Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phương trình cho học sinh lớp 10

LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Đào Thị Hoa tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình em thực đề tài Em xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo tổ phương pháp giảng dạy, Ban chủ nhiệm khoa Toán, bạn sinh viên khoa Toán trường Đại Học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Vũ Thị Hương LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp trình học tập, nghiên cứu nỗ lực thân em bảo thầy, cô giáo, đặc biệt bảo, hướng dẫn tận tình cô giáo Đào Thị Hoa Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Rèn luyện kỹ giải tập phương trình cho học sinh lớp 10” trùng lặp với khóa luận khác kết thu đề tài hoàn toàn xác thực Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Vũ Thị Hương MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài … ……………………………… …………………1 Mục đích nghiên cứu …………………………… ………………….1 Nhiệm vụ nghiên cứu … …………………………… ………………2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu …………………… …………….2 Phương pháp nghiên cứu ……………………………………… ………2 Cấu trúc khóa luận …………………………………………… ……….2 NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận ……………………………………………… 1.1.1.Khái niệm toán ……………………………………… …3 1.1.2 Vai trò, ý nghĩa toán học …………………………… … 1.1.3 Phân loại toán …………………………………… …5 1.1.4 Phương pháp chung để giải toán ………………… …6 1.1.5 Những kĩ thường sử dụng dạy học giải tập toán … 1.2 Cơ sở thực tiễn …………………………………… ….10 CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1 Mục tiêu, nội dung chủ đề phương trình Đại số 10 nâng cao 19 2.2 Những kiến thức phương trình Đại số 10 nâng cao … 20 2.2.1 Kiến thức Đại số 10 nâng cao …………… 20 2.2.2 Các dạng tập phương trình Đại số 10 nâng cao …… .26 2.2.3 Phương trình bậc ba bậc bốn quy phương trình bậc hai 35 2.3 Hệ thống tập phương trình …… .38 KẾT LUẬN …………………………………………… 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………… 69 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Toán học có nguồn gốc thực tiễn có ứng dụng rộng rãi thực tiễn, tri thức kĩ toán học với phương pháp làm việc toán học trở thành công cụ để học tập nhiều môn học khác nhà trường, công cụ nhiều ngành khoa học khác công cụ để hoạt động đời sống thực tế Vì vậy, Toán học thành phần thiếu dạy học trường phổ thông Phương trình nội dung chiếm vị trí quan trọng chương trình toán trung học phổ thông Lý thuyết phương trình không sở để xây dựng đại số học mà giữ vai trò quan trọng môn khác Toán học Ở Trung học sở, học sinh học định nghĩa phương trình, khái niệm liên quan với dạng phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai phương pháp giải tương ứng, nhiên phương trình có hệ số số Đến lớp 10 em học nội dung sâu hơn, mở rộng với phương trình chứa tham biến Do có nhiều loại phương trình nhiều phương pháp giải khác nên học sinh gặp nhiều khó khăn học nội dung Vì để giúp cho việc dạy học thuận tiện việc rèn luyện kĩ giải toán phương trình cần thiết, nhằm nâng cao chất lượng dạy học cho giáo viên học sinh Với lí em chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ giải toán phương trình cho học sinh lớp 10” Mục đích nghiên cứu Trên sở tìm hiểu vấn đề tập toán học, kĩ giải tập toán học, khóa luận hệ thống kiến thức phương trình, từ xây dựng hệ thống tập giải phương trình Đại số 10 nâng cao nhằm rèn luyện phát triển cho học sinh kĩ giải loại phương trình Thông qua nâng cao chất lượng hiệu việc dạy học môn toán trường phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sở lí luận sở thực tiễn Xây dựng hệ thống tập rèn luyện kĩ giải toán phương trình cho học sinh lớp 10 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Bài tập toán phương trình Phạm vi: Đại số 10 nâng cao Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận - Điều tra, quan sát - Tổng kết kinh nghiệm - Thực nghiệm giáo dục Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo; khóa luận gồm hai chương: Chương Cơ sơ lí luận thực tiễn Chương Rèn luyện kĩ giải toán phương trình cho học sinh lớp 10 NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận 1.1.1 Khái niệm toán Theo G.POLYA: Bài toán việc đặt cần thiết tìm kiếm cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích định trông thấy rõ ràng, đạt Trên sở định nghĩa khái quát G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán đòi hỏi phải đạt tới đích Như vậy, toán đồng với số quan niệm khác toán như: đề toán, tập, 1.1.2 Vai trò, ý nghĩa toán học 1.1.2.1 Củng cố kiến thức cho học sinh Trong thực tế, toán chứa đựng nhiều kiến thức khái niệm toán học kết luận toán học Khi giải toán đòi hỏi ta phải phân tích kiện toán, huy động kiến thức cho đề toán kiến thức biết khác có liên quan tới toán, tổng hợp lại để đề kiến thức Và kiến thức tìm lại kiến thức biết trước phân tích, tổng hợp lại để kiến thức Cuối đến lời giải toán Như vậy, giải toán kiến thức có toán mà hệ thống kiến thức liên quan tới toán củng cố qua lại nhiều lần 1.1.2.2 Rèn luyện phát triển tư cho học sinh Đặc điểm bật toán học môn toán khoa học suy diễn, xây dựng phương pháp tiên đề Do vậy, lời giải toán hệ thống hữu hạn thao tác có thứ tự chặt chẽ để đến mục đích rõ rệt Vì giải toán có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta lực sử dụng phép suy luận lợp lôgíc: Suy luận có đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn, Chúng ta biết rằng, có phương pháp chung để giải toán Mỗi toán có hình vẻ khác nhau, muốn tìm lời giải toán phải biết phân tích: Phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hóa Như vậy, qua việc giải toán lực tư sáng tạo rèn luyện phát triển 1.1.2.3 Rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức toán học cho học sinh Một yêu cầu việc nắm vững kiến thức môn khoa học hiểu, nhớ, vận dụng kiến thức môn khoa học vào việc giải nhiệm vụ đặt ra, tức giải toán đặt lĩnh vực khoa học Trong việc giảng dạy toán toán lại tham gia vào tình trình dạy học môn toán Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán sử dụng để tổ chức gây tình để dẫn dắt cho học sinh đến định nghĩa khái niệm; Bài toán sử dụng để nêu làm ví dụ phản ví dụ minh họa cho khái niệm; Bài toán sử dụng để luyện tập củng cố vận dụng khái niệm Trong giảng dạy định lý toán học: Bài toán sử dụng để tổ chức gây tình dẫn dắt học sinh phát nội dung định lí toán học; Bài toán sử dụng học sinh tập vận dụng định lí; đặc biệt việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lí việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm lời giải toán có nhiều ứng dụng phần hay chương môn học Trong luyện tập toán học: Bài toán phương tiện chủ yếu tiết luyện tập toán học Trong người giáo viên phải xây dựng hệ thống tập có liên quan chặt chẽ với để nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức hình thành số kĩ 1.1.2.4 Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh Đặc điểm tính cách người hoạt động có mục đích rõ ràng Khi giải toán ta có hướng mục đích rõ rệt, việc giải toán góp phần tích cực vào việc rèn luyện lực hoạt động người Để giải toán, toán khó người giải phải vượt qua nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, nhiều người ta phải có tâm lớn để giải toán Nói theo cách G.POLYA “Khát vọng tâm giải toán nhân tố chủ yếu trình giải toán” Do vậy, ta thấy rằng: Hoạt động giải toán nhân tố chủ yếu trình hình thành phát triển nhân cách người 1.1.3 Phân loại toán Người ta phân loại toán theo nhiều cách khác để đạt mục đích định, thường để sử dụng cách thuận lợi 1.1.3.1 Phân loại theo hình thức toán Bài toán chứng minh: Là toán kết luận đưa cách rõ ràng đề toán Bài toán tìm tòi: Là toán kết luận chưa có sẵn đề toán 1.1.3.2 Phân loại theo phương pháp giải toán Người ta vào phương pháp giải toán: Bài toán có angôrit giải hay chưa để chia toán thành loại: Bài toàn có angôrit giải: Là toán mà phương pháp giải theo angôrit mang tính chất angôrit Bài toàn angôrit giải: Là toán mà phương pháp giải không theo angôrit không mang tính chất angôrit 1.1.3.3 Phân loại theo nội dung toán Người ta vào nội dung toán phát biểu theo thuật ngữ hay vài lĩnh vực chuyên môn hẹp để chia toán thành loại khác sau: Bài toán số học Bài toán đại số Bài toán hình học 1.1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa giải toán Người ta dựa vào ý nghĩa việc giải toán để phân loại toán: Bài toán nhằm củng cố trực tiếp hay vài kiến thức kĩ đó, toán nhằm phát triển tư Ta có loại toán sau: Bài toán củng cố kĩ năng: Là toán nhằm củng cố trực tiếp sau học một vài kiến thức kĩ Bài toán phát triển tư duy: Là toán nhằm củng cố hệ thống kiến thức kĩ đòi hỏi phải có khả tư phân tích, tổng hợp vận dụng cách sáng tạo 1.1.4 Phương pháp chung để giải toán 1.1.4.1 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề Phát biểu đề dạng thức khác để hiểu rõ nội dung toán Phân biệt cho, phải tìm, phải chứng minh Có thể dùng công thức, kí kiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề 1.1.4.2 Bước 2: Tìm lời giải Tìm tòi, phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cho, biến đổi phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cho, phải tìm với tri thức biết, liên hệ toán cần giải với toán cũ tương tự, … Kiểm tra lời giải qua bước thực Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để chọn cách giải hợp lí 1.1.4.3 Bước 3: Trình bày lời giải Từ cách giải phát hiện, xếp việc phải làm thành chương trình gồm bước theo trình tự thích hợp thực bước 1.1.4.4 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải Nghiên cứu giải toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh giải toán sau: Trong  ABC , chứng minh ta có: cos A  cos B  cos C   4sin A B C  sin  sin 2 với A, B, C ba góc tam giác Hướng dẫn Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề Bài toán cho:  ABC bất kì, với A, B, C ba góc tam giác Bài toán yêu cầu: Chứng minh rằng: cos A  cos B  cos C   4sin A B C  sin  sin 2 Bước 2: Tìm lời giải Để chứng minh đẳng thức trên, ta có cách biến đổi nào? (biến đổi vế trái vế phải ngược lại) Ta sử dụng công thức để biến đổi cosA  cos B , ta vế trái gì? ( VT  2cos A B A B  cos  cos C ) 2 Với A, B, C ba góc tam giác, thì: A  B  C  ? cos Ta để ý vế phải có sin tính vế trái ( VT  2sin A B A B C   ?  A  B  C   ; cos  sin  2  C , áp dụng công thức hạ bậc cos C  ? Từ C A B 2C  cos   2sin ) 2 10 Vậy không tồn phương trình thỏa mãn yêu cầu * Nhận xét: - Học sinh không nhận thấy 2010.2011 số chẵn, từ lập luận để mâu thuẫn - Học sinh không nhận b,c chẵn để để lập luận mâu thuẫn Bài 13: a Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x  x   Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: x12  x2 , x13  x23 , 1  x1 x2 b Cho phương trình x  mx   Gọi x1, x2 nghiệm phương trình, lập phương trình có nghiệm: x1  x2 x1 x2 ; x12 * Hướng dẫn: a Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2  x1  x2  5 Theo định lí Vi-ét ta có:   x1 x2  Ta có: x12  x2  ( x1  x2 )  x1 x2  25   21 3 2 x1  x2  ( x1  x2 )( x1  x1 x2  x2 )  5(21  2)  95 1 x1  x2 5    x1 x2 x1 x2 b Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là:   m    m   ; 2   2;    x1  x2  m Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:   x1 x2  ( x1  x2 )  ( x1 x2 )   m  + Ta có:  ( x1  x2 ).( x1 x2 )   m 58 x2 Khi x1  x2 x1 x2 nghiệm phương trình: t  (1  m)t  m   ( x1  x2 )  x1x2  m2   2 2 x2 ( x1 x2 )  x1 + Ta có:   1   1  x1 x2 Khi x12 x2 nghiệm phương trình: t  ( m2  2)t   * Sai lầm thường gặp: Không tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm * Nhận xét: Đối với toán lập phương trình có hai nghiệm tương tự ý b, ta tính tổng tích hai nghiệm dựa vào ứng dụng định lí Vi-ét  x  y  m Bài 14: Cho hệ phương trình:  (I)  x  y  a Xác định m để hệ vô nghiệm b Xác định m để hệ có nghiệm c Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt * Hướng dẫn: x y6 ( x  y )  xy  m   a Biến đổi hệ (I) dạng:  36  m  x  y   xy   2 Khi x, y nghiệm phương trình t  6t  36  m  (1) Hệ (I) vô nghiệm (1) vô nghiệm (1) vô nghiệm     m  18   m  18 Vậy với m  18 hệ phương trình vô nghiệm b Hệ (I) có nghiệm (1) có nghiệm     m  18   m  18 c Hệ (I) có hai nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt     m  18   m  18 59 * Nhận xét: Như ta quy việc giải biện luận hệ phương trình đối xứng loại (I) giải biện luận phương trình bậc hai nhờ định lí Vi-ét * Cách giải khác: Dựa vào đồ thị hàm số: Vẽ đồ thị hàm số y  t  6t , số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng y  36  m Từ suy điều kiện tương ứng * Các toán liên quan: - Lập phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ (I) - Tìm m để hệ (I) có nghiệm Bài 15: Cho phương trình: mx  2(m  2) x  m   (1) a Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn c Viết hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m d.Tìm giá trị nhỏ x12  x2 * Hướng dẫn: m   a Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu     m  m3 P    m  b (1) có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn  m  0  m      P    2(m  2)   m  0   m   S  m  m  c Phương trình có hai nghiệm      m  Gọi x1, x2 hai nghiệm (1), theo Vi-ét ta có: 60 2( m  2)  x  x      m m   m3   x1 x2  m   m Suy 3( x1  x2 )  x1 x2  2 () Vậy () hệ thức cần tìm d Với  m  () phương trình (1) có hai nghiệm Gọi k giá trị x12  x2 , phương trình x1 2  x2  2m  10m  16 m  k (2) phải có nghiệm (2)  (2  k )m  10m  16  + Nếu k  m  (thỏa mãn () ) + Nếu k  (2) có nghiệm    16k    k  Suy k  16 đạt m  ( thỏa mãn () ) 16 15 Vậy ( x12  x2 )  m  16 15 * Sai lầm thường gặp: Ở ý d, học sinh quên điều kiện để phương trình có nghiệm tìm m không kiểm tra lại điều kiện () * Khó khăn: - Học sinh không hiểu rõ yêu cầu ý b nghĩa phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn S  - Học sinh không nghĩ cách gọi k giá trị x12  x2 * Các toán liên quan: Bài toán: Cho đồ thị hàm số y  x  2( m  2) x  m  (Cm ) + Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm nằm hai phía Oy 61 + Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox hai điểm có hoành độ x1, x2 cho x12  x2 nhỏ Bài 16: a Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x  2(m  1) x  m  4m   Tìm m để: x1 x2  2( x1  x2 ) lớn b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x  mx  25  Chứng minh rằng: x1  x2  10 * Hướng dẫn: a Điều kiện để phương trình có nghiệm là:   (m  1)  2(m  4m  3)  m  6m    5  m  1  x1  x2  (m  1)  Theo định lí Vi-ét ta có:  m  4m   x1 x2   Ta có A  x1 x2  2( x1  x2 )   ( m  4m  3)  2m   m  8m  2 ( m  1)(m  7) Vì m   5; 1 nên ( m  1)( m  7)  Do A  1 ( m  8m  7)  9  (m  4)     2 Vậy max A  , đạt m  4 b Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:   m  100   m  10 Khi ta có: x1  x2   m Do x1  x2  m  10 * Sai lầm thường gặp: Học sinh quên không tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 62 * Nhận xét: - Trong ý a, ta để ý miền giá trị m để xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối khử dấu giá trị tuyệt đối - Trong ý b, ta để ý m  m * Các toán liên quan: Bài toán: Tìm điều kiện m để: + Đồ thị hàm số y  x  2( m  1) x  m  4m  cắt Ox hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 cho: x1 x2  2( x1  x2 ) lớn + Chứng minh đồ thị hàm số y  x  mx  25 cắt Ox hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 : x1  x2  10 Bài 17: a Gọi x1, x2 hai nghiệm phân biệt phương trình: x  2(m  1) x  m   (1) 2 x1  x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  x1 (1  x2 )  x2 (1  x2 ) b Tìm m để phương trình x  2mx  m2   (2) có hai nghiệm Khi tìm giá trị lớn biểu thức P  x1 x2  x1  x2  * Hướng dẫn: a Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2    ( m  1)  (m  4)  m  2m    m  R Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2  x1  x2  2( m  1) Theo định lí Vi-ét ta có:   x1x2  m  2 2 Ta có: x1  x2  ( x1  x2 )  x1 x2  4(m  1)  2m   4m  6m  12 x1 (1  x2 )  x2 (1  x1 )  x1  x2  x1 x2  2m   2m   10 63 Do M  1 39 39 (4m  6m  12)  (2m  )   10 10 40 40 Vậy M  3 39 m  40 b Phương trình (2) có hai nghiệm     m2    2  m   x1  x2   m  Gọi x1, x2 hai nghiệm (2), theo Vi-ét ta có:  m2   x1 x2   2 Ta có: x1 x2  x1  x2   m   m   m  m   (m  2)( m  3) Vì 2  m  nên ( m  2)(m  3)  Do P  x1x2  x1  x2   (m  2)(m  3)  m  m   25 25  (m  )  4 Vậy max P  25 đạt m  * Sai lầm thường gặp: Không tìm điều kiện để phương trình có nghiệm * Nhận xét: - Với tập tương tự ý b, ta xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối dựa vào điều kiện có nghiệm phương trình Sau đưa biểu thức dạng: r  ( pm  q) , p, q, r số - Với tập tìm giá trị nhỏ ý a, ta đưa biểu thức cho dạng: ( am  b)2  c , a, b, c số Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x  mx3  2mx  mx   (1) * Hướng dẫn: Ta thấy x  nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x  , ta được: (1)  x  mx  2m  m 1    ( x  )  m( x  )  m   x x x x 64 Đặt t  x  , t  , toán trở thành : Tìm m phương trình x f (t )  t  mt  2m   (2) có nghiệm t thỏa mãn t  Ta xét toán ngược: Tìm m phương trình (2) nghiệm t thỏa mãn t  Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình (2) vô nghiệm    m2  8m     2  m   2 Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 2  t1  t2     m  8m   m   2  m   2    f (2)     1 1   m   m42 f (2)  4m   2    4  m  S  m  2   2  2 Kết hợp ta có: Với 1  m   2 (2) nghiệm t thỏa mãn t  Do (2) có nghiệm t thỏa mãn t  m  Vậy với m  1 m   2 1 m   2 phương trình cho có nghiệm * Nhận xét: - Phương trình (1) phương trình bậc bốn đối xứng - Ta xét toán ngược toán ngược điều kiện đơn giản - Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm thuộc ( ,  ) là:    af ( )   af (  )    S      65 * Sai lầm thường gặp: - Không xét xem x  có nghiệm phương trình cho không - Không tìm điều kiện t ( | t | ) mà tìm điều kiện để phương trình t  mt  2m   có nghiệm - Kết luận sai: Không có m để phương trình (2) nghiệm thỏa mãn | t | Sai lầm học sinh lấy giao hai tập nghiệm trường hợp * Khó khăn: - Tìm điều kiện t đặt ẩn phụ xét toán ngược - Kết luận điều kiện cần tìm toán * Các toán liên quan: - Giải phương trình với m cụ thể - Tìm m để phương trình vô nghiệm - Tìm m để đồ thị hàm số y  x  mx3  2mx  mx  cắt trục Ox không cắt Ox Bài 19: Tìm m để phương trình: ( x  m)2  m( x  m)  m  1  1 (1)   có nghiệm dương nhiều nghiệm âm * Hướng dẫn: Phương trình (1)  m( x  m)  m( x  m)  ( x  m)2   ( x  m)2  ()   m( x  m)  1 ( x  m)  1         m( x  m)  () 2 Trường hợp 1: Nếu m  () vô nghiệm  x1  m  Từ suy ( x  m)     x2  m  Nghĩa phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 Vì m  nên x2  , số nghiệm dương nhiều số nghiệm âm Trường hợp 2: Nếu m  , ta có: 66  ( x  m)   x1  m  1, x2  m      1 , x4  m   ( x  m)   x3  m  m m  m  Suy phương trình có bốn nghiệm + Nếu  m  x1  0; x3  0; x2  0; x4  : Phương trình (1) có số nghiệm âm số nghiệm dương + Nếu m  x1  0; x3  0; x2  0; x4  : Phương trình (1) có hai nghiệm dương nghiệm âm Vậy m  phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn yêu cầu * Nhận xét: Học sinh phải hiểu rõ đề phương trình có nghiệm dương nhiều nghiệm âm * Khó khăn: - Học sinh không phát với m  () vô nghiệm để từ có hướng xét trường hợp m  m  - Không nghĩ tới việc tính nghiệm xét dấu nghiệm m  * Bài toán liên quan: Bài toán: Tìm m để phương trình có nghiệm mà số nghiệm âm số nghiệm dương Bài 20: Cho phương trình: ( m  1) x  x  m  (1) a Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm Khi lập hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm không âm * Hướng dẫn: m  m     a (1) có hai nghiệm   1 1    m  m   m  2 67 2  x  x   m 1  Khi (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:  m   x1 x2  m  Ta có: x1  x2  x1 x2  2 2m  2 m 1 m 1 Vậy x1  x2  x1 x2  hệ thức cần tìm b Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu m  (1) trở thành x    x  1 Vậy m  không thỏa mãn Trường hợp 2: Nếu m  Xét S  1 1 (1) có hai nghiệm m 2 , ta xét hai trường hợp sau: 1 m + Nếu m  S  : Phương trình (1) có nghiệm dương + Nếu m  S  , ta xét tiếp P  m  : Phương trình (1) có hai m 1 nghiệm âm Vậy với 1  m  (1) có nghiệm không âm * Sai lầm thường gặp: - Không xét trường hợp m  - Kết luận sai, chẳng hạn m  điều kiện cần tìm * Cách giải khác: Xét P  m m 1 + (1) có nghiệm x   P   m  + (1) có hai nghiệm trái dấu  P  + (1) có hai nghiệm dương 68 m    m  m 1 1  1 m       1 m   P     m0    m    S  m    Kết hợp ba trường hợp ta được: 1  m  (1) có nghiệm không âm * Lưu ý: - Học sinh cần phải hiểu rõ phương trình có nghiệm không âm bao gồm nghiệm nghiệm lớn (hay có nghiệm dương) - Ta dựa vào ứng dụng định lí Vi-ét để xét dấu nghiệm để ý xem ta nên xét dấu S hay P trước đơn giản * Các toán liên quan: - Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương phương trình có nghiệm âm - Tìm m để đồ thị hàm số (1) y  ( m  1) x  x  m cắt trục hoành điểm có hoành độ âm Bài 21: Cho phương trình: x  2(a  b) x  4ab  (1) a Chứng minh phương trình có nghiệm với a, b 2 b Tính x1  x2 c Với giá trị a, b phương trình có nghiệm không âm * Hướng dẫn: a Ta có:   (a  b)2  4ab  (a  b)2  0, a, b Vậy phương trình cho có nghiệm với a, b b Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1), theo Vi-ét ta có: 69  x1  x2  2(a  b)   x1x2  4ab Khi ta có: x12  x2  ( x1  x2 )  x1x2  4(a  b)2  8ab  4(a  b ) c Ta xét trường hợp sau: a  Trường hợp 1: Phương trình (1) có nghiệm x   P    b  Trường hợp 2: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  P  4ab   a, b trái dấu Trường hợp 3: Phương trình (1) có hai nghiệm dương :   a  0, b     4ab     P       a  0, b  2(a  b)    S  a  b   Kết hợp ta được: Nếu hai số a, b có số không dương phương trình (1) có nghiệm không âm * Sai lầm thường gặp: Học sinh không hiểu rõ cụm từ “nghiệm không âm” nên bỏ không xét trường hợp x  Vì học sinh cần hiểu rõ đề * Cách giải khác: Ta xét P  4ab : + Nếu a  b  P   x  + Nếu a, b trái dấu P  : Phương trình có hai nghiệm trái dấu + Nếu a, b dấu P  Ta xét S  2( a  b)   a  b  : Khi phương trình (1) có hai nghiệm dương * Các toán liên quan: Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm không dương hay phương trình có nghiệm không âm * Nhận xét: Đối với dạng tập trên, ta xét ba trường hợp: Phương trình có nghiệm có nghiệm dương (một nghiệm dương hai nghiệm dương) 70 KẾT LUẬN Khóa luận góp phần làm sáng tỏ cần thiết việc rèn luyện kĩ giải toán phương trình cho học sinh lớp 10 dạy học toán trường phổ thông Khóa luận hoàn thành với kết sau: - Tìm hiểu sở lí luận việc dạy học giải tập toán, kĩ giải tập - Tìm hiểu số sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình - Phân loại dạng tập phương trình - Xây dựng hệ thống tập nhằm rèn luyện kĩ giải toán phương trình cho học sinh lớp 10 Trong dạng tập phương trình Đại số 10 nâng cao tập đưa nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức cho học sinh; rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo giải phương trình cho học sinh Ngoài ra, phần hệ thống tập cung cấp thêm số cách giải khác, toán tương tự hay toán liên quan, sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình Từ giúp học sinh có khả tư duy, phân tích tổng hợp, vận dung linh hoạt kiến thức giải phương trình Em mong đề tài giúp học sinh giải toán phương trình tốt hơn, riêng thân em có thêm tài liệu để sau giảng dạy tập toán phương trình Do lần tiếp xúc nghiên cứu đề tài toán học cộng với khả thân hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong góp ý thầy cô giáo bạn để đề tài ngày hoàn thiện 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Thị Hồng Anh, Bồi dưỡng học sinh giỏi trung học sở môn toán, Nxb GD Việt Nam Vũ Hữu Bình, Toán bồi dưỡng học sinh lớp đại số, Nxb GD Việt Nam Nguyễn Văn Cơ, Các đề thi tự luận môn toán, Nxb Đại học Sư phạm Lê Hồng Đức, Để học tốt toán 9, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán đại số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Trần Phương, Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, Nxb Đại học Sư phạm Nguyễn Thị Thanh Thủy, Các chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi trung học sở, Nxb GD Việt Nam Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 9, Nxb GD Việt Nam.` 72 [...]... Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là x  3, x  11 21 CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1 Mục tiêu, nội dung chủ đề phương trình ở Đại số 10 nâng cao 2.1.1 Mục tiêu * Về kiến thức: Học sinh nắm vững khái niệm phương trình và những khái niệm liên quan: Nghiệm của phương trình, điều kiện của phương trình, phương trình tương đương, phương trình hệ... những bài tập khái quát và các kiến thức tương ứng Rèn luyện kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kĩ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau: 12 i,Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình phổ thông Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau: - Các hệ thống số - Hàm số và ánh xạ - Phương trình và bất phương trình. .. phương trình hệ quả Nắm được cách giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai và các phương trình quy về bậc nhất hoặc bậc hai: Phương trình chứa ẩn ở dưới mẫu, chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, chứa ẩn trong dấu căn bậc hai * Về kĩ năng: Học sinh có kĩ năng giải và biện luận phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai Thành thạo với việc giải phương trình theo thuật giải, theo công thức hoặc... hình thành kĩ năng Sự hình thành kĩ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài tập Vì vậy, muốn hình thành kĩ năng cho học sinh, chủ yếu là kĩ năng học tập và kĩ năng giải toán, người thầy giáo cần phải: - Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải quyết các đối tượng, các bài tập cùng... hạn: Tri thức và kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kĩ năng chứng minh toán học, kĩ năng hoạt động và tư duy hàm ” Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng khác nhau Kĩ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: Kiến thức, kĩ năng, phương pháp Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn toán trong nhà trường phổ... thức về giải phương trình theo nội dung, chẳng hạn phương trình chứa ẩn trong dấu giá tri tuyệt đối, chứa ẩn trong căn thức, chứa ẩn dưới mẫu * Về tư duy: Học sinh được phát triển về tư duy thuật giải trong việc giải phương trình theo thuật giải, hoặc theo một hệ thống quy tắc xác định; được rèn luyện tính linh hoạt và khả năng sáng tạo khi giải những phương trình theo nội dung, những phương trình. .. Kĩ năng giải toán 11 “Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh)” Để thực hiện tốt môn toán ở trong trường trung học phổ thông, một trong những yêu cầu được đặt ra là: Về tri thức và kĩ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kĩ năng tương ứng Chẳng hạn: Tri thức và kĩ năng. .. mực Học sinh được rèn luyện tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật, tính cẩn thận, chính xác và thói quen tự kiểm tra trong việc giải phương trình 2.1.2 Nội dung chủ đề phương trình ở Đại số 10 nâng cao Chủ đề phương trình trong chương trình Đại số 10 nâng cao bao gồm các nội dung sau: - Đại cương về phương trình (2 tiết) 22 - Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn (2 tiết) - Một số phương trình. .. dạy học môn toán cần chú ý: “Trong khi dạy học môn toán cần quan tâm rèn luyện cho học sinh những kĩ năng trên những bình diện khác nhau đó là: - Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán - Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác - Kĩ năng vận dụng tri thức vào đời sống” Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của bộ môn toán. .. đã cho có nghiệm là x  3 2.2.1.5 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối * Phương trình dạng ax  b  cx  d (1) Cách giải 1: (2) a x  b  c x  d (1)    a x  b  (c x  d ) (3) 27 Giải phương trình (2) và phương trình (3) Sau đó lấy hợp hai tập nghiệm của hai phương trình ta được tập nghiệm của phương trình (1) Cách giải 2: Bình phương hai vế: (1)  (ax  b) 2  (cx  d )2 Trở về giải ... …………………………………… … .10 CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1 Mục tiêu, nội dung chủ đề phương trình Đại số 10 nâng cao 19 2.2 Những kiến thức phương trình. .. Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  3, x  11 21 CHƯƠNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1 Mục tiêu, nội dung chủ đề phương trình Đại số 10 nâng cao... dạy học thuận tiện việc rèn luyện kĩ giải toán phương trình cần thiết, nhằm nâng cao chất lượng dạy học cho giáo viên học sinh Với lí em chọn đề tài: Rèn luyện kĩ giải toán phương trình cho học