Nâng cao năng lực giải một số dạng bài toán hình học không gian bằng ba phương pháp khác nhau ở trường trung học phổ thông

Nâng cao năng lực giải một số dạng bài toán hình học không gian bằng ba phương pháp khác nhau ở trường

SỞ GD & ĐT THANH HOÁTRƯỜNG THPT LAM KINH

***

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG BA PHƯƠNG PHÁP

KHÁC NHAU Ở TRƯỜNG THPT LAM KINH.

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tình Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc môn: TOÁN

THANH HOÁ,NĂM 2013

MỤC LỤC

Trang

I Lý do chọn đề tài ……… 1

II Mục đích nghiên cứu……… 2

III Giả thuyết khoa học……… 2

IV Nhiệm vụ nghiên cứu……… 2

V Phương pháp nghiên cứu……… 2

5.1 Nghiên cứu lý luận 2

5.2 Điều tra tìm hiểu 2

5.3 Thực nghiệm sư phạm 2

NỘI DUNG 3 I Những căn cứ……… 3

1.1 Căn cứ lý luận ……… 3

1.1.1 Vài nét về sự hình thành vec tơ và toạ độ……… 3

1 1.2 Căn cứ vào bản chất của kiến thức hình học……… 3

1.2 Căn cứ thực tiễn……… 4

II Thực hành giải một số dạng bài toán hình học không gian thông qua khai thác ba phương pháp khác nhau 5 2.1 Các bài toán về tính thẳng hàng 5

2.2. Các bài toán về quan hệ song song……… 8

2.3 Các bài toán về quan hệ vuông góc……… 11

2.4 Các bài toán về tính khoảng cách……… 15

2.5 Các bài toán về tính góc……… 17

III Thực nghiệm sư phạm 19 KẾT LUẬN 20 Tài liệu tham khảo………

MỞ ĐẦU

I – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Mạch logic của sách giáo khoa hình học trung học phổ thông là sự kết hợp các phương pháp: tổng hợp,vec tơ và toạ độ

Từ hệ thống kiến thức hình học trình bày bằng con đường tổng hợp theo tinh thần của phương pháp tiên đề,sách giáo khoa đã đưa ra các kiến thức về vec tơ và phép biến hình,sau đó mới dựa vào véc tơ để trình bày tiếp các kiến thức về toạ độ.Việc tổ

chức dạy học các kiến thức hình học bằng các phương pháp khác nhau trên cơ sở sửdụng các loại ngôn ngữ khác nhau: tổng hợp,vec tơ và toạ độ không những giúp chohọc sinh hình thành kỹ năng diễn đạt một tri thức toán học dưới các hình thức khácnhau mà còn giúp cho các em khai thác được tiềm năng phong phú của mỗi phươngpháp toán học ở mỗi loại ngôn ngữ đó.

Nhờ việc chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác mà các em đựoc phát triểnnăng lực sử dụng chính xác ngôn ngữ,ký hiệu toán học để mô tả,nhận thức sự kiện

Thực trạng hiện nay,tại trường THPT Lam Kinh và trên quy mô rộng hơn,việc họchình học với một bộ phận học sinh là điều miễn cưỡng,môn hình chỉ đưa lại say mêvới số ít học sinh khá và giỏi thì việc tạo ra cho các em hứng thú trong học hìnhbằng các cách tiếp cận đối với một bài toán bằng các phương pháp khác nhau làmột việc nên làm.Điều đó sẽ góp phần làm cho các em nắm vững kiến thức hìnhhọc,hiểu được bản chất các đối tượng hình học trong chương trình phỏ thông

Hình học không gian chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình toán cấpTHPT,do vậy việc tìm kiếm các con đường tổ chức dạy học cho phần hình họckhông gian luôn được nhiều người quan tâm.Đặc biệt,hiện nay với những tiện ích doviệc sử dụng phương tiện dạy học hiện đại đưa lại,giáo viên có thể trình chiếu vànhanh chóng phân tích,so sánh những phương pháp giải khác nhau cho một bài toán

cụ thể trong một đơn vị thời gian nhất định,cách làm này đã tạo được ấn tượng rấttốt và thực sự có hiệu quả đối với học sinh

Trong năm học 2007 – 2008,với bản SKKN của mình,chúng tôi đã đề cập đến nộidung này,nhưng khi đó mới chỉ tìm tòi mối liên hệ giữa hai phương pháp là vec tơ

và toạ độ,vì thế trong năm học này chúng tôi đưa thêm vào phương pháp tổng hợp

và mạnh dạn phát triển đề tài của mình là:

Nâng cao năng lực giải một số dạng bài toán hình học không gian bằng ba phương pháp khác nhau ở trường THPT Lam Kinh.

II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình họckhông gian giải bằng các phương pháp khác nhau

III- GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu thường xuyên quan tâm đúng mức việc rèn luyện năng lực chuyển đổi ngônngữ trên cơ sở xây dựng và sử dụng quy trình giải các bài toán hình học không gian

bằng các phương pháp khác nhau sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học hình học

ở trường THPT

IV – NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Xây dựng cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực chuyển đổi của ba phươngpháp

Xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình học không gian giải bằng các phươngpháp khác nhau

Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá mục đích,giả thuyết khoa học của đề tài

V – PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp giảng dạy toán,sách giáo khoa,sách giáoviên về chương trình hình học ở cấp THPT

5.2 Điều tra tìm hiểu

Tìm hiểu về việc dạy và học hình học ở trường THPT Lam Kinh theo các chủđề:hình học tổng hợp,vec tơ và toạ độ

5.3 Thực nghiệm sư phạm.

NỘI DUNG

I – NHỮNG CĂN CỨ

1.1 CĂN CỨ LÝ LUẬN

1.1.2 Vài nét về sự hình thành kiến thức vec tơ và toạ độ.

Phương pháp toạ độ đã có nguồn gốc trong lịch sử cổ đại.Các nhà thiên văn học Hy

lạp(Hippocrates thế kỷ II-TCN,Ptolemaeus thế kỷ II )đã dùng các toạ độ cầu (vĩ độ

và kinh độ)để xác định các điểm khác nhau trên trái đất,tuy nhiên sự phát triển của

phương pháp toán học này đã bị kìm hãm do chưa có ký hiệu bằng chữ và quanniệm tổng quát về số.

Việc không có những phương pháp toán học tổng quát để giải các bài toán vàchứng minh một số định lý hình học là một hạn chế rất lớn của hình học sơcấp.Trong vật lý,cơ học,kỹ thuật người ta thấy hạn chế này một cách sâu sắc khigặp những đường,những mặt phức tạp như đường Parabol,đường hypecbol,đườngelip ,mặt Paraboloit,mặt Hypecboloit, Cho đến thế kỷ XVII,nhà toán họcĐêcac(R.Descartes)(1596-1650) đã sáng lập ra môn hình học giải tích một cách độclập với Phecma(P.Fermat)(1601-1665).Hai ông đã cống hiến cho khoa học mộtphương pháp mới – phương pháp toạ độ làm cơ sở cho hình học giải tích ,môn học

đã dùng hệ toạ độ để chuyển những hình ảnh của hình học về ngôn ngữ của đại số

Có thể nói,sự ra đời của khái niệm toạ độ và sau đó là khái niệm vec tơ đã gópphần thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết toán học và sự ứng dụng của toán học vàothực tế đời sống

1.1.2 Căn cứ vào bản chất toán học của kiến thức hình học.

Một nội dung,một khái niệm toán học có thể diễn đạt theo ngôn ngữ,ký hiệu khácnhau.Chẳng hạn:

+ Khái niệm: “M là trung điểm của đoạn thẳng AB”

A B M

x x x

y y y

(theo ngôn ngữ toạ độ)

+ Khái niệm: “đường thẳng AB”

 M /AM t AB,tR. ( theo ngôn ngữ vec tơ)

A A

B

A

y y

y y x x

x x y x

M( ; ) / (theo ngôn ngữ toạ độ)

Như vậy,một khái niệm toán học có thể có những vỏ ngôn ngữ khác nhau và ta cóthể dựa vào mỗi cách diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau ấy mà định hướng đểtìm ra các phương pháp khác nhau để giải quyết bài toán hình học.Chẳng hạn,dựa

vào cách diễn đạt khái niệm:”Hai mặt phẳng vuông góc với nhau trong không gian”

ta sẽ định hướng cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

1/ Theo ngôn ngữ tổng hợp: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta

chứng minh góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 900

2/ Theo ngôn ngữ vec tơ: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta chứng minh tích vô hướng (qua phép biến đổi) của hai vec tơ pháp tuyến của hai

mặt phẳng bằng 0

3/ Theo ngôn ngữ toạ độ:Để chứng minh hai mặt phẳng A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0

và A 2 x + B 2 y + C+C 2 z + D 2 = 0 vuông góc với nhau,ta chứng minh biểu thức toạ độ

của tích vô hướng hai vec tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng 0

để khảo sát các hệ thức trong tam giác,đường tròn và ứng dụng một phần để nghiêncứu phép biến hình.Ơ lớp 11,học sinh học hình học không gian bằng phương pháptổng hợp.Sang lớp 12,các em dùng vec tơ để xây dựng hệ toạ độ trong mặt phẳng vàtrong không gian

Quy trình giải các bài toán hình học bằng phương pháp vec tơ tiến hành theo cácbước sau:

Bước 1: + Lựa chọn hệ vec tơ mà ta gọi là:” Hệ vec tơ gốc”

+ Chuyển các giả thiết và kết luận của bài toán từ ngôn ngữ hình họctổng hợp sang ngôn ngữ vec tơ

 Bước 2: Thực hiện các phép biến đổi các hệ thức vec tơ theo yêu cầu bài toán.

 Bước 3: Chuyển kết luận từ ngôn ngữ vec tơ sang ngôn ngữ hình học.

Quy trình giải các bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ tiến hành theo cácbước sau:

 Bước 1: + Lựa chọn hệ trục toạ độ thích hợp

+ Chuyển các giả thiết và kết luận của bài toán từ ngôn ngữ hìnhhọc tổng hợp sang ngôn ngữ toạ độ

 Bước 2: Thực hiện các phép biến đổi toạ độ theo yêu cầu bài toán.

 Bước 3: Chuyển kết luận từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học.

Như vậy,nội dung hình học trình bày ở sách giáo khoa cấp phổ thông đã tạonhững mạch gắn kết giữa nội dung và hình thức: hình học tổng hợp là cơ sở nộidung,cơ sở trực quan để trình bày phương pháp vec tơ,đến lượt mình,vec tơ lại là cơ

sở của trực quan của phương pháp toạ độ

II – THỰC HÀNH GIẢI MỘT SỐ BÀI DẠNG BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU.

2.1 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH THẲNG HÀNG

Dạng toán 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

* Phương pháp tổng hợp: Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta có thể sử

dụng một trong các hướng sau:

+ Chứng minh A,B,C cùng thuộc hai mặt phẳng khác nhau nào đó

+ Chứng minh AB và AC cùng song song với một đường thẳng nào đó

* Phương pháp vec tơ

+ Chứng minh ACt.AB (tR)

+ Chứng minh với điểm O tuỳ ý có: OCt.OB ( 1  t).OA (t 1 )

+ Chứng minh với điểm O tuỳ ý có: OCt.OBl.OA (tl 1 )

* Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz

+ Biểu thị toạ độ A,B,C theo hệ toạ độ đã chọn: A(x A ;y A ;z A ), B(x B ;y B ;z B ) ,C(x C ;y C ;z C )

) (

.(

A B

A C

A B

A C

A B

A C

z z

t z

z

y y

t y

y

x x

t x

x

Hoặc thay toạ độ cuả điểm C vào phương trình đường thẳng AB thấy thoả mãn

Ví dụ 1:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 Gọi G là trọng tâm tam giác

A 1 BD.Chứng minh rằng A,G,C 1 thẳng hàng

Lời giải

* Phương pháp tổng hợp: Chứng minh A,G,C 1 cùng thuộc hai mặt phẳng khác nhau.

Ta có: GA1O (ACC1A1)nên G (ACC1A1).

Vậy A,G,C1 (ACC1A1)

Mặt khác GDI  (ADC1B1)nênG (ADC1B1)

Vậy A,G,C1 (ADC1B1)

Từ trên suy ra ba điểm A,G,C 1 thẳng hàng

Phương pháp vec tơ Quy trình giải bài toán gồm:

+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:

- Chọn hệ vec tơ gốc AA1 ,A1B1 ,A1D1 .Theo bài ra,G là trọng tâm tam giác A 1 BD

nên A1G .A1O

3

2

- Để chứng minh rằng A,G,C 1 thẳng hàng,ta chứng minh A1G t AC1

+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.

3

1

1 1 1 1

* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:

+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyễn các dữ

kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: OA1,

Oz A Oy B

; 3

c b a

;

; ( 3

1 ) 3

; 3

; 3 (a b c a b c AC

Dạng toán 2:Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng,từ đó suy ra các tính chất khác.

Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 P là điểm trên đường thẳng

* Phương pháp tổng hợp: Ta có:ADD1A1  MP;BD1MD1

BCC1B1  MP;BD1BP.Vì ADD1A1 // BCC1B1 nên MD 1 // BP,do đó

MD1D= suy ra MD1D BPC,vậy nên

3

2 1





CP

DD DC

* Phương pháp vec tơ Quy trình giải bài toán gồm:

+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:Chọn hệ vec tơ gốc : CB  a,CC 1 b,

CN   ( 1   ).

Vì B,N,D 1 thẳng hàng nên:

CB CD

1 ( )

c b a

x .

2

3 ).

1 ( )

.(

2 3

DM

 Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:

+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyễn các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: CO, BOx,DOy,C1Oz.Khi đó:

Mặt phẳng (BD 1 P) (chứa N) đi qua B(a;0;0) có

vec tơ chỉ phương là

) 2

z

b y

t a x

a

MA  DM 2MA

+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp DM  2MA  2

MA MD

2.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG.

Dạng toán 1: Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng,đường thẳng

song song với mặt phẳng,hai mặt phẳng song song.

 Phương pháp tổng hợp:

+ Để chứng minh hai đường thẳng a và b song song với nhau,ta chứng minh chúng

đồng phẳng rồi áp dụng các cách chứng minh trong hình học phẳng như: tính chấtđường trung bình,định lý Talet đảo hoặc chứng minh hai đường thẳng đó cùngsong song với một đường thẳng thứ ba,

+ Để chứng minh a//(P) ta chứng minh a//b với b(P)

+ Để chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau,ta chứng minh mặt phẳng nàychứa hai đường thẳg cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia,

 Phương pháp vec tơ,phương pháp toạ độ

Khi giải bài toán dạng này,ta có thể tiến hành:Chuyển các dữ kiện của bài toán ra

ngôn ngữ vec tơ hoặc toạ độ,sau đó biến đổi các đẳng thức vec tơ (hoặc toạ độ) thu được về dạng các đẳng thức vec tơ (hoặc toạ độ) tương đương với các điều kiện

song song

Ví dụ3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số

4

1

 ,N là điểm chia đoạn A 1 C theo tỉ số  32 .Chứng minh: MN//(BC 1 D).

Lời giải * Phương pháp tổng hợp:

A

D

C 1

C B



C A

OC JA

JC

suy ra

CN CA

CJ .

3

5 3

1

CB IM

.Từ (1) và (2) có: CN CJ CM CI hay MN//IJ (BC1D),do đó MN//(BC 1 D).

* Phương pháp vec tơ Quy trình giải bài toán gồm:

+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:

Chọn hệ vec tơ gốc : BA  a,BB 1 b,BC  c M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số  41

b

a

5

1 )

3 5

2

c b c

* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:

+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện

bài toán sang ngôn ngữ toạ độ.

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: CO,

Oz C Oy

5

3 , 5

3 , 5

y a

Đường thẳng MN có vec tơ chi phương )

5

3 , 5

2 , 5 ( a b c

MN   

+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp

Vì n.MN  0nên n  MN hay MN//(BC 1 D)

Dạng toán 2:Cho biết các quan hệ song song,từ đó suy ra các tính chất hình học khác.

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 M là điểm trên đường chéo AC của

mặt phẳng (ABCD),N là điểm trên đường chéo thẳng C 1 D của mặt phẳng (CDD 1 C 1 )

//C D CD do D C

DI NC

DN ND

1

BD

MN IB

IM



* Phương pháp vec tơ Quy trình giải bài toán gồm:

+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:

Chọn hệ vec tơ gốc : BA  a,BB 1 b,BC  c Theobài ra,A,M,C thẳng hàng nên

k y

k x

 Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:

+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyễn các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: AO, BOx,DOy,A1Oz.Giả sử ba kích

thước của hình hộp là a,b,c,khiđó:

A(0;0;0),B(a;0;0),D 1 (0;b;c),C 1 (0;0;c),C(a;b;0),C 1 = a;b;c.

A

D C

Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.

,,,,,.Từ giả thiết suy ra: MN//BD 1 suy ra

kb y

b

N

M M

b

xa x

a AC x MC

AC

M M

z

ya a

x D C y N C D C N

N N

1 1

k y

k x

k y x

+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp

2.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Dạng toán 1: Chứng minh tính vuông góc của các đường thẳng và mặt phẳng.

 Phương pháp tổng hợp:

* Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P),ta có thể chứng minh: + a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).

+ a song song với dường thẳng b mà b (P)

+ Sử dụng định lý:” Nếu a thuộc mặt phẳng (P) mà (P) vuông góc với (Q) và a vuuong góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a (P)”

+ Sử dụng định lý:” Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì a vuông góc với mặt phẳng (R)”

* Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta có thể chứng minh :

+ Mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

+ Góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 900

 Phương pháp vec tơ:

Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta quy về chứng minh đườngthẳng vuông góc với mặt phẳng, để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặtphẳng,ta quy về chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng.Như vậy đối

với phương pháp vec tơ ta chỉ cần chú ý: ABCD AB.CD 0