Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 8, 9 ở trường THCS vĩnh hòa thông qua việc dạy, học chủ đề tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

PHẦN I MỞ ĐẦU I.1 Lý chọn đề tài Mục tiêu giáo dục xã hội đặt yêu cầu cấp thiết cần giải Điều 27, Mục 2, Chương II, Luật Giáo dục sửa đổi năm 2005 xác định: “Mục tiêu giáo dục phổ thông giúp học sinh phát triển toàn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc; Giáo dục trung học sở nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết giáo dục tiểu học; có học vấn phổ thơng trình độ sở hiểu biết ban đầu kỹ thuật hướng nghiệp để tiếp tục học trung học phổ thông, trung cấp, học nghề vào sống lao động” Chương trình mơn Tốn THCS xác định mục tiêu kiến thức, kỹ năng, tư duy, tình cảm thái độ học sinh cần đạt cấp học; xây dựng kế hoạch, nội dung dạy học đảm bảo tính logic, thống nhất, cân đối mạch nội dung phân mơn Số học, Đại số, Hình học Đặc biệt Chương trình Tốn THCS xây dựng chuẩn kiến thức, kỹ lớp với yêu cầu mức độ cần đạt tối thiểu chủ đề Sách giáo khoa mơn Tốn THCS đảm bảo tính xác, khoa học, thể đầy đủ chuẩn kiến thức, kĩ quy định chương trình Sách giáo khoa mơn Tốn THCS phù hợp với chương trình với trình độ nhận thức học sinh Nhìn chung, chương trình, sách giáo khoa mơn Tốn tạo điều kiện ban đầu thuận lợi cho giáo viên thực phương pháp dạy học, tích cực hóa hoạt động học tập học sinh Nhiều chủ đề kiến thức sách giáo khoa thể tính liên thơng kiến thức lớp bậc học, vận dụng nhiều phân môn Số học, Đại số Hình học khơng cấp THCS Một chủ đề chủ đề “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” Đi sâu nghiên cứu q trình dạy, học Tốn lớp 8, THCS phần “Bất đẳng thức toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức”, Tôi nhận thấy: Trong nhiều năm qua, không đề thi học sinh giỏi toán cấp mà kiểm tra định kỳ chương trình khố, kiểm tra cuối kỳ, cuối năm thường xuất toán “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” Theo dõi kết làm học sinh, Tôi nhận thấy hầu hết học sinh không giải giải không trọn vẹn, nhiều học sinh phương hướng xem xét toán Theo Tơi ngun nhân dẫn đến tình trạng nêu là: Kiến thức Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức khơng trình bày cách tường minh sách giáo khoa toán THCS hành; Trong hệ thống tập dạng tốn lại xuất nhiều sách tập sách tham khảo Tài liệu tham khảo nhiều phong phú lại thiếu gợi ý phương pháp nghiên cứu, chủ yếu trình bày lời giải; Đa số giáo viên dạy dạng thường chưa quan tâm cung cấp, củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu kiến thức trọng tâm, chưa ý đến việc xây dựng cho học sinh phương pháp suy nghĩ, nghiên cứu, khai thác toán Thiết nghĩ, giáo viên có q trình nghiên cứu cụ thể tồn diện chương trình, nội dung sách giáo khoa, sách tập, biết lựa chọn hệ thống tập từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, đặc biệt tập có tính khái qt cao, có khả khai thác sâu; Mặt khác giáo viên cần có phương pháp hướng dẫn học sinh phương pháp nghiên cứu, khai thác toán, phương pháp kiểm tra, “cân, đong, đo, đếm" khả tư học sinh, học sinh chủ động, say mê, tìm tịi, khám phá, kỹ rèn luyện, học sinh bước biết sáng tạo học toán Từ lý nêu trên, Tôi sâu nghiên cứu, rút kết luận triển khai áp dụng đề tài “Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Vĩnh Hịa thơng qua việc dạy học chủ đề Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” I.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh khá, giỏi lớp 8, củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu kiến thức Bất đẳng thức loại tốn “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” - Hướng dẫn học sinh phương pháp suy nghĩ, nghiên cứu, phương pháp giải số dạng tốn “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” - Rèn luyện cho học sinh kỹ vận dụng kiến thức, kỹ giải số dạng toán “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” - Bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi lớp 8, lực suy luận, tính linh hoạt, phát triển lực tư logic, tính sáng tạo cho học sinh - Góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi chất lượng mơn Tốn lớp 8, trường THCS Vĩnh Hòa I.3 Đối tượng nghiên cứu - Nội dung, chương trình, sách giáo khoa Tốn 8, THCS - Học sinh khá, giỏi lớp 8, giáo viên dạy Toán 8, trường THCS Vĩnh Hịa, huyện Vĩnh Lộc - Q trình dạy học giáo viên học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Vĩnh Hòa, huyện Vĩnh Lộc I.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; - Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin; - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu - Phương pháp thực nghiệm, kiểm nghiệm, đối chứng, so sánh PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM II.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Định hướng đổi phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, tự lực, sáng tạo học sinh; tăng cường kỹ thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ vào giải vấn đề thực tiễn góp phần hình thành phát triển lực học sinh; đa dạng hóa hình thức học tập, trọng hoạt động trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học học sinh; đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin truyền thông dạy học; Khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc; Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học; bảo đảm cân đối trang bị kiến thức, rèn luyện kỹ định hướng thái độ, hành vi cho học sinh; ý việc tổ chức dạy học phân hoá theo lực học sinh dựa theo chuẩn kiến thức, kỹ Chương trình giáo dục phổ thơng; Đẩy mạnh việc vận dụng dạy học giải vấn đề, phương pháp thực hành, dạy học theo dự án mơn học; tích cực ứng dụng cơng nghệ thơng tin phù hợp với nội dung học Phân môn Đại số THCS hành bao gồm chương, bố trí 70 tiết; số tiết lý thuyết: 42; số tiết luyện tập, thực hành, ôn tập: 20; số tiết kiểm tra: 08 Phân môn Đại số THCS hành bao gồm chương, bố trí 70 tiết; số tiết lý thuyết: 44; số tiết luyện tập, thực hành, ôn tập: 18; số tiết kiểm tra: 08 Chủ đề “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” không xuất cách tường minh chương trình Tốn 8, THCS hành, mà nêu sơ lược vài tính chất bất đẳng thức thuộc tiết 57, 58, Chương IV, Đại số 8, lại xuất nhiều sách tập dạng tập đề kiểm tra học kỳ, đề thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp; Địi hỏi giáo viên q trình dạy học Tốn 8, nói chung, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn 8, nói riêng phải hướng dẫn học sinh lý thuyết phương pháp giải tốn “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thưc”; Giải tốt chủ đề góp phần phát huy tính tích cực, chủ động, tự lực, sáng tạo học sinh, tăng cường kỹ thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ vào giải vấn đề thực tiễn góp phần hình thành phát triển lực tự học, lực tư sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 8, THCS, làm sở để học sinh khá, giỏi tiếp tục học tốt bậc THPT II.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Vĩnh Hịa xã có địa bàn dân cư rộng, dân số đông, kinh tế nông, điều kiện lại, học tập học sinh gặp nhiều khó khăn; Tỷ lệ học sinh thuộc hộ nghèo cận nghèo nhiều; Sự quan tâm cha mẹ học sinh học năm gần có chuyển biến tiến thiếu theo dõi, sâu sát, định hướng cụ thể Đa số học sinh trường chăm ngoan, có cố gắng học tập rèn luyện; Tuy nhiên điều kiện học tập chưa tốt; Số học sinh có khả tiếp thu tốt cịn ít; Phương pháp học tập học sinh chủ yếu dựa vào ghi chép từ dạy giáo viên, khả nghiên cứu hạn chế; Học sinh giải tập thường đâu, định hướng giải nào; Nhiều học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập, khơng biết cách trình bày lời giải; khả ghi nhớ vận dụng hạn chế Khi giải tập “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” nhiều học sinh lúng túng chưa xác định hiểu sai kiến thức, không xác định dạng hướng giải bước giải, trình bày giải chưa khoa học, chí học sinh khá, giỏi gặp nhiều khó khăn Việc đổi phương pháp dạy học kiểm tra đánh giá chậm chưa đồng Giáo viên học sinh chưa khắc phục nhận thức, thói quen dạy học nặng lý thuyết, nhẹ thực hành, liên hệ kiến thức tốn học với thực tiễn môn học khác Lối dạy học theo kiểu truyền thụ chiều phổ biến Trong bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên chưa quan tâm đến việc dạy lý thuyết phương pháp bản, không phân loại tập, mà quan tâm đến số tập lời giải mẫu Kết kiểm tra định kỳ Môn Đại số lớp 9A, 9B, chương I, thời lượng 45 phút, năm học 2017-2018; Đề kiểm tra có câu; Thống kê kết câu “Tìm giá trị lớn biểu thức”, kết sau: Lớp Tổng số HS Số HS không làm câu Số HS làm sai loại tốn (khơng hướng) Số HS làm hướng chưa hoàn chỉnh giải Số HS làm hướng hoàn chỉnh giải 9A 9B 33 30 29 (87,9%) 30 (100%) (9,1%) (0%) (3,0%) (0%) (0%) (0%) Kết kiểm tra học sinh khá, giỏi lớp 9, thời lượng 45 phút, năm học 2017-2018; Chủ đề Bất đẳng thức toán “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức”; Đề kiểm tra có câu, mức độ thông hiểu vận dụng cao; kết sau: HS Khá, giỏi Tổng số HS Số HS không hiểu loại toán Số lượng Tỷ lệ % 16 15 93,75 Số HS phát vấn đề 6,25 Điểm yếu, Điểm TB 15 93,75 6,25 Điểm trở lên 0 Rõ ràng khả giải tập “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” học sinh lớp học sinh khá, giỏi lớp Trường hạn chế; Tỷ lệ yếu cao; Tỷ lệ khá, giỏi thấp Từ cở sở lý luận thực trạng nêu trên, cần có giải pháp phù hợp để rèn luyện kỹ giải tốn “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” cho học sinh khá, giỏi lớp 8, THCS, góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn 8, nói chung chất lượng học sinh khá, giỏi mơn Tốn 8, nói riêng, tạo sở cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8, đạt kết mong muốn II.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề II.3.1 Hướng dẫn, củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu cho học sinh kiến thức Bất đẳng thức; Qua hướng dẫn học sinh phương pháp suy nghĩ khai thác kiến thức Như nói trên, học sinh chưa tiếp cận cách đầy đủ, tường minh Bất đẳng thức, địi hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinh nắm vững số kiến thức Bất đẳng thức; Tuy nhiên khn khổ đề tài nên Tơi tập trung làm rõ vấn đề “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” mà không nêu cách hướng dẫn học sinh với ví dụ minh họa cho phần Bất đẳng thức Khái niệm Bất đẳng thức Cho A B hai biểu thức, ta nói “A > B” “A < B” “A  B” “A  B” bất đẳng thức; Nói cách khác: Hai biểu thức nối liền dấu “>; B Bất đẳng thức Vế trái Vế phải + Từ hướng dẫn học sinh suy nghĩ, khai thác khái niệm Bất đẳng thức: Tồn khái niệm: “Bất đẳng thức đúng”, “Bất đẳng thức khơng đúng”; Ví dụ: 10  10 bất đẳng thức đúng; 10 < đẳng thức khơng (Cịn gọi đẳng thức sai) Một số tính chất bất đẳng thức số 1) a > b  a – b > 2) a > b  a + c > b + c với c 3) a > b  ac > bc với c > 0; a > b  ac < bc với c < 4) a > b b > c  a > c 5) a > b c > d  a + c > b + d 6) a > b c < d  a – c > b – d 7) a > b > c > d >  ac > bd 8) a > b >  an > bn (Với n nguyên dương) 9) a > b >  a  b 10) a > b ab >  1  a b Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1- Xét hiệu hai vế 2- Biến đổi tương đương 3- Xuất phát từ bất đẳng thức dạng 4- Làm giảm số biến 5- Dùng biến phụ 6- Phân khoảng 7- Làm trội 8- Tổng số không âm 9- Phản chứng 10- Quy nạp 11- Sử dụng miền giá trị biểu thức Một số bất đẳng thức 4.1 Bất đẳng thức bình phương tổng hiệu 1) (a – b)2   a2 + b2  2ab; Dấu “=’ xảy a = b; ta có BĐT: + 2(a2 + b2 )  (a + b)2 ; Dấu “=’ xảy a = b + (a + b)2  4ab Dấu “=’ xảy a = b ;  1   (Với a > 0; b a b a b > 0) Dấu “=’ xảy a = b + a2 + b2 + c2  ab + bc + ca  3(a2 + b2 + c2 )  (a + b + c)2 ; Dấu “=’ xảy a = b = c 2) A12 + A22 + … + An2  ; Dấu “=’ xảy Ai = 4.2 Bất đẳng thức tổng số với nghịch đảo a b   ; Dấu “=’ xảy a = b b a a b + Với a b khác dấu ta có:   - ; Dấu “=’ xảy a = - b b a + Với a b dấu ta có: 4.3 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 1) a   a ; Dấu “=’ xảy a = 2) a  a ; Dấu “=’ xảy a   a k 3) a  k (k  0)   ; Dấu “=’ xảy a = k  a  k 4) a  k (k > 0)  - k  a  k ; Dấu “=’ xảy a = k 5) a  b  a + b ; Dấu “=’ xảy ab  6) a  b  a - b ; Dấu “=’ xảy b(a – b)  4.4 Bất đẳng thức Côsy + Bất đẳng thức Côsy cho hai số không âm a b: a b  ab Hay a + b  ab Hay (a + b)2  4ab; Dấu “=” xảy a = b + Bất đẳng thức Côsy cho ba số không âm a, b, c: a b c  abc Hay a + b + c  3 abc Hay (a + b + c)3  27abc; Dấu “=” xảy a = b = c + Bất đẳng thức Côsy cho n số không âm a1; a2; …; an (n  N, n  2): a1  a   a n  n n a1 a a n Hay a1 + a2 + … + an  n n a1 a a n Hay (a1 + a2 + … + an)n  n a1a2…an; Dấu “=” xảy a1 = a2 = … = an + Hướng dẫn học sinh tìm dấu hiệu nhận biết phương pháp suy nghĩ để sử dụng: - Các số không âm - Sự liên lệ tổng tích n số khơng âm - Chiều từ tổng sang tích chiều “  “ 4.5 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki + Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho số (a1; a2); (b1; b2): a1b1  a b2  ( a12  a 22 )(b12  b22 ) Hay (a1b1 + a2b2)2  (a12 + a22)(b12 + b22) bn) a1 a2 a1 a2 Dấu “=” xảy b = b + Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho 2n số (a1; a2; …; an); (b1; b2; …; (n  N, n  2): a1b1  a b2   a n bn  ( a12  a 22   a n2 )(b12  b22   bn2 ) Hay (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2) an Dấu “=” xảy b = b = … = b n + Hướng dẫn học sinh tìm dấu hiệu nhận biết phương pháp suy nghĩ để sử dụng: - Các số tuỳ ý - Tổng tích, tích nhân tử lấy theo thứ tự - Tích tổng bình phương; Mỗi nhân tử tổng bình phương số thứ thứ hai tích - Chiều từ tổng tích sang tổng bình phương chiều “ ” - Giá trị tuyết đối II.3.2 Làm cho học sinh nắm vững kiến thức “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” Khái niệm giá trị lớn nhỏ biểu thức 1.1 Cho biểu thức A có tập xác định (TXĐ) X Ta nói rằng: a) Số M giá trị lớn biểu thức A (GTLN) với TXĐ X ký hiệu M = max A hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: 1) A  M với giá trị biến thuộc X; 2) Tồn giá trị biến thuộc X cho A = M b) Số m giá trị nhỏ biểu thức A (GTNN) với TXĐ X ký hiệu m = A hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: 1) A  m với giá trị biến thuộc X; 2) Tồn giá trị biến thuộc X cho A = m 1.2 Một số phương pháp tìm GTLN GTNN biểu thức - Phương pháp Bất đẳng thức - Phương pháp miền giá trị biểu thức Phương pháp Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhỏ nhát biểu thức 2.1 Tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức phương pháp bất đẳng thức xem phương pháp thông dụng hiệu để tìm GTLN, GTNN biểu thức Phương pháp này, tên gọi nó, dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN GTNN biểu thức; Vì giáo viên hướng dẫn cho học sinh nắm vững lược đồ chung phương pháp bất đẳng thức tìm GTLN GTNN biểu thức mơ tả sau: Giả sử biểu thức A có TXĐ tập X + Muốn tìm giá trị lớn A ta phải: 1) Tìm chứng minh bất đẳng thức A  M với giá trị biến thuộc tập X (Với M số xác định); 2) Chỉ tồn giá trị biến thuộc X cho A = M; Khi ta nói A có GTLN M kí hiệu: max A = M; Amax = M, ứng với giá trị biến nêu + Muốn tìm giá trị nhỏ A ta phải: 1) Tìm chứng minh bất đẳng thức A  m với giá trị biến thuộc tập X (Với m số xác định); 2) Chỉ tồn giá trị biến thuộc X cho A = m; Khi ta nói A có GTNN m kí hiệu: A = m; Amin = m, ứng với giá trị biến nêu 2.2 Giáo viên lưu ý học sinh phân biệt bước giải lược đồ: 1) Tùy dạng toán cụ thể mà ta lựa chọn phương pháp chứng minh BĐT phù hợp cách giá trị biến bước 2) Ở bước 2: Chỉ cần giá trị biến thuộc TXĐ thoả mãn điều kiện A = M (A = m) mà khơng cần tìm tất giá trị biến thoả mãn điều kiện Muốn cần: + Nhẩm chọn + Giải hệ phương trình; giải phương trình; giải bất phương trình - Nếu khơng tồn giá trị biến thuộc X để A = M (A = m) khơng kết luận GTLN GTNN A 3) Khi suy luận để bất đẳng thức A  M (A  m); cần xuất phát từ biểu thức chứa biến đơn giản biết dấu biến đổi làm xuất biểu thức A + Ví dụ: Biểu thức A biến đổi dạng A = ( x   2)  , phải từ biểu thức: x  0 4) Khi biến nhận giá trị nguyên sử dụng phép làm trội + Ví dụ: x ngun từ x > ta có x 2 Hai tốn cực trị bản: Xuất phát từ bất đẳng thức Côsy ta có: 3.1 Bài tốn 1: Nếu hai số dương có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Áp dụng: Trong số hình chữ nhật có chu vi (Có chu vi) hình vng hình có diện tích lớn 3.2 Bài toán 2: Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng bé hai số Áp dụng: Trong số hình chữ nhật có diện tích (Có diện tích) hình vng hình có chu vi bé II.3.3 Hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu tìm phương pháp giải số dạng tốn “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” II.3.3.1 Tìm GTLN, GTNN đa thức bậc hai biến x 1) Giáo viên hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu theo bước sau: Cho đa thức bậc hai biến x: f(x) = ax2 + bx + c (Với a  0) - Hãy biến đổi f(x) thành tổng hai biểu thức, biểu thức bình phương đa thức biến x, biểu thức thứ hai số? - Cho a  0, ta phải xét trường hợp dấu a? - Sử dụng lược đồ “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” để tìm chứng minh BĐT dạng f(x)  m f(x)  M? + Yêu cầu học sinh tự nghiên cứu thực đầy đủ bước theo hướng dẫn trên; Làm để rèn luyện kỹ cho học sinh: Với a  0, ta có: b c b c b2 b2 f(x) = ax + bx + c = a[x + x + ] = a[x + x + + - ] a a 2a a 4a 4a b 4ac  b f(x) = a(x + ) + ] (1) 2a 4a Do a  nên a > a < 0; b Vì (x + )  với a  nên: 2a b 4ac  b - Nếu a > 0; Ta có: a(x + )  0; Kết hợp với (1) suy f(x)  ; 2a 4a b b Dấu “=” xảy x + = 0, hay x = - ; 2a 2a b 4ac  b Từ ta có: minf(x) = , ứng với x = - ; 2a 4a b 4ac  b - Nếu a < 0; Ta có: a(x + )  0; Kết hợp với (1) suy f(x)  ; 2a 4a b b Dấu “=” xảy x + = 0, hay x = - ; 2a 2a 2 b 4ac  b Từ ta có: maxf(x) = , ứng với x = - ; 2a 4a 2) Học sinh rút kết luận tổng quát: Cho đa thức bậc hai biến x: f(x) = ax2 + bx + c (Với a  0) b 4ac  b , ứng với x = - ; 2a 4a b 4ac  b - Nếu a < 0, ta ln có maxf(x) = , ứng với x = 2a 4a - Nếu a > 0, ta ln có minf(x) = + Học sinh vận dụng kết để giải tồn có liên quan, giảm thời gian làm bài, tránh sai sót sơ đẳng biến đổi, đảm bảo tính xác; Tuy nhiên bước đầu áp dụng, yêu cầu học sinh trình bày cụ thể phép biến đổi để rèn luyện kỹ tính xác 3) Bài tập rèn luyện kỹ Tìm GTLN GTNN biểu thức sau: a) A = 3x2 – 4x + b) B = 5x – 7x2 – c) C = 3xy – x2 – y2, x y thỏa mãn phương trình 5x + 2y = 10 d) D = (x2 – x + 1)2 e) E = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) + Từ tập c, d, e, giáo viên yêu cầu học sinh rút hướng giải II.3.3.2 Tìm GTLN, GTNN đa thức bậc cao nhiều biến; Phương pháp biến đổi đa thức thành tổng đa thức bậc chẵn số 1) Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức: A = x2 – 2x + y2 + 4y - + Giáo viên hướng dẫn học sinh: - Nhận xét bậc đa thức biến? Từ đề xuất hướng biến đổi đa thức? + Học sinh suy nghĩ để biến đổi biểu thức A thành tổng đa thức bậc hai số; Từ thực lời giải A = x2 – 2x + + y2 + 4y + – 10 = (x - 1)2 + (y + 2)2 – 10 Do (x - 1)2  0; (y + 2)2  nên A  - 10 Dấu “=” xảy (x - 1)2 = (y + 2)2 = 0; Hay x = 1; y = - Vậy minA = - 10 x = 1; y = - * Phương pháp: Để tìm GTLN, GTNN đa thức nhiều biến bậc chẵn ta biến đổi đa thức thành tổng đa thức bậc chẵn số 2) Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức: B = x3 + y3 + xy với x + y = + Giáo viên hướng dẫn học sinh: - Nhận xét liên hệ điều kiện cho với biểu thức B; Từ đề xuất hướng biển đổi biểu thức B? + Học sinh đưa hướng biến đổi sau: - Hướng 1: Từ x + y = 1, ta có x = – y; Khi B = (1 – y) + y3 + y(1 – y) = – 3y + 3y2 – y3 + y3 + y – y2 = 2y2 – 2y + - Hướng 2: B = (x + 1)3 – 3xy(x + y) + xy = – 2xy 10 - Hướng 3: B = (x + y)(x – xy + y2) + xy = x2 – xy + y2 + xy = (x + y)2 – 2xy = – 2xy * Phương pháp: Để tìm GTLN, GTNN đa thức nhiều biến bậc cao ta có thể: - Từ điều kiện cho sử dụng phép để giảm số biến; - Sử dụng đẳng thức liên quan để hạ bậc đa thức; - Sử dụng bất đẳng thức dạng f ( x) II.3.3.3 Tìm GTLN, GTNN phân thức dạng A = g ( x) , g(x) đa thức bậc 2, f(x) đa thức có bậc khơng lớn 1) Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức C = 4x  4x  + Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận xét bậc tử mẫu; Từ học sinh suy nghĩ đến hướng biến đổi đa thức bậc hai Ta có: 4x2 – 4x + = (2x – 1)2 +  4; TXĐ biểu thức C R 1  , C  4 4x  4x  Dấu “=” xảy 2x – = 0, hay x = Vậy maxC = , ứng với x = x 2) Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức C = ( x  2016) với x > Do (2x – 1)2 +  > nên + Hướng dẫn hộc sinh từ điều kiện x > nghĩ đến tử mẫu C dương, để tìm GTNN C ta tìm GTLN C x  2.2016.x  2016 2016 = =x+ + 2.2016 C x x 2016 Do x > nên , áp dụng bất đẳng thức Cơ sy ta có: x 1 2016 2016  x  4.2016; C  x+ = 2.2016  C 4.2016 x x 2016 Dấu “=” xảy x = ; Hay x = 2016 (Do x > 0) x Vậy maxC = x = 2016 4.2016 x2  x 1 3) Ví dụ 3: Tìm GTLN GTLN biểu thức D = x  x 1 Ta có + Rõ ràng đến học sinh phương hướng để giải toán; + Giáo viên đặt vấn đề: Với giá trị x thuộc tập xác đinh ta ln tìm giá trị tương ứng D; Nếu tìm miền giá trị D ta tìm GTLN GTNN D 11 Dễ thấy TXĐ D R a  a 1 Giả sử x = a giá trị D k; ta có: k = , suy ra: a  a 1 k(a2 + a + 1) = a2 - a + 1; Hay (k – 1)a2 + (k + 1)a + (k – 1) = (1) Vì theo cách tính giá trị biểu thức ta có: x = a giá trị D k nên cặp giá trị (a; k) thỏa mãn (1), hay (1) ln có nghiệm Với k = 1, ta có: 2a = 0; hay a = 0; Dễ thấy a = D = (2) Với k  1, ta có (1) coi phương trình bậc hai a; Vì (1) ln có nghiệm nên   0; hay (k + 1)2 – 4(k – 1)(k – 1)   (k + – 2k + 2)(k – + 2k - 2)   (3 – k)(3k - 1)  k 3 1 Nếu k =  =  a = 1; Dễ thấy a = k = (3) 3 Nếu k =  =  a = -1; Dễ thấy a = -1 k = (4) Từ (2), (3), (4) ta có: minD = , ứng với x = 1; maxD = 3, ứng với x = -1  + Giáo viên lưu ý học sinh: Phương pháp sử dụng ví dụ gọi phương pháp miền giá trị biểu thức; bước sau: f ( x) Giả sử ta phải tìm GTNN (GTLN) biểu thức A = g ( x) - Tìm TXĐ biểu thức; - Giả sử x = a (thuộc TXĐ) biểu thức A có giá trị k; ta f (a) có k = g (a) (1); - Biến đổi (1) thành phương trình ẩn a với hệ số cao b; - Xét hai trường hợp b = b  0; - Từ điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ta tìm miền giá trị biểu thức A - Lập luận để tìm GTNN (GTLN) 4) Học sinh luyện tập: + Sử dụng phương pháp để giải tập ví dụ 1, + Làm tập theo yêu cầu giáo viên II.3.3.4 Tìm GTLN, GTNN biểu thức phương pháp phân khoảng 1) Ví dụ: Tìm GTNN biểu thức M = ( x  2015) + ( x  2016) + (2017  x) + Học sinh dễ thấy việc biến đổi M tổng giá trị tuyệt đối; Từ việc xem xét phá dấu giá trị tuyệt đối giáo viên hướng dẫn học sinh phân khoảng TXĐ M R Khi M = x  2015 + x  2016 + x  2017 - Nếu x < 2015 x – 2015 < 0; x – 2016 < 0; x – 2017 < 0; Khi đó: 12 M = 2015 – x + 2016 – x + 2017 – x = 6048 – 3x Do x < 2015 nên –x > -2015  6048 – 3x > 6048 – 6045 = - Nếu 2015  x < 2016 x – 2015  0; x – 2016 < 0; x – 2017 < 0; Khi đó: M = x – 2015 + 2016 – x + 2017 – x = 2018 – x Do x < 2016 nên –x > -2016  2018 – x > 2018 – 2016 = - Nếu 2016  x < 2017 x – 2015 > 0; x – 2016  0; x – 2017 < 0; Khi đó: M = x – 2015 + x - 2016 + 2017 – x = x – 2014; Do x  2016 nên M  - Nếu x  2017 x – 2015 > 0; x – 2016 > 0; x – 2017  0; Khi đó: M = x – 2015 + x - 2016 + x - 2017 = 3x –6048; Do x  2017 nên M > 3; Từ với x thuộc TXĐ M  2; Dấu “=” xảy x = 2016 Vậy minM = x = 2016 II.3.4 Rèn luyện cho học sinh kỹ tìm GTNN GTLN biểu thức + Giáo viên hướng dẫn cho học sinh tìm hướng giải tập sau: 4x2 + 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= x2(1- x) Cho hai số dương x, y thay đổi cho x+y = 1; Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (1 - 1 ) )(1 y2 x Cho hai số tự nhiên a b thoả mãn điều kiện a + b = 2015; Tìm giá trị lớn tích ab x  x 1 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A  x 1 II.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường + Học sinh có chuyển biến tiến bộ: Nền nếp học tập tốt hơn; Học sinh có hứng thú học tập, phần lớn học sinh có say mê học tập, tích cực suy nghĩ trước tốn khó; Tinh thần ý thức học tập tiến rõ rệt; Học sinh giải tốn “Tìm GTNN, GTLN biểu thức” khơng cịn cảm thấy “sợ”, phận hộc sinh thể tính tự tin, linh hoạt có nhu cầu nghiên cứu, tìm tịi, mạnh dạn việc đề xuất hướng nghiên cứu, đề xuất thêm nhiều toán mới; Một số học sinh giải số tốn khó + Hiệu trình dạy học nâng lên: Chất lượng học tập mơn Tốn tăng cao; Học sinh có thái độ mực học tập môn học khác; Chất lượng học học sinh giỏi tiến rõ nét Sau triển khai áp dụng đề tài, vốn kiến thức thân nâng lên, góp phần bổ sung kinh nghiệm cho việc giảng dạy không cho thân mà cho nhóm chun mơn; Đề tài Tổ chun môn đưa 13 vào nội dung sinh hoạt chuyên môn; Tập thể giáo viên dạy Toán trường nghiên cứu triển khai áp dụng đề tài phạm vi trường; Kết là: Phương pháp dạy học nêu phù hợp với việc dạy học bám sát đối tượng phát học sinh giỏi, có khả phân loại học sinh để bồi dưỡng học sinh giỏi Kết kiểm tra học kỳ II năm học 2017-2018 hai lớp 9A, 9B: Lớp Tổng số HS 9A 33 9B 30 0–2 Điểm 3-4 -6 13 3,0% 39,4% 12 10,0% 39,9% 7- 12 36,4% 10 33,4% -10 21,2% 16,7% So với trước áp dụng đề tài số lượng học sinh làm tập tăng lên, tỷ lệ học sinh giỏi tăng đáng kể, tỷ lệ học sinh yếu giảm rõ rệt; Trong năm học 2017-2018 đội tuyển học sinh giỏi lớp 8, lớp phụ trách đạt giải Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện: PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ III.1 Kết luận Để “Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Vĩnh Hịa thơng qua việc dạy học chủ đề Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức”, thiết thực nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp 8, 9, góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn lớp 8, 9, theo Tơi cần thực đồng giải pháp sau: Hướng dẫn, củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu cho học sinh kiến thức Bất đẳng thức; Qua hướng dẫn học sinh phương pháp suy nghĩ khai thác kiến thức Làm cho học sinh nắm vững kiến thức “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” Hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu tìm phương pháp giải số dạng tốn “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” Rèn luyện cho học sinh kỹ tìm GTNN GTLN biểu thức Muốn giáo viên cần lưu ý số nội dung sau: - Nắm vững nội dung chương trình sách giáo khoa, sách tập, yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ để quán triệt bồi dưỡng học sinh giỏi - Nghiên cứu cụ thể nội dung, cấu trúc tập sách giáo khoa, sách tập để thiết kế dạy học theo hướng mở - Coi trọng lực tư sáng tạo, kỹ giải toán theo định hướng phát triển lực học sinh - Lồng ghép nhiều dạng tập vào tiết luyện tập, tự chọn 14 - Cần xây dựng hệ thống tập đặc trưng nêu tính chất nội dung cần rèn luyện hệ thống tập tự thực hành - Việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh phải thực thường xuyên, liên tục xuyên suốt trình dạy học Những kinh nghiệm nêu kết trình nghiên cứu, thực nghiệm ứng dụng thành công trường THCS Vĩnh Hòa; Những kinh nghiệm giải khó khăn, tồn cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Trường năm qua, phù hợp với thực tế Trường địa phương, phù hợp với yêu cầu đổi toàn diện Giáo dục Đào tạo, thể cách làm hợp lý, khoa học có tính sáng tạo; Những giải pháp đưa đề tài dễ phổ biến, dễ ứng dụng, phù hợp với trình độ chung giáo viên cán quản lí, góp phần nâng cao chất lượng hiệu giáo dục nhà trường; Vì ứng dụng triển khai thực trường THCS + Đề tài cịn có khả phát triển, mở rộng năm III.2 Kiến nghị Đề nghị triển khai áp dụng đề tài bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Bản thân có nhiều cố gắng nghiên cứu áp dụng thành công đề tài, chắn vấn đề đưa cịn có nhiều giải pháp khác Hy vọng kinh nghiệm nêu giúp cho bạn đồng nghiệp có thêm tư liệu trình dạy học Rất mong bạn đồng nghiệp trao đổi, góp ý để vấn đề đưa ngày hoàn thiện đạt hiệu cao hoạt động chun mơn Vĩnh Hịa, ngày 10 tháng năm 2019 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Liễu 15 ... ? ?Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức? ?? cho học sinh khá, giỏi lớp 8, THCS, góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn 8, nói chung chất lượng học sinh khá, giỏi mơn Tốn 8, nói riêng, tạo sở cho. .. thi học sinh giỏi cấp huyện: PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ III.1 Kết luận Để ? ?Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Vĩnh Hịa thơng qua việc dạy học chủ đề Tìm giá trị lớn. .. phương chiều “ ” - Giá trị tuyết đối II.3.2 Làm cho học sinh nắm vững kiến thức ? ?Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức? ?? Khái niệm giá trị lớn nhỏ biểu thức 1.1 Cho biểu thức A có tập xác