Rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức

Khoá luận tốt nghiệp NHDKH: Th.S Nguyễn Văn Hà LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo - ThS Nguyễn Văn Hà tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt q trình thực hồn thành khóa luận Em xin cảm ơn ý kiến đóng góp giúp đỡ nhiệt tình q thầy giáo tổ Toán em học sinh lớp 11A8 trường Trung học phổ thông Mỹ Hào thời gian em tổ chức thực nghiệm trường Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo khoa Tốn q thầy giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình dạy bảo, tạo điều kiện giúp đỡ động viên em suốt khóa học Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Người thực Tạ Thị Huệ Người thực hiện: Tạ Thị Huệ - K35D Tốn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu khóa luận trung thực, không trùng lặp với kết cơng trình khác Nếu có sai sót tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Người thực Tạ Thị Huệ MỤC LỤC A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đóng góp khóa luận B PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Một số vấn đề tư 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Đặc điểm tư 1.1.3 Phân loại tư 1.2 Tư sáng tạo chứng minh bất đẳng thức .9 1.2.1 Tư sáng tạo 1.2.2 Tư sáng tạo chứng minh bất đẳng thức 10 1.2.3 Các đặc trưng tư sáng tạo chứng minh bất đẳng thức 10 1.2.4 Mối liên hệ tư sáng tạo với loại hình tư khác 13 1.3 Năng lực tư sáng tạo chứng minh bất đẳng thức 1.3.1 Năng lực 15 1.3.2 Năng lực tư sáng tạo 17 1.3.3 Một số biểu lực tư sáng tạo học sinh trung học phổ thơng q trình giải tập chứng minh bất đẳng thức 18 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC BÀI TẬP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Biện pháp 1: Hướng dẫn học sinh xem xét tốn theo nhiều khía cạnh khác để tìm nhiều lời giải cho toán 26 2.2 Biện pháp 2: Xây dựng toán từ bất đẳng thức đơn giản hay từ toán chứng minh bất đẳng thức cụ thể 35 2.3 Biện pháp 3: Tìm lời giải tốn theo cách đặc biệt 43 C KẾT LUẬN D TÀI LIỆU THAM KHẢO Khóa luận tốt nghiệp NHDKH: Th.S Nguyễn Văn Hà A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Công đổi đất nước đặt cho ngành Giáo dục Đào tạo nhiệm vụ to lớn nặng nề đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao đáp ứng yêu cầu nghiệp công nghiệp hóa, đại hóa đất nước Để thực nhiệm vụ này, bên cạnh việc đổi mục tiêu, nội dung chương trình sách giáo khoa bậc học, quan tâm nhiều đến việc đổi phương pháp dạy học Từ vị lãnh đạo Đảng, Nhà nước, lãnh đạo cấp ngành Giáo dục Đào tạo đến nhà nghiên cứu, nhà giáo khẳng định vai trò quan trọng cần thiết việc đổi phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện nhà trường Điều thể chế hóa Luật Giáo dục: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên” Để tạo người lao động có lực sáng tạo cần có phương pháp dạy học để khơi dậy phát huy tư sáng tạo người học Vậy “Tư sáng tạo” gì? Quy luật phát triển lực tư sáng tạo nào? Làm để rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo? Vấn đề đặt đề biện pháp cụ thể, dễ thực có tính thực tiễn dạy học cao để giáo viên giúp thiếu niên, học sinh sinh viên phát huy lực tư sáng tạo, giúp người học phát triển lực tư sáng tạo để học làm việc tốt hơn, đời sống cải thiện Người thực hiện: Tạ Thị Huệ - K35D Toán Hiện vấn đề “Rèn luyện phát triển tư sáng tạo” chủ đề thuộc lĩnh vực nghiên cứu mang tính thực tiễn cao Nó nhằm tìm phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả sáng tạo để rèn luyện, tăng cường khả tư cá nhân hay tập thể cộng đồng làm việc chung vấn đề hay lĩnh vực Ứng dụng môn giúp cá nhân hay tập thể thực hành nó, tìm phương án, lời giải từ phần đến toàn cho vấn đề nan giải Các vấn đề không giới hạn ngành nghiên cứu khoa học kỹ thuật mà thuộc lĩnh vực khác như: trị, kinh tế, xã hội, nghệ thuật… phát minh, sáng chế Do đó, yêu cầu cấp thiết đặt hoạt động giáo dục phổ thông phải đổi phương pháp dạy học, đổi phương pháp dạy học Tốn vấn đề quan tâm nhiều Vì nhiệm vụ người giáo viên mở rộng trí tuệ, hình thành lực, kỹ cho học sinh khơng phải làm đầy trí tuệ em cách truyền thụ tri thức có Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy học sinh tự suy nghĩ, phát huy hết khả năng, lực thân để giải vấn đề mà học sinh gặp phải trình học tập sống Bên cạnh đó, thực tiễn cho thấy q trình học Tốn, nhiều học sinh bộc lộ yếu kém, hạn chế lực tư sáng tạo như: Nhìn đối tượng Tốn học cách rời rạc, chưa thấy mối liên hệ yếu tố Tốn học, khơng linh hoạt điều chỉnh hướng suy nghĩ gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khn, áp dụng cách máy móc kinh nghiệm có vào hồn cảnh mới, điều kiện chứa đựng yếu tố thay đổi, học sinh chưa có tính độc đáo tìm lời giải tốn Từ dẫn đến hệ nhiều học sinh gặp khó khăn giải tốn, đặc biệt tốn đòi hỏi phải có sáng tạo lời giải tập chứng minh bất đẳng thức Do vậy, việc phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh nói chung lực tư sáng tạo cho học sinh phổ thơng thơng qua dạy học Tốn nói riêng yêu cầu cấp bách Nhận thức tầm quan trọng vấn đề nêu nên em chọn đề tài: “Rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh học phổ thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu vấn đề lực tư sáng tạo biểu tư sáng tạo học sinh trung học phổ thơng để từ đề xuất biện pháp cần thiết nhằm rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức; góp phần nâng cao chất lượng đào tạo nhà trường Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích trên, khóa luận có nhiệm vụ làm rõ số vấn đề sau: - Làm sáng tỏ số vấn đề tư duy, tư sáng tạo, lực tư sáng tạo dạy học chứng minh bất đẳng thức - Nghiên cứu biểu lực tư sáng tạo học sinh trung học phổ thông cần thiết để rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức - Đề xuất số biện pháp cần thiết để để rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh qua dạy học chứng minh bất đẳng thức Các phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, phân tích tổng hợp tài liệu giáo dục học, tâm lý học, sách giáo khoa, sách bai tập, tạp chí, sách, báo, đặc san tham khảo có liên quan tới logic tốn học, tư sáng tạo, phương pháp tư toán học, phương pháp nhằm phát triển rèn luyện lực tư sáng tạo toán học cho học sinh phổ thơng, tập mang nhiều tính tư sáng tạo - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Bước đầu tìm hiểu tình hình dạy học rút số nhận xét việc “Rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh học phổ thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức” Giả thuyết khoa học Nếu thường xuyên quan tâm, ý coi trọng mức: “Rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức” sở kết hợp với tư lơ-gic, tư biện chứng góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán theo yêu cầu mơn Đóng góp khóa luận - Về lý luận: Góp phần làm sáng tỏ nội dung “Rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh học phổ thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức” - Về thực tiễn: + Xây dựng số biện pháp “Rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh học phổ thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức” + Vận dụng biện pháp vào thực tiễn dạy học tập chứng minh bất đẳng thức cho học sinh phổ thơng Với đóng góp nhỏ trên, hy vọng khóa luận tài liệu tham khảo cho giáo viên trẻ vào nghề bạn muốn rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo giải tốt chứng minh bất đẳng thức B PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Một số vấn đề tư 1.1.1 Khái niệm Theo Từ điển tiếng Việt phổ thông: “Tư giai đoạn cao trình nhận thức, sâu vào chất phát tính quy luật vật hình thức biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý” Theo Từ điển triết học: “Tư sản phẩm cao vật chất tổ chức cách đặc biệt não, q trình phản ánh tích cực giới khách quan khái niệm, phán đoán, lý luận,… Tư xuất trình hoạt động sản xuất người bảo đảm phản ánh thực cách gián tiếp, phát mối liên hệ hợp với quy luật thực tại”.(1) Theo quan niệm Tâm lý học: Tư q trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính, mức độ nhận thức chất so với cảm giác tri giác Tư phản ánh thuộc tính bên trong, chất, mối liên hệ có tính quy luật vật, tượng mà trước ta chưa biết 1.1.2 Đặc điểm tư a) Tính có vấn đề Khi gặp tình mà vấn đề hiểu biết cũ, phương pháp hành động biết không đủ giải quyết, lúc rơi vào “tình có vấn đề”, phải cố vượt khỏi phạm vi hiểu biết cũ để tới mới, hay nói cách khác phải tư  xyz  p p xyz  27 p Từ (*), (**), (***) suy ra: (***) 27 27   M 1     1   p3 p p p   Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu “ = ” xảy khi: xyz Khai thác toán p Từ giả thiết toán là: x, y, z > x  y  z  p với p số nguyên dương cho trước, học sinh liên tưởng đến toán bất đẳng thức lượng giác tam giác sau: sin A  sin B  sin C  A sin cos A  sin B  sin C  33 2 B C  cos  cos  2 cosA+ cos B  cos C  Từ áp dụng kết vừa chứng minh ví dụ trên, học sinh xây dựng tốn sử dụng kết ví dụ để giải số tốn khác Ví dụ như: Bài 1: Cho tam giác ABC Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:    2 a)      1  sin A  sin B  sin C                1 b)  1 1  27        2         c  ) 1 1 1  1 A B C  cos  cos  cos      2 Hướng dẫn:  3 A  sin B  sin C  a) Dựa vào bất đẳng thức: sin 3 áp dụng ví dụ với x = sinA, y = sinB, z = sinC A B C b) Dựa vào bất đẳng thức: sin  sin  sin  áp dụng ví 2 2 A B C dụ với x = sin , y = sin , z = sin 2 c) Dựa vào bất đẳng thức: cos dụng ví dụ với x = cos A , y = cos B A  cos , z = cos B  cos C  áp C Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng:         27 cos A  cos B  cos C     Hướng dẫn: Dựa vào bất đẳng thức: cos A+ cos B  cos C  với x = cosA, y = cosB, z = cosC Bài 3: Chứng minh với tam giác ABC ta có: cos A - B cos B - C cos C - A áp dụng ví dụ Q 2 cos A.cos B.cos C Hướng dẫn: Biến đổi biểu thức cho dạng:  64    Q   cos A.cos B      cos B.cos C    cos A.cos C  Vì tam giác ABC nhọn nên ta ln có: cos A, cos B, cos C    cos A.cos B  cos B.cos C  cos C.cos A  Do áp dụng ví dụ ta được: Q  (1 + 3) = 64 Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 4: Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp Gọi x, y, z tương ứng chiều cao tam giác Chứng minh rằng: 1  x  y 1  z   64 Hướng dẫn: 1 1 Ta ln có:     x y z r (Với r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) Đặt X ,Y ,Z y XYZ1x z Áp dụng ví dụ ta có:     Q 1 1   1  3  64     X  Y  Z `   1  x  y   z   64 Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 5: Cho D hình hộp chữ nhật Gọi x, y, z góc đường chéo hình hộp tạo với ba cạnh hình hộp xuất phát từ đỉnh Chứng minh rằng: S    tan x   tan y    tan z   64 Hướng dẫn: 2  Ta có: S  1   cos x     12   12  cos y  cos z   Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được: 2 cos x  cos y  cos z  Nên áp dụng ví dụ ta có điều phải chứng minh Như vậy, cách sử dụng kiến thức hệ thức lượng tam giác số bất đẳng thức cổ điển, ta xây dựng nhiều bất đẳng thức từ bất đẳng thức ban đầu Việc xây dựng toán từ toán xuất phát đặt u cầu đòi hỏi em phải tích cực suy nghĩ, liên hệ với kiến thức học, từ góp phần phát triển tư sáng tạo cho học sinh - Ví dụ 2: Bài tốn xuất phát Chứng minh rằng: Với x  1;3 thì: x 1   x  (1) Giải : Cách 1: (Phương pháp biến đổi tương đương) (1)   x  1  x   x  2  (luôn đúng) Dấu “ = ” xảy x2 Cách 2: (Phương pháp đánh giá) Đặt A  x 1  A2 3x , ta có A   4   x  2 Dấu “ = ” xảy x  Mở rộng tốn Tìm giá trị lớn hàm số: y  x 1  3x Giải: Cách 1: (Phương pháp đại số) Đặt u  x 1,v  3  x ta có hệ:   u  v 3 y   u  v  y    y 3 u  v  u.v   3y  u, v nghiệm phương trình: X  yX  8y Điều kiện để hệ có nghiệm là:   y 2 3y  3y  0 0 x2 Vậy Max y = x = Cách 2: (Giải tích) Ta có: y '   x  Bảng biến thiên: x y - + + - - + y 0 Tập giá trị hàm số là: T   0, 2 nên Max y = x = Cách 3: (Bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng) Nếu tìm Max y [1; 3] ta áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copxki mở rộng sau:   3  1  y  x 1  3  x Vậy Max y = x = Tổng quát 3 1    x 1   x   y  3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y  n x 1  n  x [1; 3] Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng bất đẳng thức: n a n b n a  b với a  0, b  Khi ta có: n  y  với  x  [1;3] Phát triển toán theo hướng khác Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y  x    x [1;3] Để tìm giá trị nhỏ hàm số ta viết: y3  x 1   3x3 3 x  Dấu “ = ” xảy x = Để tìm giá trị lớn hàm số ta có cách giải sau: Cách 1: (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) Ta có:  y  x143x   2  4   x 1   x  50 y5 Dấu xảy x1  3x 43  x  25 Cách 2: (Lượng giác) Cách 3: (Bảng biến thiên) Cách 4: (Phương pháp tọa độ vectơ) Cách 5: (Sử dụng tập giá trị hàm số hệ phương trình) Bài tốn tổng qt Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số y  a n x   bn  x ( a > b > 0) [1; 3] Qua phần trình bày ta thấy để bồi dưỡng, phát triển khả tư sáng tạo cho học sinh, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức, vận dụng kỹ kỹ xảo giải tốn, khơng chấp nhận cách giải quen thuộc mà ln tìm cách giải mới, từ có nhiều cách giải tìm cách giải tối ưu, độc đáo gây hứng thú niềm say mê học tập mơn tốn.Thơng qua hệ thống tập nhìn tốn nhiều khía cạnh khác giáo viên rèn luyện cho học sinh khả vận dụng linh hoạt hoạt động trí tuệ phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa,…chuyển từ hoạt động tư sang hoạt động tư khác, không suy nghĩ rập khuôn máy móc Từ tạo hứng thú học tập, tìm tòi, khám phá, phát vấn đề giải khác góp phần bồi dưỡng, rèn luyện phát triển khả tư sáng tạo dạy học mơn Tốn 2.3 Biện pháp 3: Tìm lời giải tốn theo cách đặc biệt Muốn tìm cách làm đặc biệt để giải toán, phải nhìn tốn theo phương diện mới, tiếp cận tốn với cách giải khơng thơng thường Ví dụ như: Một tốn Đại số, Hình học giải phương pháp lượng giác hay toán lượng giác giải phương pháp đại số hay hình học… - Ví dụ 1: Cho x, y, z > thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh rằng: T2 x 1 x  y  y2  z  z2  Đây toán chứng minh bất đẳng thức đại số Thông thường, học sinh cố gắng biến đổi áp dụng bất đẳng thức cổ điển để giải Tuy nhiên việc làm khó khăn Học sinh nghĩ tới phương pháp đặc biệt để giải toán Từ giả thiết: xy + yz + zx = 1, ta liên tưởng tới hệ thức lượng giác tam giác: tan A B B C C A tan  tan tan  tan tan  2 2 2 Khi đó, ta giải tốn cách sáng tạo sau: Đặt x  tan A B C ; y  tan ; z  tan 2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: A B C tan tan tan 2     tan A  tan B  tan C 2 A B C  T  2sin  sin  sin  2 T (a) Ta có: B+C B-C  2sin cos B+C  B+C4 B-C  T   2sin  2sin cos   4   B+C B+C B-C  4sin  2sin cos T20 4 T  2cos B+C Coi vế trái (b) tam thức bậc hai ẩn sin Do tồn sin '   cos (b) B+C B+C B-C nên  4 T  2  T2 B-C cos  4 (đpcm) Như vậy, học sinh sáng tạo việc đưa lượng giác vào giải tốn Về hình thức tốn khơng liên quan đến lượng giác với linh hoạt, nhạy bén suy nghĩ khiến em nhìn điều kiện ràng buộc biến liên tưởng tới đẳng thức lượng giác tam giác từ giải toán phương pháp lượng giác Để giải toán theo cách tiếp cận giải khơng thơng thường, khơng mang tính chất phổ dụng, ta phải đề ý tưởng hay, độc đáo nhờ phân tích sâu sắc đặc điểm tốn - Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: p  3r (1) Giải: Tách: p  p  a  p  b  p  c , đó: (1)  p  a  p  b  p  c  3r pa pb p c  r r  r 3 A B C  cot  cot  cot  3 2  Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức dễ dàng chứng minh Về hình thức, tốn tưởng chừng không liên quan đến lượng giác, với linh hoạt, nhạy bén suy nghĩ khiến em liên tưởng tới đẳng thức lượng giác tam giác từ tìm hướng giải cho toán C KẾT LUẬN Hiện nay, để đáp ứng nhiệm vụ mục tiêu giáo dục thời kỳ cơng nghiệp hóa – đại hóa u cầu đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy vai trò chủ thể học sinh trở thành yêu cầu cấp bách có ý nghĩa thực tiễn Đối với mơn Tốn, lực tư sáng tạo vấn đề quan trọng Nếu dạy học đơn giáo viên đọc – học sinh chép chắn khả tư sáng tạo em bị thui chột, khơng có “mảnh đất” để thể Hậu mà phương pháp giáo dục gây không dừng lại đó! Trong học sinh tiềm ẩn lực nhiệm vụ người giáo viên phải biết phát hiện, góp phần hình thành, ni dưỡng kích thích chồi mầm khiếu học sinh để chúng phát triển mức tối đa Do việc rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh dạy học Tốn nói chung dạy học tập chứng minh bất đẳng thức nói riêng nhiệm vụ quan trọng trình dạy học nhà trường trung học phổ thơng Trong phạm vi nghiên cứu đề tài, bước đầu người viết từ việc nghiên cứu sở lý luận đề tài để từ đề xuất số biện pháp dạy học nhằm rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học tập chứng minh bất đẳng thức Trong số biện pháp đó, tác giả đưa ví dụ cụ thể, rõ ràng Ngồi có số biện pháp khác Tuy nhiên để đạt hiệu cao đòi hỏi người giáo viên phải có phối kết hợp đồng bộ, nhuần nhuyễn nhiều biện pháp nâng cao lực tư sáng tạo cho học sinh mức cao Rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức vấn đề lớn đòi hỏi phải có thời gian kế hoạch cụ thể Kết nghiên cứu khóa luận chứng tỏ giả thuyết khoa học đắn, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành Hy vọng khóa luận góp phần giúp học sinh học tốt phát huy lực, tính sáng tạo thân học nội dung chứng minh bất đẳng thức, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Trung học phổ thông Khi nghiên cứu đề tài này, tác giả hi vọng góp thêm tiếng nói vào việc cụ thể hóa quan điểm dạy học theo hướng đổi mới, phát huy vai trò chủ thể người học Tuy nhiên hạn chế mặt kinh nghiệm, lực, thời gian, tài liệu trình khai thác triển khai đề tài hẳn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong bảo tận tình từ phía thầy bạn để đề tài hoàn thiện D TÀI LIỆU THAM KHẢO A.P Septulin (1987), Phương pháp nhận thức biện chứng, Bản dịch Tiếng Việt Nguyễn Đình Lâm Nguyễn Thanh Thủy, Nhà xuất Sách giáo khoa Mác– Lênin Phạm Bảo (2010), Nhiều cách giải cho toán, Toán học tuổi trẻ, Số 395(5-2010) Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang, Sai lầm phổ biến giải toán, Nhà xuất Giáo dục Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả sáng tạo toán học cho học sinh trường phổ thơng, Nhà xuất Hà Nội Phạm Đình Khương (1998), Rèn luyện tư học toán cho học sinh qua giải tập toán, Nghiên cứu giáo dục Đinh Văn Tố (1981), Phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh trình hướng dẫn học sinh giải tập Tuyển tập 30 năm Tạp chí tốn học Tuổi trẻ (1997), Nhà xuất Giáo dục Trần Thúc Trình (1998), Tư hoạt động toán học, Viện khoa học giáo dục Nguyễn Cảnh Toàn (1993), Đổi cách suy nghĩ tư toán học sáng tạo, Thế giới 10 Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Một phương pháp suy nghĩ sáng tạo, Tạp chí tốn học Tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục ... biểu tư sáng tạo học sinh trung học phổ thông để từ đề xuất biện pháp cần thiết nhằm rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức; ... thức - Nghiên cứu biểu lực tư sáng tạo học sinh trung học phổ thông cần thiết để rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức - Đề xuất số biện... triển lực tư sáng tạo cho học sinh học phổ thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức Giả thuyết khoa học Nếu thường xuyên quan tâm, ý coi trọng mức: Rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học