Luận văn sư phạm Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh lớp 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN -***** - HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH LỚP 1O KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học toán Hà Nội, 2013 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN -***** - HỒNG THỊ MAI PHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH LỚP 1O KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học toán Người hướng dẫn khoa học Th.S ĐÀO THỊ HOA Hà Nội, 2013 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU NỘI DUNG Trang CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận 1.1.1 Kỹ giải toán vấn đề rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1.2 Dạy học giải tập toán học 1.2 Cơ sở thực tiễn 11 CHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1 Mục tiêu, nội dung dạy học bất đẳng thức 15 2.1.1 Mục tiêu… 15 2.1.2 Nội dung dạy học 15 2.2 Một số kiến thức bất đẳng thức 16 2.2.1 Định nghĩa 16 2.2.2 Một số tính chất 16 2.2.3 Các bất đẳng thức 16 2.3 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 18 2.3.1 Phương pháp dùng định nghĩa 18 2.3.2 Phương pháp biến đổi tương đương 20 2.3.3 Phương pháp quy nạp 23 2.3.4 Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác 26 2.3.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky 28 2.3.6 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy 32 2.3.7 Phương pháp hình học 36 2.3.8 Phương pháp lượng giác 38 2.3.9 Phương pháp hàm số 39 2.3.10 Phương pháp đổi biến số 41 2.4 Một số ứng dụng bất đẳng thức 43 2.4.1 Giải phương trình, hệ phương trình 43 2.4.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức 46 2.5 Hệ thống tập 51 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu, thực khóa luận “Rèn luyện kỹ giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10”, với cố gắng thân với hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy cô giáo, bạn sinh viên, em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo khoa Tốn, thầy tổ Phương pháp bạn sinh viên tạo điều kiện cho em suốt thời gian em làm khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thạc sỹ Đào Thị Hoa, người giúp đỡ em tận tình q trình chuẩn bị hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Hoàng Thị Mai Phương LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận “Rèn luyện kỹ giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10” kết nghiên cứu riêng tơi, kết tìm tịi, tổng hợp từ tài liệu tham khảo hướng dẫn Thạc sỹ Đào Thị Hoa, trích dẫn khóa luận trung thực Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Hoàng Thị Mai Phương PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học có vị trí đặc biệt việc nâng cao phát triển trí tuệ, Tốn học không cung cấp cho học sinh (người học tốn) kỹ tính tốn cần thiết mà cịn giúp người học rèn luyện khả tư logic Trong việc dạy học tốn tìm cách thức giải tập tốn địi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống tập, sử dụng phương pháp dạy học để góp phần củng cố kiến thức, hình thành phát triển tư cho học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần bồi dưỡng rèn luyện phẩm chất đạo đức, tập toán bất đẳng thức toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tự giác, tích cực, độc lập sáng tạo tư trí tuệ Tuy nhiên tốn bất đẳng thức nhìn chung khó phạm vi kiến thức rộng, địi hỏi học sinh phải tư tích cực Qua thời gian cịn học tập trung học phổ thông thời gian thực tập, tơi thấy thực trạng dạy tốn bất đẳng thức là: - Giáo viên dạy bất đẳng thức chữa tập xong, khai thác, phân tích, mở rộng toán dẫn đến học sinh gặp toán khác chút không giải - Học sinh thường ngại học tốn bất đẳng thức tốn thường khó, phải áp dụng kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng… nên học sinh hay ngại chưa vận dụng toán bất đẳng thức để giải tốn khó cực trị, hàm số… Với lý kể trên, mạnh dạn chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10” nhằm giúp học sinh bớt lúng túng giải tốn bất đẳng thức, tự định hướng phương pháp chứng minh, giải toán liên quan hứng thú học bất đẳng thức nói riêng mơn tốn nói chung giúp thân tự nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ Mục đích nghiên cứu 2.1 - - Với thân Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy sau Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, nâng cao kiến thức 2.2 Với học sinh - Giúp học sinh nắm số phương pháp chứng minh bất đẳng thức bản, giải toán chương trình - Giúp học sinh phát triển lực tốn học, phát triển lịng u thích mơn học - Chuẩn bị kiến thức cần thiết nhằm phục vụ kỳ thi Đại học sau Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu sở lý luận việc hướng dẫn học sinh giải tập tốn Tìm hiểu mục tiêu nội dung dạy học bất đẳng thức sách giáo khoa lớp 10 nâng cao - Rèn luyện kỹ giải toán bất đẳng thức cho học sinh  Hệ thống kiến thức phương pháp giải tập bất đẳng thức  Xây dựng hệ thống toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 chương trình nâng cao Phạm vi đối tượng nghiên cứu - Đối tượng: Các phương pháp chứng minh ứng dụng bất đẳng thức Phạm vi: Đại số 10 nâng cao Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận Quan sát điều tra Tổng kết kinh nghiệm Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chương 2: Rèn luyện kỹ giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.1 Kỹ giải toán vấn đề rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1.1.1 Kỹ “Kỹ khả vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn Trong đó, khả hiểu là: sức có (về mặt đó) để thực việc gì” [2, tr.548] Theo tâm lý học, kỹ khả thực có hiệu hành động theo mục đích điều kiện xác định Nếu tạm thời tách tri thức kỹ để xem xét riêng tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc khả “biết”, kỹ thuộc phạm vi hành động, thuộc khả “biết làm” Kỹ nghệ thuật, khả vận dụng hiểu biết người để đạt mục đích Kỹ cịn đặc trưng thói quen định cuối kỹ khả làm việc có phương pháp “Trong toán học, kỹ khả giải toán, thực chứng minh nhận Kỹ toán học quan trọng nhiều so với kiến thức túy, so với thông tin trơn” [5, tr.99] Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: học sinh không nắm vững kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành sở kỹ Muốn hình thành kỹ năng, đặc biệt kỹ giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán hoạt động Cho x,y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  ( x  a)2  y  ( x  a)  y  y  b Trong đó: a  0, b  a số x   Đáp án: MinA  b  a   y  a   2.4.2.3 Dùng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ của: T= x   x   x  x  Hướng dẫn: Ta có: x   x   x    x  x    x  (1) Và x   x   x    x  x    x  (2) Vậy T= x   x   x   x     Từ (1) suy dấu “=” xảy khi:  x  Từ (2) suy dấu “=” xảy khi:  x  Vậy: Ta có giá trị nhỏ  x  Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ A  x   y  x  y 5 Hướng dẫn: a) p Á d ụng b) Áp ab  a  b A  x   y 1  max A   chẳng hạn x  2, y  3 dụng tính chất trị tuyệt x y  x  y đối A  x   y 1   A   chẳng hạn x  2, y  2.5 HỆ THỐNG BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh ≥ 0, ≥ + Hướng dẫn: (1)⇔ + − ⇔ ( − )( − )( + − + ) (1) ( − )− )≥0⇔( − ) ( ( − )≥0 + + )≥0 = Khai thác toán: - + ≥0⇔ Bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy ⇔ ( ≥ Ta có tốn tổng qt sau: Cho , ,…, Hướng dẫn: số thực không âm, + + ⋯+ ≥ ∈ ℕ∗ Chứng minh … ( Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số thực ta có + + ⋯+ + +⋯+ ≥ ( + 2) ≥ ( + 2) + + ⋯+ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … + + ⋯+ ≥ ( + 2) Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đpcm Đẳng thức xảy ⇔ = =⋯= … ) - Áp dụng (1) bất đẳng thức tổng quát ta chứng minh bất đẳng thức sau Bài toán 1: Chứng minh + Hướng dẫn: Áp dụng (1) ta có + + ≥ + + √ + √ + ≥ + √ ≥ + ≥ + Cộng vế với vế bất đẳng thức ta 2( + + ( + )+ )≥ ( + )+ ( + ) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số khơng âm ta có ( + )+ ( + )+ ( + )≥2 Từ (2) (3) suy đpcm Đẳng thức xảy ⇔ = √ +2 +2 √ √ = (2) (3) Bài toán 2: Chứng minh với x, y, z số thực dương ta có + + Hướng dẫn: + + + Áp dụng (1) ta có ( ) +( ⇔2 ⇔2 Tương tự + + + + + ⇔ + + ) ≥ + + ≥ ≥ + + ( + + ≥ ; + + + + + + ≥ + + Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đpcm ≥ + ) ≥ + + Đẳng thức xảy ⇔ = = + ) Bài toán 3: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh Hướng dẫn: ( + 1 + + ≥ 3( + + ) Áp dụng bất đẳng thức tổng quát (1) cho n = ta + + ≥ ( + + ) (4) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có Từ (4) (5) suy đpcm Đẳng thức xảy ⇔ + = + ≥ = Bài 2: Cho x, y, z ba số dương + + Hướng dẫn: (5) + + + + ≤ CMR + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số Hay √82 Tương tự với √82 (1 + ) + ≥ + + + + + Ta phải chứng minh + + + + ta + + +9 + ≥ + + ≥ ≥ √82 , + + ≥ 82 (1 ; 9) ta có + +9 + + 1 1 ó ( x  y  z )(   )  ⇒ x y z Ta đ + ≥ 82 ta Áp dụng Cauchy cho số (x + y + z) + + + 81 ≥ 2√81 + + + + Đẳng thức xảy  x = y = z = 1/3 hay x + y + z = Khi áp dụng Cauchy cho số (x + y + z) + Vậy ta cần chứng minh thiết) Ta đpcm + + ≥ 80 hay + + + ta ≥2 + ≤ (đây giả Khai thác toán: - Đề xuất toán tổng quát: Cho + - + ⋯+ + , n số dương ,…, ≤ Chứng minh rằng: Cách giải khác 1: + + + ⋯+ + Áp dụng Cauchy cho 82 số: x2 81 số + = + 81 + 81 + ⋯+ ≥ +1 ta được: 81 ≥ 82 (81 ) Tương tự với y, z Sử dụng Cauchy cho số giả thiết ta có: + + + ≥ √82 √3 + + √ ≥ 1 √82 √3 √ √ + = √82 = 82 √9 + √ V cách làm trên, ta đề xuất tốn tổng qt sau: Cho x, y, z ba số dương nhiên - > ta có + + Cách giải khác 2: Đặt ⃗ = ; , ⃗= Ta có | ⃗| = + + + ; + ≤ Chứng minh với số tự + + ≥ , ⃗=( ; ) , | ⃗| = , | ⃗| = + + Ta có | ⃗| + | ⃗| + | ⃗| ≥ | ⃗ + ⃗ + ⃗| Mà ⃗ + ⃗ + ⃗ = ( + Nên + + + ; + + Vậy ta cần chứng minh ( + Ta có Mà ( + + + + ) +( Nên ta có đpcm ≥ + + ) + + ) + + + ≥( + ) ≥ + ⇒( + + ) + ≥ ( ( + + + ) + + + ≥ 82 + ) + 81 ( + + ) ) 83 ≥ 80 + + + + ≤1 Bài 3: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = CMR Hướng dẫn: + + ≥ + + (∗) Ta có (*) ⇔ 3( ⇔ ( − )( ⇔( − ) ( + đpcm + + − + + ) ≥ ( + + )( ) + ( − )( )+( − ) ( − + + + + )+( − ) ( ) + ( − )( ) + )≥0 + ) ≥ 0, bất đẳng thức với a, b, c dương Ta có Khai thác tốn: - Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: a4, a4, a4, ta a4 + a4 + a4 +1 ≥ 4a3 Tương tự ta có b4 + b4 + b4 + ≥ 4b3 c4 + c4 + c4 + ≥ 4c3 Cộng vế tương ứng ta 3( Ta cần chứng minh + + + + ) ≥ 4( + ≥3 + )−3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số a3, 1, ta a3 + + ≥ 3a Tương tự b3 + + ≥ 3b c3 + + ≥ 3c Cộng vế tương ứng sử dụng giả thiết a + b + c = suy - + Cách 3: + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ( + + ⇒ ) =( ≤( + + + + + Vận dụng tương tự để hạ bậc ta có Ta có đpcm - Cách 4: + + + + ≥ Nhận thấy đẳng thức xảy ⇔ Ta có − + + ≥ + + + + = ≥3 = )( + + ≥ =1 − dấu nên ( − 1)( + + + + ) + ) + + =1 1+1+1 − 1) ≥ ⇒ Tương tự với b c ta có ≥ ≥ − − −1 − ≥ − −1 Cộng vế tương ứng bất đẳng thức sử dụng giả thiết + + = suy đpcm Bài 4: Chứng minh a.b  thì:   1 a 1 b2 1 ab Hướng dẫn: Xét hiệu:       1 a 1 b2 1 ab 1 a 1 ab 1 b2 1 ab 1)   (b  a) (ab (1 ab)(1 a )(1 b2 ) Khai thác toán: - Với số x, y mà Hướng dẫn: + ≥ chứng minh rằng:    4x  y 1 2x  y Đặt = , = , ta đưa toán ban đầu Bài 5: a  (a  4b) 2 2 Cho ab  Chứng minh :  2   a  4b    Hướng dẫn: Đặt a  2btg ,     ,   2 a  (a  4b) tg 2  (tg  2)   4(tg  1).cos  2  tg  a  4b  2sin 2  2(1  cos 2 )  2(sin 2  cos 2 )     2 sin(2  )    2  2, 2   Bài 6: Chứng minh a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi 3( + Hướng dẫn: Đặt T = +3 )+4 + +3 ≥ 13 +4 Do vai trị bình đẳng a, b, c nên ta giả sử < ≤ Chu vi tam giác nên a + b + c = ⇒ a + b = – c Mà a + b > c ⇒ ≤ Ta biến đổi = 3( + < )+3 +4 = 3(3 − ) + +2 Vì < ⇒ − < Do ≤ + ≤ = − (2 − 3) 3− ≥ 3(3 − ) + Xét hàm số ( ) = = 3[( + ) − ⇒ +2 + (2 − 3) ≥ 3− 1; Bài 7: Giải phương trình + )+4 (2 − 3) − , có f’(c) = 3c2 − 3c + =1 Lập bảng biến thiên suy ( ) ≥ 13 ⇒ + +4 3− (2 − 3) = ( )=0⇔ 3( ]+3 ≥ 13 hay ≥ 13 x   x   2( x  3)2  x  (1) Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho x  ; x – 1; ta có: 27    x   x  3  x   x   12  12   x  1   x  3    2( x  1)  2( x  3) (1) (2) xảy khi: x 1  x   x – 6x + = x –  x – 7x + 10 =  x=2 x = x = không thoả mãn; x = thoả mãn Vậy S  5 Bài 8: Giải hệ phương trình:  x  y  xy  3(1) ( x, y  R )   x   y   4(2) (Câu II.2.Thi ĐH khối A-năm 2007) Hướng dẫn: Điều kiện: xy  0, x   0, y    xy  0, x  1, y  1 Từ (1) có: x  y   xy  x  0, y  Từ (1) áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: x  y   xy   ( x  y )  x  y  (3) Từ (2) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có:  x   y   12  12 ( x  1)( y  1)  x  y  0(4) (2) x  y  x y     x 1  y 1  x  y  Từ (3) (4) có:   x  y   xy *Chú ý: Từ tốn ta khái quát cách giải theo hướng sau:  x  y  xy  a(1) ( x, y  R )      x b y b c (2)  Trong đó: a  0, c  0, b  c2  a số Bài 9: Tìm giá trị lớn B  y2 x 1  x y Hướng dẫn: Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích khơng âm Ta xem biểu thức x   1(x  1) y   Theo bất đẳng thức Cauchy ab  x  1, y  2(y  2) 1(x  1)  x  1 x 1    x x 2x y2 2(y  2)  y  2     y y 2y 2 max B  Bài 10: ab với a b x   x  2 2     4 y   y  tích a6 b6 c6 Tìm giá trị nhỏ   b  c3 c3  a a  b3 a, b,c số thực dương thoả mãn điều kiện a  b  c  Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki        b  c  c3  a  a  b    2        a b c 3 b a c  3            3      b c c a b a        Hay b6 c6   a6 3 2  a  b  c   3  a b c       3  b c c a a b  3 b6 c6   a  b  c   a6  3     I 3  b c c a a b      3 Lại có              b  c3    a    a  b  c2  (II) a 1   1  a 2  b3 2 c3      a  b  b  c2    a  b  c     a  b  c2   b6 c6   a6 Từ (I), (II), (III)      3   b  c c  a a  b  18 abc  b6 c6   a6    18 a  b  c  Vậy  3 3   b  c c  a a  b  c   (III) PHẦN III: KẾT LUẬN * Khóa luận giải vấn đề : - Giúp học sinh có nhìn tổng qt có hệ thống bất đẳng thức, từ có kĩ giải thành thạo toán thuộc chủ đề học sinh khơng cịn cảm giác e sợ gặp bất đẳng thức - Tạo cho học sinh có thói quen tổng qt tốn giải toán khác từ toán xuất phát, biết toán đề thi đâu mà có người ta tạo chúng cách - Thơng qua việc tìm toán gốc, việc tổng quát toán, việc tạo tốn mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần phương pháp Bộ Giáo dục Đào tạo Điều quan trọng tạo cho em niềm tin, hứng thú học tập môn * Kết luận: Khóa luận em mặt hình thức khơng Cái phân loại có tính chất xun suốt chương trình bám vào kĩ thuật quen thuộc, phù hợp với tư học sinh Thêm vào đó, với tốn có phân tích lơgic, có tổng quát điều đặc biệt cho học sinh tìm tốn dựa vào tốn ban đầu Thơng qua việc làm thường xun này, học sinh thích nghi cách tốt, có tư sáng tạo, có lực làm toán tạo toán Học sinh thường hiểu sâu thích học phần Mặc dù có đầu tư song điều kiện thời gian hạn chế nên phân loại chưa triệt để mang tính chất tương đối, mong thầy góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi Đại học Cao đẳng năm gần Phan Văn Các (1992), Từ điển Hán Việt, NXB Giáo dục Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thông, NXB Giáo dục Đại số 10 nâng cao G Polya (1976), Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục G Polya (1977), Giải toán nào, Nxb Giáo Dục Nguyễn Phụ Hy (2000), Ứng dụng đạo hàm để giải toán trung học phổ thông, NXB Giáo dục Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại Học Sư Phạm Hà Nội Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học mơn Tốn (phần I), NXB Giáo dục 10 Võ Đại Mau (1998), Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng, NXB Trẻ 11 Nguyễn Văn Nho, Lê Hồnh Phị, Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, NXB Giáo dục 12 Trần Phương (2000) , Các phương pháp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, NXB thành phố Hồ Chí Minh ... −2 CHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1 MỤC TIÊU VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC 2.1.1 Mục tiêu Về kiến thức: - Hiểu khái niệm bất đẳng thức Nắm... giải toán vấn đề rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1.2 Dạy học giải tập toán học 1.2 Cơ sở thực tiễn 11 CHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC... bất đẳng thức để giải tốn khó cực trị, hàm số… Với lý kể trên, mạnh dạn chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10? ?? nhằm giúp học sinh bớt lúng túng giải toán bất đẳng