Rèn luyện các kỹ năng giải các bài toán về hệ phương trình cho học sinh lớp 10

- Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về hệ phương trình cho học sinh: Hệ thống những kiến thức cơ bản các phương pháp giải bài tập về hệ phương trình, xây dựng hệ thống bài tập về hệ ph

MỤC LỤC

Mở đầu……… 1

1 Lí do chọn đề tài ……… 1

2 Mục đích nghiên cứu……… 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu……… 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……… 2

5 Phương Pháp nghiên cứu……… 2

Nội dung……… 3

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn……… 3

1.1 Cơ sở lí luận……… 3

1.1.1 Dạy học giải bài tập……… 3

1.1.1.1 Khái niệm….……… 3

1.1.1.2 Vai trò của bài tập toán học……… 3

1.1.1.3 Các yêu cầu đối với lời giải……… 5

1.1.1.4 Dạy học phương pháp chung để giải bài toán……… 6

1.1.1.5 Khai thác bài toán ……… 14

1.1.2 Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh……… 14

1.1.2.1 Khái niệm kỹ năng và kỹ năng giải toán……… 14

1.1.2.2 Một số kỹ năng thường sử dụng khi giải bài tập toán 16

1.2 Cơ sở thực tiễn……… …… 19

Chương 2 Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về hệ phương trình cho học sinh lớp 10 ……… 22

2.1 Mục tiêu, nội dung dạy học giải bài tập về hệ phương trình đại số 10- nâng cao……… 22

2.2 Các phương pháp giải bài tập hệ phương trình……… 23

2.2.1 Phương pháp sử dụng định thức cấp 2……… 23

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

2.2.2 Phương pháp thế……… 24

2.2.3 Phương pháp cộng đại số……… 25

2.2.4 Phương pháp đặt ẩn phụ……… 27

2.2.5 Phương pháp đưa về dạng tích……… 30

2.2.6 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số……… 32

2.3 Các dạng hệ phương trình……… 33

2.3.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn……… 33

2.3.2 Hệ đối xứng loại (kiểu) I……… 35

2.3.3 Hệ phương trình đối xứng loại II………42

2.3.4 Hệ phương trình đẳng cấp……… 49

2.4 Hệ thống các bài tập vận dụng……….53

Kết luận……… 63

Tài liệu tham khảo……… 65

LỜI CẢM ƠN

Với tấm lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành cảm ơn cô giáo

Th.s Đào Thị Hoa đã hướng dẫn em một cách tận tình, chu đáo trong

suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn này

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán đã tạo điều kiện cho em thực hiện tốt luận văn này

Cuối cùng xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn bè đã giúp đỡ, hỗ trợ và động viên giúp tôi hoàn thành tốt luận văn này

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Văn Lễ

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng khóa luận này là kết quả nghiên cứu tìm tòi của riêng tôi và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và tham khảo các tài liệu Kết quả nghiên cứu này không hoàn toàn trùng với bất

cứ công trình nghiên cứu nào từng được công bố

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Văn Lễ

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong thời đại khoa học kỹ thuật hiện nay, lượng tri thức (đặc biệt là tri thức toán học) phải tiếp thu khi ngồi trên ghế nhà trường ngày càng nhiều, đòi hỏi học sinh phải tư duy tích cực sáng tạo Có như vậy mới đáp ứng được yêu cầu của nền giáo dục là đào tạo học sinh thành những người có kiến thức vững vàng, những người lao động mới xây dựng đất nước Việt Nam Xã Hội Chủ Nghĩa, văn minh, giàu mạnh

Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10, thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng Mặc dù học sinh được cọ xát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải Nguyên nhân là vì

Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện

Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn tổng quát về hệ phương trình

Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em

Tình hình chung của học sinh lớp 10 hiện nay khi gặp các bài toán này thường là thoả mãn ngay sau khi đã tìm được cách giải mà không tìm

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

đầy đủ nghiệm hoặc tìm cách giải sáng tạo dễ hiểu hoặc cách giải độc đáo

Từ những lí do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài :

“ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 ”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Hệ thống hóa các dạng toán và các phương pháp giải tương ứng về hệ phương trình, xây dựng hệ thống bài tập về hệ phương trình cho lớp 10 nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả của công việc dạy học toán ở phổ thông

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu cơ sở lí luận về việc hướng dẫn học sinh giải các bài tập toán

- Tìm hiểu mục tiêu và nội dung dạy học hệ phương trình trong sách giáo khoa lớp 10

- Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về hệ phương trình cho học sinh:

Hệ thống những kiến thức cơ bản các phương pháp giải bài tập về hệ phương trình, xây dựng hệ thống bài tập về hệ phương trình

4 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng: Hệ phương trình

- Phạm vi nghiên cứu: Đại số 10 nâng cao

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu lí luận

- Quan sát điều tra

- Tổng kết kinh nhiệm

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Dạy học giải bài tập toán là ngoài việc cung cấp cho học sinh lời giải bài toán, giáo viên phải dạy học sinh biết làm thế nào để giải được bài toán Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán

1.1.1.2 Vai trò của bài tập toán học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán Điều căn bản

là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ (xem mục 5 chương III, [11tr97]) Chương IV đã cho thấy hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện cả trên 3 bình diện này:

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường

phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động

đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập thể hiện chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:

 Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

 Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

 Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là

giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào

đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá

mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên

cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo được thực hiện độ lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt là

về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy

và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên

1.1.1.3 Các yêu cầu đối với lời giải

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững yêu cầu của lời giải Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt Nói như vậy bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng quá cô đọng Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:

(i) Kết quả đúng, kể cả ở những bước trung gian

Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, một biểu thức, một hàm

số, một hình vẽ…thỏa mãn các yêu cầu để ra Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng Như vậy, lời giải không thể chưa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức…

(ii) Lập luận chặt chẽ

Đặc biệt lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau :

 Luận đề phải nhất quán

 Luận cứ phải đúng

 Luận chứng phải hợp logic

(iii) Lời giải đầy đủ

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không bỏ xót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không thiếu một khả năng ……

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

(vii) Nghiên cứu lời giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii), (iv) là các yêu cầu cơ bản (v) là yêu cầu về mặt trình bày, còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao

1.1.1.4 Dạy học phương pháp chung để giải bài toán

a Phương pháp chung để giải bài toán

Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán Đó là điều ảo tưởng Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết

Dựa trên tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya(1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

 Phát biểu đề bài dưới dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

 Phân biệt cái đã cho và cái cần tìm, phải chứng minh

 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả

đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

 Tìm tòi, phát hiện cách giải những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hay cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên

hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán có liên quan,

sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích v.v

 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiên hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan…

 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bược theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Sau đây là ví dụ minh họa

Ví dụ Chứng minh rằng các tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì nằm trong một tam giác đều tới ba cạnh của tam giác đó là một hằng số

Ta có hình minh họa sau:

Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

Bước 1: Tìm hiểu nộ

Bước toán này có thể

Cho một tam giác đ

giác đều đã cho (chú ý r

bằng nhau ) Bài toán

Để chứng minh t

đặt ba đoạn thẳng này liên ti

một đoạn thẳng có độ

tren hình vẽ khi M di chuy

thực hiện đối với bài toán này

p

p K35 C

ội dung đề bài

ể phát biểu cụ thể như sau :

t tam giác đều ABC Gọi M là một điểm nằm trong tam giác

u các hình chiếu của M trên ba cạnh của AB, BC, CA l

ng minh rằng MH +MI +MK không đổi dù cho ta ltrí nào trong tam giác

ải

i bài toán sẽ dễ hơn nếu ta xác định đư

n vậy, ta có thể đặc biệt hóa chẳng hạn b

nh A Khi đó I tới vị trí I’ và MH+MI+MK=0+AI’+0=AI’

n tìm chính là bằng độ dài của đường cao

ã cho (chú ý rằng trong một tam giác, ba đường cao có đ

ng nhau ) Bài toán trở thành chứng minh rằng MH+MI+MK

ng minh tổng MH+MI+MK = h, người ta thường ngh

ng này liên tiếp trên một đường thẳng nào đó đ

ộ dài h Nhứng vị trí thay đổi của ba đokhi M di chuyển trong tam giác ABC cho thấ

i bài toán này

ng cao h của tam

Một hướng khác là có th

khác Cho trước một tam giác đ

S, cạnh a…của tam giác đó c

MH+MI+MK với diệ

ng khác là có thể biểu thị h qua những đại lượ

t tam giác đều không chỉ đường cao mà c

a tam giác đó cũng không đổi Ý nghĩ mố

ện tích gợi ra sự liên tưởng tới đẳng thứ

i giải, trước hết ta thử lại hằng số MH+MI+MK

t khác, chẳng hạn lấy M là giao điểm của 3 đư

n của tam giác đều

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác đều ABC, hình chiếu của M trên ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là H, I, K Kí hiệu cạnh và đường cao của tam giác đó lần lượt là a và h, ta có :

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Từ bài toán trong ví dụ này có thể phát biểu và giải những bài toán khái quát hoặc mở rộng sau đây:

(i) Mở rộng ra trường hợp tam giác đều: Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm bất kì nằm trong một đa giác đều tới các cạnh của đa giác đó là một hằng số

(ii) Mở rộng ra trường hợp đa giác lồi có các cạnh bằng nhau: Phân tích

kĩ lời giải, ta thấy kết quả trên không đòi hỏi đa giác bắt buộc phải là đa giác đều, và bài toán trên có thể mở rộng cho trường hợp đa giác lồi cạnh bằng nhau

(iii) Mở rộng ra trường hợp tứ diện đều: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì nằm trong một tứ diện đều tới các mặt của tứ diện đó là hằng số

b Bản gợi ý áp dụng phương pháp chung giải toán

Trong quá trình dạy học phương pháp chung giải toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ cho trò và để trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải Sau đây là một bản gợi ý, về căn bản dựa theo Polya (1975), có điều

chỉnh cho phù hợp cới cấu trúc phương pháp chung được trình bày trong mục a:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

 Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thỏa mãn điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay mâu thuẫn?

 Hãy vẽ hình hay sử dụng kí hiệu thích hợp

 Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức hay không ?

sử dụng phương pháp gải bài toán đó Có cần phải dựa thêm một

số yếu tố phụ thì mới áp dụng bài toán đó hay không?

 Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một các khác nữa? Quay về những định nghĩa

 Nếu bạn chưa giải được bài toán đề đã ra thì hãy thử giải một bài toán có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán hay không? Hãy giữa lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó cái cần tìm được xác định đến

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ra các điều kiện khác có thể giúp bạn xác định cái cần tìm hay không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không ?

 Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiện hay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

 Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi bước đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay không ?

 Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả không?

 Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra lời giải ngắn gọn và hợp lý nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

 Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở bước 2

 Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán phát hiện, những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán tương tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác hay không ?

c Cách thức dạy phương pháp chung để giải bài toán

Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng được phương pháp chung để giải bài toán vào việc giải những bài toán

cụ thể mà họ gặp trong chương trình Học phương pháp chung để giải toán không phải là học một thuật giải mà học là học kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện Nói chung, cách thức dạy học sinh phương pháp chung để giải bài toán như sau:

 Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinh nắm được phương pháp chung 4 bước (xem phần a) và có ý thức vận dụng 4 bước này trong quá trình giải toán;

 Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học sinh những câu hỏi gợi ý (xem phần b) đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng tìm những câu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán Những câu hỏi này lúc đầu là do giáo viên nêu ra để hỗ trợ cho học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán

Như vậy, quá trình học sinh phương pháp chung giải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nhiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Từ phương pháp chung giải toán

đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo

” Tìm được cách giải một bài toán là một pháp minh’ (Poolya 1975)

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

+Từ việc khai thác và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay

được hình thành, góp phần làm cho kho tàng toán học ngày càng phong phú

- Nội dung :

Một số phương pháp khai thác bài toán:

 Tìm nhiều cách giải cho một bài toán

 Phát triển hệ thống bài toán:

+ Tìm bài toán tương tự bài toán đã biết

+ Xây dựng hệ thống bài toán dự trên việc xét bài toán đảo 1.1.2 Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

1.1.2.1 Khái niệm kỹ năng và kỹ năng giải toán

- “Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn

Trong đó, khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì” [3, tr548]

Theo tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện xác định Nếu tạm thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng từng các tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”

Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần

là thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng”

Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi người để đạt được mục đích Kỹ năng còn có thể được đặc trưng như một thói quen nhất định và cuối cùng kỹ năng là khả năng làm việc

có phương pháp

“Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh đã nhận được Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so vói thông tin trơn” [14, tr.99]

Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thưòng gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh không nắm vừng kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, không trở thành cơ sở của kỹ năng Muốn hình thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Góp phần thực hiện nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”

- “Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh)” [4, tr.12]

- Để thực hiện tốt môn toán ở trong trường trung học phổ thông, một trong những yêu cầu được đặt ra là:

“Về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng Chẳng hạn: tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chúng minh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm ” [11, tr.41]

Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có nhừng yêu

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau

1.1.2.2 Một số kĩ năng thường sử dụng khi giải bài tập toán

Môn toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa Do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ này Và đó chính là những kĩ năng cần thiết cho việc rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán, cụ thể :

- Phân tích là tách (trong tư tưởng) một số hệ thống thành những vật,tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ

- Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp

- Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất Đương nhiên, sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phục thuộc mục đích hành động

- Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát Như vậy, ta thấy ngay rằng trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái quát hóa

Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, trong môn Toán, học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hóa ,

so sánh do đó có điều kiện rèn luyện cho họ những hoạt động trí tuệ này

Những kỹ năng trên có thể được minh họa qua ví dụ sau:

Ví dụ Tìm công thức tính sin3x theo những hàm số lượng giác của đối số x

Giải Đầu tiên, hoạt động phân tích làm biến đổi sin3x thành sin(2x+x).Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin3x với công thức sin(a+b)= sina.cosb + sinb.cosa

Việc khớp trường hợp riêng sin(2x+x) vào biểu thức tổng quát sin(a+b)

là một sự khái quát hóa; việc này thể hiện nhờ trừu tượng hóa, nêu bật các đặc điểm bản chất “hàm số sin”, “đối số có dạng tổng hai số” và tách chúng những đặc điểm không bản chất như “ một số hạng của tổng gấp đôi số hạng kia” Tiếp theo khái quát hóa là việc đặc biệt hóa công thức sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa cho trường hợp: a= 2x, b= x, để đi đến công thức: sin(2x+x)= sin2x.cosx+ sinx.cos2x Hoạt động phân tích lại diễn ra khi tách riêng sin2x và cos2x trong công thức biến đổi thành: sin2x = 2sinx.cosx; cos2x = cos2x-sin2x Từ đó dẫn tới biến đổi vế phải thành 3sinx.cos2x- sin3x

Cuối cùng việc liên kết biểu thức xuất phát sin3x với kết quả biến đổi 3sinx.cos2x - sin3x là một sự tổng hợp dẫn tới:

sin3x = 3sinx.cos2x – sin3x

Quá trình tư duy vừa trình bày có thể minh họa bằng sơ đồ (hình 1) Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới có ở dạng tiềm năng Nếu người thầy giáo có ý thức phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh thì ở những lúc thích hợp có thể kích thích việc thực hiện những hoạt động này bằng những câu gợi ý như:

 Hãy viết sin3x dưới dạng thích hợp với một số công thức biến đổi lượng giác nào đó? (kích thích phân tích , khái quát hóa)

 Hãy áp dụng công thức biến đổi sin của một tổng vào biểu thức sin(2x+x)(khuyến khích đặc biệt hóa )

Khóa luận tốt nghiệp

1.2 Cơ sở thức tiễn

Thực trạng của việc dạy học giải hệ phương trình hiện nay:

* Thuận lợi:

- Ngay từ cấp 2 học sinh đã được làm quen với hệ phương trình

vì vậy mà học sinh cũng đã nắm được một lượng kiến thức nhất định về

hệ phương trình nên khi bước vào học các em không bị bỡ ngỡ

- Ngày nay công nghệ thông tin ngày càng phát triển vì vậy mà nguồn tài liệu về hệ phương trình khá phong phú và đa dạng vậy nên học sinh có thể tự sưu tầm và tự học về hệ phương trình một cách chủ động

- Do tài liệu về hệ phương trình khá phong phú và từ nhiều nguồn nên các em cũng gặp khó khăn có thể phân loại lựa chọn những kiến thức nào cần thiết và kiến thức nào không cần thiết

Vì vậy cần có những cách giúp các em hệ thống hóa kiến thức một cách khoa học hợp lí và để các em rèn luyện thành thục về hệ phương trình giúp các em hình thành kĩ năng và biến nó trở thành mảng kiến thức bền vững của các em để phục vụ cho sau này khi cần dùng là có ngay

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Phân tích Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế phương trình thứ nhất cho 3x và chia hai vế phương trình thứ hai cho 7 y

Hướng dẫn Điều kiện: x  0, y  0, x y   0

Dễ thấy x 0 hoặc y  0 không thỏa mãn hệ phương trình Vậy

Thông thường sau khi tìm ra nghiệm của hệ phương trình các em sẽ cảm thấy thỏa mãn, mà không chủ động tìm xem bài toán có còn phương pháp giải khác nào không hay liệu có bài toán tổng quát cho dạng bài này không và chuyển sang bài toán mới Cụ thể như trong ví dụ trên thì chúng ta có bài toán tổng quát và cách giải cho dạng bài trên cụ thể:

Tổng quát ta có hệ sau:

m

px qy bx

m

px qy dy

Dấu hiệu nhận ra dạng bài thông qua hệ số a, b dựa vào (2)

+ Xét điều kiện của x, y ta sẽ chỉ ra x>0 , y>0

+ Ta chuyển bài toán về dạng tổng quát Chia các vế của 2 phương trình của hệ phương trình cho các căn thức để chuyển về dạng tổng quát Tiếp theo đó ta thực hiện cộng và trừ 2 vế của 2 phương trình của hệ để hình thành hệ mới Rồi nhân vế với vế của 2 phương trình mới ta sẽ lập được phương trình đẳng cấp bậc 2 từ đấy ta suy ra được mối quan hệ giữa x, y

+ Cuối cùng thay y theo x vào 1 trong những phương trình trong hệ mới tìm được ta sẽ tìm được x, y

Để học sinh có thể chủ động trong việc tìm ra những lời giải hay cho các bài toán về hệ phương trình bằng các phương pháp khác nhau thì đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức và hệ thống các bài tập về hệ phương trình Vì vậy đây là vấn đề mà đề tài sẽ đề cập tới

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN

VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10

2.1 Mục tiêu, nội dung dạy học giải hệ phương trình đại số 10 nâng cao

- Mục tiêu:

 Kiến thức :

+ Cung cấp các kiến thức về tập hợp logic

+ Nắm vững kiến thức khái niệm các dạng hệ phương trình ,tập nghiệm và ý nghĩa hình học của chúng

+ Hiểu rõ phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong việc giải hệ phương trình

+ Nắm vững công thức giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng định thức cấp 2

 Kĩ năng:

+ Giải thành thạo hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn, hệ phương trình đối xứng loại I, hệ phương trình đối xứng loại 2, hệ phương trình vế trái đẳng cấp bậc 2

+ Biết cách giải và biện luận hệ phương trình có tham số + Rèn luyện tư duy cho học sinh, bồi dưỡng tính linh hoạt sáng tạo

+ Bồi dưỡng phẩm chất đạo đức tính cần cù, thói quen tự học

- Nội dung :

+ Hệ thống hóa các khái niệm và các phương pháp về các hệ

phương trình cơ bản

+ Hệ thống các bài tập về hệ phương trình, cách giải các bài tập

về hệ phương trình và nghiên cứu 1 hệ phương trình có bao nhiêu cách giải, một phương pháp giải có thể dùng giải những dạng hệ phương trình nào

2.2 Các phương pháp giải bài tập hệ phương trình

2.2.1 Phương pháp sử dụng định thức cấp 2

* Cơ sở phương pháp: Sử dụng định thức về hệ số của các phương trình trong hệ phương trình để tìm ra nghiệm của hệ phương trình

* Nhận dạng: Trong phạm vi lớp 10 phương pháp này thường hay

sử dụng để giải các bài hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

- Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn theo định thức có các bước Bước 1 Tính các định thức

x y Nếu D0 và 2 2

Dx Dy 0 thì hệ vô nghiệm Nếu DDx Dy  thì hệ 0  ax by c   (vô số nghiệm)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x,y)=(1,1)

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

2.2.2 Phương pháp thế

* Cơ sở phương pháp: Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại

* Nhận dạng: Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ

có một phương trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó

2 2

44

* Nhận dạng: Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

2 2 2 2

23

23

y y x x x y

3 2

3 x  x     2 0 x 1

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Trường hợp 2 3 xy x y    0 Từ

2 2

    Do đó trường hợp 2 không xảy ra

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)

x y

này vô nghiệm do điều kiện)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1)

2.2.4 Phương pháp đặt ẩn phụ

* Cơ sở phương pháp: Tùy thuộc vào dạng phương trình của bài toán và các đặc điểm đặc biệt của bài toán thì ta mới có thể đặt ẩn phụ nhằm đưa bài toán về dạng đơn giản không chứa những thành phần cồng kềnh

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

17

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Chú ý

+ Nếu hệ phương trình có nghiệm là ( , ) x y thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là ( , ) y x Do vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là xy

+ Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên Đôi khi việc thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Hướng dẫn Điều kiện: x  1, y  0