Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải một số dạng bài tập hình học không gian lớp 11

Qua thực tiễn giảng dạy, tôi xin đề xuất một kinh nghiệm nhỏ khắc phục tồn tại đã nêu, từ đó góp phần đáp ứng yêu cầu nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán ở trường THPT: “Kinh nghiệm hướ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÂY DỰNG QUY TRÌNH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11.

Người thực hiện: Tống Văn Anh

Chức vụ: Giáo viên SKKN môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2016

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Trong thời đại toàn cầu hóa, công nghệ thông tin phát triển bùng nổ, đứng trước yêu cầu về một nguồn nhân lực năng động, sáng tạo, có kiến thức và kỹ năng chuyên nghiệp nền giáo dục nước ta đã chú trọng: đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ

sở để người học tự cập nhật tri thức, hình thành kỹ năng, phát triển năng lực Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học

Có thể nói đổi mới phương pháp dạy học là yêu cầu cấp thiết, trong đó đổi mới phương pháp dạy, học Toán nhận được nhiều sự quan tâm Tuy nhiên có một thực trạng đang tồn tại hiện nay là: với môn khoa học đòi hỏi ở học sinh khả năng tư duy logic cao như Toán học mà nhiều em vẫn giữ thói quen suy nghĩ rập khuôn, áp dụng máy móc kiến thức nên đã gặp không ít khó khăn trong quá trình học tập, dẫn đến tâm lí nặng nề khi bước vào tiết học; Về phía giáo viên, trong quá trình giảng dạy thường chú ý cung cấp quy trình giải bài tập để các em vận dụng dẫn đến không phát huy được khả năng tư duy, vai trò tích cực, chủ động của học sinh Đặc biệt ở nội dung hình học không gian tổng hợp, đa số học sinh không nắm vững cách giải một số dạng bài tập, không giải quyết được bài tập cơ bản, không có hứng thú học tập.Trong khi đây là phần kiến thức quan trọng ở cấp THPT: là nội dung cơ bản của chương trình, chiếm một thời lượng đáng kể ở cấp học và trong các kỳ thi thì câu hỏi về hình học không gian tổng hợp là không thể thiếu

Xuất phát từ những lí do trên, tôi nhận thấy việc giáo viên trong định hướng cho học sinh xây dựng quy trình giải các dạng bài tập hình học không gian là cần thiết Qua thực tiễn giảng dạy, tôi xin đề xuất một kinh nghiệm nhỏ khắc phục tồn tại

đã nêu, từ đó góp phần đáp ứng yêu cầu nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán ở

trường THPT: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải một số dạng bài tập hình học không gian lớp 11” Hy vọng rằng với sáng kiến này sẽ góp

phần nâng cao được khả năng tư duy lôgic của học sinh, giúp các em nắm vững các phương pháp giải bài tập, có thể tự mình giải quyết được một số dạng bài tập về hình học không gian từ đó xóa bỏ được rào cản tâm lí, có hứng thú học tập

2.Mục đích nghiên cứu:

Đề tài hướng đến mục đích khắc phục những tồn tại trong thực tiễn giảng dạy, giúp học sinh đúc rút, nắm vững kiến thức công cụ để giải một số dạng bài tập hình học không gian tổng hợp

3.Đối tượng nghiên cứu:

Tổng kết kinh nghiệm định hướng cho học sinh xây dựng quy trình giải một số

dạng bài tập hình học không gian trong chương trình lớp 11

4.Phương pháp nghiên cứu:

Kết hợp phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin với phương pháp nghiên cứu bài học

B NỘI DUNG

I Cơ sở lí luận

Trong dạy học môn toán, việc rèn luyện và phát triển năng lực giải toán cho học sinh là rất quan trọng Trong đó năng lực giải toán là tổ hợp các thuộc tính độc đáo, phẩm chất riêng biệt của khả năng con người để tìm ra lời giải cho bài toán, dạng toán Việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, khả năng đặc biệt hóa khái quát hóa trong dạy học môn toán là không thể thiếu được

Đối với phần hình học không gian thì việc rèn luyện và phát triển năng lực giải toán cho học sinh để các em giải được bài tập cụ thể, đồng thời xây dựng được quy trình, phương pháp giải cho dạng bài tập đó là rất cần thiết Bởi có như thế, học sinh mới nắm được các kiến thức cơ bản, biết vận dụng, biết liên kết các kiến thức với nhau; các kỹ năng, các khả năng được rèn luyện phát triển, làm cho năng lực tư duy của học sinh được nâng cao, từ đó học sinh có thể độc lập giải quyết được các vấn đề mới nảy sinh Khi năng lực tư duy phát triển thì học sinh chủ động xử lí được các tình huống thường gặp trong thực tiễn cuộc sống

II Thực trạng tại trường THPT Dương Đình Nghệ

Với chất lượng đầu vào thấp, đa số học sinh được khảo sát không giải được và không nắm được quy trình giải các bài tập cơ bản về hình học không gian tổng hợp Một số ít học sinh giải được các dạng bài tập về hình học không gian tổng hợp nhưng quy trình giải thì tiếp thu một cách thụ động không hiểu được bản chất của vấn đề

Giáo viên khi giảng dạy thường nêu một số quy trình sau đó cho các em áp dụng vào làm bài tập, không hướng dẫn học sinh tìm ra quy trình, làm mất tính chủ động tích cực của học sinh

III Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải một số dạng bài tập hình học không gian lớp 11:

1 Xây dựng quy trình tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

1.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau

Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên AB, AC sao cho MN và BC

cắt nhau Tìm giao điểm của:

b) Đường thẳng MN và mp(BCD).

Lời giải câu a:

a) Dựa vào khái niệm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, học sinh tìm được giao điểm là C

Nhận xét: Sau khi giải xong câu a của bài tập trên nếu

không hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải cho

dạng bài tập này thì học sinh sẽ rất khó khăn khi giải

câu b và các bài tập về tìm giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng Để học sinh nắm được bản chất đồng

thời khắc sâu quy trình giải của dạng bài tập tìm giao

điểm của đường thẳng và mặt phẳng, tôi hướng dẫn

học sinh xây dựng quy trình như sau

1.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng quy

trình

 Giáo viên giúp học sinh nhận ra giao điểm C cần

tìm là giao điểm của AC với giao tuyến của mp(BCD) và mp  , trong đó mp  

chứa đường thẳng AC

+ Giáo viên:

Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng nào thuộc mp(BCD)

+ Học sinh:

Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng BC thuộc mp(BCD) hoặc C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng DC thuộc mp(BCD) + Giáo viên: Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng BC thuộc mp(BCD) thì BC là giao tuyến của mp(BCD) và mặt phẳng nào chứa AC

+ Học sinh: BC là giao tuyến của mp(BCD) và mp(ABC) chứa AC

+ Giáo viên: Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng DC thuộc mp(BCD) thì DC là giao tuyến của mp(BCD) và mặt phẳng nào chứa AC

+ Học sinh: DC là giao tuyến của mp(BCD) và mp(ACD) chứa AC

 Giáo viên giúp học sinh dự đoán các bước giải bài tập dạng này

+ Giáo viên: Như vậy trong cả hai trường hợp trên ta thấy giao điểm C cần tìm là giao điểm của đường thẳng AC với giao tuyến của mp(BCD) và mp  , trong đó

 

mp  chứa đường thẳng AC Từ đây giáo viên cho học sinh dự đoán các bước giải dạng bài tập tìm giao điểm I của đường thẳng  và mp(P).

+ Học sinh:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng 

Bước 2: Tìm giao tuyến d của hai (P) và (Q).

Bước 3: Giao điểm I cần là giao điểm của d với 

1.3 Vận dụng quy trình vào giải bài tập

Học sinh vận dụng quy trình vào giải câu b và các bài tập sau:

b) Chọn mp(ABC) chứa đường thẳng MN Giao tuyến của mp(ABC) và mp(BCD) là

BC Gọi I là giao điểm của MN và BC (vì theo giả thiết MN và BC cắt nhau).

Vậy I là giao điểm của MN và mp(BCD).

Bài tập 1 (Bài tập 5a trang 53 SGK hình học 11- chương trình chuẩn)

Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng   có hai cạnh AB và CD không song song Gọi S là điểm ngoài mp  và M là trung điểm của SC Tìm giao điểm của 

đường thẳng SD và mp(MAB).

Lời giải:

Chọn mp(SCD) chứa đường thẳng SD

Tìm giao tuyến của mp(MAB) và mp(SCD)

Ta có M là một điểm chung của (MAB) và (SCD)

Gọi E là giao điểm của AB và CD, suy ra EM là giao

tuyến của mp(SAB) và mp(SCD).

Gọi N là giao điểm của EM và SD,

khi đó NEM  mp(MAB)  N  mp(MAB).

Vậy N là giao điểm của SD và mp(MAB).

Bài tập 2 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' '

Tìm giao điểm của đường thẳng A C' và mặt phẳng

BB D D' ' 

Lời giải:

Chọn mpA D CB chứa đường thẳng ' '  A C' , ta có

giao tuyến của A D CB và ' '  BB D D là đường' ' 

thẳng BD' Gọi O là giao điểm của đưởng thẳng

'

A C với đường thẳng BD', khi đó O BD'

BB D D , suy ra O là giao điểm của ' '  A C' và mp

BB D D ' ' 

1.4 Bài tập tự luyện

1 Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC

a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mp(MNK).

b) Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mp(MNK).

2 Cho hình chóp SABCD, M là một điểm trên cạnh SD Tìm giao điểm của đường

thẳng BM và mặt phẳng (SAC).

3 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Tìm giao điểm của đường thẳng AC' với mặt phẳng BDA và mặt phẳng ' B D C ' ' 

2 Xây dựng quy trình chứng minh ba đường thẳng đồng quy

2.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập :

Bài tập (Bài tập 5b trang 53 SGK hình học 11- chương trình chuẩn):

Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng   có hai cạnh AB và CD không song song Gọi S là điểm ngoài mp  ; M là trung điểm của SC; N là giao điểm của SD 

với mp(MAB); O là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng ba đường thẳng

SO, AM, BN đồng quy.

(Tìm giao điểm N của SD và mp(MAB) đã làm ở bài tập 2 phần 1).

+ Giáo viên:

Ba đường thẳng đồng quy nếu như chúng cùng đi qua

một điểm Giả sử hai đường AM và BN cắt nhau tại I

lúc đó ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy khi

nào?

+ Học sinh:

Ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy khi SO đi qua

I hay ba điểm S, I, O thẳng hàng.

+ Giáo viên:

Trong không gian để chứng minh ba điểm thẳng hàng

ta thường chứng minh ba điểm đó là các điểm chung

của hai mặt phẳng phân biệt

Đường SO là giao tuyến của hai mặt phẳng nào?

+ Học sinh:

Đường SO là giao tuyến của mp(SBD) và mp(SAC).

+ Giáo viên:

Điểm I có phải là điểm chung của mp(SBD) và mp(SAC) không? vì sao?

+ Học sinh:

Vì IAM SAC I BN,  SBD nên I là điểm chung của (SBD) và (SAC) Lời giải:

Trong mp(MAB), ta có AM và BN cắt nhau Gọi I là giao điểm của AM và BN, do

đó SO, AM, BN đồng quy khi SO đi qua I hay S, I, O thẳng hàng.

Ta lại có: SAC  SBD SO; IAM SAC I BN;  SBD. Suy ra S, I, O đều thuộc giao tuyến của mp(SBD) và mp(SAC), do đó S, I, O thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy tại điểm I.

2.2 Xây dựng quy trình chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy

Qua cách hướng dẫn học sinh giải bài tập ở phần 2.1 thì học sinh xây dựng quy

trình chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy như sau:

Bước 1: Tìm giao điểm I của hai đường thẳng a và b.

Bước 2: Tìm mp(P) và mp(Q) sao cho c là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)

và I là điểm chung của hai mặt phẳng (P), (Q)

2.3 Vận dụng quy trình vào giải bài tập

Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G là ba điểm lần lượt trên ba cạnh AB, AC và BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H H D I C,   Chứng minh ba đường thẳng

CD, IG, HF đồng quy.

Lời giải:

Trong mp(GEF), ta có HF và IG cắt nhau Gọi K là

giao điểm của HF và IG, do đó CD, IG, HF đồng

quy khi CD đi qua K hay C, K, D thẳng hàng Lại

K HF  ACD K IG  BCD Suy ra C, K,

D đều thuộc giao tuyến của mp(BCD) và

mp(ACD), do đó C, K, D thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy tại điểm

K.

Nhận xét:

 Qua việc xây dựng quy trình giải bài tập chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta thấy để chứng minh ba điểm thẳng hàng thì chứng minh cho ba điểm đó cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt

 Ngoài phương pháp chứng minh cho ba đường thẳng đồng quy đã nêu trên,

ta còn có một phương pháp khác nữa để chứng minh ba đường thẳng đồng quy

là sử dụng định lí “ Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau”

2.4 Bài tập tự luyện

1) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD có AB không song song với CD Trên SC lấy

điểm E không trùng với S và C, gọi F là giao điểm của SD với mp(ABE)

Chứng minh ba đường thẳng AB, CD và EF đồng quy.

2) Cho tứ diện ABCD Qua C dựng mp  cắt AB, SB tại B B và qua B dựng mp1, '

  cắt AC, SC tại C C Hai đường thẳng 1, ' BB CC', ' cắt nhau tại O'; BB CC 1, 1 cắt nhau tại O kéo dài 1; O O cắt SA tại I.' 1

a) Chứng minh AO SO và BC đồng quy.1, '

b) Chứng minh I B B thẳng hàng., 1, '

3 Xây dựng quy trình xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng

Nhận xét: Đối với dạng bài tập này khi dạy giáo viên thường chỉ hướng dẫn học

sinh tìm ta kết quả và không nêu lên phương pháp giải cho dạng bài tập, dẫn đến học sinh không nắm được bản chất của việc đi tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng, từ đó mới tư duy để tìm hướng giải quyết khi gặp lại dạng bài tập này, do đó các em rất lúng túng khi giải các bài tập có liên quan đến hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng như là bài tập về góc, khoảng cách

Từ thực tiễn giảng dạy, tôi định hướng cho học sinh xây dựng quy trình xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng như sau:

3.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập :

Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Xác định hình chiếu vuông góc của:

a) Điểm A trên mpA B C D' ' ' ' 

b) Điểm A trên mpBB D D' ' 

Lời giải:

a) Theo định nghĩa phép chiếu vuông góc học sinh có

thể tìm được hình chiếu vuông góc của A trên mp

A B C D là điểm ' ' ' ' A'

3.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình

Từ kết quả của câu a giáo viên có thể gợi ý cho học sinh

suy nghĩ một số vấn đề về bài toán như sau:

 Các mặt phẳng  AA B B' '  , AA C C' '  , AA D D có' ' 

những điểm chung nào và các mặt phẳng đó như thế

nào với mpA B C D ' ' ' '

 Giao tuyến của mpA B C D với các ' ' ' ' AA B B' '  , AA C C' '  , AA D D như' '  thế nào với AA', từ đó suy ra A' là gì của A trên các giao tuyến đó.

Sau khi suy nghĩ trả lời được các câu hỏi trên, từ đó học sinh phát biểu quy trình

giải bài tập “ Tìm hình chiếu vuông góc của điểm I lên mặt phẳng (P)” như sau:

Bước 1: Tìm một mặt phẳng   chứa I và vuông góc với (P)

Bước 2: Tìm giao tuyến d của (P) và  

Bước 3: Từ I hạ IH vuông góc với d tại H, khi đó H là hình chiếu vuông góc của I

trên (P).

3.3 Vận dụng quy trình vào giải bài tập

b) Trong hình vuông ABCD có BD  AC (1)

Hơn nữa AA' (ABCD)  AA' BD (2)

Từ (1) và (2)  BD  ACC A Mà BD  ' ' BDD B ' '  ACC A  ' ' BDD B' ' Giao tuyến của ACC A và ' ' BDD B là ' ' OO' (với O O, ' lần lượt là tâm của 2 đáy ABCD A B C D ) Mặt khác ta có , ' ' ' ' AO OO'  AOBDD B Do đó O' '

là hình chiếu của A trên mpBDD B ' '

Bài tập 1: Cho tứ diện SABC có SA  (ABC) và tam giác ABC đều Xác định hình

chiếu vuông góc của điểm A trên mp(SBC).

Lời giải:

Ta có SAABC  SA  BC (1)

Gọi M là trung điểm của BC, do  ABC đều

 AM  BC (2)

Từ (1) và (2)  BC  (SAM)

BC  (SBC)  (SBC)  (SAM)

Giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAM) là SM Kẻ

AH vuông góc với SM tại H, suy ra AH  (SBC).

Vậy H là hình chiếu của A trên mp(SBC).

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông tâm O cạnh a, các cạnh bên đều bằng

2a Xác định hình chiếu vuông góc của O trên

mp(SBC)

Lời giải:

Theo giả thiết SA SC   SAC cân ở S, suy ra

SO  AC Tương tự SO  BD

Do đó SO  (ABCD)  SO  BC (1).

Gọi M là trung điểm của BC ta có OM  BC (2).

Từ (1) và (2)  BC  (SOM), BC  (SBC) nên

(SBC)  (SOM).

Giao tuyến của mp (SBC) và mp(SOM) là SM.

Từ O kẻ OH vuông góc với SM tại H suy ra

OH  (SBC) Vậy H là hình chiếu vuông góc

của O trên mp(SBC).

Nhận xét Các bài tập đều sử dụng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc “Nếu

hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia”

3.4 Bài tập tự luyện

1) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Xác định hình chiếu vuông góc của điểmA' trên mặt phẳng AB D ' ' 