Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua một số kỹ thuật giải toán hình học không gian lớp 11

PHẦN I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh việc làm quan trọng cần thiết trình dạy học, giáo dục học sinh Phát triển tư sáng tạo giúp học sinh tự tin vào thân để không ngừng khám phá, tìm tòi, phát mới; sáng tạo giúp học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, có nghị lực niềm tin để chinh phục khó khăn học tập Cao tư sáng tạo giúp học sinh tìm đường ngắn nhất, nhanh để đạt thành công học tập, sống Xuất phát từ đặc thù môn toán với khái quát trừu tượng cao, liên kết liên tục kiến thức toán học theo năm học, cấp học Điều đòi hỏi học sinh không cần phải tích cực, chủ động tiếp thu, lĩnh hội kiến thức mà phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức học, biết kết nối kiến thức cũ để chiếm lĩnh kiến thức mới… Vì lẽ việc đổi phương pháp dạy học dạy học môn Toán trở nên quan trọng, thiết nhiệm vụ người giáo viên dạy Toán Nội dung hình học không gian thường xem nội dung khó học học sinh THPT, dạy học chủ đề nhiều giáo viên cảm thấy khó dạy, không hứng thú chủ đề khác môn Toán Nguyên nhân quan trọng dẫn đến thực trạng nêu hình học không gian đòi hỏi mức độ tư tưởng tượng cao; học sinh quen với tư hình học phẳng nên gặp nhiều khó khăn làm quen tư hình học không gian Để học tốt hình học không gian học sinh cần phát huy tư sáng tạo, ngược học sinh học tốt môn toán nói chung chủ đề hình học không gian nói riêng góp phần phát triển tư sáng tạo Những lí nêu sở để chọn đề tài nghiên cứu: “ Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông thông qua số kỹ thuật giải toán hình học không gian lớp 11” 1.2 Mục đích đề tài - Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải tập toán theo hướng hình thành phát triển tư sáng tạo cho học sinh - Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ hình học 11 Bộ GD-ĐT xuất phát từ thực tiễn giảng dạy hình học không gian 11, thông qua số phương pháp nhằm rèn luyện lực tư cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Bài tập hình học không gian chương I+II SGK hình học 11 theo chương trình nâng cao 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Đặt vấn đề, giải vấn đề PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận đề tài 2.1.1 Cơ sở toán học + Các định nghĩa, định lý, tính chất hình học phẳng THCS, hình học không gian SGK Hình học 11 + Các tính chất phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc, cụ thể: * Đối với phép chiếu song song tính chất sau thường sử dụng giải tập toán hình học: Tính chất 1: Qua phép chiếu song song yếu tố sau không thay đổi (bất biến): + Tỉ số hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song trùng + Sự thẳng hàng điểm ( phương chiếu không song song với đường thẳng chứa điểm đó) + Độ dài đoạn thẳng thuộc đường thẳng song song với phương chiếu không thay đổi, nghĩa biến đọan AB thành A’B’ AB = A’B’ Tính chất 2: + Phép chiếu song song biến đường thẳng không song song với phương chiếu thành đường thẳng + Biến trung điểm đoạn thẳng không thuộc đường thẳng song song với phương chiếu thành trung điểm đoạn thẳng Tính chất 3: + Ảnh ba điểm phân biệt qua phép chiếu song song trùng ba điểm thẳng hàng + Phép chiếu song song theo hai phương không phương biến ba điểm A, B, C thành thành điểm thẳng hàng A 1, B1, C1 A2, B2, C2 A, B, C thẳng hàng * Đối với phép chiếu vuông góc tính chất sau thường sử dụng: Tính chất: Qua phép chiếu vuông góc góc vuông có ảnh góc vuông có cạnh song song thuộc mặt phẳng chiếu, cạnh lại không vuông góc với mặt phẳng chiếu 2.1.2 Cơ sở tâm lý học Theo nhà tâm lý học, người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu cần tư duy, tức đứng trước khó khăn nhận thức cần phải khắc phục, tình gợi vấn đề, hay nói Rubinstein: “Tư sáng tạo luôn bắt đầu tình gợi vấn đề” Việc giải toán nói chung, giải toán hình học không gian nói riêng đặt học sinh đứng trước khó khăn, khó khăn giải học sinh nắm vững kiến thức học biết cách vận dụng chúng Như phương pháp giải toán hình học không gian công cụ hữu hiệu để học sinh có niềm tin, có động lực để giải toán hình học Những hoạt động toán học nói chung, họat động hình học nói riêng tạo nhiều tình gợi vấn đề từ tạo cho học sinh nhu cầu tư hình học, tư toán học Theo sở tâm lý học nhà tâm lý học kết luận kiểm chứng thực tiễn giáo dục nhu cầu tư nêu sơ để học sinh tiếp thu, lĩnh hội kiến thức hình học mới, kiến thức toán học 2.1.3 Cơ sở giáo dục học Hoạt động nhận thức toán học học sinh hiểu “ trình tư ẫn tới lĩnh hội tri thức toán học, nắm ý nghĩa tri thức đó, xác định mối liên hệ nhân mối liên hệ khác đối tượng toán học nghiên cứu ( khái niệm; quan hệ; quy luật toán học;…); từ học sinh vận dụng tri thức toán học giải vấn đề thực tiễn” Mục tiêu chủ yếu việc phát triển hoạt động nhận thức dạy học toán phát triển trí tuệ nhân cách học sinh Ở phát triển trí tuệ hiểu thay đổi chất hoạt động nhận thức Sự biến đổi đặc trưng thay đổi cấu trúc phản ảnh phương thức phản ánh chúng Nói đồng nghĩa với phát triển trí tuệ thống việc vũ trang tri thức việc phát triển cách tối đa phương thức phản ánh chúng Trong thống dẫn đến làm thay đổi cấu trúc thân hệ thống tri thức (mở rộng cải tiến, bổ sung, cấu trúc lại) làm cho hệ thống tri thức ngày thêm sâu sắc phản ánh chất, tiếp cận dần với chân lí điều chỉnh, mở rộng phương thức phản ánh, đến xóa bỏ phương thức phản ánh cũ để hình thành phương thức phản ánh hợp lí hơn, sáng tạo hơn, phù hợp với quy luật tự nhiên xã hội Phát triển trí tuệ hiểu cụ thể qua phát triển lực trí tuệ bao gồm lực thu nhận thông tin toán học; lực chế biến thông tin toán học; lực tư logic, tu biện chứng, tư phê phán, tư định lượng; lực khái quát nhanh chóng rộng rãi đối tượng, quan hệ, mối liên hệ toán học; có tính mềm dẻo trình tư duy; lực thay đổi nhanh chóng chuyển hướng suy nghĩ từ dạng sang dạng khác Như thông qua hoạt động nhận thức toán học nói chung, hoạt động nhận thức hình học không gian nói riêng nhằm thực mục tiêu giáo dục nhân cách cho học sinh; giáo dục tư phê phán; cách giải vấn đề sáng tạo; cách xử lí thông tin… sống thực tiễn 2.2 Thực trạng đề tài Qua thực tiễn trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên học sinh trường THPT địa bàn huyện Quảng Xương; tổng hợp thông tin có tìm hiểu phương tiện thông tin đại nhận thấy việc dạy học chủ đề hình học không gian tồn thực trạng sau: + Đối với giáo viên: - Nhiều giáo viên cảm thấy hứng thú dạy chủ đề hình học không gian dẫn đến chưa thực tìm tòi, đổi phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh - Chưa phát huy hiệu tính chủ động, sáng tạo học sinh Ít khuyến khích học sinh tìm tòi, khám phá cách giải - Chưa xây dựng hệ thống tập đa dạng, phù hợp với đối tượng học sinh ( chủ yếu tập lấy SGK) + Đối với học sinh: - Đa số cảm thấy khó dẫn đến ngại, không hứng thú học hình không gian Cá biệt có nhiều đối tượng học sinh bỏ hẵn không học phần hình học không gian mà tập chung vào chủ đề khác - Tư tưởng xem nhẹ chủ đề hình học không gian nhiều học sinh xuất phát từ việc nhận thức chủ đề chiếm phần nhỏ kì thi đại học, nhiều học sinh cho học tốt chủ đề khác để thi bù cho chủ đề hình học không gian - Đa số học sinh chưa ý thức sâu sắc việc học tốt hình học không gian góp phần phát triển tư sáng tạo từ góp phần học tốt chủ đề khác, môn học khác - Đa số học sinh chủ động tư giải toán hình học không gian, số nắm phương pháp giải toán hình học không gian sử dụng chưa linh hoạt, thiếu sáng tạo 2.3 Các biện pháp giải vấn đề Nhằm nâng cao kết học tập góp phần phát triển tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hình học không gian lớp 11 thực nội dung sau: + Công tác chuẩn bị: - Đánh giá đối tượng học sinh; soạn bài; xây dựng hệ thống tập đa dạng phù hợp với nội dung chương trình đối tượng học sinh - Ngoài tiết dạy theo phân phối chương trình tùy theo mức độ nhận thức học sinh để xây dựng kế hoạch dạy tự chọn, bồi dưỡng hay phụ đạo cho học sinh chủ đề hình học không gian - Chuẩn bị đồ dùng học tập cần thiết ( tài liệu, mô hình hình học, phần mềm hỗ trợ dạy học hình học không gian….) + Tổ chức thực hiện: - Dạy học theo chương trình, kế hoạch đề - Trang bị cho học sinh phương pháp giải toán hình học không gian thông qua tập, ví dụ điển hình - Đưa tập ôn tập, tập phát triển tư hình học phù hợp với đối tượng học sinh - Tích cực đổi phương pháp dạy học như: Tăng cường hoạt động theo nhóm, sử dụng mô hình trực quan… Khuyến khích học sinh giải toán hình học không gian nhiều cách Đặt câu hỏi, vấn đề đòi hỏi học sinh phải tích cực tư để trả lời - Giao tập nhà phù hợp với đối tượng học sinh, trọng tập đòi hỏi học sinh phải chủ động sáng tạo - Kiểm tra, đánh giá, phân loại học sinh nhiều hình thức ( định tính định lượng) Cụ thể trình dạy học chủ đề hình học không gian lớp 11 xác định thực hiệu số biện pháp sau đây: 2.3.1 Biện pháp 1: Vận dụng phương pháp tách phận phẳng khỏi không gian Khi giải toán hình học không gian học sinh gặp phải nhiều khó khăn so với toán hình học phẳng như: Việc tưởng tượng, hình dung để tìm mối liên hệ yếu tố hình học ( quan hệ đường thẳng, mặt phẳng…); việc vẽ hình để biểu diễn hình không gian mặt phẳng… Khó khăn ảnh hưởng đến việc vận dụng lí thuyết để giải toán hình học không gian Để khắc phục khó khăn việc tách phận phẳng khỏi không gian giúp học sinh quy toán phức tạp giải toán đơn giản hơn, dễ hiểu dễ thực a) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, AG cắt (BCD) A’ Chứng minh A’ trọng tâm tam giác BCD ( Đường thẳng qua đỉnh trọng tâm tứ diện qua trọng tâm mặt đối diện với đỉnh ấy) Định hướng phương pháp lời giải: Bằng việc bóc tách yếu tố phẳng khỏi không gian, toán chuyển thành toán hình học phẳng sau đây: Cho tam giác ABN, M trung điểm AB, G trung điểm MN, AG cắt cạnh BN A’ Chứng minh BA’ = A’N Không gian Mặt phẳng A A M B G D A' N C Bài toán học sinh THCS dễ dàng chứng minh sau họcM tính chất đường trung bình Cụ thể chứng minh sau: Kẻ đường thẳng quaG M song song với AA’ cắt BN D MD; GA’ lần ∆ lươt đường trung bình N B ABA’ ∆ NMD nên A'BD = DA’ = D A’N Vậy BA’ = 2A’N A Ví dụ 2: (SGK hình học 11 - Cơ bản) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Chứng minh đường thẳng AC’ qua trọng tâm G ∆ BA’D Định hướng phương pháp lời giải: Bài toán trở nên đơn giản hơn, dễ hình dung, dễ giải nhiều học sinh biết cách bóc tách phận phẳng khỏi không gian để đưa toán hình học phẳng sau: Cho hình bình hành AA’C’C, O trung điểm cạnh AC, A’O cắt cạnh AC’ G Chứng minh C’G = 2AG A D A O B O C C G G M D' A' A' E B' C' C' Chứng minh: Gọi E trung điểm A’C’ kẻ CE cắt AC’ M Dễ thấy A’ECO hình bình hành nên CE // A’O Vậy OG EM đường trung bình ∆ ADC ∆ C’A’G ⇒ AG = GM = MC’ (đpcm) Ví dụ 3: Tứ diện SABC, có cạnh bên tạo với mặt đáy góc α Đáy ∆ ABC vuông C, cạnh AB = a Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Định hướng phương pháp lời giải: Gọi H chân đường cao hạ từ S thì: HA = HB = HC, ∆ ABC vuông C nên ⇒ H trung điểm AB Không gian S H A B C Đến học sinh tính bán kính cách sử dụng tính chất đồng dạng tam giác Tuy nhiên học sinh giải toán cách đơn giản nhận thấy tâm mặt cầu tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ SAB, từ tách yếu tố phẳng khỏi không gian để đưa giải toán phẳng đơn giản sau: Tam giác SAB cân S, AB = a, góc A = α Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ SAB S A α Mặt phẳng O α B Bài toán phẳng giải dễ dàng sử dụng định lý hàm số Sin a AB = 2R ⇒ R = sau: SinS sin 2α b) Một số tập áp dụng Bài 1: ( Trang 103 - Hình học 11 - Nâng cao) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc a Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn b Chứng minh hình chiếu H điểm O (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC 1 1 = + + c Chứng minh 2 OH OA OB OC Bài 2: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên b Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với OA = a, OB = b, OC = c Gọi H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Tính diện tích tam giác HAB, HBC HCA c) Một số nhận xét + Yếu tố cốt lõi để giải toán hình học không gian thường bị che khuất, khó phát hình không gian thường có nhiều đường phụ gây khó khăn cho học sinh việc hình dung, tưởng tượng Vì khéo léo bóc tách yếu tố phẳng khỏi không gian giúp học sinh đơn giản hóa toán, dễ dàng tìm yếu tố then chốt toán từ giải toán dễ dàng + Hoạt động tách phận phẳng khỏi không gian có ý nghĩa cụ thể là: - Xác lập liên hệ hình học không gian hình học phẳng - Kết nối dạy học toán THCS THPT - Xác lập liên hệ liên môn, liên hệ bên môn toán - Nâng cao hiệu hoạt động giải toán hình học không gian từ góp phần phát triển tư sáng tạo cho học sinh 2.3.2 Biện pháp 2: Vận dụng phương pháp trải hình Nhiều toán hình học không gian giải dễ dàng cách đưa giải toán hình học phẳng thông qua hoạt động trải hình (hay khai triển hình) Đây hoạt động khai triển yếu tố không gian lên mặt phẳng, chuyển toán không gian toán hình học phẳng, gắn kết toán phẳng toán không gian a) Các ví dụ minh họa: Ví dụ 4: Chứng minh tứ diện có cặp cạnh đối đôi ( tứ diện gần đều) góc tam diện đỉnh có tổng góc phẳng 180 Định hướng phương pháp lời giải: Ta trải tam giác ABC, ABD, DCD lên mặt phẳng (BCD) cho điểm A ∆ ABC nằm vị trí điểm A không thuộc nửa mặt phẳng chứa D có bờ BC; tương ứng điểm A ∆ ABD nằm vị trí điểm A ; điểm A ∆ ACD nằm vị trí điểm A Khi BA = BA = CD; BC = DA = DA BD = CA = CA nên tứ giác BCDA ; DBCA hình bình hành ⇒ BC//DA ; BC//DA ⇒ A ; D; A thẳng hàng Tương tự A ; B; A A ; C; A thẳng hàng ⇒ ∧ ∧ ∧ A1 + A2 + A3 = 180 ⇒ đpcm A1 A B C A2 D A3 C B D Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh a, M; N thuộc cạnh AD; BB1 cho AM = BN Gọi I; J trung điểm AB; C1D1 a/ Chứng minh IJ cắt vuông góc với MN trung điểm MN b/ Dựng thiết diện lập phương tạo mặt phẳng chứa MN; IJ Tìm vị trí M, N cho thiết diện có chu vi bé Định hướng phương pháp lời giải: a/ Kéo dài IN cắt AA1 K, ta có AK = BN ⇒ AK = AM ⇒ MK // AD1 Vì IJ//AD1 ⇒ IJ // KM, IJ đường trung bình ∆ NKM ⇒ IJ cắt MN trung điểm MN Mặt khác tam giác MIN cân I ( IM = IN) nên IJ vuông góc với MN ⇒ đpcm b/ Dễ thấy thiết diện cần tìm lục giác IMFJEN E; F thuộc DD1; B1C1 cho MF//AD1; NE//BC1 Khi MF//IJ//NE FD1= EC1 = BN = AM = x ( < x < a ) Khi chu vi thiết diện = 2(IM + MF + FJ) Tìm vị trí M, N để chu vi thiết diện bé ta tính chu vi theo x đưa toán hình học toán giải tích Tuy nhiên cách làm tương đối phức tạp, toán giải theo cách đơn giản thông qua họat động trải hình cụ thể sau: Ta trải mặt ABCD DCC1D1 lên mặt phẳng (ADD1A1) cho điểm B, C, I mặt ABCD nằm vị trí điểm B’, C’, I’ không thuộc nửa mặt phẳng chứa D1, A1 có bờ AD Tương tự điểm C, C 1, J nằm vị trí điểm C’, C1’, J’ C' B' K I' A M D A I M M' I B B C N F' C F F N A1 A1 D1 D1 J B1 C' D E C1 J' C1' J B1 E C1 Khi việc giải toán không gian quy giải toán hình học phẳng sau: Gọi chu vi thiết diện P, ta có: P = 2(I’M + MF + FJ’) Vì để P bé ta tìm vị trí M, F cho I’M + MF + FJ’ bé nhất, dễ thấy M trùng với M’ F trùng với F’ ( M’; F’ giao điểm I’J’ với AD DD1) ⇒ P bé ⇔ M; N trung điểm AD; BB1 b) Một số tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh tổng góc phẳng hình chóp lớn 180 cạnh bên nhỏ nửa chu vi đáy Bài 2: Cho tứ diện gần ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c Xác định vị trí điểm M cạnh AB cho chu vi tam giác MCD nhỏ Xác định giá trị nhỏ chu vi Bài 3: Cho tứ diện ABCD cạnh a Một mặt phẳng cắt cạnh tứ diện M, N, P, Q Chứng minh chu vi p thiết diện MNPQ không nhỏ 2a không lớn 3a Bài 4: Tứ diện ABCD có: AC = AD = BC = BD = 1; AB = a; CD = b; M, N trung điểm AB CD Tìm cạnh AD điểm P cho PM + PN đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ c) Nhận xét: + Phương pháp trải hình vận dụng nhiều toán xác định vị trí điểm; toán cực trị hình học + Có thể giải toán cách khác nhiên đơn giản hiệu vận dụng phương pháp trải hình + Việc biết cách vận dụng phương pháp trải hình giúp học sinh giải nhiều toán hình không gian hay khó từ giúp học sinh rèn luyện phát triển tư sáng tạo 2.3.3 Biện pháp 3: Vận dụng phương pháp sử dụng tính bất biến phép chiếu song song 10 Nhiều toán hình học đặc biệt toán hình không gian dễ dàng giải thông qua hoạt động sử dụng tính bất biến phép chiếu song song a) Các ví dụ họa: Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Chứng minh đỉnh A, C’ trọng tâm G ∆ BDA’ thẳng hàng Định hướng phương pháp lời giải: Hướng 1: C B O A D K G O' B' C' A' D' Xét phép chiếu S lên mặt phẳng (A’B’C’D’) theo phương AC’ Khi phép chiếu S biến A thành C’, biến C’ thành C’, biến O thành O’ Ta có OO’//AC’, O’ thuộc (A’B’C’D’) nên O’ giao OK A’C’ ⇒ A' G A' C ' ⇒ C’ ảnh G qua phép chiếu S ⇒ A, G, C’ thẳng = A' O A' O' hàng Hướng 2: 11 C B O O' A D G G' B' C' A' D' Xét phép chiếu lên (AA’B’B) theo phương AD biến A thành A, biến C’ thành B’, biến O thành O’ trung điểm AB, biến G thành G’ Vì tỉ số đoạn thẳng phương bảo toàn qua phép chiếu song song nên A' G ' A' G = =2 G ' O' GO ⇒ G’ giao AB’ A’O’ ảnh A, G, C’ thẳng hàng Tương tự xét phép chiếu lên (A’B’C’D’) theo phương AA’ ảnh A, G, C’ thẳng hàng ⇒ A, G, C’ thẳng hàng Ví dụ 7: Cho ba đường thẳng a, b, c đôi chéo nhau, dựng đường BA = m cho trước thẳng ∆ cắt ba đường thẳng A, B, C cho BC Định hướng lời giải: Chọn mặt phẳng (P) cho b cắt (P) B’ phép chiếu song song theo phương b lên mặt phẳng (P) biến a, c thành a’, c’ cắt O Từ B’ vẽ đường thẳng song song với a’ cắt c’ B 1, c’ B1O = m ta tìm điểm C’ cho B1C ' c C b B A a ∆ C' B1 B' a' O c' A' ∆' 12 B' A' B1O = = m Gọi A, C B ' C ' B1 C ' thuộc a, c cho ảnh A, B qua phép chiếu song song theo phương b lên mặt phẳng (P) A’, C’ ⇒ AA’//b; CC’//b nên đường thẳng ∆ qua A, C cắt b BA B' A' = = m Vậy ∆ đường thẳng cần tìm B Khi theo định lí Talet BC B' C ' Ví dụ Chứng minh tứ diện trực tâm ( cặp cạnh đối đôi vuông góc) ba điểm sau thẳng hàng: Trọng tâm G, trực tâm H tâm mặt cầu ngoại tiếp O thẳng hàng Định hướng phương pháp giải: Đường thẳng C’B’ cắt a’ A’ ⇒ A M G D O H H' B M' G' N O' C Gọi M, N trung điểm AB, CD Xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (BCD), biến điểm B, C, D, N thành nó; biến A, H thành H’; biến điểm M, G, O thành M’, G’, O’ Khi O’ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ BCD Ta có AB ⊥ CD (ABCD tứ diện trực tâm ) AH’ ⊥ CD nên BH’ ⊥ CD (định lý đường vuông góc), tương tự CH’ ⊥ BD H’ trực tâm ∆ BCD Theo tính chất phép chiếu vuông góc M’ trung điểm BH’ G’ trung điểm M’N Để chứng minh H, G, O thẳng hàng ta cần chứng minh H’, G’, O’ thẳng hàng Tuy nhiên đến học sinh việc chứng minh không đơn giản Nhận thấy điểm M’, H’, G’, O’ thuộc mặt phẳng (BCD) nên ta bóc tách yếu tố phẳng khỏi không gian để đơn giản hóa toán cách đưa toán giải toán phẳng sau: Bài toán: “Cho ∆ BCD H’, O’ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M’, N trung điểm BH’, CD; G’ trung điểm M’N Chứng minh ba điểm H’, G’, O’ thẳng hàng” Đến học sinh hoàn toàn giải toán cách sử dụng tính chất hình học học THCS Cụ thể lời giải sau: 13 C B C1 O' G' M' N H' D C C đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆ BCD ta có: C1 B ⊥ BC DH ' ⊥ BC nên C B//DH’, tương tự C1 D ⊥ CD BH ' ⊥ CD nên C D//BH’ ⇒ BC DH’ hình bình hành ⇒ C D = BH’ = 2O’N Mặt khác BH’ = 2M’H’ ⇒ M’H’ = O’N, BH’ ⊥ CD O’N ⊥ CD nên M’H’//O’N ⇒ M’H’NO’ hình bình hành, từ G’ trung điểm M’N nên suy G’ trung điểm O’H’ O’, G’, H’ thẳng hàng Đến toán phẳng chứng minh việc sử dụng tính chất hình học phẳng Trở lại toán ban đầu, tương tự thực phép chiếu vuông góc lên (ACD) biến O, G, H thành O’’, G’’, H’’ thẳng hàng Vậy áp dụng tính chất phép chiếu vuông góc ta có O, G, H thẳng hàng b) Một số tập áp dụng: Bài 1( Bài tập Hình học 11 -Nâng cao - Trang 62) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ a/ Hãy xác định đường thẳng d cắt hai đường thẳng AC’ BA’ đồng thời song song với B’D’ AI b/ Gọi I, J giao điểm d với AC’ BA’ Tính tỉ số AC ' Bài 2: Cho ba đường thẳng đôi chéo không song song với mặt phẳng điểm G không nằm đường thẳng ba đường thẳng Hãy dựng tam giác có đỉnh thứ tự nằm ba đường thẳng cho nhận G làm trọng tâm c) Nhận xét: + Có thể giải toán sử dụng tính chất khác quan hệ song song, quan hệ vuông góc nhiên toán phức tạp nhiều so với dùng tính chất phép chiếu song song + Để giải toán hình học không gian thường phải kết hợp nhiều phương pháp (chẳng hạn kết hợp phương pháp sử dụng phép chiếu song song phương pháp bóc tách phận phẳng khỏi không gian) 14 + Việc đơn giản hóa toán; giải toán cách giải hay, ngắn gọn; giải toán nhiều cách giúp nhiều cho học sinh phát triển tư sáng tạo 2.3.4 Biện pháp 4: Vận dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ Việc vận dụng hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ vào học toán nói chung, giải tập hình học nói riêng việc làm có nhiều tác dụng thiết thực, công cụ hiệu để học sinh giải nhiều toán từ nâng cao hiệu hoạt động nhận thức toán học Chuyển đổi ngôn ngữ toán học đóng vai trò công cụ để học sinh đơn giản hóa toán, chuyển đổi yếu tố phức tạp sang yếu tố đơn giản, biến vấn đề chưa biết thành vấn đề biết, hướng việc tìm hiểu yếu tố toán học sang tìm hiểu yếu tố toán học khác Đối với hình học không gian dạng chuyển đổi ngôn ngữ chủ yếu sau: + Chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ khác: Việc chuyển đổi chuyển hóa sư phạm từ ngôn ngữ khoa học sang ngôn ngữ toán học phổ thông (chẳng hạn chuyển đổi ngôn ngữ từ toán học cao cấp sang ngôn ngữ toán phổ thông) chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vec tơ, tọa độ, biến hình, đại số… + Chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ hình học khác Việc huy động nhóm tri thức khác có nhiếu ý nghĩa thiết thực để giải toán hình học Để huy động kiến thức cần thiết phải chuyển hóa qua lại yếu tố bên như: yếu tố vuông góc chuyển hóa sang yếu tố song song, phép biến hình chuyển hóa sang phép biến hình khác… a) Các ví dụ áp dụng: Ví dụ 9: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có tâm O Dựng thiết diện hình lập phương tạo mặt phẳng (P) qua O mặt phẳng vuông góc với AC’ Định hướng lời giải toán: D A N B C S O P R D' A' Q B' C' Nhận thấy AC’ ⊥ (BDA’) nên AC’ ⊥ (P) ⇒ (P)// (BDA’) Từ ta chuyển toán với yếu tố vuông góc thành toán với yếu tố song song sau: Dựng thiết diện hình lập phương mặt phẳng (P) qua O // (BDA’) Khi 15 áp dụng tính chất “ Hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng thứ ba theo hai giao tuyến phân biệt hai giao tuyến song song ” ta dễ thấy thiết diện cần tìm lục giác MNPQRS M, N, P, Q, R, S trung điểm CD, BC, BB’, A’B’, A’D’, DD’ Ví dụ 10: Tính thể tích tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c ( Tứ diện gần đều) Định hướng lời giải toán: Nhận thấy việc tính thể tích theo phương pháp thông thường tính diện tích đáy chiều cao khó thực với toán khó xác định chân đường cao hạ từ đỉnh tứ diện Bài toán dễ dàng giải thực phép chuyển đổi sau: Hướng 1: Từ B, C, D ta vẽ đường thẳng song song với CD, BD, BC Các đường thẳng đôi cắt M, N, P A y z a P c x b N D a b c B M Ta có AB = CD = BM = BP nên ∆ AMP vuông A, tương tự tam giác AMN, ANP vuông A V APMN = 1/6 xyz ⇒ V C ABCD = ¼ V APMN = xyz 24 Tính x, y, z theo a, b, c Ta có:  x + z = 4a  2  x + y = 4b  y + z = 4c   x = 2a + 2b − 2c   ⇔  y = 2b + 2c − 2a  2  z = 2a + 2c − 2b2 (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) 12 Hướng 2: Qua cạnh hình chóp ta dựng mặt phẳng song song với cạnh đối diện, mặt phẳng giao tạo thành hình hộp ngoại tiếp tứ diện Vậy V = 16 M B y x N A z D P Q C' V ABCD = V hộp – V MADB = xyz – 1/6 xyz = 1/3 xyz Ta tính x, y, z theo a, b, c kết hướng b) Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M, N, P, Q thuộc AB, BC, CD, DA cho AM = AB ; BN = BC ; AQ = AD ; DP = k DC 3 Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N nằm mặt phẳng Bài 2: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Một đường thẳng d cắt đường MA thẳng AA’, BB’, CC’ M, N, P cho NM = NP Tính MA' c) Một số nhận xét + Phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ có phạm vi rộng, áp dụng nhiều giải toán hình học không gian + Việc vận dụng tốt phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ giúp học sinh linh hoạt chuyển hóa yếu tố hình học để biến phức tạp thành đơn giản, chưa biết thành biết từ góp phần phát triển tư sáng tạo 2.4 Kết thực nghiệm đề tài: Tôi sử dụng đề tài nghiên cứu vào trình dạy học đạt kết tích cực hai mặt định tính định lượng, cụ thể sau: 2.4.1 Kết định tính + Nhiều học sinh tâm lí ngại sợ học chủ đề hình học không gian + Học sinh chủ động, tích cực xây dựng bài, chữa tập làm tập nhà + Nhiều học sinh tích cực tư để giải toán hình học không gian cách sáng tạo, giải nhiều cách + Học sinh linh hoạt vận dụng kiến thức môn, liên môn để giải toán hình học không gian 17 + Các tiết học hình học không gian hiệu chuyển trọng tâm từ hoạt động thầy sang hoạt động trò 2.4.2 Kết định lượng * Qua điều tra, thăm dò Tôi phát phiếu thăm dò 95 học sinh lớp 11 - trường THPT Quảng Xương thu kết quả: + 100% học sinh hỏi trả lời vận dụng phương pháp giải toán hình học nêu giúp em dễ hiểu học giải toán hình học không gian + 100% học sinh hỏi vận dụng phương pháp giúp em có nhiều hứng thú, niềm tin giải tập hình học không gian + 90 % học sinh hỏi trả lời cần thiết phải sử dụng phương pháp giải toán hình học không gian * Qua kết kiểm tra: Trong trình thực nghiệm nhằm đánh giá hiệu đề tài tiến hành lớp 11C2 lớp 11C8 - Trường THPT Quảng Xương Kết học tập môn Toán hai lớp tương đương (đánh giá qua trình trực tiếp giảng dạy) Cụ thể tiến hành dạy ôn tập chủ đề tự chọn (3 tiết) ôn tập chương II (Hình học lớp 11- bản) cho hai lớp 11C2 11C8 Tôi chọn lớp 11C2 làm lớp dạy học thực nghiệm (sử dụng đề tài), lớp 11C8 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề tài) Sau dạy thực nghiệm đối chứng tiến hành cho học sinh hai lớp làm kiểm tra 45 phút thu kết thống kê theo bảng sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 11 C2 47 15 32 23 49 14,9 4,1 0 11C8 48 12 25 25 52 16,7 6,3 0 Quá trình thực nghiệm với kết bước đầu thấy hiệu thiết thực việc vận dụng đề tài vào thực tiễn dạy học Những lí luận giải pháp mà đề tài nêu mang tính khả thi áp dụng dạy học môn Toán lớp 11 chủ đề hình học không gian 18 PHẦN KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 3.1 Kết luận: Bản thân người viết giáo viên dạy Toán, ý thức trách nhiệm việc không ngừng tìm tòi đổi phương pháp dạy học nhằm nâng cao kết hoạt động học tập học sinh, áp dụng đề tài vào thực tiễn dạy học đạt kết tích cực Những kết sở để hoàn thành đề tài Trên sở vận dụng tri thức khoa học kết hợp với kiến thức thực tiễn dạy học thân, sau thời gian tập trung, nỗ lực nghiên cứu đề tài hoàn thành đạt kết sau: + Đề tài nghiên cứu số sở lí luận việc vận dụng phương pháp giải toán hình học không gian ý nghĩa việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh THPT + Đề tài sâu khai thác số phương pháp giải toán hình học không gian có tác dụng hiệu thiết thực việc nâng cao chất lượng học tập phát triển tư sáng tạo cho học sinh THPT + Đề tài đưa ví dụ minh họa cho phương pháp giải toán hình học không gian Thông qua ví dụ nêu bật lên ý nghĩa phương pháp với việc dạy học hình học nói riêng, toán học nói chung 3.2 Kiến nghị: - Do thời gian dành cho nghiên cứu có hạn, lực thân hạn chế, thực nghiệm sư phạm chưa nhiều, cần tiếp tục triển khai thực nghiệm nhiều đối tượng HS khác mong đồng nghiệp góp ý, bổ sung thêm dạng tập cho đề tài phong phú - Có thể áp dụng phương pháp cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi đại học Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2016 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Đỗ Thị Thủy 19 Tài liệu tham khảo Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học sư phạm Đào Tam (2008), Phương pháp dạy học hình học trường THPT, NXB ĐHSP Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn toán trường phổ thông, Nxb Đại học sư phạm Pôlya G (1976), Toán học suy luận có lý, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Bài Tập Hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Hình học 11, NXB Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Bài tập Hình học 11, NXB Giáo dục Phan Huy Khải (1999), Toán nâng cao hình học 11, NXB ĐHQG Hà Nội 10 Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức dạy học môn Toán trường THPT, Nxb Đại học sư phạm 11 Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học nội dung cụ thể môn toán, NXB ĐHSP 20 ... đại học, nhiều học sinh cho học tốt chủ đề khác để thi bù cho chủ đề hình học không gian - Đa số học sinh chưa ý thức sâu sắc việc học tốt hình học không gian góp phần phát triển tư sáng tạo. .. động giải toán hình học không gian từ góp phần phát triển tư sáng tạo cho học sinh 2.3.2 Biện pháp 2: Vận dụng phương pháp trải hình Nhiều toán hình học không gian giải dễ dàng cách đưa giải toán. .. học sinh tích cực tư để giải toán hình học không gian cách sáng tạo, giải nhiều cách + Học sinh linh hoạt vận dụng kiến thức môn, liên môn để giải toán hình học không gian 17 + Các tiết học hình