b/ Tính độ dài đoạn thẳng B’N, độ dài đoạn thẳng C’M.
3.2.Khoảng cách giữa điểm và đường thẳng.
Cho điểm A và đường thẳng d không qua A. Để tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d, nguyên tắc cơ bản là tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống đường thẳng d. Khi đó d A d( ; ) = AH . Đó là cách tính trực tiếp nếu việc dựng điểm H là dễ dàng và độ dài đoạn thẳng AH là tính được.
Tuy nhiên với vị trí bất kỳ của A và d thì hai yếu tố trên không phải lúc nào cũng thực hiện đơn giản. Do đó với một số trường hợp, ta có thể áp dụng cách tính gián tiếp đơn giản sau:
Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa d sao cho có thể dễ dàng tìm H là hình chiếu vuông góc của A trên (α).
Bước 2: Trong mặt phẳng (α), dựng I là hình chiếu vuông góc của H trên d.
Bước 3: Khoảng cách cần tìm là: AI = AH2 +HI2 .
Ngoài ra, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song cũng được tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Cụ thể, nếu a // b thì khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ trên a đến đường thẳng b, ký hiệu là d a b( ); =d A b( ; ).
Để làm rõ hơn phương pháp, ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau tại S biết SA a SB a= ; = 2;SC a= 3.
a/ Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AC. b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
Giải: S H C B I
a/ Do S và AC cùng nằm trên mặt phẳng (SAC) nên ta dựng H là hình chiếu của S xuống đường thẳng AC. Khi đó ( ; ) 2. 2 3
2 SA SC a d S AC SH SA SC = = = + .
b/ Mặc dù A và BC cùng nằm trong mặt phẳng (ABC), tuy nhiên ∆ABC không có dạng đặc biệt. Do đó việc tính khoảng cách từ A đến BC dựa vào ∆ABC là phức tạp. Do đó, ta có thể chọn mặt phẳng (SBC) chứa đường thẳng BC và hình chiếu của A xuống mặt phẳng (SBC) là S. Từ S kẻ SI ⊥ BC. Dễ dàng chứng minh được AI ⊥ BC. Do đó ( ) 2 2 55
;
5
a d A BC = AI = SA +SI =
Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. a/ Tính khoảng cách từ trung điểm M của BC đến đường thẳng A’B’.
b/ Gọi N là điểm trên cạnh BB’ sao cho B’N = 2NB. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng C’N.
Giải:
a/ Do tất cả các mặt bên của lăng trụ là hình vuông cạnh a nên lăng trụ ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều với đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên là a.
Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng A’B’, ta có thể tính trực tiếp được do các cạnh của ∆A’B’M hoàn toàn có thể tính được. Tuy nhiên dạng của ∆A’B’M có thể không đặc biệt nên việc tính khoảng cách từ M đến đường thẳng A’B’ phụ thuộc việc tính diện tích ∆A’B’M theo công thức Hêrông. Để đơn giản hơn bài toán, ta dựng hình chiếu của điểm M xuống mặt phẳng chứa A’B’, và đó là mặt phẳng (A’B’C’).
Gọi M’ là trung điểm của đoạn thẳng B’C’. Khi đó MM’ // BB’ hay M’ là hình chiếu của M xuống mặt phẳng (A’B’C’). Gọi I là hình chiếu của M’ trên
MB’ B’ C’ A’ C B A M’ H N I
đường thẳng A’B’. Khi đó dễ thấy MI ⊥ A’B’ hay khoảng cách từ M đến đường thẳng A’B’ là MI.
Do ∆ABC đều nên ' ' ' ' 3, '
4 4 4 A B a a B I = = ⇒M I = MM =a. Do đó 2 2 19 ' ' 4 a MI = MM +M I = . Vậy ( ; ' ') 19 4 a d M A B = .
b/ Tương tự như trên, việc tính trực tiếp khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng C’N phụ thuộc vào dạng của ∆AC’N và tính diện tích ∆AC’N. Do đó để đơn giản cách tính, ta đựng hình chiếu của của điểm A xuống mặt phẳng (BCC’B’) chứa đường thẳng C’N.
Do AM ⊥ BC (do ∆ABC đều) nên AM ⊥ (BCC’B’) hay M là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCC’B’). Gọi H là hình chiếu của M xuống đường thẳng C’N. Khi đó AH ⊥ C’N hay khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng C’N là AH.
Ta có 3
2
a
AM = , giả sử C’N cắt đường thẳng BC tại P, gọi Q là hình chiếu
của C xuống C’N. Khi đó
2 2 3 . ' 3 3 2 2 ' 13 2 2 13 a a CP CC a CQ a BP CP CQ MH CP CC = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = = + . Do đó 2 2 2 3 13 a AH = AM +MH = . Vậy ( ; ' ) 2 3 13 a d A C N = . Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC với đáy là tam giác vuông tại B có 2
ACB BAC
∠ = ∠ và các đường trung tuyến BB’, phân giác trong CC’. Các mặt phẳng (SBB’), (SCC’) cùng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng (SB’C’) và mặt đáy là 600 và B’C’ = a. Tính khoảng cách từ trọng tâm của ∆SBC đến đường thẳng B’C’ theo a.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AC = 2a, ∆SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là 600.
a/ Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng SA, khoảng cách từ D đến đường thẳng BM với M là điểm trên cạnh SA sao cho SM = 2MA.
b/ Gọi N là trung điểm cạnh SC, tính khoảng cách từ N đến đường thẳng BD. c/ Gọi G là trọng tâm ∆ABC, P là điểm trên cạnh AD sao cho AP = 2PD. Tính khoảng cách từ điểm G đến đường thẳng CP.
Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, điểm A’ cách các điểm A, B, C, D một khoảng bằng a.
a/ Tính khoảng cách từ A’ đến đường thẳng CD, khoảng cách từ C’ đến đường thẳng AD.
b/ Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tính khoảng cách từ B’ đến đường thẳng AM.
c/ Gọi P là điểm trên cạnh B’C’ sao cho B’P = 2PC’. Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng D’P.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC a= 3. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, M là trung điểm cạnh AB. Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM.
Bài 5: Cho ∆ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, AC = 8cm. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm O sao cho OA = 4cm. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng BC.
3.3.Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng.
Cho điểm A và mặt phẳng (α) bất kỳ. Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α), nguyên tắc cơ bản là tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α). Khi đó d A( ;( )α =) AH . Đó là cách tính trực tiếp nếu việc dựng điểm H là dễ dàng và độ dài đoạn thẳng AH là tính được.
Tuy nhiên, với trường hợp điểm A và mặt phẳng (α) bất kỳ thì hai yếu tố trên không phải lúc nào cũng thực hiện đơn giản. Do đó, để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α), ta có thể tính gián tiếp thông qua khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (α). Cách làm trên được gọi là “phép dịch chuyển điểm” trong bài toán khoảng cách. Có hai cách dịch chuyển sau:
Cách 1: Dịch chuyển song song: Nếu đường thẳng AB // (α) thì ( )
( ; ) ( ;( ))
d A α =d B α .
Cách 2: Dịch chuyển tỷ lệ: Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng (α) tại điểm I thì ( ( )) ( ) ( ;; ) d A IA d B IB α α = .
Thông qua phép dịch chuyển điểm trên, rõ ràng việc tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α) không phụ thuộc hoàn toàn vào việc tìm hình chiếu vuông góc của điểm A xuống mặt phẳng (α). Ta có thể chọn một điểm B nào đó phù hợp để dựng hình chiếu và tính khoảng cách từ B xuống mặt phẳng (α). Từ đó ta tìm mối liên hệ giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (α), qua đó tìm mối liên hệ về khoảng cách từ điểm A và B đến mặt phẳng (α). Nói cách khác, việc tính
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thì mặt phẳng là yếu tố cố định, điểm là yếu tố di động có thể dịch chuyển đến điểm tùy ý phù hợp với mặt phẳng.
Và phép dịch chuyển trên cũng giúp giáo viên có thể tự xây dựng các bài toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng nếu biết khoảng cách từ một điểm nào đó đến mặt phẳng. Phải chú ý rằng điểm ban đầu đề bài cho không quan trọng mà cần quan tâm đến điểm “thuận lợi” nhất có thể dựng hình chiếu và tính khoảng cách đến mặt phẳng đã cho. Qua đó, ta cũng có thể giải quyết bài toán về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cũng ứng dụng để tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Cụ thể, cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α), khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ điểm A bất kỳ trên đường thẳng a đến mặt phẳng (α), ký hiệu d a( ;( )α ) =d A( ;( )α ) . Cho hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau, khoảng cách giữa hai mặt phẳng là khoảng cách từ điểm A bất kỳ trên mặt phẳng (α) đến mặt phẳng (β), ký hiệu
(( );( )) ( ;( ))
d α β =d A β .
Để làm rõ hơn phương pháp, ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ∠ABC =300, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a V khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến (SAB).
Giải:
Gọi H là trung điểm của BC. Do đó SH ⊥ BC mà (SBC) vuông góc với đáy nên SH ⊥ (ABCD) hay H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD).
Với mặt phẳng (SAB), việc dựng hình chiếu của điểm C xuống mặt phẳng (SAB) là khó khăn do ∆SBC đều nhưng ∆SAB không có dạng đặc biệt. Do đó, ta chọn điểm thuận lợi hơn so với mặt phẳng (SAB) là điểm H do ta đã có SH ⊥ AB.
Do CH cắt (SAB) tại B và BC = 2 BH nên d(C;(SAB)) = 2d(H;(SAB). Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB. Khi đó HM // AC nên HM ⊥ AB. Gọi I là hình chiếu của H trên SM. Dễ thấy I là hình chiếu vuông góc của H trên (SAB) hay d(H;(SAB)) = HI.
Do BC = a nên 2 4 a a