Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phương trình cho học sinh lớp 10

LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Đào Thị Hoa tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình em thực đề tài Em xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo tổ phương pháp giảng dạy, Ban chủ nhiệm khoa Toán, bạn sinh viên khoa Toán trường Đại Học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Vũ Thị Hương LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp trình học tập, nghiên cứu nỗ lực thân em bảo thầy, cô giáo, đặc biệt bảo, hướng dẫn tận tình giáo Đào Thị Hoa Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Rèn luyện kỹ giải tập phương trình cho học sinh lớp 10” khơng có trùng lặp với khóa luận khác kết thu đề tài hoàn toàn xác thực Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Vũ Thị Hương MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài ……………………………… … …………………1 Mục đích nghiên cứu …………………………… ………………….1 Nhiệm vụ nghiên cứu … …………………………… ………………2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu …………………… .…………….2 Phương pháp nghiên cứu ……………………………………… ………2 Cấu trúc khóa luận …………………………………………… ……….2 NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận ……………………………………………… 1.1.1.Khái niệm toán ……………………………………… …3 1.1.2 Vai trò, ý nghĩa tốn học …………………………… … 1.1.3 Phân loại toán …………………………………… …5 1.1.4 Phương pháp chung để giải toán ………………… …6 1.1.5 Những kĩ thường sử dụng dạy học giải tập toán … 1.2 Cơ sở thực tiễn ……… ……… ……… ……… …… ….10 CHƯƠ NG 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠN G TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1 M ụ c tiêu, nội dung chủ đề phương trình Đại số 10 nâng cao 19 2.2 Những kiến thức phương trình Đại số 10 nâng cao … 20 2.2.1 Kiến thức Đại số 10 nâng cao …………… 20 2.2.2 Các dạng tập phương trình Đại số 10 nâng cao …… 26 2.2.3 Phương trình bậc ba bậc bốn quy phương trình bậc hai 35 2.3 Hệ thống tập phương trình …… 38 KẾT LUẬN …………………………………………… 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………… 69 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tốn học có nguồn gốc thực tiễn có ứng dụng rộng rãi thực tiễn, tri thức kĩ toán học với phương pháp làm việc toán học trở thành công cụ để học tập nhiều môn học khác nhà trường, công cụ nhiều ngành khoa học khác công cụ để hoạt động đời sống thực tế Vì vậy, Tốn học thành phần thiếu dạy học trường phổ thơng Phương trình nội dung chiếm vị trí quan trọng chương trình tốn trung học phổ thơng Lý thuyết phương trình khơng sở để xây dựng đại số học mà giữ vai trò quan trọng mơn khác Toán học Ở Trung học sở, học sinh học định nghĩa phương trình, khái niệm liên quan với dạng phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai phương pháp giải tương ứng, nhiên phương trình có hệ số số Đến lớp 10 em học nội dung sâu hơn, mở rộng với phương trình chứa tham biến Do có nhiều loại phương trình nhiều phương pháp giải khác nên học sinh gặp nhiều khó khăn học nội dung Vì để giúp cho việc dạy học thuận tiện việc rèn luyện kĩ giải tốn phương trình cần thiết, nhằm nâng cao chất lượng dạy học cho giáo viên học sinh Với lí em chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ giải toán phương trình cho học sinh lớp 10” Mục đích nghiên cứu Trên sở tìm hiểu vấn đề tập toán học, kĩ giải tập tốn học, khóa luận hệ thống kiến thức phương trình, từ xây dựng hệ thống tập giải phương trình Đại số 10 nâng cao nhằm rèn luyện phát triển cho học sinh kĩ giải loại phương trình Thơng qua nâng cao chất lượng hiệu việc dạy học mơn tốn trường phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sở lí luận sở thực tiễn Xây dựng hệ thống tập rèn luyện kĩ giải toán phương trình cho học sinh lớp 10 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Bài tập toán phương trình Phạm vi: Đại số 10 nâng cao Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận - Điều tra, quan sát - Tổng kết kinh nghiệm - Thực nghiệm giáo dục Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo; khóa luận gồm hai chương: Chương Cơ sơ lí luận thực tiễn Chương Rèn luyện kĩ giải tốn phương trình cho học sinh lớp 10 NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận 1.1.1 Khái niệm toán Theo G.POLYA: Bài toán việc đặt cần thiết tìm kiếm cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích định trơng thấy rõ ràng, đạt Trên sở định nghĩa khái quát G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán đòi hỏi phải đạt tới đích Như vậy, tốn đồng với số quan niệm khác toán như: đề tốn, tập, 1.1.2 Vai trò, ý nghĩa toán học 1.1.2.1 Củng cố kiến thức cho học sinh Trong thực tế, toán chứa đựng nhiều kiến thức khái niệm toán học kết luận toán học Khi giải toán đòi hỏi ta phải phân tích kiện toán, huy động kiến thức cho đề tốn kiến thức biết khác có liên quan tới toán, tổng hợp lại để đề kiến thức Và kiến thức tìm lại kiến thức biết trước phân tích, tổng hợp lại để kiến thức Cuối đến lời giải toán Như vậy, giải tốn khơng kiến thức có tốn mà hệ thống kiến thức liên quan tới toán củng cố qua lại nhiều lần 1.1.2.2 Rèn luyện phát triển tư cho học sinh Đặc điểm bật tốn học mơn tốn khoa học suy diễn, xây dựng phương pháp tiên đề Do vậy, lời giải toán hệ thống hữu hạn thao tác có thứ tự chặt chẽ để đến mục đích rõ rệt Vì giải tốn có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta lực sử dụng phép suy luận lợp lơgíc: Suy luận có đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn, Chúng ta biết rằng, khơng thể có phương pháp chung để giải tốn Mỗi tốn có hình vẻ khác nhau, muốn tìm lời giải tốn phải biết phân tích: Phải biết cách dự đốn kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hóa Như vậy, qua việc giải toán lực tư sáng tạo rèn luyện phát triển 1.1.2.3 Rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức toán học cho học sinh Một yêu cầu việc nắm vững kiến thức môn khoa học hiểu, nhớ, vận dụng kiến thức mơn khoa học vào việc giải nhiệm vụ đặt ra, tức giải toán đặt lĩnh vực khoa học Trong việc giảng dạy tốn tốn lại tham gia vào tình q trình dạy học mơn tốn Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán sử dụng để tổ chức gây tình để dẫn dắt cho học sinh đến định nghĩa khái niệm; Bài toán sử dụng để nêu làm ví dụ phản ví dụ minh họa cho khái niệm; Bài toán sử dụng để luyện tập củng cố vận dụng khái niệm Trong giảng dạy định lý tốn học: Bài tốn sử dụng để tổ chức gây tình dẫn dắt học sinh phát nội dung định lí tốn học; Bài tốn sử dụng học sinh tập vận dụng định lí; đặc biệt việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lí việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm lời giải tốn có nhiều ứng dụng phần hay chương mơn học Trong luyện tập tốn học: Bài tốn phương tiện chủ yếu tiết luyện tập tốn học Trong người giáo viên phải xây dựng hệ thống tập có liên quan chặt chẽ với để nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức hình thành số kĩ 1.1.2.4 Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh Đặc điểm tính cách người hoạt động có mục đích rõ ràng Khi giải tốn ta ln có hướng mục đích rõ rệt, việc giải tốn góp phần tích cực vào việc rèn luyện lực hoạt động người Để giải toán, tốn khó người giải phải vượt qua nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, nhiều người ta phải có tâm lớn để giải tốn Nói theo cách G.POLYA “Khát vọng tâm giải tốn nhân tố chủ yếu q trình giải toán” Do vậy, ta thấy rằng: Hoạt động giải tốn nhân tố chủ yếu q trình hình thành phát triển nhân cách người 1.1.3 Phân loại toán Người ta phân loại toán theo nhiều cách khác để đạt mục đích định, thường để sử dụng cách thuận lợi 1.1.3.1 Phân loại theo hình thức toán Bài toán chứng minh: Là toán kết luận đưa cách rõ ràng đề tốn Bài tốn tìm tòi: Là tốn kết luận chưa có sẵn đề tốn 1.1.3.2 Phân loại theo phương pháp giải toán Người ta vào phương pháp giải tốn: Bài tốn có angơrit giải hay chưa để chia toán thành loại: Bài tồn có angơrit giải: Là tốn mà phương pháp giải theo angơrit mang tính chất angơrit Bài tồn khơng có angơrit giải: Là tốn mà phương pháp giải khơng theo angơrit khơng mang tính chất angơrit 1.1.3.3 Phân loại theo nội dung toán Người ta vào nội dung toán phát biểu theo thuật ngữ hay vài lĩnh vực chuyên môn hẹp để chia toán thành loại khác sau: Bài toán số học Bài toán đại số Bài toán hình học 1.1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa giải tốn Người ta dựa vào ý nghĩa việc giải toán để phân loại toán: Bài toán nhằm củng cố trực tiếp hay vài kiến thức kĩ đó, tốn nhằm phát triển tư Ta có loại tốn sau: Bài toán củng cố kĩ năng: Là toán nhằm củng cố trực tiếp sau học một vài kiến thức kĩ Bài tốn phát triển tư duy: Là tốn nhằm củng cố hệ thống kiến thức kĩ đòi hỏi phải có khả tư phân tích, tổng hợp vận dụng cách sáng tạo 1.1.4 Phương pháp chung để giải tốn 1.1.4.1 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề Phát biểu đề dạng thức khác để hiểu rõ nội dung tốn Phân biệt cho, phải tìm, phải chứng minh Có thể dùng cơng thức, kí kiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề 1.1.4.2 Bước 2: Tìm lời giải Tìm tòi, phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cho, biến đổi phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cho, phải tìm với tri thức biết, liên hệ toán cần giải với toán cũ tương tự, … Kiểm tra lời giải qua bước thực Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để chọn cách giải hợp lí 1.1.4.3 Bước 3: Trình bày lời giải Do M  (4m  6m  12)  39 39 (2m  )   10 10 40 40 V 3 ậ M k m y 39 h m 40 i i n b Phương trình (2) có hai nghiệm    m    2  m  Gx1, x2 hai nghiệm (2), m ọtheo Vi-ét ta có:  i  x1 x2    2 2 Ta có:  x   m   m   m  2x  x m   (m  2)(m  3) x 2 Vì 2  m  nên (m  2)(m  3)  DP   x   (m  2)(m  3)  o 2x  x m  m  đx ó  25  (m  1 Vậy max P đạt 25 m   2 )  25  x1  x  m  * Sai lầm thường gặp: Khơng tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ý a, ta * Nhận xét: a,b,c - Với tập tương tự ý b, ta xét dấu đưa biểu thức cho dạng: (am  b)  c , Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x (1) mx  x mx   dấu giá trị tuyệt đối dựa vào điều kiện có nghiệm phương trình Sau đưa biểu thức dạng: r  ( pm  q) , p, q, r số - Với tập tìm giá trị nhỏ *H n g d ẫ n : Tax nghiệm của phương trình Chia hai vế p h (1)  x  mx  2m   (x  )2 m    m( x x x2 )  2m 2 0 x x số biểu thức x  , ta được: ơng trình cho Đặt t  x  x , t  , tốn trở thành : Tìm m phương trình f (t)  t  mt  2m  có nghiệm t  (2) thỏa mãn t2 Ta xét tốn ngược: Tìm m phương trình (2) khơng có nghiệm t thỏa mãn t  Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình (2) vô nghiệm    m  8m     2  m   2 Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn: 2  t1  t2    m2  8m   m   2  m   f (2) 42  2  1  m   1  m4 2  f (2)  4m 2 20     S 2    4  m  m 2  2 (2) khơng có nghiệm t 1  m  thỏa mãn Kết hợp ta có: Với 2 2  ho m   t  Do (2) có nghiệm t  m  ặc 1 t thỏa mãn Vậy với m  1 m   phương trình cho có nghiệm 2 * Nhận xét: - Phươ ng trình (1) phươ ng trình bậc bốn đối xứng - Ta xét tốn ngượ c tốn ngượ c điều kiện đơn giản - Điều kiện để phươ ng trình bậc hai có nghiệ m thuộc ( ,  ) là:    af ( )   af ( )      S    * Sai lầm thường gặp: - Khơng xét xem x  có nghiệm phương trình cho khơng - Khơng tìm điều kiện t (| t | ) mà tìm điều kiện để phương trình t  mt  2m   có nghiệm - Kết luận sai: Khơng có m để phương trình (2) khơng có nghiệm thỏa mãn | t | Sai lầm học sinh lấy giao hai tập nghiệm trường hợp * Khó khăn: - Tìm điều kiện t đặt ẩn phụ xét tốn ngược - Kết luận điều kiện cần tìm toán * Các toán liên quan: - Giải phương trình với m cụ thể - Tìm m để phương trình vơ nghiệm - Tìm m để y  x  mx  đồ thị hàm 2mx  mx  số cắt trục Ox khơng cắt Ox Bài2 19: Tìm m để phương trình: (x  m)  m(x  m)  m 1  1 (1)   có nghiệm dương nhiều nghiệm âm * Hướng dẫn: Phương trình (1)  m(x  m)  m(x  m)  (x  m)    (x  m)  ()     m(x  m) 1 (x  m) 1         m(x  m)  () Trường hợp 1: Nếu m  () vơ nghiệm  x1  m  Từ(    đóx  x2  m  suy 1 ram ) Nghĩa phương trình cho có hai nghiệm x2  , số nghiệm dương khơng thể nhiều số nghiệm âm Trường hợp 2: Nếu m  , ta có: x1 , x2 V ì m  nê n  x  x m  1, m  (x  m)      1(x m x m ) m ,  m x    m m  Suy phương trình có bốn nghiệm + x  0; x3  0; x2  0; x4  : Nếu  m Phương trình (1) có số  nghiệm âm số nghiệm dương +m t x1  0; x3  0; x2  0; x4  :  h Phương trình (1) có N ì hai ế u nghiệm dương khơng có nghiệm âm Vậy m  phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn u cầu * Nhận xét: Học sinh phải hiểu rõ đề phương trình có nghiệm dương nhiều nghiệm âm * Khó khăn: - Học sinh khơng phát với m  vơ nghiệm () để từ có hướng xét m  trường hợp m  - Khơng nghĩ tới việc tính nghiệm xét dấu nghiệm m  * Bài toán liên quan: Bài toán: Tìm m để phương trình có nghiệm mà số nghiệm âm số nghiệm dương Bài 20: Cho phương trình: (m 1)x  2x  m  (1) a Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm Khi lập hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc m b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm khơng âm * Hướng dẫn: m     m 1 0  a (1) hai nghiệ m  có    m  m     2   x1  x2  m 1 Khi (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:  m  xx  2 2m x  x  2x x   2  m1 2 m 1 m 1 Ta có: Vậy x  x  2x x  hệ thức cần tìm 2 b Ta xét hai trường hợp: m  (1) trở Trường hợp 1: Nếu thành 2x    x  1 Vậy m  không thỏa mãn Trường hợp 2: Nếu m   S Xét m (1) có hai nghiệm 1 1 , ta xét hai trường hợp sau: m + Nếu m  1thì S  : Phương trình (1) có nghiệm dương m  1thì S  , ta xét m  : Phương trình (1) có hai P  + Nếu m  tiếp nghiệm âm Vậy với 1  m  (1) có nghiệm không âm * Sai lầm thường gặp: - Không xét trường hợp m  - Kết luận sai, chẳng hạn m  điều kiện cần tìm m P m * Cách giải khác: Xét 1 + (1) có nghiệm x   P   m  m + (1) có hai nghiệm trái dấu  P  m 1 + (1) có hai nghiệm dương    m        P      S  1  1  m   m2     m   m    Kết hợp ba trường hợp ta được: 1  1 m0  m  (1) có nghiệm không âm * Lưu ý: - Học sinh cần phải hiểu rõ phương trình có nghiệm khơng âm bao gồm nghiệm nghiệm lớn (hay có nghiệm dương) - Ta dựa vào ứng dụng định lí Vi-ét để xét dấu nghiệm để ý xem ta nên xét dấu S hay P trước đơn giản * Các tốn liên quan: - Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương phương trình có nghiệm âm - Tìm m để đồ thị hàm số (1) điểm y  (m 1)x  2x  m cắt trục hồnh có hồnh độ âm Bài 21: Cho phương trình: x2  2(a  b)x  4ab  (1) a Chứng minh phương trình ln có nghiệm với a,b b Tính 2 x1  x c Với giá trị a,b phương trình có nghiệm khơng âm * Hướng dẫn: 2 a Ta có:   (a  b)  4ab  (a  b)  0,a,b Vậy phương trình cho ln có nghiệm với a,b b Gọi x , x hai nghiệm phương trình (1), theo Vi-ét ta có:  x1  x2  2(a  b)   x1x2  4ab Khi ta có: 2 x  x  (x  x )  2x x 2 2  4(a  b)  8ab  4(a  b ) c Ta xét trường hợp sau: x0 P0  Trường hợp 1: Phương trình (1) có nghiệm a   b  Trường hợp 2: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  P  4ab   a,b trái dấu Trường hợp 3: Phương trình (1) có hai nghiệm dương :    a  0,b     4ab      a  0,b   P       2(a  b)   a  b   S  0 Kết hợp ta được: Nếu hai số a,b có số khơng dương phương trình (1) có nghiệm khơng âm * Sai lầm thường gặp: Học sinh không hiểu rõ cụm từ “nghiệm không âm” nên bỏ không xét trường hợp x  Vì học sinh cần hiểu rõ đề * Cách giải khác: Ta xét P  4ab : + Nếu a  b  P   x  + Nếu a,b trái dấu P  : Phương trình có hai nghiệm trái dấu + Nếu a,b dấu P  Ta xét S  2(a  b)   a  b  : Khi phương trình (1) có hai nghiệm dương * Các tốn liên quan: Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm khơng dương hay phương trình có nghiệm khơng âm * Nhận xét: 12 Đối với dạng tập trên, ta xét ba trường hợp: Phương trình có nghiệm có nghiệm dương (một nghiệm dương hai nghiệm dương) 12 KẾT LUẬN Khóa luận góp phần làm sáng tỏ cần thiết việc rèn luyện kĩ giải tốn phương trình cho học sinh lớp 10 dạy học toán trường phổ thơng Khóa luận hồn thành với kết sau: - Tìm hiểu sở lí luận việc dạy học giải tập toán, kĩ giải tập - Tìm hiểu số sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình - Phân loại dạng tập phương trình - Xây dựng hệ thống tập nhằm rèn luyện kĩ giải toán phương trình cho học sinh lớp 10 Trong dạng tập phương trình Đại số 10 nâng cao tập đưa nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức cho học sinh; rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo giải phương trình cho học sinh Ngồi ra, phần hệ thống tập cung cấp thêm số cách giải khác, toán tương tự hay toán liên quan, sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình Từ giúp học sinh có khả tư duy, phân tích tổng hợp, vận dung linh hoạt kiến thức giải phương trình Em mong đề tài giúp học sinh giải tốn phương trình tốt hơn, riêng thân em có thêm tài liệu để sau giảng dạy tập tốn phương trình Do lần tiếp xúc nghiên cứu đề tài toán học cộng với khả thân hạn chế nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong góp ý thầy giáo bạn để đề tài ngày hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Thị Hồng Anh, Bồi dưỡng học sinh giỏi trung học sở môn tốn, Nxb GD Việt Nam Vũ Hữu Bình, Tốn bồi dưỡng học sinh lớp đại số, Nxb GD Việt Nam Nguyễn Văn Cơ, Các đề thi tự luận mơn tốn, Nxb Đại học Sư phạm Lê Hồng Đức, Để học tốt toán 9, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán đại số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Trần Phương, Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, Nxb Đại học Sư phạm Nguyễn Thị Thanh Thủy, Các chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi trung học sở, Nxb GD Việt Nam Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 9, Nxb GD Việt Nam.` ... dạy học giải tập toán … 1.2 Cơ sở thực tiễn ……… ……… ……… ……… …… … .10 CHƯƠ NG 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠN G TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1 M ụ c tiêu, nội dung chủ đề phương trình. .. học thuận tiện việc rèn luyện kĩ giải toán phương trình cần thiết, nhằm nâng cao chất lượng dạy học cho giáo viên học sinh Với lí em chọn đề tài: Rèn luyện kĩ giải tốn phương trình cho học sinh. .. Xây dựng hệ thống tập rèn luyện kĩ giải tốn phương trình cho học sinh lớp 10 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Bài tập toán phương trình Phạm vi: Đại số 10 nâng cao Phương pháp nghiên cứu