Luận văn sư phạm Rèn luyện các kỹ năng giải các bài toán về hệ phương trình cho học sinh lớp 10

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn MỤC LỤC Mở đầu…………………………………………………………… 1 Lí chọn đề tài ………………………………………………… Mục đích nghiên cứu……………………………………………… Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………………………… Đối tượng phạm vi nghiên cứu………………………………… Phương Pháp nghiên cứu………………………………………… Nội dung……………………………………………………………… Chương Cơ sở lí luận thực tiễn……………………………… 1.1 Cơ sở lí luận……………………………………………… 1.1.1 Dạy học giải tập……………………………………… 1.1.1.1 Khái niệm….………………………………………… 1.1.1.2 Vai trò tập toán học………………………… 1.1.1.3 Các yêu cầu lời giải………………………… 1.1.1.4 Dạy học phương pháp chung để giải toán……… 1.1.1.5 Khai thác toán ………………………………… 14 1.1.2 Kỹ giải toán vấn đề rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh……………………………………………………………… 14 1.1.2.1 Khái niệm kỹ kỹ giải toán…………… 14 1.1.2.2 Một số kỹ thường sử dụng giải tập toán 16 1.2 Cơ sở thực tiễn……………………………………… …… 19 Chương Rèn luyện kĩ giải tốn hệ phương trình cho học sinh lớp 10 ………………………………………………… 22 2.1 Mục tiêu, nội dung dạy học giải tập hệ phương trình đại số 10- nâng cao……………………………………………………… 22 2.2 Các phương pháp giải tập hệ phương trình…………… 23 2.2.1 Phương pháp sử dụng định thức cấp 2………………… 23 Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn 2.2.2 Phương pháp thế……………………………………… 24 2.2.3 Phương pháp cộng đại số……………………………… 25 2.2.4 Phương pháp đặt ẩn phụ……………………………… 27 2.2.5 Phương pháp đưa dạng tích………………………… 30 2.2.6 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số……… 32 2.3 Các dạng hệ phương trình………………………………… 33 2.3.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn……………………… 33 2.3.2 Hệ đối xứng loại (kiểu) I……………………………… 35 2.3.3 Hệ phương trình đối xứng loại II…………………………42 2.3.4 Hệ phương trình đẳng cấp……………………………… 49 2.4 Hệ thống tập vận dụng……………………………….53 Kết luận……………………………………………………………… 63 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 65 Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán LỜI CẢM ƠN Với lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành cảm ơn cô giáo Th.s Đào Thị Hoa hướng dẫn em cách tận tình, chu đáo suốt trình nghiên cứu để hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán tạo điều kiện cho em thực tốt luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ, hỗ trợ động viên giúp tơi hồn thành tốt luận văn Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đỗ Văn Lễ Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu tìm tịi riêng tơi hoàn thành sở kiến thức học tham khảo tài liệu Kết nghiên cứu khơng hồn tồn trùng với cơng trình nghiên cứu cơng bố Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đỗ Văn Lễ Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong thời đại khoa học kỹ thuật nay, lượng tri thức (đặc biệt tri thức toán học) phải tiếp thu ngồi ghế nhà trường ngày nhiều, địi hỏi học sinh phải tư tích cực sáng tạo Có đáp ứng yêu cầu giáo dục đào tạo học sinh thành người có kiến thức vững vàng, người lao động xây dựng đất nước Việt Nam Xã Hội Chủ Nghĩa, văn minh, giàu mạnh Hệ phương trình đại số mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn học phổ thơng, thường gặp kì thi tuyển sinh vào lớp 10, thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng Mặc dù học sinh cọ xát phần nhiều song phần lớn em thường lúng túng trình tìm cách giải Nguyên nhân Thứ nhất, hệ phương trình mảng kiến thức phong phú khó, địi hỏi người học phải có tư sâu sắc, có kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có nhìn nhận nhiều phương diện Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần đơn giản, tài liệu tham khảo đề cập đến phần nhiều song phân loại chưa dựa gốc toán nên học, học sinh chưa có liên kết, định hình chưa có nhìn tổng quát hệ phương trình Thứ ba, đa số học sinh học cách máy móc, chưa có thói quen tổng qt tốn tìm toán xuất phát, chưa biết toán đề thi đâu mà có nên người đề cần thay đổi chút gây khó khăn cho em Tình hình chung học sinh lớp 10 gặp toán thường thoả mãn sau tìm cách giải mà khơng tìm Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn đầy đủ nghiệm tìm cách giải sáng tạo dễ hiểu cách giải độc đáo Từ lí tơi mạnh dạn chọn đề tài : “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 ” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Hệ thống hóa dạng toán phương pháp giải tương ứng hệ phương trình, xây dựng hệ thống tập hệ phương trình cho lớp 10 nhằm nâng cao chất lượng hiệu cơng việc dạy học tốn phổ thơng NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm hiểu sở lí luận việc hướng dẫn học sinh giải tập tốn - Tìm hiểu mục tiêu nội dung dạy học hệ phương trình sách giáo khoa lớp 10 - Rèn luyện kĩ giải tốn hệ phương trình cho học sinh: Hệ thống kiến thức phương pháp giải tập hệ phương trình, xây dựng hệ thống tập hệ phương trình ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng: Hệ phương trình - Phạm vi nghiên cứu: Đại số 10 nâng cao PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu lí luận - Quan sát điều tra - Tổng kết kinh nhiệm Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận 1.1.1 Dạy học giải tập 1.1.1.1 Khái niệm Trong mơn tốn trường phổ thơng có nhiều tốn chưa có khơng có thuật giải khơng có thuật giải tổng qt để giải tất tốn Chúng ta thông qua việc dạy học giải số toán cụ thể mà truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải cho tốn Dạy học giải tập tốn ngồi việc cung cấp cho học sinh lời giải toán, giáo viên phải dạy học sinh biết làm để giải toán Để làm tăng hứng thú học tập học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho tốn 1.1.1.2 Vai trị tập tốn học Bài tập tốn học có vai trị quan trọng mơn tốn Điều tập có vai trị giá mang hoạt động học sinh Thông qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, hoạt động Toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến Tốn học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngơn ngữ (xem mục chương III, [11tr97]) Chương IV cho thấy hoạt động học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung phương pháp dạy học, vai trị tập tốn học thể bình diện này: Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn Thứ nhất, bình diện mục tiêu dạy học, tập tốn học trường phổ thơng giá mang hoạt động mà việc thực hoạt động thể mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, tập thể chức khác hướng đến việc thực mục tiêu dạy học mơn Tốn, cụ thể là:  Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo khâu khác trình dạy học, kể kĩ ứng dụng Toán học vào thực tiễn  Phát triển lực trí tuệ: rèn luyện hoạt động tư duy, hình thành phẩm chất trí tuệ  Bồi dưỡng giới quan vật biện chứng, hình thành phẩm chất đạo đức người lao động Thứ hai, bình diện nội dung dạy học, tập toán học giá mang hoạt động liên hệ với nội dung định, phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho tri thức trình bày phần lý thuyết Thứ ba, bình diện phương pháp dạy học, tập toán học giá mang hoạt động để người học kiến tạo tri thức định sở thực mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt tập góp phần tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo thực độ lập giao lưu Trong thực tiễn dạy học, tập sử dụng với dụng ý khác phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố kiểm tra Đặc biệt mặt kiểm tra, tập phương tiện để đánh giá mức độ, kết dạy Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán học, khả làm việc độc lập trình độ phát triển học sinh Một tập cụ thể nhằm vào hay nhiều dụng ý 1.1.1.3 Các yêu cầu lời giải Để phát huy tác dụng tập toán học, trước hết cần nắm vững yêu cầu lời giải Nói cách vắn tắt, lời giải phải tốt Nói bao hàm đủ ý cần thiết cô đọng Để thuận tiện cho việc thực yêu cầu lời giải trình dạy học đánh giá học sinh, cụ thể hóa yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận yếu tố trùng lặp định yêu cầu chi tiết: (i) Kết đúng, kể bước trung gian Kết cuối phải đáp án đúng, biểu thức, hàm số, hình vẽ…thỏa mãn yêu cầu để Kết bước trung gian phải Như vậy, lời giải chưa sai lầm tính tốn, vẽ hình, biến đổi biểu thức… (ii) Lập luận chặt chẽ Đặc biệt lời giải phải tuân thủ yêu cầu sau :  Luận đề phải quán  Luận phải  Luận chứng phải hợp logic (iii) Lời giải đầy đủ Yêu cầu có nghĩa lời giải khơng bỏ xót trường hợp, chi tiết cần thiết Cụ thể giải phương trình khơng thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không thiếu khả …… (iv) Ngôn ngữ xác Đây yêu cầu giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt cho tất mơn Việc dạy học mơn tốn phải tn thủ yêu cầu (v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn u cầu đặt lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách xếp yếu tố (chữ ,số, hình, kí hiệu…) lời giải (vi) Tìm nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí Ngồi yêu cầu từ (i)-(v), cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho tốn, phân tích so sánh cách giải khác để tìm lời giải ngắn gọn, hợp lí số lời giải tìm (vii) Nghiên cứu lời giải toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii), (iv) yêu cầu (v) yêu cầu mặt trình bày, cịn (vi) (vii) yêu cầu đề cao 1.1.1.4 Dạy học phương pháp chung để giải toán a Phương pháp chung để giải tốn Một số người có tham vọng muốn có thuật giải tổng quát để giải tốn Đó điều ảo tưởng Ngay lớp tốn riêng biệt có trường hợp có, trường hợp khơng có thuật giải Tuy nhiên, trang bị hướng dẫn chung, gợi suy nghĩ tìm tịi, phát cách giải tốn lại cần thiết Dựa tư tưởng tổng quát với gợi ý chi tiết Polya(1975) cách thức giải toán kiểm nghiệm thực tiễn dạy học, nêu lên phương pháp chung để giải tốn sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề  Phát biểu đề dạng thức khác để hiểu rõ nội dung toán  Phân biệt cho cần tìm, phải chứng minh  Có thể dùng cơng thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn  16 t  1 t  t 5   Thì (2) vơ nghiệm  2t   5t t   2 Từ tìm x; y Vậy hệ phương trình có nghiệm: (2; 1); (- 2; - 1) Nhận xét: Trong ví dụ 1, hệ đẳng cấp bậc hai đưa dạng:  x f t a   1    x f  t  b    + Xét x = có nghiệm hay không + Xét x ≠ 0; f2(t) ≠ chia hai vế tương ứng (1) (2) f t  a  f t  b  bf  t   af  t   Tìm t từ tìm x; y * Dạng hệ phương trình đẳng cấp chứa tham số Ví dụ Với giá trị m hệ sau có nghiệm:  xy  y  12  x  xy  26  m Hướng dẫn Hệ   y ( x  y )  12  x ( x  y )  26  m Chia theo vế phương trình hệ có:  y ( x  y )  12    ( m  26) y x   12  y ( m  14)  144   ( m  26) y  x  12 Vậy hệ có nghiệm m + 14 >  m > - 14 Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 51 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn 2 Ví dụ Xác định m để hệ phương trình:  x  mxy  ( m  1) y  m  x  ( m  1) xy  y  m  2 Có nghiệm phân biệt Hướng dẫn Trừ theo vế phương trình hệ: xy(m – 1) + (m – 1)y2 = – m (*) + Nếu m = (*) thoả mãn với  x, y  R Thay vào phương trình đầu hệ ta có: x2 + 2xy + 2y2 = 1 (x + y)2 = – y2 – y2   -  y  Phương trình (*) có vơ số nghiệm x, y mà -  y  nên m = không thoả mãn + Nếu m ≠ (*)  xy + y2 =  x 1 y2 y Thế vào phương trình thứ hai hệ, ta có:    1 y2  1 y2   m  1 y   y  2m  y y   1  y    y  1 2y2 2    m  1(1  y )  y  2m    y  y  m  my   y  y  2m  1 y     y  y  my  my  y  y  y  2my  y  y 2  m   2  m  y   Đặt y  a * a  0 2  ma  2  ma   Hệ có nghiệm phân biệt  4 (4) có nghiệm phân biệt thỏa mãn: 0< a1< a2 Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 52 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn    3m     m    9m  8m          P    0  2m0  m    3m  S   m   0 0 2m   2m  13  13   3m    3m   0  13  3  3    m2  m2    13  ;2  hệ cho có nghiệm phân biệt   Vậy x   - Một số tập gợi ý đáp số : 1) Giải hệ phương trình  x  3xy  y  1 a)  2 3x  xy  y  13 Đáp số: (1;2), (2;1), (-1;-2), (-2;-1 3x  5xy  y  37 b)  2 5x  xy  y  15 Đáp số: (3;1), (-3;-1) 2) Định m để phương trình sau có nghiệm  x  mxy  y  m  2  x  m  1xy  my  m ĐS m  2.4 Hệ thống tập vận dụng * Một số ví dụ 3 x  y  z  (1)  Ví dụ Giải hệ phương trình : (I)  x  y  z  (2)  x  y  z  (3)  Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 53 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn Hướng dẫn Cách 1: Ta dùng phương pháp cộng đại số : - Lấy vế :(1)cộng với (2) ,(2)cộng với (3) ta : (I)  4 x  y  3 x x + y  z  4 x  y  =  x x  y  z =2  =8 y   =1   x  z  =2  =8 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x, y, z   1, 2,1 Cách 2: Ta dùng phương pháp Rút z  x  y  (2) sau z vào (1),(3) ta 3 x  y  x  y   4 x  y  y     (I )   z  x  y   z  x  y   z  2 x  y  x  y   3 x  x     Vậy hệ phương trình có nghiệm  x, y, z   1, 2,1 Nhận Xét : - Ta thấy hệ phương trình dạng hệ phương trình bậc ẩn giải phương pháp chủ yếu phương pháp phương pháp cộng đại số Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ìï x + xy + y = 11 (1) ïí ïï x + xy + y = 17 (2) ỵ Hướng dẫn Cách 1: Phương pháp đặt ẩn phụ + x=  y  11 I    3 y  17  x0 y  kx Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C  vno  54 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn 2 2  3x  2kx  k x  11  x   2k  k   11 1'  I    2 2 2    x kx k x 17   x 1  2k  3k   17  2' k  (1')  2'  17   2k  k   111  2k  3k    5 k   ïïì 11x = 11 Với: k = Þ í Û ïïỵ y = 2x ïìï x = ± í ïỵï y = ± ìï 33 ï x = 11 - ïï 16 k= Þ í Û ïï - x ïï y = ïỵ ±4 ïïì ïï x = ïí ïï m5 ïï y = ïỵ ỉ4 ưỉ ữ ữ ỗỗVy h cú nghim l: (1, 2);(- 1, - 2);ỗỗ , ; , ữ ữ ỗố ứ ốỗ 3 ữ ứ 3÷ + Ngồi cách giải tổng qt, hệ đẳng cấp bậc ta giải theo phương pháp khác Cách 2: Phương pháp cộng đại số kết hợp với phương pháp 9 x  xy  y  33  2x2 x xy 16 y       2 x  x  xy  y  17 ( x = khơng nghiệm phương trình )  x  1   x2    x2   Thế vào (1) có: 3x  x     11   x   x x      Từ tìm y Vậy phương trình có nghiệm: ïì (x, y) = íïï (1, 2);(- 1, - 2);( ỵï Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C ,- );(- , ï ỹ )ýù ùỵ ù 55 Khúa lun tt nghiệp Khoa Toán  x  xy  y  1 Ví dụ Giải hệ phương trình  2  x  xy  y    Hướng dẫn Lấy (1) nhân (2) nhân ta phương trình đồng   x  xy  y    x  xy  y   x  26 xy  30 y  x  5y   x  y  x  y     2 x  y Với x  y thay vào (1) ta có 18 y   y   y   tương ứng x   Với x  3y thay vào (1) ta có y   y  2 tương ứng x  3 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm 5 2   2 ; ;  ;    ;  3;2 ;  3; 2    2   2  x  xy  Ví dụ Giải hệ phương trình  2  x  xy  y  14 Hướng dẫn  x  xy  7 x  xy  14 (1)   2  x  xy  y  14  x  xy  y  14 (2) x  y Trừ theo vế (1) (2) ta có x  11xy  y     y  5x Với x  y thay vào (1) ta có 14 y  14  y  1  hệ có nghiệm  x, y    2; 1 Với y  5x thay vào (1) ta có  28 y  14 (vơ nghiệm ) Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 56 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x, y    2,1 ; 2, 1 Nhận xét: - Ngoài phương pháp giải tổng quát (trình bày cụ thể phần 2.3), với hệ đẳng cấp bậc hai ta cịn có phương pháp giải: + Dùng phương pháp cộng đại số khử x2 (hay y2 ) + Tính y theo x, vào phương trình hệ ta phương trình trùng phương theo x + Giải tìm x, từ tìm y ìï ïï x - = y - (1) Ví dụ (trích đề thi ĐH khối A – 2003) í x y ïï 2y = x + (2) ïïỵ Hướng dẫn Cách 1: Dùng phương pháp đưa dạng tích để giải hệ phương trình Điều kiện: x ¹ 0, y ổ x- y ửữ = (x - y) ỗỗ1 + ữ= xy xy ứữ ốỗ x = yy = - x (1) Û x - y + + Với x = y + Với y = - : (2) Û x = Ú x = - 1± : (2) Û x + x + = x Xét hàm số f(x) = x + x + Þ f / (x) = 4x + = Û x = ổ- f ỗỗ ữ = - > 0, ữ ữ ỗố ứ 4 - lim = + ¥ ị f(x) > 0, " x ẻ Ă xđ ¥ Þ x + x + = vô nghiệm Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 57 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn Cách 2: Phương pháp đánh giá sử dụng tính đơn điệu hàm số + Với x < Þ x + > Þ x + x + > + Với x ³ Þ x ³ x ³ - x Þ x4 + x + > Suy (2) vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt ïì - 1+ ìï x = ïï x = ïí Ú ïí ïï y = ïï + ỵ ïï y = ỵï ïìï - 1ïx= Ú ïí - 15 ïï ïï y = ỵï 5 x  y 1  Ví dụ Giải hệ phương trình   y  x   Hướng dẫn Đặt: x - = u  0; y - = v  u = u + + v = u + v =  Hệ phương trình trở thành:   v = v + + u = v + u = x = (Do u, v ≥ 0)   y = Vậy hệ có nghiệm (1,1)  x3  y  y3  5x (1) Ví dụ Giải hệ phương trình  (2)  x  y  Hướng dẫn Từ phương trình (2) hệ ta đánh giá x, y   1;1 Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 58 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 3 3  x  y  y  x  x  y  5( x  y)    2  x  y   x  y   x  y  ( x  y)  x  xy  y  5    2     x  xy  y    (2')   x  y   x  y  Phương trình (2’) vơ nghiệm (do x, y   1;1  x  xy  y   ) x  y x  y x  y x  y       1  2 x  y  x  x 1  x  x 1  x   x  y x  y     1    1  x  x    2  Vậy nghiệm hệ phương trình  x , y      1 , 1   ;      1 ,       Nhận xét : - Từ ví dụ ví dụ 6, ví dụ ví dụ hệ phương trình đối xứng loại hai hai ẩn x y nhiên chúng giải với cách khác cụ thể ví dụ 5, ví dụ thực phương pháp đưa dạng tích phương pháp đánh giá sử dụng tính đơn điệu hàm số, cịn ví dụ ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình Như để giải hệ phương trình đối xứng loại với ẩn x,y ta có phương pháp: phương pháp cộng đại số để đưa dạng tích ,phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số, phương pháp đặt ẩn phụ Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 59 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán  xy( x  y )  2 Ví dụ Giải hệ phương trình    x y  Hướng dẫn Đặt t   y, S  x  t, P  xt , điều kiện S  P Hệ phương trình trở thành: ïìï xt(x + t) = ïìï SP = Û Û í í ïï x + t = ïï S - 3SP = ỵ ỵ ïìï S = ïì x = ïì x = Û ïí Û ïí í ïï P = ïï t = ïï y = - ỵ ỵ ỵ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y)=(1,-1) Ví dụ Cho x, y nghiệm hệ phương trình ïìï x + y = 2m - Tìm m để P = xy nhỏ í ïï x + y = m + 2m - ỵ Hướng dẫn Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S2 ³ 4P ìï x + y = 2m - ìï S = 2m - ïí ïí Û ïï x + y = m + 2m - ïï S2 - 2P = m + 2m - ỵ ỵ ìï S = 2m - ïìï S = 2m - ïï Û í Û í ïï (2m - 1)2 - 2P = m + 2m - ïï P = m - 3m + ỵ ỵï Từ điều kiện suy (2m - 1)2 ³ 6m2 - 12m + Û Xét hàm số f(m) = 4- 2 £ m£ 4+ 4- 4+ m - 3m + 2, £ m£ 2 ỉ4 - ư÷ 11 - ộ4 - + ự ỗ ỳ ữ = = " ẻ f(m) f , m ; ỗỗ Ta cú ỳ ữ ỗố ÷ 2 ø ë û Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 60 Khóa luận tốt nghiệp Vậy P = Khoa Toán 11 - 4- Û m=  x  y  xy  (1)  Ví dụ 10 Giải hệ phương trình 2  x   y   (2) Hướng dẫn (2)  x  y  ( x  1).( y  1)  14  xy  ( x2 y  xy   11 (3) Đặt xy  p ta có p 3  p  11   (3)  p  p   11  p    p   35 p p  26  105    (1)   x  y   xy  , p  xy   35 (loại) p  xy   x  y    xy   x  y  + Với + Với   x  y   xy  x y   x  y  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x, y     3, ;  3,   Nhận xét : Như ví dụ 8, ví dụ 9, ví dụ 10 ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp đồng để giải hệ phương trình dạng đối xứng loại hai ẩn Kết luận : - Từ ví dụ nhận xét ta thấy phương trình ta giải nhiều phương pháp ngược lại phương pháp ta dùng để giải nhiều loại hệ phương trình tùy vào trường hợp cụ thể mà ta áp dụng - Một số tập gợi ý đáp số : + Giải hệ phương trình sau: Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 61 Khóa luận tốt nghiệp  x y  y x  30 1)   x x  y y  35 ìï 2x + y + 3z = ïï ïí - x + 4y - 6z = ï 2) ïï 5x - y + 3z = - ïỵ  x  y  y 3)   y  x  x Khoa Tốn hệ phương trình có nghiệm : (4,9);(9,4) hệ phương trình có nghiệm là:(-1,2,2/3 ) hệ phương trình có nghiệm : (0;0),(2;2),(2; 2),(2;2),(2; 2) Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 62 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn KẾT LUẬN * Đề tài nghiên cứu khoa học giải vấn đề : - Giúp học sinh có nhìn tổng qt có hệ thống hệ phương trình đại số, từ có kĩ giải thành thạo toán thuộc chủ đề học sinh khơng cịn cảm giác e sợ gặp hệ phương trình - Tạo cho học sinh có thói quen tổng qt tốn tìm tốn xuất phát, biết tốn đề thi đâu mà có người ta tạo chúng cách - Thông qua việc tìm tốn gốc, việc tổng qt toán, việc tạo toán mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần phương pháp Bộ Giáo dục Đào tạo Điều quan trọng tạo cho em niềm tin, hứng thú học tập môn * Kết luận: Đề tài nghiên cứu khoa học em mặt hình thức khơng Cái phân loại có tính chất xun suốt chương trình bám vào kĩ thuật quen thuộc, phù hợp với tư học sinh Thêm vào đó, với tốn có phân tích lơgic, có tổng quát điều đặc biệt cho học sinh tìm gốc tốn, tốn từ đâu mà có, người ta tạo chúng cách Thông qua việc làm thường xuyên này, học sinh thích nghi cách tốt, có tư sáng tạo, có lực làm toán tạo toán Học sinh thường hiểu sâu thích nghi học phần Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 63 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn Mặc dù có đầu tư song điều kiện thời gian cịn hạn chế nên phân loại chưa triệt để mang tính chất tương đối, mong thầy góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 64 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn Tài liệu tham khảo Dương Quốc Anh (2002),Vì sao? Tốn Học, NXB Khoa học kỹ thuật Vũ Hữu Bình(1998), Kinh nghiệm dạy Toán học Toán, NXB Giáo Dục Phan Văn Các (1992), Từ điển Hán- Việt, NXB Giáo Dục Hoàng Chúng (1997) , Phương pháp dạy học mơn tốn trường trung học phổ thơng, NXB Giáo Dục Hoàng Chúng ( 1991), Rèn luyện khả sáng tạo Tốn học trường phổthơng, NXB TPHCM Sách giáo khoa Đại số 10, sách tập Đại số 10, sách giáo viên, sách bồi dưỡng giáo viên Toán lớp 10 (cơ nâng cao) (2012), NXB Giáo Dục Nguyễn Thái Hòe (1997), Rèn luyện tư qua việc giải tập Toán, NXB Giáo Dục Nguyễn Phụ Hy(2002), Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình,NXB Giáo Dục Phạm Văn Hoàn (chủ biên)(1981) , Giáo dục học mơn Tốn, NXB Giáo Dục 10 Nguyễn Bá Kim (chủ biên)( 1994), Phát triển lí luận dạy học mơn Tốn, NXB Giáo Dục 11 Nguyễn Bá Kim,Vũ Dương Thụy(1992), Phương pháp dạy học mơn Tốn(phần I), NXB Giáo Dục 12 Nguyễn Bá Kim(2002), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư Phạm 2002 13 G Polya(1976), Giải toán nào?, NXB Giáo Dục 14 G Polya(1976), Sáng tạo Toán học, NXB Giáo Dục 15 G Polya(1976), Tốn học suy luận có lí, NXB Giáo Dục Chú thích : NXB viết tắt cụm từ : “Nhà Xuất Bản” Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 65 ... niệm phương pháp hệ phương trình Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 22 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán + Hệ thống tập hệ phương trình, cách giải tập hệ phương trình nghiên cứu hệ phương trình có cách giải, phương. .. nghiệm tìm cách giải sáng tạo dễ hiểu cách giải độc đáo Từ lí mạnh dạn chọn đề tài : “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 ” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Hệ thống... thống tập hệ phương trình Vì vấn đề mà đề tài đề cập tới Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 21 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn CHƯƠNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1