khóa luận tốt nghiệp bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh thpt qua dạy học giải hệ phương trình không mẫu mực

Điều quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học Toán là người giáo viên phải nhận thức rõ được nhiệm vụ của mình chính là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kĩ năng tư duy sáng tạo

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay vấn đề "Bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo" là một chủ đề thuộc một lĩnh vực nghiên cứu có tính lâu dài và mang tính thực tiễn cao Nó nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích thích khả năng sáng tạo và để bồi dưỡng, tăng cường khả năng tư duy của cá nhân hay tập thể

về một vấn đề hoặc lĩnh vực nào đó Nghị quyết Đại hội lần thứ XI của Đảng

khẳng định: "Thực hiện đồng bộ các giải pháp phát triển và nâng cao chất lượng đào tạo Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy học và học theo hướng hiện đại Nâng cao giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục

lý tưởng, đạo đức, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội" Để tạo ra những con người lao động mới có

năng lực tư duy sáng tạo cần có một phương pháp dạy học mới nhằm khơi nguồn sự sáng tạo và phát triển tư duy của người học Chính vì vậy, một yêu cầu cấp thiết được đặt ra trong hoạt động giáo dục phổ thông là phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó đổi mới phương pháp dạy học Toán là một trong những vấn đề đang được quan tâm nhiều nhất Bởi lý do rất đơn giản Toán học là môn học của sự đam mê, sáng tạo, sự tư duy lôgic và luôn đi khám phá những điều mới lạ Nó giúp cho người học rèn luyện được phương pháp tư duy, suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề, rèn luyện trí thông minh sáng tạo xứng danh là

"Nữ hoàng của các môn học tự nhiên" Điều quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học Toán là người giáo viên phải nhận thức rõ được nhiệm vụ của mình chính là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kĩ năng tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời dạy cho các em biết tự suy nghĩ, phát triển được hết năng lực của bản thân mình để giải quyết những vấn đề khó khăn gặp phải trong quá trình học tập, chứ không phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ những tri thức sẵn có "Bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo" là một mục tiêu mà các nhà giáo dục đang quan tâm và hướng tới

Thực tiễn cho thấy trong quá trình Toán học, rất nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo Nhìn các đối tượng Toán

học một cách rời rạc, chưa thấy được bản chất và mối quan hệ giữa các yếu tố Toán học Đặc biệt là không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm cũ vào những hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi, nên học sinh chưa có tính độc đáo khi đi tìm lời giải trong các bài toán Do đó "Bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo" là chính một yêu cầu cấp bách trong Toán học

Trong các nội dung ở chương tình Toán THPT thì "Hệ phương trình không mẫu mực" là một phần rất quan trọng Đặc thù của hệ phương trình không mẫu mực là khá đa dạng và phong phú, ẩn bên trong nó là sự khó khăn và thách thức rất lớn khi học sinh đối diện và tìm ra cách giải nó vì không có một phương pháp hay một quy tắc giải nào cụ thể Đặc biệt là giải các hệ phương trình không mẫu mực khó và phức tạp như ở trong các đề thi Đại học - Cao Đẳng Chính vì thế tuy "Hệ phương trình không mẫu mực " là một phần nhỏ trong hệ thống kiến thức Toán THPT nhưng trong nó chứa đựng đầy đủ các yếu

tố để tạo nên sức hấp dẫn, thú vị và kích thích năng lực tư duy sáng tạo cho các bạn học sinh

Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề nêu trên tôi chọn: “Bồi dưỡng

và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải

hệ phương trình không mẫu mực” làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu những vấn đề cơ bản của năng lực tư duy sáng tạo và biểu hiện tư duy sáng tạo của học sinh THPT để từ đó đề xuất những phương pháp cần thiết nhằm bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải hệ phương trình không mẫu mực; góp phần nâng cao

chất lượng đào tạo của nhà trường

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số biện pháp cơ bản giúp bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải hệ phương trình không mẫu mực

4 Phạm vi nghiên cứu

Phương pháp và biện pháp dạy học thông qua các thao tác và một số thành tố đặc trưng tư duy sáng tạo trong nghiên cứu nội dung giải hệ phương

trình không mẫu mực trong chương trình trung học phổ thông

5 Giả thuyết khoa học

Chất lượng học tập và khả năng giải toán hệ phương trình của học sinh THPT còn rất hạn chế Nếu giúp học sinh bồi dưỡng và phát triển tốt năng lực tư duy sáng tạo trong giải toán hệ phương trình thì sẽ nâng cao chất lượng học tập nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hóa cơ sở lí luận phương pháp dạy học và một số kiến thức làm cơ sở cho việc giải hệ phương trình không mẫu mực

- Nêu ra một số phương pháp giải toán hệ phương trình không mẫu mực, giúp học sinh bồi dưỡng và nâng cao chất lượng trong dạy học giải hệ phương trình

7 Phương pháp nghiên cứu

- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, phân tích tiên nghiệm

- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát - Điều tra khảo sát, thực nghiệm giáo dục

8 Đóng góp mới của khóa luận

- Về mặt khoa học: Khóa luận đã đưa ra quan điểm của một số tác giả về

tư duy, tư duy sáng tạo có tính khoa học cao và làm rõ cơ sở lý luận về tư duy,

tư duy sáng tạo và các kỹ năng phát triển tư duy sáng tạo

- Về mặt thực tiễn: Đối với vấn đề thực tiễn của khóa luận đã tổng kết một

số thực trạng về dạy và học hệ phương trình không mẫu mực, vấn đề thực tiễn

làm điểm xuất phát cũng như là đích đến của khóa luận Đặc biệt khóa luận đã đề

xuất các biện pháp cụ thể và mang tính mới lạ để rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, đây chính là điểm mới và quan trọng của khóa luận Trong mỗi biện pháp đều được phân ra thành các loại phương pháp giải, các ví dụ minh

họa đều có lời giải rõ ràng và dễ hiểu Đồng thời đã tổ chức thực nghiệm sư phạm

để xác định tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

9 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy

sáng tạo trong dạy học giải toán hệ phương trình không mẫu mực cho học sinh THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

B NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA KHÓA LUẬN 1.1 Tư duy

1.1.1 Một số vấn đề cơ bản về tư duy

1.1.1.1 Khái niệm tư duy

Theo từ điển tiếng Việt “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức

đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý” [9, tr.1437]

Theo các tác giả Nguyễn Quang Uẩn, Nguyễn Quang Lũy, Đinh Văn Vang

“Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà bước đó ta chưa biết” [7, tr.79 ].Trong cuốn: “Rèn luyện tư duy trong dạy học toán” PGS.TS Trần Thúc Trình có định nghĩa: "Tư duy là một quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết" [6]

Theo một nghiên cứu về tư duy của X.L Rubinstein thì “Tư duy đó là sự khôi phục trong ý nghĩa của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” (dẫn

theo Đavưđov) [8, tr.25]

Qua phân tích một số quan điểm về tư duy ta có thể hiểu sâu thêm về khái

niệm tư duy: “Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan một cách gián tiếp là khái quát, là sự phản ánh những thuộc tính chung và bản chất tìm ra những mối liên hệ quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà ta chưa từng biết”

Trong học tập bộ môn toán có các loại hình tư duy như: Tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán, tư duy trừu tượng, tư duy thuật toán, tư duy hàm…

1.1.2 Các giai đoạn của quá trình tư duy

Các giai đoạn của một quá trình tư duy bao gồm :

1 Xác định vấn đề và biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói cách khác

là tìm câu hỏi cần giải đáp

2 Huy động các tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng hình thành giả thuyết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

3 Xác minh giả thuyết trong thực tiễn nếu đúng thì tiếp bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới

4 Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng

1.1.3 Đặc điểm của tư duy

Tư duy có những đặc điểm cơ bản sau:

1 Tính có vấn đề của tư duy

2 Tính gián tiếp của tư duy

3 Tính trừu tượng và khái quát của tư duy

4 Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

5 Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

Như vậy để công tác giảng dạy được hiệu quả:

- Phải coi trọng phát triển tư duy cho học sinh Nếu không có khả năng tư duy học sinh không học tập và rèn luyện được

- Muốn kích thích học sinh tư duy thì phải tạo cho các em các “tình

huống có vấn đề” và tổ chức cho học sinh độc lập, sáng tạo giải quyết các

1.1.4 Các thao tác của tư duy

Xét về bản chất, tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí tuệ để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra Các thao tác tư duy là:

+ Phân tích - tổng hợp

+So sánh

+ Trừu tượng hóa và khái quát hóa

1.2 Tư duy sáng tạo

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển: “ Sáng tạo là tìm ra cái mới cách giải quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có” [9, tr.1130 ]

Theo Bách Khoa toàn thư: “Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ

sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người, sáng tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất”

Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng “Sáng tạo là sự vận động của tư duy

từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới” cũng theo tác giả thì “Người có

óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát triển và giải quyết vấn đề” [2, tr.17]

Như vậy một cách ngắn gọn, sáng tạo có thể được coi là quá trình tiến tới cái mới, là năng lực tạo ra cái mới có giá trị

Đối với Toán học, tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với

người học toán “Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với

họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới

mà họ chưa từng biết” [6] Như vậy một bài tập cũng được xem như là mang

yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay toàn phần), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán

để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước

1.2.2 Tư duy sáng tạo

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo

Theo tâm lý học : “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài phạm vi giới hạn của hiện thực, của vốn kinh nghiệm và tri thức đã có, giúp quá trình giải quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt hiệu quả” Theo Tôn Thân: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao” Cũng theo tác giả “Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm các dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó” (Tôn Thân,

xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi toán ở trường THCS Việt Nam) Trong bộ môn toán theo G.Polya “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán khác Các bài toán vận dụng những

tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu, muôn vẻ thì mức đó sáng tạo của tư duy càng cao” [2 ]

Đối với học sinh có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá,

tự tìm cách giải quyết một bài toán mà học sinh đó chưa biết đến hoặc đã biết nhưng làm theo phương thức khác Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao thể hiện tính mới lạ độc đáo, khả thi

1.2.3 Một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học về cấu trúc của tư duy sáng tạo đã đưa ra năm thành tố cơ bản: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề, tính hoàn thiện

a Tính mềm dẻo

Đó là năng lực dễ dàng làm thay đổi các trật tự của hệ thống tri thức, có khả năng bao quát sự vật hiện tượng theo nhiều khía cạch khác nhau, có thể định nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong các mối quan hệ mới

b Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự kết hợp các yếu tố riêng lẻ của tình huống, hoàn cảnh đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới

e Tính nhạy cảm vấn đề

Là năng lực phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic Từ

đó đưa ra hướng giải quyết, tạo ra cái mới

Để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học bộ môn toán cần chú ý:

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo theo các thành tố cơ bản của tư duy sáng tạo

đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề và tính hoàn thiện

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ như : phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần được tiến hành thường xuyên và lâu dài

1.3 Hệ phương trình đại số không mẫu mực trong chương trình toán THPT

Trong chương trình toán phổ thông hệ phương trình đại số không mẫu mực là một mảng kiến thức quan trọng Đây là một mảng kiến thức phong phú

và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhuần nhuyễn nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện

Khi học sinh giải hệ phương trình đại số không mẫu mực đòi hỏi các em thường xuyên sử dụng nhiều kiến thức liên quan và vận dụng linh hoạt các kiến thức đó Đồng thời cần có kỹ năng trong việc sử dụng các phương pháp giải hệ, đặc biệt là năng lực tư duy sáng tạo, phương pháp suy nghĩ tìm lời giải Mỗi bài toán hệ phương trình không mẫu mực có thể có nhiều con đường tìm ra lời giải trong đó có cả cách ngắn gọn hợp lý, đôi khi có cả phương án sáng tạo, độc đáo

Đó là cơ hội để học sinh so sánh, lựa chọn phương pháp phù hợp và tốt nhất trong trường hợp có thể, giúp học sinh rèn luyện được các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp và khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa bài toán

Nội dung các vấn đề về hệ phương trình rất phong phú Tuy nhiên trong khuôn khổ chương trình sách giáo khoa 10 nâng cao nội dung về hệ phương

trình được đưa vào chương III gồm hai bài (§) dự kiến thực hiện trong 5 tiết và

ba tiết tự chọn

1.4 Thực trạng dạy và học giải toán hệ phương trình không mẫu mực

ở trường THPT đối với yêu cầu phát triển tư duy sáng tạo của học sinh

Qua thời gian dạy thử nghiệm ở trường phổ thông cùng với việc trao đổi

với các giáo viên dạy Toán và các em học sinh chúng tôi nhận thấy :

Do số tiết học trên lớp còn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải đúng lịch theo phân phối chương trình nên việc mở rộng, khai thác ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu sắc Trong chương trình sách giáo khoa, số lượng các dạng toán về hệ phương trình không mẫu mực còn hạn chế Hệ thống bài tập về hệ phương trình không mẫu mực trong sách tham khảo đa dạng và phong phú nhưng còn rời rạc và thiếu sự liên kết Đây là một nội dung khó đòi hỏi tổng hợp nhiều kiến thức muốn học tốt thì học sinh phải bỏ nhiều thời gian và công sức Khi làm bài tập nhiều học sinh thường bị động, áp dụng phương pháp giải một cách máy móc nên khi gặp các

dạng toán không phải dạng bài tập đã gặp thì học sinh không giải quyết được

Từ những kinh nghiệm và đóng góp ý kiến của nhiều giáo viên và học sinh cho thấy:

Dạy học sinh giải hệ phương trình không mẫu mực không chỉ đơn thuần giúp học sinh có được lời giải bài toán đó, mà cần giúp học sinh cách tìm ra lời giải bài toán thông qua dạy tri thức, truyền thụ tri thức Với cách làm như vậy dần dần học sinh tự đúc kết được phương pháp giải toán tiến tới có được phương pháp học tập bộ môn Giáo viên không nên đưa quá nhiều bài tập trong một tiết dạy, cần dự kiến phân phối thời gian hợp lý, dạy có trọng tâm chú ý các bài tập trọng tâm (bài tập có điều kiện củng cố khắc sâu kiến thức, kỹ năng ) lựa chọn thêm cho học sinh bài tập có cách giải tương tự để học sinh tự luyện tập Làm bài tập là cách củng cố, khắc sâu hệ thống kiến thức

Để hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải bài toán giáo viên phải đóng vai trò người học, tự tìm ra chương trình giải các dạng toán Trên cơ sở đó giáo viên

dẫn dắt, gợi mở sao cho thông qua hoạt động học sinh không những tìm được lời giả bài toán mà còn nắm được tri thức về phương pháp giải toán

Các bài tập phần này khá đa dạng phong phú nên giáo viên phải kỳ công chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với từng đối tượng học sinh Đồng thời giáo viên yêu cầu và hướng dẫn học sinh tự học, tự tìm hiểu thêm ở nhà

Bên cạnh đó giáo viên cũng phải dự kiến một số sai lầm và những khó khăn học sinh gặp phải khi giải hệ phương trình không mẫu mực để chỉnh sửa và giúp đỡ kịp thời Ngoài ra khi dạy giải hệ phương trình không mẫu mực giáo viên nên liên hệ với các nội dung kiến thức khác

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1, khóa luận đã trình bày một số vấn đề về lý luận và thực tiễn làm cơ sở cho khóa luận Đối với vấn đề về lý luận, tác giả đã đưa ra quan điểm của một số tác giả về tư duy, tư duy sáng tạo Đồng thời cũng đưa ra định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học bộ môn toán Đối với vấn đề thực tiễn khóa luận tổng kết một số thực trạng về dạy và học hệ phương trình không mẫu mực, vấn đề thực tiễn làm điểm xuất phát cũng như là

đích đến của khóa luận

Chương 2 BIỆN PHÁP CHỦ YẾU BỒI DƯỠNG VÀ PHÁT TRIỂN

TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC HỆ PHƯƠNG

TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 2.1 Hệ thống một số dạng hệ phương trình thường gặp

Một số hệ phương trình được học trong chương trình phổ thông có phương pháp giải rõ ràng, học sinh chỉ cần nhớ thuật giải, rèn luyện các kĩ năng biến đổi, tính toán là có thể làm được Thực chất các hệ phương trình này ta gặp rất nhiều

ở cả THCS, đặc biệt là ở THPT và không riêng bộ môn Toán mà cả môn Lí, môn Hóa,… Một lần nữa ta nhắc lại các dạng hệ phương trình như vậy

2.1.1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

b) Cách giải: Biến đổi tương đương làm xuất hiện tổng và tích của các nghiệm rồi đặt tổng bằng S, tích bằng P (S2 4P) Thông thường sau bước này

ta được một hệ đơn giản

2.1.5 Hệ đối xứng loại 2

a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình, phương trình này biến thành phương trình kia

b) Cách giải: Trừ vế cho vế làm xuất hiện nhân tử chung x rồi đưa hệ y

đã cho về hai hệ mới đơn giản hơn

b) Cách giải: Xét riêng x Nếu x0  thì ta đặt y0 kx rồi nhận xét và

chia vế cho vế ta được phương trình một ẩn k.Tìm được k ta tìm được x và y

2.2 Biện pháp 1: Bồi dưỡng và phát triển theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo

2.2.1 Bài tập có nhiều cách giải

Loại 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp thế và kết hợp cùng với phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số

Cấu tạo: Bài tập có những yếu tố, những quan hệ có thể xem xét dưới nhiều

khía cạnh khác nhau

Tác dụng: Bồi dưỡng và phát triển khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ

này sang hoạt động trí tuệ khác, rèn luyện khả năng nhìn nhận một đối tượng toán học dưới nhiều khía cạnh khác nhau Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những phương pháp khác dẫn tới rèn luyện tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn

Phương pháp chung:

+) Phương pháp biến đổi tương đương: Một số kĩ năng thường áp dụng

như phân tích thành tích, thương, bình phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt

làm xuất hiện nhân tử chung,…

+) Phương pháp đặt ẩn phụ: Một số phương trình sau khi nhân hoặc chia

hai vế cho cùng một biểu thức khác không hoặc bằng một số động tác tách và ghép khéo léo ta làm xuất hiện các đại lượng mà nhờ cách đặt ẩn phụ ta có thể

đưa hệ phức tạp về một hệ đơn giản, quen thuộc

+) Phương pháp thế: Nhiều phương trình sau khi rút một ẩn (hoặc một biểu

thức) từ phương trình này thế vào phương trình kia ta được một phương trình đơn giản hoặc nhờ đó mà ta có cách biến đổi về một hệ đơn giản Ta thường áp dụng cách này với các hệ mà ta quan sát thấy một phương trình nào đó của hệ

mà một ẩn chỉ có nhất hoặc ở cả hai phương trình của hệ có cùng một biểu thức chung nào đó

+) Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số: Để vận dụng phương

pháp này ta cần đến một tính chất quan trọng sau đây: Nếu hàm số f x đơn  điệu và liên tục trên khoảng   thì phương trình ,  f x  có nghiệm duy 0nhất trên khoảng   , hơn nữa ,  f a f b khi và chỉ khi ab

Phân tích - Cách 1: Từ cấu trúc của pt (1) ta thấy có thể đưa (1) về dạng tích

- Cách 2: Giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của

hàm số Từ phương trình (1) ta dựa vào tính đơn điệu của hàm số

PT này vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của hệ là:

Phân tích: - Cách 1: Ta biến đổi (1) về dạng tích rồi giải

- Cách 2: Giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu

của hàm số Từ phương trình (1) ta dựa vào tính đơn điệu của hàm số

- Cách 1.(Biến đổi tương đương)

Biến đổi phương trình (1) ta được :

Trường hợp này không xảy ra do xy 0 2(x 1) 24(y2)2 9xy0

Trường hợp này không xảy ra do xy 0 2(x 1) 24(y2)2 9xy0

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = (2;2); ( 6; 6)   

Phân tích: Đối với hệ phương trình này ta có thể giải theo 2 cách như sau:

- Cách 1: Đặt ẩn phụ, để đưa hệ phương trình đã cho đơn giản hơn, thuận

lợi trong việc giải

- Cách 2: Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thế phương trình (1) vào

phương trình (2) và rút gọn ta sẽ giải hệ phương trình đã cho một cách dễ dàng

Hai cách giải này đều hay và khá đơn giản trong việc tìm nghiệm Chính

vì thế học sinh trong quá trình giải hệ phương trình có thể tư duy và suy nghĩ để tìm được nhiều cách giải hay cho cùng một bài toán

4

11x

1411

yy

4

11x

1411

yy

Loại 2: Dùng phương pháp đưa về hệ phương trình cùng bậc (đẳng cấp)

Cấu tạo: Bài tập này có cách giải riêng , đặc thù do tính cá biệt

Tác dụng : Chống suy nghĩ rập khuôn, áp dụng công thức thuật toán một

cách máy móc Việc giải bài tập có tính đặc thù nhằm rèn luyện cho học sinh thói quen biết nghiên cứu những điều kiện cụ thể của bài tập trước khi áp dụng các thuật toán tổng quát

Phương pháp chung:

+) Cách giải: Xét riêng x0 Nếu x thì ta đặt y0 kx rồi nhận xét và

chia về cho vế ta được phương trình một ẩn k Tìm được k ta tìm được x và y

- Phân tích Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2)

không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1)

vô nghiệm (do điều kiện)

Vậy tập nghiệm của hệ là S = ( 3;7); (2;2) 

Điều kiện của phương trình xy 0

Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc:

Với 5y4x  thay vào (2) ta có 0 x 1 x 1 y 4

- Phân tích Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia

hai vế pt thứ nhất cho 3x và chia hai vế pt thứ hai cho 7y

- Tổng quát ta có hệ sau:

m

px qybx

m

px qydy

Phân tích: Rõ ràng, hệ phương trình đã cho không thuộc dạng đặc biệt

nào cả, nhưng quan sát kĩ ta thấy điểm mấu chốt của bài toán nằm ở vấn đề sau:

ta xét trường hợp xy và x0 0, y sau đó có thể đưa về dạng phương 0trình cùng bậc so với x, y,tiếp theo ta đặt xty để đưa về phương trình một ẩn giải như hệ phương trình cùng bậc (đẳng cấp)

Lời giải

- Ta thấy xy là một nghiệm của hệ 0

- Xét trường hợp x0, y , ta nhân vế theo vế của phương trình 0  1 với phương trình hai của hệ đã cho, khi đó:

(loại)

Tác dụng: Kích thích trí tò mò, đặt học sinh trước một tình huống có vấn

đề với những cái chưa biết, những cái cần khám phá, làm cho học sinh thấy có nhu cầu, có hứng thú và quyết tâm huy động kiến thức, năng lực tư duy sáng tạo của bản thân để tìm tòi, phát hiện kết quả còn tiềm ẩn trong bài toán Bài toán

mở còn góp phần rèn luyện khả năng nhìn nhận ra vấn đề trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết, tác động rõ rệt đến tính mềm dẻo của tư duy Ở bài tập này thường là dạng hệ phương trình

có tham số

Phương pháp chung:

+) Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số: Để vận dụng phương

pháp này ta cần đến một tính chất quan trọng sau đây: Nếu hàm số f x đơn  điệu và liên tục trên khoảng   thì phương trình ,  f x  có nghiệm duy 0nhất trên khoảng   , hơn nữa ,  f a f b khi và chỉ khi ab

+) Phương pháp xét các trường hợp có thể xảy ra: Ta tiến hành phân tích

bài toán rồi xét các trường hợp có thể xảy ra đối với bài toán Việc này sẽ giúp cho ta giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và đơn giản hơn

Hàm số f (t)t33t nghịch biến trên đoạn [ 1;1]

Do x, y 1   1;1 nên thế vào pt (2) ta được x2 2 1 x 2  m (3)

Hệ có nghiệm  Pt (3) có nghiệm x  1;1

2

1g(x) x 2 1 x , x 1;1 ,g '(x) 2x 1

Tìm m để hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt x ; y ,1 1 x ; y , 2 2

x ; y sao cho 3 3 x , x , x lập thành cấp số cộng (công sai 1 2 3 d0), đồng thời có hai số x thỏa mãn i xi 1

Lời giải

Nếu hệ  I có nghiệm x ; y0 0thì x ; y0 0cũng là nghiệm của hệ phương trình  I Do đó để hệ  I có nghiệm duy nhất thì hệ  I phải có nghiệm 0; y0 Khi đó ta có:

Nên xy thế vào phương trình (2) ta có:

3 2

3

1x

2.2.4 Bài tập không theo cấu trúc nhất định

Loại 4: Dùng phương pháp đánh giá

Cấu tạo: Những bài tập này không thể áp dụng thuật toán hoặc công thức

để giải do đó nó cũng không có cấu tạo nhất định

Tác dụng: Rèn luyện khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp

mới, khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau

Phương pháp chung: Bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các tính

chất của bất đẳng thức, ta có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của hệ phương trình

(loại)