SKKN đi tìm nguồn gốc bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng, định hướng cách giải và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh

Chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Đi tìm nguồn gốc bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng, định hướng cách giải và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh” II – Mục đích n

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HƯNG YÊN

TRƯỜNG THPT YÊN MỸ -

1 Nguyễn Cao Thời - Trường THPT Yên Mỹ

2 Vũ Văn Dũng - Trường THPT Triệu Quang Phục

3 Nguyễn Văn Phu - Trường THPT Minh Châu

Chức vụ : Giáo viên

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“ĐI TÌM NGUỒN GỐC BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT

PHẲNG, ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH”

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I – Lý do chọn đề tài

Bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là bài toán thường xuất hiện trong các kỳ thi, nhất là kỳ thi Đại học, THPT Quốc Gia Nó có thể coi như là điểm thứ 8 của đề thi, là câu khó với nhiều đối tượng học sinh, nhất là học sinh có năng lực trung bình và là câu có tính phân loại học sinh Học sinh muốn đạt điểm tốt môn Toán cần phải biết cách vượt qua bài toán dạng này Vì vậy nó luôn là sự quan tâm đặc biệt đối với học sinh và các thầy, cô dạy toán

Các bài toán hình học giải tích phẳng thường gắn liền với một số tính chất nào đó của hình học phẳng thuần túy Việc khó khăn nhất là trong mỗi bài toán, cần phải sử dụng tính chất hình học nào, tính chất đó có ngay khi phát biểu bài toán hay phải phán đoán tính chất có lợi cho bài toán và chứng minh nó Một việc nữa là phải chuyển từ ngôn ngữ hình học phẳng sang ngôn ngữ hình giải tích phẳng sao cho thuận tiện và dễ hiểu

Để giúp các thầy, cô có cái nhìn rõ hơn về đề thi đại học những năm gần đây, dạy học ôn thi hiệu quả; cũng là để giúp các em học sinh tiếp thu dạng toán

này dễ dàng hơn Chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Đi tìm nguồn gốc bài toán

hình học giải tích trong mặt phẳng, định hướng cách giải và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh”

II – Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu những khó khăn và thuận lợi khi học sinh giải toán hình học giải tích phẳng, thông qua chuyên đề, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp và sự tìm tòi của bản thân

Đưa ra một số tính chất hình học thường dùng, hệ thống các bài tập áp dụng; khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa từ một số bài toán cơ bản của hình học phẳng sang bài toán hình học giải tích phẳng

III – Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Giáo viên giảng dạy môn toán THPT

- Học sinh khối 10 THPT

- Học sinh khối 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia

- Đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh khối 12

IV – Phương pháp nghiên cứu

- Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện

- Tìm kiếm tài liệu liên quan đến hình học phẳng, hình học giải tích phẳng; những sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp thuộc bộ môn toán

- Giảng dạy các tiết bài tập, chuyên đề tại các lớp 10A6, 10A1, 12A1 tại các trường THPT Yên Mỹ, Minh Châu, Triệu Quang Phục để thu thập thông tin

- Họp nhóm biên soạn để tìm phương án hợp lý nhất

B NỘI DUNG

I - Thực trạng vấn đề trước khi làm đề tài

Huyện Yên Mỹ tỉnh Hưng Yên có ba trường THPT công lập là THPT Yên

Mỹ, THPT Minh Châu và THPT Triệu Quang Phục Quá trình dạy học môn Toán của các trường trong huyện chỉ dừng lại ở mức độ hội học, hội giảng và trao đổi kinh nghiệm trong nội bộ mỗi trường mà chưa có những hoạt động mang tính liên trường với nhau Vì đó mà những kinh nghiệm giảng dạy chưa có cái nhìn toàn diện và sâu sắc Nhiều thầy cô còn lúng túng trong việc lựa chọn phương pháp giảng dạy và hệ thống bài tập chưa được phù hợp chính vì vậy học sinh càng gặp nhiều khó khăn hơn

Đề tài này tạo sân chơi và cơ hội để các thầy cô dạy môn Toán ba trường giao lưu, học hỏi, trao đổi sáng kiến, kinh nghiệm và biện pháp giảng dạy đề tài hình học giải tích phẳng sao cho có hiệu quả, giúp học sinh dễ tiếp thu kiến thức

II – Kết quả đạt được khi áp dụng đề tài

Sau khi áp dụng kết quả nghiên cứu trong đề tài và qua khảo sát cho thấy

đa phần các thầy cô thấy có hiệu quả thực sự khi áp dụng dạy trên lớp

Trong hai đề thi thử Đại học thì có 85% học sinh lớp 10 và 90% học sinh lớp 12 giải được bài toán hình học giải tích phẳng

III – Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả

- Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo giảng dạy cho các thầy cô dạy môn Toán tại trường THPT

- Đề tài là tài liệu tham khảo bổ ích cho các em thi học sinh giỏi, khối 10 và các em học sinh thi THPT Quốc gia

IV – Cơ sở lí luận

1 Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

2 Phương pháp tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa

Tính chất 3 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I Có trực tâm H,

M là trung điểm của BC Khi đó AH 2IM.

Tính chất 4 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I Gọi H, K lần

lượt là chân đường cao kẻ từ B, C xuống các cạnh AC, BC Khi đó IA HK

Tính chất 4 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D là giao điểm thứ hai của

đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp ABC và M là giao điểm của AH với

BC Khi đó M là trung điểm của HD

Tính chất 5 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp J Gọi D là giao

điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng AJ và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC và IDBC

Tính chất 6 Cho ABC có trực tâm H; E, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của

C, B lên các cạnh AB và AC Gọi P là trung điểm của AH, M là trung điểm của

BC Khi đó PM ED

Tính chất 7 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D, E, F lần lượt là chân

đường cao kẻ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB Khi đó H là tâm đường tròn nội tiếp DEF

Chú ý:

1 Cần đặc biệt chú ý quan hệ vuông góc, sự bằng nhau, quan hệ về góc của

hình vuông, hình thoi và các tam giác đặc biệt

2 Các công thức diện tích, khoảng cách, công thức tính góc, các định lý

sin, cosin trong tam giác…

4 Một số bài toán cơ bản

Bài toán 1. Lập phương trình đường thẳng

1 Qua hai điểm phân biệt

2 Qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước

3 Qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước

4 Qua một điểm và tạo với một đường thẳng cho trước một góc không đổi

5 Qua một điểm và cách một điểm một khoảng không đổi

6 Là phân giác tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

7 Là phân giác của một góc của một tam giác cho trước

Bài toán 2 Tìm điểm M thỏa mãn một tính chất cho trước

1 Đối xứng với một điểm qua một đường thẳng

2 Thuộc một đường đã cho và cách một điểm cố định một khoảng không đổi

3 Thuộc hai đường mà ta cần xác định hai phương trình hai đường

d A

4 Điểm M thuộc đường thẳng (∆) và M cùng với điểm I cho trước tạo với (∆) một góc không đổi

Bài toán 3 Lập phương trình đường tròn

1 Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng

2 Biết tâm và bán kính

3 Biết tâm thuộc một đường và thỏa mãn một tính chất cho trước

Một số chú ý

1 Về bài toán tìm điểm

+) Điểm cần tìm có yếu tố gì thuận lợi

+) Điểm cần tìm có thuộc một đường nào đã biết không

+) Có thể tính được khoảng cách từ điểm đó đến một điểm cố định được không

+) Cần đặc biệt chú ý khi điểm cần tìm là trọng tâm, trực tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp…

+) Để tìm điểm A, có thể tìm điểm B thuận lợi hơn mà từ đó xác định được tọa độ điểm A

2 Về mối liên hệ ba điểm

Cho ba điểm A, B, C trong đó đã biết hai trong ba điểm Khi đó các điểm

có thể có các mối quan hệ sau:

+) Tạo thành mối quan hệ vuông góc +) Tạo thành tam giác cân, đều

Cho hai điểm A, B và đường thẳng d Khi đó chúng có thể có các mối quan hệ sau:

+) AB tạo với d một góc xác định (B thuộc d)

+) Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d

Các bước tìm lời giải một bài toán hình giải tích phẳng Bước 1 Từ giả thiết bài toán phát hiện tính chất hình học và các mối liên hệ ràng

buộc

Bước 2 Đại số hóa các điểm, các đường từ mối liên hệ hình học giữa các điểm,

các đường trong bài toán để có các phương trình, hệ phương trình

Bước 3 Giải các phương trình, hệ phương trình trên tìm tọa độ điểm hay phương

B

PHẦN I

TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐẾN BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

(Nguyễn Cao Thời)

Hình học Euclid (hình học phẳng) là hình học được xây dựng bằng hệ các tiên

đề, hình học giải tích phẳng là một cách biểu hiện của hình học Euclid bằng ngôn ngữ đại số Từ một bài toán hình học phẳng bằng cách tọa độ hóa các điểm, các đường thẳng khác nhau ta sẽ có cách phát biểu mỗi bài toán khác nhau mà không làm thay đổi tính chất của bài toán ban đầu (bài toán gốc)

Từ một bài toán gốc ta có thể sáng tác ra nhiều bài toán hình giải tích phẳng khác nhau Vậy nên, muốn nghiên cứu một bài toán hình giải tích phẳng một cách triệt để và

có tính phát triển thì việc đi tìm bài toán cội nguồn là vô cùng cần thiết

Xuất phát từ bài toán:

“Cho hình vuông ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm

của BC và CD Khi đóANDM”

Bằng cách tọa độ hóa điểm M và cho phương trình

đường thẳng AN Ta có bài toán sau:

“Cho hình vuông ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và DC Biết điểm M(2; 3) và đường thẳng AN có phương trình x - 2y + 6 =0 Tìm tọa độ điểm A”

Trong bài toán trên xét điểm N ở vị trí N’, thay DM thành PM và giữ cố định AM; vẽ đường tròn đường kính AM Bằng trực giác ta thấyAN' PM và giao điểm H của AN’ và PM nằm trên BD Bằng công cụ vectơ hay tọa độ ta có thể chứng minh nhận định trên

Ta có kết quả sau: “Cho hình vuông ABCD Gọi N là điểm trên cạnh DC sao

NC = 2DN, P là điểm trên cạnh AD sao cho PA = 5PD, H là giao điểm của AN và PM Khi đó tam giác AHM vuông cân và H thuộc BD thỏa mãn HB = 3HD”

Đến đây bằng cách cho biết tọa độ một số điểm và cho một số đường thẳng có phương trình hợp lý, ta có nhiều bài toán của cùng một vấn đề, nhất là hai bài toán trong hai đề thi Đại học năm 2012 và năm 2014

Bài toán 1 (ĐH_A_2012) Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của

cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Giả sử 11 1;

Nhận xét: Nếu bài toán thay vì cho tọa độ điểm M, mà thay bằng cho tọa độ trung điểm

I của đoạn thẳng AM Thì bài toán ở mức độ sâu hơn

Thay vì cho phương trình đường thẳng AN ta có thể cho tọa độ của điểm H, từ

đó ta có đề thi Đại học khối A năm 2014

Bài toán 2 (ĐH_A_2014) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình

vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn BC và H là điểm thuộc đoạn DB sao cho HB = 3DH Viết phương trình đường thẳng AD, biết rằng M(1; 2) và H(2;

-1)

H D

B A

C

M

N P

Hướng 1 “Tìm trung điểm I c a đoạn thẳng D”

Hướng 2 “Tìm hai điểm ph n biệt tr n đường D”

hai lần số đo góc nội tiếp cùng chắn một cung” ta có bài toán sau:

Bài toán 3 Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm thuộc

đường chéo BD sao cho BH = 3HD, MH cắt cạnh AD tại P Giả sử điểm I(-1; 2) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMP, đường thẳng AD có phương trình 2x - y - 6 =

H

M A

C

M

N P

Ta có bài toán sau:

Bài toán Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABEM có G

là trung điểm của EM H và D là hình chiếu vuông góc của A và E lên BG Gọi C

là điểm đối xứng của A qua M; K là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng

AD Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và trung điểm của đoạn thẳng AC thuộc đường thẳng có phương trình d: x – y + 10 = 0 Tìm tọa độ điểm A

Trong khi đó đề thi THPT Quốc gia năm 2015 như sau:

Bài toán 4 (THPT QG_2015) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam

giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng

AD Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng có phương trình d: x – y + 10 = 0 Tìm tọa độ điểm A

Chú ý: Trong cách khai thác trên, thì tam giác vuông ABC có AC = 2AB Trong khi đó

đề thi THPT Quốc gia năm 2015 thì chỉ cần tam giác ABC vuông là đủ

Hướng 1 “S d ng góc nội tiếp”

Hướng 2 “L p phương trình ”

Hướng 3 “Ch ng minh H là trung điểm E”

D H

Với cách làm từ hướng 3 ta có thể phát biểu bài toán theo cách khác như sau

Bài toán có thể phát biểu theo cách khác:

“Cho tam giác AEC, gọi H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ C và A lên các cạnh AE và CE Gọi D là trực tâm của tam giác AEC, B là điểm đối xứng của

D qua cạnh AE và góc BAC = 90 o Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và M(0; 10) là trung điểm của AC Tìm tọa độ điểm A”

Với đề thi đại học khối B năm 2013

Bài toán 5 (ĐH_B_2013) Trong mp tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có

hai đường chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình: x + 2y - 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm là H(-3; 2) Tìm tọa độ các đỉnh

C và D

Từ giả thiết của bài toán ta có thể vẽ thêm hình để được hình vuông AMND

Khi đó bài toán sẽ có nhiều hướng giải và nhiều cách phát biểu khác của bài toán

Nếu khai thác bài toán gốc theo hướng sau đây

H D

B

E

M K

I H

E

Ta có bài toán trong đề thi HSG tỉnh Hưng Yên Năm 2015

Bài toán 6 (HSG tỉnh Hưng Yên 2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình

vuông ABCD Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và BC; điểm M thuộc cạnh

5

MD MC; G là trọng tâm của tam giác BKD Biết phương trình đường

thẳng IM: 3x - y - 11 = 0 và tọa độ điểm 1; 10

3

G  

  Viết phương trình đường chéo

BD của hình vuông ABCD.

Tóm lại: Đối với một bài toán hình giải tích phẳng, ta có được bài toán gốc ban đầu là

ta đã biết được cội nguồn của vấn đề, để từ đó đưa ra các hướng giải cho bài toán và có thể phát triển bài toán thành các bài toán khác đa dạng và phong phú hơn; nắm được bản chất cốt lõi của vấn đề một cách sâu sắc

Sau đ y là lời giải chi tiết theo nhiều cách c a một số đề thi Đại học

Bài toán 1 (ĐH_A_2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình vuông ABCD

Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND

nên ta sẽ nghĩ ngay tới việc tính góc A nhờ định lý cosin trong tam giác hay một

AM AN MN AM

A

D

B

C N

M

+) Gọi a là độ dài cạnh hình vuông Đặt  BAM;  DAN

Do ABCD là hình vuông có M, N là cố định nên tính đƣợc

và góc AHM vuông Nên tam giác

Nh n thấy tam giác MH vu ng c n tại H n n bài toán có thể phát biểu theo cách khác

“Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh

CD sao cho CN = 2ND Gọi H là giao điểm của AN và BD Giả sử 11 1;

  Tìm tọa độ điểm A”

Bài toán 2 (ĐH_A_2014) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình

vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và N(2;

-1)

Phân tích

+) Yêu cầu toàn toán là lập phương trình CD Gắn kết các

dữ kiện của bài toán khi biết tọa độ hai điểm M(1; 2),

N(2; -1) và AN = 3NC hướng ta đến tìm tọa độ điểm P

Từ đẳng thức MN  3NP

+) Lúc này tư duy tự nhiên hướng ta tới việc tìm tọa độ một

điểm khác thuộc CD hoặc một vectơ pháp tuyến hay một vectơ chỉ phương

Hướng 1 “Tìm trung điểm I c a đoạn thẳng CD”

) Ta có MN 10 không đổi, gọi a (a>0)

là độ dài cạnh của hình vuông ABCD

 





Hướng 2 “Tìm hai điểm ph n biệt tr n đường CD”

+) Chứng minh được hai tam giác DJN và NIM bằng

Từ hướng trình bày trên ta có kết quả sau:

“Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của AB và N là điểm thuộc AC sao cho

AN = 3NC Khi đó tam giác DNM vuông cân tại N”

đường th ng CD qua P và tạo v i MP một góc 

Bài toán có thể phát biểu theo cách khác:

“Trong m t ph ng v i h tr c tọa độ Ox , cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC iết phư ng trình đường th ng CD, biết rằng M(1; 2 và đường th ng DN có phư ng trình x - 3y - 5 = 0”

Bài toán 3 (THPT QG_2015) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam

giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng

AD Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng có phương trình d: x – y + 10 = 0 Tìm tọa độ điểm A

N(2;-1)

P J

N(2;-1) P I

+) Lại có HKAHABHADHAK nên tam giác

AHK cân tại H

Mà MA = MK nên HM là đường trung trực của AK,

suy ra A là điểm đối xứng của K qua HM

(Hoặc Tọa đọ A là nghiệm hệ phương trình

Hướng 3 “Ch ng minh H là trung điểm E”

+) Tứ giác AHKC nội tiếp đường tròn tâm M

+) Gọi E là giao điểm của AH và CK kéo dài Từ giả thiết

của bài toán, có ED là đường cao và D là trực tâm của

tam giác AEC

Nên ta có ED BA, do HBHD BHA DHE

Do đó H là trung điểm của AE và A thuộc đường

tròn tâm H bán kính HK

Bài toán có thể phát biểu theo cách khác:

“Cho tam giác AEC, H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ C và A lên các cạnh AE và CE Gọi D là trực tâm của tam giác AEC, B là điểm đối xứng của D qua cạnh AE và góc BAC = 90 o Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và M(0; 10) là trung điểm của AC Tìm tọa độ điểm A”

H

B

M D K

2 1

1 H

B

M D K

H D

B

E

M K

D H

Bài toán 4 (ĐH_B_2013) Trong mp tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có

hai đường chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình: x + 2y - 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm là H(-3; 2) Tìm tọa độ các đỉnh

C và D

Phân tích

+) Ta viết được phương trình AC đi qua H và vuông góc với BD

Gọi BDAC { }I , khi đó với dữ kiện bài toán sẽ chứng minh được tam giác BHC cân tại B hay I là trung điểm của HC Lúc này ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm I

và suy ra được tọa độ điểm C

Hướng 1 “Điểm D cách một điểm cố định một khoảng kh ng đ i”

+) Ta viết được phương trình AC đi qua H và vuông góc với BD

+) Gọi BDACI, ta sẽ chứng minh được I là trung điểm HC vì chứng minh được tam giác BHC cân tại B

+) Lúc này ta tìm được tọa độ điểm I(-2; 4) và

suy ra được tọa độ điểm C(-1; 6)

I H

E

3x + y + 17 = 0 và x - 3y - 1 = 0

+) Tọa độ D là giao của AD và BD nên tìm được D(-8; 7) hoặc D(4; 1)

Bài toán 5 (ĐH_A_2011) Trong mp tọa độ Oxy, cho đường thẳng  :x  y 2 0

và đường tròn   2 2

C  y x y Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc  Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

Bài toán 6 (HSG tỉnh Hưng Yên 2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình

vuông ABCD Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và BC; điểm M thuộc cạnh

5

MD MC; G là trọng tâm của tam giác BKD Biết phương trình đường

thẳng IM: 3x - y - 11 = 0 và tọa độ điểm 1; 10

3

G  

  Viết phương trình đường chéo

BD của hình vuông ABCD.

Bài toán 7 (ĐH_B_2011) Cho tam giác ABC có đỉnh 1;1

2

B 

 

  Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D,

Δ

I(2;1)

M(ts) A

B

E, F Cho D(3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y - 3 = 0 Tìm tọa độ đỉnh

A, biết A có tung độ dương

suy ra phương trình BD: y = 1 song song với đường thẳng EF: y - 3

= 0 Do đó ADBC, lúc này việc đi tìm tọa độ A quay về việc tìm tọa độ điểm F (vì BFADA , A là giao của hai đường thẳng đã biết phương trình sau khi đã

2 0

BF BD t

F t

C D(3; 1)

4 3 5 0

7 3

Bài toán 8 (D_2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh

B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác troong của góc A có phương trình x – y – 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và C

Đường thẳng AC đi qua D và E, có phương trình: 4x - y - 13 = 0

của cạnh AB, điểm H(-2; 4) và điểm I(-1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B

và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C

Phân tích

*) Nếu ta biết được tọa độ điểm A thì ta sẽ tìm được tọa độ

Điểm C

+) C thuộc AH: là đường thẳng đi qua 2 điểm

H; A đã biết tọa độ

+) CI = AI (C cách I một khoảng không đổi là IA)

*) Như vậy vấn đề là phải tìm điểm A

+) A thuộc AB là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM

+) AM = MH (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Giải

+) AB đi qua điểm M nhận IM là VTPT nên có phương trình: 7x – y + 33 = 0 +) Gọi A(t; 7t + 33), khi đó theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông có AM = MH, suy ra 2

t  t       t t

Với A(-4; 5), khi đó AC qua A và H nên có phương trình: x + 2y – 6 = 0

Gọi C(6 – 2c; c) thuộc AC, do CI = AI nên dẫn đến 2

6 5 0

c  c  suy ra C(4; 1) Với A(-5; -2), khi đó AC đi qua A và H nên có phương trình: 2x – y + 8 = 0

Tương tự như trên ta tìm được C(-1; 6) Vậy có hai điểm C thỏa mãn: C(4; 1) và C(-1; 6)

M -9

2;

3 2

PHẦN II

TỪ MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG ĐẾN CÁC BÀI TOÁN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG

(Vũ Văn Dũng)

I - Một số bài toán tìm điểm

Bài toán1 (Tính chất góc ở tâm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm của đoạn BC, G là trọng tâm tam giác ABM, D(7; -2) là điểm nằm trên đoạn MC sao cho GA = GD Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC, biết đỉnh

A có hoành độ nhỏ hơn 4 và phương trình đường thẳng AG là 3x – y – 13 = 0

Nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

Mà góc ABM  ABD 45o nên AGD 90o.

D

Tức là tam giác ADG vuông cân tại G

Bài toán 2 (Tính chất đường nối tâm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là I(6; 1) Đường thẳng AH có phương trình x + 2y

- 3 = 0 Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng DE có phương trình x -

2 = 0 và điểm D có tung độ dương

Phân tích: i giả thiết cho ta su ra tứ giác BEDC, AEHD nội tiếp

-Ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC, nếu gọi K là trung điểm

AH thì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD

-Khi đó IK vuông góc v i ED ( t nh chất đường nối tâm

- L p được IK KA

- Tham số hóa D và sử d ng KA = KD D

- L p phư ng trình AC, BC B, C.

Lời giải:

Gọi K là trung điểm AH Tứ giác ADHE nội tiếp

đường tròn tâm K và BCDE nội tiếp đường tròn tâm I

Suy ra IKDE nên phương trình IK: y - 1 =0

Tọa độ K(1; 1) suy ra A(- 1; 2)

I K

H A

B

C E

D

I

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(3; -1) là trung

điểm của BC Điểm E(-1; -3) thuộc đường thẳng chứa đường cao đỉnh B, đường thẳng AC đi qua F(1; 3) Điểm đối xứng của A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là D(4; -2) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Phân tích

-Khi đề bài cho điểm đối xứng qua tâm đường tròn ngoại tiếp thì cần dựng thêm

trực tâm H của tam giác để t n d ng t nh chất đối xứng

-Ta chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành từ đó tìm được tọa độ H

-L p phư ng trình EH, AC, CD, AH su ra tọa độ đỉnh A, B, C

- Mấu chốt của bài là M là trung điểm của MH

Lời giải:

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành khi

đó M là trung điểm của HD

(2;0)

H



Phương trình HE đi qua H và E là: x – y – 2 = 0

Phương trình AC đi qua F và vuông góc với HE là : x + y – 4 = 0

Phương trình CD đi qua D và vuông góc với AC là : x - y – 6 = 0

F(1; 3) B

C A

D(4; -2)

E

M(3; -1) I

F(1; 3) B

C A

D(4; -2) H

E(-1; -3)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A và phân giác ngoài góc B lần lượt là   :x 2 và

 d :x  y 7 0 1  

;1 , 2;1 2

I  J

  lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

của tam giác ABC Tìm tọa độ của A, B, C

Phân tích

-Sử d ng t nh chất giữa đường phân giác trong và đường phân giác ngoài luôn

vuông góc v i nhau    BJ  d B

-L p phư ng trình đường tròn tâm I, bán k nh IB

-Tham số hóa A và A thuộc đường tròn tâm IA

-Lấ A’đối xứng A qua đường phân giác  A' phư ng trình BCC (tính chất đối xứng của một điểm qua đường phân giác trong sẽ thuộc cạnh còn lại

j

J A

T A'

Lấy A’ đối xứng với A qua BJ, dễ thấy A' BC Gọi A x y' 0 ; 0

Với A(2; 6)  tọa độ trung điểm của AA’ là

x

A y

 , đường thẳng AB: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD Tìm tọa độ các đỉnh hình

chữ nhật biết đỉnh A có hoành độ âm

D

B

C

5 3

AB

B HB

Bài toán 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có

diện tích là 4, A(2; 0), B(3; 0) Biết tâm I của hình bình hành nằm trên đường

thẳng d: y = x Tìm tọa độ các đỉnh C và D

HD

Theo giả thiết I thuộc đường thẳng (d):

y = x nên I(a; a) Ta có AB = 1

Bài toán 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

D(4; 5), M là trung điểm AD, CM có phương trình: x – 8y + 10 = 0 Điểm B nằm trên đường thẳng : 2x + y + 1 = 0 Tìm tọa độ A, B, C biết rằng y C  2

HD

K D

C

H

I B

A

C

D

Gọi I là giao của AC và BD

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, D trên CM

Bài toán 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có đáy

lớn CD = 3AB, C(-3; -3), trung điểm của AD là M(3; 1) Tìm tọa độ đỉnh B biết diện tích tam giác BCD là 18, AB 10 và đỉnh D có hoành độ nguyên dương

HD

Phương trình cạnh CD qua C có véc tơ pháp tuyến n a b ( ; )có dạng:

ax + by + 3a + 3b = 0 Theo giả thiết:

a  , chọn a = 31, b = -27 suy ra phương trình CD: 31x – 27y +12 =

0 Loại vì D có hoành độ không nguyên dương B(-3; 1)

I G

D

C M

31

Bài toán 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có

N là trung điểm của CD và đường thẳng BN: 13x – 10y + 13 = 0, điểm M(-1; 2) thuộc đoạn AC sao cho AC = 4AM Gọi H là điểm đối xứng của N qua C Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành, biết rằng 3CA = 2AB và điểm H thuộc đường thẳng : 2x – 3y = 0

Bài toán 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

diện tích là 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1: x – y – 3 = 0 và d2: x + y –

6 = 0, trung điểm một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh

của hình chữ nhật

HD

G I

D

C

H N

M

I

M

Vì I là giao của d1 và d2 nên 9 3;

2 2

I 

 

Gọi M là giao của d1 và Ox và là trung điểm

của AD suy ra M(3; 0) Theo giả thiết:

Bài toán 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Đường

thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình 3x + 5y – 8 = 0, x – y – 4 = 0 Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D(4; -2) Viết phương trình đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của B không lớn hơn 3

Tứ giác HKCE nội tiếp nênBHK KCE mà BDA KCE BHK BDA

Suy ra K là trung điểm của HD nên H(2; 4)

Vì B thuộc BC nên B(t; t – 4) và C(7– t; 3 – t) Mặt khác HB vuông góc AC nên

B

C M

D

E

33

Bài toán 13 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ trực

tâm H(2; 1) và tâm đường tròn ngoại tiếp I(1; 0) Trung điểm của BC nằm trên đường thẳng có phương trình x – 2y – 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua điểm E(6; -1) và hoành độ điểm B nhỏ hơn

4

HD

Gọi M là trung điểm của BC nên M(2t + 1; t)

Gọi J là điểm đối xứng của I qua BC, khi đó J

là tâm ngoại tiếp tam giác HBC J4t 1; 2t

Do E nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác

So sánh với điều kiện k < 4 ta được k = 2B 2;3 Mà M 3;1 C4; 1  

Bài toán 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): x + y + 2 = 0 và

C

Bài toán 15 Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang vuông ABCD (góc vuông tại

A và D) Biết BC = CD = 2AB Điểm N(1; 0) là trung điểm BC, đường thẳng AD

cos60

Bài toán 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A Biết

B(3; 0),  AC :x y 0 M là trung điểm AB, H là hình chiếu của M lên BC Cho

M

K

lượt là trung điểm của AH và CD Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết đỉnh C có tung độ dương

Đ/S: A(1; 0 ; B(1; 4 ; C(9; 4 ; D(9; 0

Bài toán 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn nội

tiếp đường tròn tâm I Điểm M(2; -1) là trung điểm cạnh BC và điểm 31; 1

Gọi H là giao của ME và AC

Ta có tứ giác BEMI nội tiếp nên

1 2

BIE BME

MCH BIE MCH BIA

Phương trình AI qua E và AI vuông góc với BE là: 11x + 3y – 26 = 0

Suy ra A(1; 5) A(1; 5 ; B(-1; -1); C(5; -1)

Bài toán 20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(3;

-1) là trung điểm của BC Điểm E(-1; -3) thuộc đường thẳng chứa đường cao đỉnh

B, đường thẳng AC đi qua F(1; 3) Điểm đối xứng của A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là D(4; -2) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

HD

I A

B

C E

M

H