b/ Tính độ dài đoạn thẳng B’N, độ dài đoạn thẳng C’M.
3.4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Thông thường, để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’, ta sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và tính độ dài đoạn thẳng đó.
Phương pháp 2: Đưa về bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Trong hai phương pháp thường dùng trên, phương pháp 1 tương đối khó thực hiện do việc dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn thẳng đó về cơ bản là khó thực hiện. Nhiều bài toán đoạn vuông góc chung rất khó dựng hoặc nếu dựng được cũng rất khó tính toán. Do đó phương pháp 1 thường chỉ áp dụng với trường hợp hai đường thẳng vuông góc hoặc đã thấy rõ đoạn vuông góc chung. Tuy nhiên nếu đề bài đã cho đường vuông góc chung của hai đường thẳng để chứng minh hoặc chứng minh hai đường thẳng vuông góc thì phương pháp 1 tỏ rõ hiệu quả, ngắn gọn và trình bày đơn giản.
Phương pháp 2 là cách dễ thực hiện và có thể áp dụng cho tất cả các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Ngoài ra việc đưa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chính là một cách đơn giản hóa bài toán do để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta không nhất thiết dựng hình chiếu của điểm đó xuống mặt phẳng mà ta có thể dịch chuyển đến một điểm phù hợp hơn (như đã trình bày ở trên). Còn đoạn thẳng vuông góc chung luôn luôn là duy nhất nên làm bài toán khó khăn hơn nhiều.
Để giải bài toán tính khoảng các giữa hai đường thẳng chéo nhau theo phương pháp 1, ta áp dụng với trường hợp hai đường thẳng a, b vuông góc như sau:
Bước 1: Kiểm tra a ⊥ b. Cách đơn giản và dễ nhận biết nhất là sử dụng định lý ba đường vuông góc như sau:
α
b
a’
Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng b sao cho dễ dàng dựng hình chiếu a’ của đường thẳng a trên mặt phẳng (α). Khi đó a ⊥ b khi và chỉ khi a’ ⊥ b.
Bước 2: Xét mặt phẳng (β) là mặt phẳng chứa a và a’. Khi đó b ⊥ (β) tại điểm H (H là giao của b và a’).
Bước 3: Trong mặt phẳng (β), kẻ HK ⊥ a với K nằm trên đường thẳng a. Khi đó HK chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b hay khoảng cách giữa a và b là độ dài đoạn thẳng HK. Tính HK.
Để giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dựa vào khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng ta làm các bước như sau:
Bước 1: Gọi hai đường thẳng chéo nhau là d1 và d2. Dựng đường thẳng d1’ // d1 và d1’ cắt d2. Xác định mặt phẳng (α) chứa d1’ và d2.
Bước 2: Khi đó d d d( 1; 2) =d d( 2;( )α ) =d A( ;( )α ) với A là một điểm bất kỳ trên d2.
Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α) và kết luận.
Do đó, nếu hai đường thẳng chéo nhau là vuông góc với nhau, ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng dựa vào đường vuông góc chung; nếu hai đường thẳng chéo nhau không vuông góc với nhau, ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Để làm rõ hơn các phương pháp trên cũng như so sánh hai phương pháp trong từng trường hợp cụ thể, ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Giải:
Cách 1: Sử dụng đường vuông góc chung.
Gọi G là trọng tâm ∆BCD. Do tứ diện là đều nên AG ⊥ (BCD). Hình chiếu của AB xuống mặt phẳng (BCD) là BG mà BG ⊥ CD nên AB ⊥ CD. Gọi N là trung điểm của CD. Mặt phẳng (ABN) ⊥ CD và cắt CD tại N. Gọi M là hình
β H K a b a’
đường thẳng AB và CD. Do các tứ diện ABCD đều nên BN = AN. Do đó M là
trung điểm của AB. Ta có 3 2 2 2
2 2 a a AN = BN = ⇒MN = AN − AM = . Vậy ( ; ) 2 2 a d AB CD =MN = .
Cách 2: Đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Gọi E là điểm thỏa mãn BCDE là hình bình hành. Khi đó CD // BE. Khi đó
( ; ) ( ;( )) ( ;( ))
d AB CD =d CD ABE =d C ABE . Do CE = 3CG nên
( )
( ; ) 3 ( ;( ))2 2
d C ABE = d G ABE . Gọi P là hình chiếu của G xuống BE, gọi Q là hình chiếu của G xuống AP. Do đó Q là hình chiếu vuông góc của G xuống mặt phẳng (ABE). Do đó ( ; ) 2
3
d AB CD = GQ. Tính toán tương tự ta được kết quả trên.
Bình luận: Theo nhận xét ở trên, việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dựa vào khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng là tối ưu hơn ở trường hợp tổng quát. Tuy nhiên, khi hai đường thẳng vuông góc với nhau, việc dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đơn giản hơn nhiều so với việc đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng như ví dụ trên (ta phải dựng ra ngoài hình). Do đó, với hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta chọn cách thứ nhất là sử dụng đường vuông góc chung.
NM M G E D C B A Q P
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm cạnh AA’. Biết góc giữa hai mặt phẳng (BMC’) và (ABC) là 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC’.
Giải:
Kéo dài MC’ cắt AC tại E. Khi đó A là trung điểm của EC hay ∆BEC vuông tại B.
Xét góc giữa mặt phẳng (BEC’) (chính là mặt phẳng (BMC’)) và mặt phẳng (ABC). Giao tuyến hai mặt phẳng là đường thẳng BE, hình chiếu của C’ xuống mặt phẳng (ABC) là C mà CB ⊥ BE nên góc giữa (BEC’) và (ABC) là
0
' 60
C BC
∠ = . Do đó CC'=a 3.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC’, ta có hai cách vẽ song song.
Cách 1: Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BB’ tại trung điểm N
của BB’. Khi đó
( ) ( ( )) ( ( )) 1 ( ( ))
; ' ; ' ; ' ; '
2
d AB MC =d AB C MN =d B C MN = d C C MN . Tuy nhiên với cách này mặt phẳng (C’MN) nằm cắt giữa lăng trụ nên để tính khoảng cách từ C đến (C’MN) ta lại kéo dài CN cắt đường thẳng BC tại F sao cho B là trung điểm của CF. Khi đó hình vẽ tương đối khó nhìn. Bạn đọc có thể giải tiếp bài toán theo định hướng trên.
CD D A B B’ A’ C C’ H N E M
Cách 2: Từ A kẻ đường thẳng song song với C’M cắt CC’ tại trung điểm D của C’. Khi đó d AB MC( ; ') =d C M ABD( ' ;( )) =d C ABD( ';( )). Rõ ràng với mặt phẳng (ABD) thì việc chọn điểm thích hợp là dễ dàng và việc dựng hình chiếu cũng đơn giản hơn do có AB nằm trên mặt phẳng đáy.
Khi đó, với mặt phẳng (ABD) thì điểm thuận lợi ở đây là C do CD ⊥ (ABC). Gọi N là trung điểm AB, H là hình chiếu vuông góc của C xuống DN. Khi đó CN ⊥ AB mà CD ⊥ (ABC) nên H là hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD). Mà CC’ cắt (ABD) tại trung điểm D của CC’ nên
( )( '; ) ( ;( )) ( '; ) ( ;( )) d C ABD =d C ABD =CH . Mà ' 3 3 6 ; 2 2 2 4 CC a a a CD= = CN = ⇒CH = . Vậy ( ; ') 6 4 a d AB MC = .
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giải:
Rõ ràng với hai đường thẳng SA và BC, để dựng đường thẳng song song ta phải vẽ phía ngoài hình ban đầu. Với cách dựng như vậy, học sinh sẽ khó nhìn hình, dẫn đến ngộ nhận một số tính chất làm cho việc giải sai bài toán. Đặc biệt học sinh khó hình dung đường thẳng vẽ ngoài thuộc những mặt phẳng nào. Để khắc phục khó khăn trên, ta sẽ vẽ lại hình và mở rộng hình ban đầu để đường thẳng song song vẽ thêm sẽ nằm trong hình ban đầu, khi đó học sinh nhìn hình sẽ đơn giản và chính xác hơn. Cụ thể, ta đựng hình như sau:
Gọi D là điểm trên mặt phẳng (ABC) sao cho ABCD là hình thoi (do ∆ABC
đều). Do đó AD // BC nên
( ; ) ( ;( )) ( ;( )) 3 ( ;( ))2 2
d SA BC =d BC SAD =d B SAD = d H SAD (do với mặt phẳng (SAD) thì điểm H là điểm thuận lợi nhất vì H là hình chiếu của S xuống (ABCD) chứa đường AD của mặt phẳng (SAD)).
Gọi I là hình chiếu của H xuống đường thẳng AD (chú ý rằng I là điểm nằm ngoài cạnh AD về phía A do ∠HAD tù, vì vậy học sinh rất dễ vẽ sai hình ở bài này do không đúng vị trí tương đối giữa các điểm). Gọi K là hình chiếu vuông góc của H xuống đường thẳng SI. Do SH ⊥ (ABCD) chứa đường AD, HI ⊥ AD mà HK ⊥ SI nên K là hình chiếu vuông góc của điểm H xuống mặt phẳng (SAD).
Ta có: 2 2 7 2 . .cos
3
a
CH = BC +BH − BC BH CBH = , do SH ⊥ (ABCD)
nên góc giữa SC và mặt phẳng đáy là 0 0 21
60 .tan 60 3 a SCH SH CH ∠ = ⇒ = = . Do 2 .sin 600 3 2. 2 42 3 3 12 a a SH HI a AH HI AH HK SH HI = ⇒ = = ⇒ = = + . Vậy ( ; ) 3 42 2 8 a d SA BC = HK = .
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
0
60
ABC
∠ = , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60 . Điểm M là trung điểm cạnh CD, điểm N thuộc cạnh SD 0
sao cho SD = 4ND. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC theo a.
Giải: S H A B C D I K
Do ∆ABC đều cạnh a nên AM ⊥ CD và 3 2 a AM = . Do SA ⊥ (ABCD) nên góc giữa (SCD) và (ABCD) là 0 0 3 60 .tan 60 2 a SMA SA AM ∠ = ⇒ = = .
Tương tụ như ví dụ 1, để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta cũng có hai cách để vẽ các đường thẳng song song: trong mặt phẳng (ABCD) từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại trung điểm K của AD, trong mặt phẳng (SCD) từ điểm C kẻ đường thẳng song song với MN cắt SC tại trung điểm I của SC.
Để minh họa cho phương pháp, ở đây tôi trình bày theo cách dựng thứ nhất. Cách dựng thứ hai các bạn có thể dựng hình và giải bài toán.
Gọi K là trung điểm của cạnh AD, do đó MK // AC. Khi đó: ( ; ) ( ;( )) ( ;( ))
d AC MN =d AC MNK =d A MNK . Rõ ràng mặt phẳng (MNK) có vị trí ở giữa hình chóp, do đó điểm thuận lợi ở bài toán là chưa rõ ràng. Và tương tự như ví dụ 5 mục 3.3. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng, ta dựng hình chiếu H của điểm N xuống mặt phẳng (ABCD) với H nằm trên đường thẳng AD. Do đó NH // SA hay H là trung điểm của KD. Khi đó, H là điểm thuận lợi của mặt phẳng (MNK). Do AH cắt mặt phẳng (MNK) tại K và AK = 2KH nên d A MNK( ;( )) =2d H MNK( ;( )). S N M C B D A H O K E F
Gọi E là hình chiếu của H trên MK, F là hình chiếu của H trên NE. Do MH ⊥ (ABCD) chứa MK nên F là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (MNK).
Ta có 3 ; 3 2. 2 3 4 8 4 8 16 SA a OD a HN HE a NH HE HF HN HE = = = = ⇒ = = + . Vậy ( ; ) 3 8 a d AC MN = . Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 0
30
ACB
∠ = , góc giữa mặt phẳng (ABC) và (AB’C) là 450. Biết rằng AA’ = a. a/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và AC’, với M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b/ Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a= 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên là các hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, A’C’, B’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và A’F theo a.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SB vuông góc với đáy, BC = a, SB = 2a. Gọi M và N là trung điểm của AB, SC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A,
0
120
BAC
góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a và tạo với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC.
Bài 8: Cho hình S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, AB = 3a, CD = a, AD = 2a, ∆SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy là 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Phần III.