có ý nghĩa thiết thực cho việc rèn luyện tư sáng tạo giáo viên gieo cho học sinh tinh thần tìm tòi khám phá từ hình thành phát triển tư sáng tạo cho học sinh Làm điều người giáo viên đáp ứng phần yêu cầu dạy học tích cực Qua năm công tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi Đại học, Cao đẳng Bản thân nhận thấy việc khai thác kết hình học tổng hợp để sáng tạo toán toạ độ phẳng nhiệm vụ cần thiết người giáo viên trình dạy học Làm điều tạo nhiều toán gây hứng thú cho học sinh đồng thời góp phần bồi dưỡng tư sáng tạo cho giáo viên gương sáng tạo cho học sinh Việc sáng tạo toán toạ độ phẳng giúp cho trình dạy học trở nên linh hoạt hơn, vấn đề mà nhiều giáo viên quan tâm Để góp phần nâng cao chất lượng dạy học cho học sinh trường trung học phổ thông chủ đề phương pháp toạ độ mặt phẳng Tôi chọn đề tài “Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp” Đề tài hoàn thành trường THPT Lê Viết Thuật Trong trình thực đề tài nhận nhiều góp ý bố cục, nội dung Nhân cho phép gửi lời cảm ơn chân thành thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt thầy cô tổ Toán – Tin trường THPT Lê Viết Thuật Mặc dù có nhiều cố gắng đề tài không tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tôi mong góp ý chân thành quý thầy cô giáo độc giả để đề tài bổ sung ngày hoàn thiện Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Phần II Nội dung: Khai thác số kết (KQ) khoảng cách :       KQ1 a  b  a  b , a, b       a  b  a  b  a, b hướng          TQ: a1  a2   an  a1  a2   an , a1 , a2 , , an          a1  a2   an  a1  a2   an  a1 , a2 , , an đôi hướng *)Nhận xét: Từ KQ1 ta có: +) MA  MB  AB A, B, M (1) Dấu “=’’ xảy (1)  M thuộc đoạn AB +) Tổng quát : A1A  A A + +A n-1A n  A1A n Ai (i  1, n) (2)    Dấu “=’’ xảy (2)  A1A , A A , , A n-1A n hướng  AB  MB  MA  MA  MB  AB   AB  MA  MB  MB  MA  AB +) Tương tự (1) ta có :   MA  MB  AB A, B, M (3) Dấu xảy (3)  M thuộc tia đối tia AB M thuộc tia đối tia BA +) Xét đường thẳng d hai điểm A, B không thuộc d M điểm thay đổi d Gọi C điểm đối xứng A qua d, K giao d đường thẳng AB Khi d cắt đoạn AB K, ta có : Min( MA  MB)  AB M trùng K (4) A M d K B Ràng buộc thêm điều kiện d cắt đường thẳng BC E , ta có : MA  MB  MC  MB  BC  Max(MA  MB)  BC M trùng E (5) A M K d E C B Khi d không cắt đoạn AB, ta có : C M B E d K A Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Min  MA  MB   BC M trùng E (6) Max MA  MB  AB M trùng K (7) Từ nhận xét ta cho biết phương trình đường d, toạ độ điểm A, B ta thiết lập toán sau : Bài toán 1: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường thẳng d: x + y – = hai điểm A(4;1) , B(2; 2) ) Xác định toạ độ điểm M đường thẳng d cho : a) MA+MB đạt giá trị nhỏ b) MA  MB đạt giá trị lớn Hướng dẫn: Vì ( xA  y A  2)( xB  yB  2)  nên A, B nằm khác phía d a) Từ (4) ta có MA+MB đạt giá trị nhỏ M giao điểm AB d Từ tìm M(2; 0) b) Gọi C điểm đối xứng A qua d Ta tìm C(1; -2) Từ (5) ta có MA  MB đạt giá trị lớn M giao điểm BC d Từ tìm M(4; - 2) Bài toán 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường thẳng d : 2x + y – = hai điểm A(4;1), B(1;3) Xác định toạ độ điểm M đường thẳng d cho : a) MA+MB đạt giá trị nhỏ b) MA  MB đạt giá trị lớn Hướng dẫn: Vì (2 xA  y A  4)(2 xB  yB  4)  nên A, B nằm phía d a) Gọi C điểm đối xứng A qua d Ta tìm C(0; -1) Từ (6) ta có MA+MB đạt giá trị nhỏ M giao điểm BC d Từ tìm M  ;  6 3 b) Từ (7) ta có MA  MB đạt giá trị lớn M giao điểm AB d Từ tìm M  ;  4 2 KQ2 Nếu H, K hình chiếu vuông góc A, B đường thẳng  AB  HK B B A H  H K  K A Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp KQ3 Cho ®­êng th¼ng  Víi hai ®iÓm A, B bÊt kú ta lu«n cã: AB  d ( A, )  d ( B, ) KQ4 NÕu A vµ B kh«ng n»m cïng phÝa ®èi víi ®­êng th¼ng  th× AB  d ( A, )  d ( B, ) KQ5 Trong mặt phẳng cho n điểm A1 , A2 , , An nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng n  ( kể bờ) Gọi G trọng tâm hệ n điểm  A1 , A2 , , An  Khi ta có  d ( Ai , )  n.d (G , ) i 1 Chứng minh : Chọn hệ trục toạ độ Oxy Giả sử phương trình  ax  by  c  0(a  b2  0) Khi tích số n số (axi  byi  c) (i  1, n) (với ( xi , yi ) toạ độ điểm Ai ) số không âm n n n   d ( Ai , )   i 1 i 1 axi  byi  c a  b2  (ax  by i  i  c) i 1  a  b2 n( axG  byG  c) a2  b2  n.d (G, ) KQ6 Cho tam giác ABC có BC  a, ma độ dài đường trung tuyến kẻ từ A Nếu  đường thẳng thay đổi qua A d ( B ,  )  d (C ,  )  Max 2m a ; a Chứng minh : - Nếu  cắt đoạn BC d ( B, )  d (C ,  )  BC - Nếu  không cắt đoạn BC d ( B, )  d (C , )  2d ( I , )  AI (Với I trung điểm đoạn BC ) Suy điều phải chứng minh A   A B C B I C *) Nhận xét: Từ KQ2, KQ3, KQ4, KQ5, KQ6 ta cho toạ độ đỉnh tam giác ABC dễ dàng thiết lập toán tổng khoảng cách đạt giá trị lớn Bài toán 3: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -1), B(5; 2), C(-2; 3)  đường thẳng thay đổi qua A Viết phương trình đường thẳng  cho d ( B, )  d (C, ) đạt giá trị lớn Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Hướng dẫn : Gọi I trung điểm BC Suy I  ;  2     Vì AB AC  (5  1).(2  1)  (2  1)(3  1)  nên tam giác ABC tam giác vuông A Từ KQ6 ta có d ( B, )  d (C, ) đạt giá trị lớn   BC   AI Do   : 7 x  y      : x  y   Bài toán 4: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 7), B(0; 5), C(4; 3)  đường thẳng thay đổi qua A Viết phương trình đường thẳng  cho 3d ( B,  )  2d (C ,  ) đạt giá trị lớn Hướng dẫn :     Gọi B1 , C1 điểm thoả mãn AB1  AB, AC1  AC Suy B1 (2;1), C1 (7; 1) Gọi I trung điểm A1B1 Suy I  ;    Ta có : 3d ( B, )  d (C , )  d ( B1 , )  d (C1 ,  ) , AI  205  B1C1  85 Từ KQ6 suy d ( B1 , )  d (C1 , ) lớn   AI Vậy 3d ( B, )  2d (C , ) lớn  : 3x  14 y  95  KQ7 Cho đường tròn (C) có tâm I bán kính R Nếu G điểm nằm (C), đường thẳng IG cắt đường tròn (C) H K ( GH  GK ) ,  tiếp tuyến (C) R  IG  d (G, )  R   Chứng minh: (C) K I G H  N M E Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến  với (C), E hình chiếu vuông góc G  , N giao  đoạn GE Ta có : MI  IG  MG  MI  IG  R  IG  MG  R  IG Mà GN  GE  GM nên IN  IG  GE  IM  IG  R  IG  d (G, )  R  IG (đpcm) *)Nhận xét: Các điểm thuộc đường tròn nằm phía tiếp tuyến Kết hợp KQ5 KQ7 ta thiết lập toán sau Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Bài toán 5: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 3), B(-3; 2), C(4; -5) Gọi (T) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Viết phương trình tiếp tuyến  (T) cho d ( A, )  d ( B, )  d (C, ) a) Đạt giá trị nhỏ b) Đạt giá trị lớn Hướng dẫn: K I G H  M E Gọi M tiếp điểm  với (T), G trọng tâm tam giác ABC Gọi I tâm đường tròn (T) Dễ dàng tìm G(-1;0), I(1;-1)  IG : x  y   0, (T ) : ( x  1)  ( y  1)  25 Gọi H, K giao điểm đường thẳng IG đường tròn (T) (G thuộc đoạn IH) ( x  1)  ( y  1)  25 Toạ độ điểm H, K thoả mãn hệ phương trình  x  y 1  Suy : H (1  5; 1  5), K (1  5; 1  5) Từ KQ7 ta có 3( R  IG )  d ( A,  )  d ( B, )  d (C, )  3( R  IG )  3(5  5)  d ( A,  )  d ( B ,  )  d (C ,  )  3(5  5) a) Ta có d ( A, )  d ( B, )  d (C, ) nhỏ 3(5  5)  qua H vuông góc với IG Khi  : x  y   5  a) Ta có d ( A, )  d ( B, )  d (C, ) lớn 3(5  5)  qua K vuông góc với IG Khi  : x  y   5  *)Nhận xét: Cho tam giác ABC điểm I Nếu đường thẳng  thay đổi qua I A, B, C nằm phía A, B nằm phía B, C nằm phía C, A nằm phía  Gọi A1 , B1 , C1 thứ tự điểm đối xứng A, B, C qua I Ta xét trường hợp : TH1: Cả ba điểm A, B, C nằm phía  Ta có d ( A, )  d ( B, )  d (C, )  3d (G,  )  3GI (Với G trọng tâm tam giác ABC) TH2: Cả ba điểm A, B,C không nằm phía Khi ta có khả : Khả 1: Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp A, B nằm phía  Khi A, B, C1 nằm phía  Ta có d ( A, )  d ( B, )  d (C , )  d ( A, )  d ( B, )  d (C1 ,  )  3d (G1 , )  3G1 I (Với G1 trọng tâm tam giác ABC1 ) Khả 2: B, C nằm phía  Khi B, C, A1 nằm phía  Ta có d ( A, )  d ( B, )  d (C , )  d ( A1 , )  d ( B, )  d (C , )  3d (G2 , )  3G2 I (Với G2 trọng tâm tam giác A1BC ) A C1 B1 I B C  A1 Khả 3: C, A nằm phía  Khi C, A, B1 nằm phía  Ta có d ( A, )  d ( B, )  d (C , )  d ( A, )  d ( B1 , )  d (C , )  3d (G 3,  )  3G3 I (Với G3 trọng tâm tam giác AB1C ) Từ ta có kết sau: KQ8: d ( A, )  d ( B, )  d (C , )  3Max{GI ; G1 I ; G2 I ; G3 I } Từ kết ta thiết lập toán sau Bài toán 6: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 4), B(-3; -1), C(2;-2) Viết phương trình đường thẳng  qua O cho: d ( A, )  d ( B, )  d (C , ) đạt giá trị lớn Hướng dẫn: Dễ dàng chứng minh O nằm tam giác ABC nên xảy trường hợp A, B, C phía  Gọi A1 , B1 , C1 thứ tự điểm đối xứng với A, B, C qua O Suy A1 (1; 4), B1 (3;1), C1 (2; 2) 4 2 7   , G3 (2;1)  Trọng tâm tam giác ABC1 , BCA1 , CAB1 thứ tự G1  ;  , G2  ;  3  3 Vận dụng KQ8 ta có : Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Max(d ( A, )  d ( B,  )  d (C , ))  3Max{OG1 ; OG2 ; OG3}= 53  qua O vuông góc với OG2 Vậy  : x  y  *)Nhận xét: Ta mở rộng toán cách thay d ( A, )  d ( B, )  d (C , ) kd ( A, )  ld ( B, )  md (C ,  ) (trong k , l , m số dương cho trước ) Khai thác số kết (KQ) tam giác tứ giác đặc biệt : KQ9 Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c Chứng minh điều kiện cần đủ để hai trung tuyến kẻ từ B C vuông góc với b 2+c2 =5a2 Chứng minh: A G B I C Gọi I trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC Hai đường trung tuyến kẻ từ B C vuông góc với  GBC vuông G  GI  BC a ma   ma2  a ( ma độ dài trung đường trung tuyến kẻ từ A) 2 2 b c a   a  b  c  5a (đpcm) 4    *) Nhận xét: Từ KQ9 ta có: Khi hai đường trung tuyến kẻ từ B, C vuông góc với ta có trọng tâm tam giác   G tam giác ABC nằm đường tròn đường kính BC IA  3IG .Từ ta có toán sau: Bài toán 7: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho B(0;3), C(2;-1) Gọi I trung điểm đoạn BC, M điểm thay đổi đường tròn đường kính BC A điểm   cho IA  3IM Xác định toạ độ điểm M cho (AB+AC) đạt giá trị lớn Hướng dẫn: Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Từ KQ9 ta có AB  AC  2( AB  AC )  BC 10  10 Suy (AB+AC) lớn 10 M điểm cung BC Từ ta suy M (3; 2), M (1; 0) điểm cần tìm KQ10 Cho tam giác ABC cân A Nếu D trung điểm cạnh AC điểm K, E thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trọng tâm tam giác ABD KE  BD A Chứng minh: E M D G K B C Gọi G trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm cạnh AB MG ME    EG // CD  EG  KD MC MG Mà ABC tam giác cân nên KG  MD Suy G trực tâm tam giác EKD Suy KE  GD  KE  BD (đpcm) Ta có *) Nhận xét: Từ KQ10 cho biết toạ độ điểm E, K điểm P đường thẳng BD ta viết đường thẳng BD Ràng buộc thêm điều kiện đường thẳng AC qua điểm Q ta tìm toạ độ điểm D (vì tam giác DKQ vuông D) Từ ta thiết lập toán sau Bài toán 8: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A , D trung 3 điểm cạnh AC Biết K(1; 0), E  ;  tâm đường tròn ngoại tiếp tam  giác ABC, trọng tâm tam giác ABD Các điểm P(-1; 6), Q(-9; 2) thuộc đường thẳng AC, BD Tìm toạ độ đỉnh A, B, C biết D có hoành độ dương Hướng dẫn: Từ KQ10 ta có KE  BD Mà Q thuộc BD nên ta viết phương trình BD  t  21  x  y  21  Điểm D thuộc BD nên D  t ;  (t  0)    t  15    t  21  Ta có DP   t  1;  , DK   t  1;      t     t  15   t  21   Vì DP  DK nên  t  1 t  1        117  t  (vì t  ) t    37  Đường thẳng AC qua D P nên x  y  11  Đường thẳng AK qua K vuông góc với DE nên KA : x   Suy A(1; 5), kết hợp với D trung điểm AC suy C(4; 3) Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Bài toán 32: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác nhọn ABC Đường tròn đường kính BC (C ) : ( x  1)  ( y  2)  Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM , AN đến (C ) (M, N tiếp điểm nằm phiá đường thẳng BC ) Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng MN A thuộc đường thẳng d :2 x  y   Tìm toạ độ điểm A Hướng dẫn: A H K B C A’ Vì A thuộc đường thẳng d nên A( x;1  x) +) Gọi H , G , K thứ tự trực tâm , trọng tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lấy A’ đối xứng với A qua K    HB  HB  HA ' Ta  có : HBCA’ hình bình hành , suy         HA  HB  HC  HA  HA '  HK  3HG  HK Suy H , K , G thẳng hàng +) Gọi D , F thứ tự chân đường cao kẻ từ A , B tam giác ABC ;E trung điểm MN (C) có tâm I(-1 ; -2)       Ta có : AN  AF AC , AN  AE AI (vì tam giác ANI vuông N) (1) Tứ giác HDCF có HDC  HFC  90o suy HDCF tứ giác nội tiếp    Suy AH AD  AF AC (2) Từ (1) (2) suy tứ giác HDIE tứ giác nội tiếp  HEI  HDI  90o Suy H thuộc đường thẳng MN Kết hợp với K thuộc đường thẳng MN suy G thuộc đường thẳng MN Suy G  E     IA Lại có IA.IE  IN    ( x  1)2  (3  x)2   x  3 Vậy A(1; - 1) điểm cần tìm Khai thác số kết (KQ) đường tròn ngoại tiếp tam giác : KQ25 Nếu tam giác ABC có trực tâm H D (D khác A) giao điểm đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H D đối xứng với qua đường thẳng BC Chứng minh: Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 26 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp A N H B M C D Ta có: ABMN tứ giác nội tiếp Suy NBM  MAN Kết hợp với DBC  DAC suy HBM  MBD Suy tam giác BHD cân B Suy H D đối xứng với qua đường thẳng BC (đpcm) KQ25 phát biểu : Nếu tam giác ABC có trực tâm H D điểm đối xứng với H qua đường thẳng BC D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC *) Nhận xét: Nếu biết toạ độ điểm D phương trình đường thẳng BC ta xác định toạ độ điểm H Kết hợp với AC vuông góc với BH ta xác định toạ độ đỉnh B, C Từ ta thiết lập toán sau Bài toán 33: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho cho tam giác ABC Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A đường thẳng BC có phương trình 5x  3y   0, x  y   Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D(-2; -4) Xác định toạ độ điểm B C biết B có hoành độ dương Hướng dẫn: Viết phương trình đường thẳng AD x  y   tìm tọa độ A(1; 1) Gọi H trực tâm tam giác ABC, M giao điểm AD BC, K trung điểm cạnh BC Từ giả thiết toán ta tìm  1 7  M (1; 3) K  ;  Theo KQ25 M trung điểm HD, suy H(0;-2)  2  B  BC  B(t;  t  4) , t  suy C(-1-t;-3+t ) Từ AC  BH suy t = Suy B(1; -5) C(-2; -2) *) Nhận xét: Vì H D đối xứng qua đường thẳng BC nên hai tam giác HBC DBC Do hai tam giác ABC HBC có bán kính Nếu biết phương trình đường thẳng trung trực BC, biết toạ độ điểm H , ràng buộc thêm toạ độ điểm mà đường tròn ngoại tiết tam giác BHC qua ta xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ ta thiết lập toán sau Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 27 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Bài toán 34: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC BAC  90o , trực tâm H(2;1) tâm đường tròn ngoại tiếp I(1;0) Trung điểm cạnh BC nằm đường thẳng d : x  y   Tìm toạ độ đỉnh B C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua điểm E(6;-1) B có hoành độ nhỏ Hướng dẫn: A H I C B D d E Ta có: BAC  90o , I thuộc d d qua trung điểm cạnh BC nên d trung trực cạnh BC Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC  t 1  K  d  K  t;  , KH  KE Từ suy K (5; 2) KH  10   Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC ( x  5)2  ( y  2)2  10 Gọi D giao điểm AH đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (D khác A) Từ KQ25 ta có D H đối xứng qua đường thẳng BC Suy hai tam giác HBC DBC có bán kính Do bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC KH  10 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( x  1)  y  10 ( x  5)  ( y  2)2  10 Toạ độ điểm B, C nghiệm hệ  Kết hợp với B có 2 ( x  1)  y  10 hoành độ nhỏ ta tìm B(2; 3), C(4; -1) Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 28 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp KQ26 Nếu tam giác ABC có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp I, M trung điểm BC, D điểm đối xứng A qua I M trung điểm đoạn thẳng HD Chứng minh: A H B I C M D  BH  AC , DC  AC  BH // DC  Suy HBDC hình bình hành CH  AB, DB  AB CH // DB Ta có  Suy M trung điểm đoạn thẳng HD (đpcm) +) KQ26 phát biểu dạng : Nếu tam giác ABC có trực tâm H , M trung điểm cạnh BC D điểm đối xứng H qua M AD đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC *) Nhận xét: Nếu biết toạ độ điểm A, I H ta xác định toạ độ điểm D, M từ viết phương trình BC Kết hợp với viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC xác định toạ độ đỉnh B, C Từ ta thiết lập toán sau Bài toán 35: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho cho tam giác ABC có đỉnh A(-7; 3), trực tâm H(-1; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp I(0;-2) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có tung độ dương Hướng dẫn: A I H B M C D Gọi M trung điểm BC, D điểm đối xứng A qua I Suy D(7; -7) Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 29 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Theo KQ26 ta có M trung điểm đoạn thẳng HD Suy M(3; -2) Từ ta có phương trình BC x   Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : x  ( y  2)2  74 Từ tìm C (3; 2  65) *) Nhận xét: Nếu biết toạ độ trực tâm H, trung điểm M cạnh BC, chân đường cao kẻ từ C tam giác ABC ta xác định toạ độ điểm E đối xứng với H qua K , toạ độ điểm N đối xứng với H qua M Vận dụng KQ25, KQ26 ta có E, N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta dễ dàng xác định toạ độ đỉnh tam giác ABC Từ viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì ta thiết lập toán sau Bài toán 36: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho cho tam giác ABC có H(2; -1) trực tâm , K  ;  chân đường cao kẻ từ C M(0; -3) trung điểm BC Viết 5 5 phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn: A E K H B M C N Gọi E, N điểm đối xứng H qua K, M 2 19   , N(-2; -5)  Suy E  ;  5 CH qua H, K nên có phương trình x  y   AB qua K vuông góc với HK nên có phương trình x  y   t2  14  t  Suy B  t ;   C  t ;  Mà C thuộc CH nên t  4  B(4; 1)     Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua E, N, B nên có phương trình ( x  1)  ( y  1)  25 KQ27 Nếu tam giác  ABC có trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp I GH  2GI Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 30 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Chứng minh: A H I G B C D Gọi D điểm đối  xứng A qua I Ta dễ dàng chứng minhđược HBDC hình         bình hành. Suy HB  HC  HD  HA  HB  HC  HA  HD  HI     3HG  2HI  GH  2GI (điều phải chứng minh) *) Nhận xét: Gọi điểm M, N, P, D, E, F trung điểm đoạn BC, CA, AB, HA, HB, HC Ta có: EH  AC  EH  DF (Vì DF//AC) Mà MF//EH  MF  DF  DFM  90 A D P N H B E F M C Tương tự  DEM  900 nên M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF Tương tự ta có N, P thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF Do điểm M, N, P, D, E, F thuộc đường tròn Dễ thấy C ảnh MNP qua phép vị tự tâm G tỉ số k = -2  đường tròn ngoại tiếp ABC ảnh đường tròn ngoại tiếp MNP qua phép vị tự tâm G tỉ số k = -2 Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 31 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Vì toạ độ điểm G, biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác D, E, F ta xác đinh toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ xác định toạ độ trực tâm H tam giác ABC Từ ta thiết lập toán sau Bài toán 37: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G  ; 1 3  Gọi H trực tâm tam giác ABC Biết đường tròn qua ba trung điểm ba 3 25  đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình (C) :  x     y  1  Xác 2  định toạ độ điểm H Hướng dẫn: Đường tròn (C) có tâm J  ; 1 , Vận dụng nhận xét ta có tâm I đường 2    tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thoả mãn GI  2GJ  I (1; 1) Vận dung KQ27 ta suy H(2; -1) *) Nhận xét: Nếu biết toạ độ điểm H, trung điểm M cạnh BC, điểm A thuộc đường thẳng d(cho trước phương trình) ta biểu diễn toạ độ điểm A theo tham số t , suy toạ độ điểm G theo t Từ KQ27 ta suy toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo t Kết hợp với đẳng thức BM  MI  IA2 ta thiết lập toán sau Bài toán 38: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(2;-1), cạnh BC có độ dài , M(0; -3) trung điểm BC Biết điểm A thuộc d :3 x  y  Xác định toạ độ đỉnh B, C d Hướng dẫn: A H I G B C M Gọi G, I thứ tự trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC   4t  ;t  2 3  Vì A thuộc d :3x  y  nên A(4t ;3t ), t  R MA  3MG  G    3t   Từ KQ27 ta có GH  2GI  I  2t  1;    Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 32 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Mà IM  MB  IB  IM  MB  IA2 nên t  Suy A(4;3), I (1; 1) Do đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình ( x  1)  ( y  1)  25 Viết phương trình đường thẳng BC x  y   ( x  1)2  ( y  1)2  25 Suy  x  y   Toạ độ điểm B, C nghiệm hệ phương trình  B(4; 1), C (4; 5) B(4; 5), C (4; 1) KQ28 Cho tam giác ABC không cân A có đường cao AH, tâm đường tròn ngoại tiếp I Nếu d đường thẳng chứa phân giác góc A tam giác ABC d đường thẳng chứa phân giác góc AIH Chứng minh: A I B C H D d Gọi giao điểm d đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D (D khác A) Ta có D điểm cung BDC Do ID  BC  ID / / AH  HAD  IDA Mà IAD  IDA Vậy HAD  IAD *) Nhận xét: Nếu biết toạ độ điểm A , phương trình đường phân giác BAC , phương trình đường thẳng qua A tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta xác định phương trình đường cao kẻ từ A tam giác ABC Từ ta thiết lập toán sau Bài toán 39: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn 2 (T) :  x     y  3  25 có A(-1; -1), đường phân giác góc A 1 2   d : x  y  biết điểm M  ;5  thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ điểm B, C Hướng dẫn: Ta có (T) có tâm I(2; 3) Vì I không thuộc d nên tam giác ABC không cân A Gọi AH đường cao tam giác ABC Theo KQ28 ta có d đường phân giác góc AIH Gọi K điểm đối xứng I qua d, ta có K thuộc AH tìm tọa độ điểm K(3; 2) Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 33 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp A K B I C H d Từ suy BC: x  y  17  tọa độ điểm B, C nghiệm hệ  x  y  17   B(5; 1), C(1; 7) Suy  Thử lại thấy B C nằm khác phía  2  B(1; 7), C(5; 1) ( x  2)  ( y  3)  25 so vớí d (thoả mãn ) KQ29 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp bàng tiếp I Nếu A ' giao điểm AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( A ' khác A) A 'B  A 'C  A 'I Chứng minh: A I B C A’ Mà IBC  IBA ; CBA '  CAI  BAI Suy BIA '  IBA '  A ' I  A ' B Tương tự ta có A ' I  A ' C Suy điều phải chứng minh *) Nhận xét: Nếu biết toạ độ điểm A, tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta xác định toạ độ điểm B, C từ ta có toán sau Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 34 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Bài toán 40: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC điểm A(1; 1) 2 đường tròn ngoại tiếp (T) :  x  3   y    25 Viết phương trình đường thẳng BC, biết I  1;1 tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn: Ta có A thuộc đường tròn (T) Gọi A ' giao điểm AI với đường tròn (T) ( A ' khác A) AI có phương trình: x + y =  x  3   y  2  25  x  Tọa độ A ' nghiệm hệ   xy0  y  1   x  6  Do A '  6;6  (Vì A ' khác A) y  Theo KQ29 ta có A 'B  A 'C  A 'I hay B, C, I thuộc đường tròn tâm A ' bán kính 2 A 'I có phương trình  x     y    50 Suy tọa độ B, C nghiệm hệ  x  32   y    25  x  7 x  phương trình     2 y   x     y    50  y  1 Khi I nằm tam giác ABC (thoả mãn ) Vậy phương trình đường thẳng BC 3x + 4y – 17 = KQ30 (Đường thẳng sim sơn ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I M điểm thuộc đường tròn Nếu H, K, P hình chiếu M đường thẳng AB, BC, CA H, K, P thẳng hàng H A M K B L P C Chứng minh: Gọi L giao điểm HK BC Do điểm A, B, C, M thuộc đường tròn nên HAM  BCM (1) Do điểm A, H, M, K thuộc đường tròn nên HAM  HKM (2) Từ (1), (2) suy HKM  BCM suy điểm K, L, C, M thuộc đường tròn Do MKC  900  MLC  900  ML  BC  L  P Suy đpcm Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 35 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp *) Nhận xét: Nếu biết toạ độ điểm H, K , phương trình đường thẳng BC ta xác định toạ độ điểm P Ràng buộc thêm điều kiện khoảng cách từ M đến BC số ta xác định toạ độ điểm M Từ ta thiết lập toán sau Bài toán 41: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I M điểm nằm đường tròn (I) không trùng với A, B, C Biết  11  H(1;4), K  ;  hình chiếu M lên đường thẳng AB, AC; 5  phương trình BC x + y - = khoảng cách từ M đến BC độ điểm A Hướng dẫn: Gọi P giao điểm HK BC Do điểm A, B, C, M thuộc đường tròn nên HAM  BCM Do điểm A, H, M, K thuộc đường tròn nên HAM  HKM Từ (1), (2) suy HKM  BCM suy điểm K, P, C, M thuộc tròn Do MKC  900  MPC  900  MP  BC Phương trình đường thẳng KH 3x  y   Tìm tọa (1) (2) đường 3x  y   x    P(0;1) x  y   y  Tọa độ P nghiệm hệ  Do MP vuông góc với BC nên phương trình đường thẳng MP x  y   Gọi M(a;a  1) , a > Theo đề ta có MP  2  a  2 2 a  2 2a Suy M(2; 3) Gọi A(x;y)   5 Ta có: AH  (1  x;4  y), AK    x;    11    y  , MH  ( 1;1), MK    ;     5    AH.MH  x  Mà:      A  0;3 y   AK.MK  Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 36 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Phần III Kết luận: Một số kinh nghiệm rút a Đối với giáo viên Từ kết hình học tổng hợp biết khai thác ,kết nối kiện , phân tích phụ thuộc yếu tố sáng tạo toán hay Điều có tác dụng lớn phát triển tư giáo viên tạo nhiều toán gây hứng thú cho học sinh, đặc biệt học sinh giỏi Kinh nghiệm cho thấy học sinh hứng thú tìm hiểu vấn đề đơn giản từ xây dựng lên mảng kiến thức lớn nhiều so với việc giải toán khó Vì trình giảng dạy giáo viên cần nâng cao tính tích cực, chủ động sáng tạo thân học sinh Cần hướng dẫn cho học sinh cách thức sáng tạo vấn đề từ vấn đề biết b Đối với học sinh Trong trình dạy học đổi phương pháp dạy học nội dung trọng tâm Đối với phương pháp dạy học đòi hỏi người học sinh phải nâng cao tinh thần rèn luyện phát huy tính sáng tạo trung tâm, tìm tòi khám phá chiếm lĩnh tri thức cho Vì học sinh cần phải tránh cách học thụ động, máy móc, thiếu tính sáng tạo Đứng trước toán việc tìm lời giải học sinh cần phải đặt mục tiêu khai thác , tìm tòi cội nguồn toán để từ nắm rỏ chất vấn đề đưa toán Những kết luận a Tính mẻ Đề tài có điểm mẻ sau: - Đưa “cách nhìn nhận” sâu sắc số kết hình học tổng hợp , nhận xét mối liên hệ chất yếu tố xuất toán từ kết hợp với sử dụng toạ độ điểm hay phương trình đường để tạo toán toạ độ phẳng - Đưa số toán minh họa tầm quan trọng việc sử dụng kết hình học tổng hợp để sáng tạo nhiều toán hay -Làm bật việc sáng tạo toán toạ độ phẳng bắt nguồn từ nhũng kết hình học tổng hợp , tạo phong phú toán lạ b Tính khoa học Nội dung đề tài trình bày khoa học, lập luận xác Hệ thống kiến thức đắn, có sức thuyết phục c Tính hiệu Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 37 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp Đề tài áp dụng trình dạy học giáo viên học sinh đặc biệt học sinh khá, giỏi Đề tài làm tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên Nó đáp ứng phần việc đổi phương pháp giảng dạy toán trường THPT Đặc biệt trọng tâm dạy học phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo người dạy, khơi nguồn cảm hứng sáng tạo cho giáo viên học sinh Những đề xuất Đề tài mở rộng theo hướng: “Từ kết hình học tổng hợp sáng tạo toán phương pháp toạ độ không gian” Vinh, ngày 25 tháng 03 năm 2014 Người viết: Đào Quốc Dũng Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 38 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng từ năm 2003 đến năm 2013 Sách giáo khoa hình học lớp 7, lớp 8, lớp Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 10 Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11 Các Tạp chí Toán học tuổi trẻ năm 2014 Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 39 Sáng tạo toán toạ độ phẳng từ kết hình học tổng hợp MỤC LỤC Trang I Lý chọn đề tài II Nội dung Khai thác số kết khoảng cách 2 Khai thác số kết tam giác tứ giác đặc biệt Khai thác số kết dây cung, cát tuyến tiếp tuyến 18 đường tròn Khai thác số kết đường tròn ngoại tiếp tam giác 26 III Kết luận 37 Một số kinh nghiệm rút 37 Những kết luận 37 Những đề xuất 38 Tài liệu tham khảo 39 Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 40 [...]... THPT Lê Viết Thuật trang 31 Sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học tổng hợp Vì vậy nếu toạ độ điểm G, biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác D, E, F thì ta xác đinh được toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ đó xác định được toạ độ trực tâm H của tam giác ABC Từ đó ta thiết lập được bài toán sau Bài toán 37: 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có... giác ABC thì 3HG  2 HK Kết hợp với KQ24 , khi biết toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đường kính BC , ràng buộc thêm điều kiện A thuộc đường thẳng đã biết phương trình thì ta tìm được toạ độ điểm A Từ đó ta có bài toán sau Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 25 Sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học tổng hợp Bài toán 32: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác nhọn... minh *) Nhận xét: Nếu biết toạ độ điểm A, tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì ta xác định được toạ độ các điểm B, C từ đó ta có bài toán sau Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 34 Sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học tổng hợp Bài toán 40: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC điểm... kẻ từ A , C và M là trung điểm của AC thì MA  MC  MH  MK *)Nhận xét: Nếu phương trình các đường thẳng HK, BC thì ta xác định được toạ độ điểm H Ràng buộc thêm điều kiện biết toạ độ điểm M thì ta xác định được toạ độ các đỉnh A, B, C Từ đó ta thiết lập được bài toán sau Bài toán 11: Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 11 Sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học. .. Trường THPT Lê Viết Thuật trang 24 Sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học tổng hợp Ta có : KB  MA, AI  MA  KB // AI KA  MB, BI  MB  KA // BI Suy ra AIBK là hình bình hành Từ đó suy ra đpcm *) Từ KQ này ta có bài toán sau Bài toán 31: Cho đường tròn (C): ( x  2)2  ( y  1)2  4 và điểm M(6; 5) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) Xác định toạ độ trực tâm K của tam giác ABC... ngoại tiếp tam giác ABC Từ đó ta thiết lập bài toán sau Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 27 Sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học tổng hợp Bài toán 34: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC BAC  90o , trực tâm H(2;1) và tâm đường tròn ngoại tiếp là I(1;0) Trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d : x  2 y  1  0 Tìm toạ độ các đỉnh B và C biết đường... và AM Xác định toạ độ điểm C, biết A có hoành độ âm Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 15 Sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học tổng hợp Hướng dẫn: Từ KQ15 ta có AM  BD tại H Ta có DH  12 AH AB 1 1 6 tan HDA     AH  HD  HD AD 2 2 5 5 9t  AM đi qua H và vuông góc với HD nên AM : x  2 y  9  0 Suy ra A  t ;  ( t  0 )  2  Kết hợp với AH  6... sao cho AMB có số đo lớn nhất Đáp số M(0;-2) Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 22 Sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học tổng hợp Bài toán 28: Cho đường tròn (C): x 2  y 2  2 x  4 y  1  0 có tâm I và đường thẳng  : x  2 y  2  0 Xác định toạ độ điểm M trên  mà qua M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) sao cho tứ giac IAMB có diện tích nhỏ nhất...   N K C E Ta có IM  3IG  M (0; 2) Từ KQ16 ta có AMN là tam giác vuông cân tại M Từ đó viết được đường thẳng AN Kết hợp với N có hoành độ âm và IN = IM suy ra N(-2; -2) suy ra A(4; 0) Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 16 Sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học tổng hợp Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AM và DC   MA MH 1   nên ME  3MA... nhật: Bài toán 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm là điểm I 1;2  , AB  6 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C và D, biết các điểm M  2;4  , N  2;0  lần lượt thuộc các đường thẳng AB, CD Hướng dẫn: A B P M I D N C Giáo viên: Đào Quốc Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật trang 12 Sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học tổng hợp Gọi P là điểm đối xứng của N qua I,