Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về bất phương trình cho học sinh lớp 10

Tuy nhiờn trong thực tế, cỏc bài toỏn giải bất phương trỡnh rất phong phỳ và đa dạng đũi hỏi cỏc em phải vận dụng những kiến thức, kỹ năng một cỏch tổng hợp.. Trong cỏc đề thi đại học, c

Trang 1

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nguyễn Linh Chi 1 Lớp K35E Toán

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong Toỏn học núi chung và trong chương trỡnh Toỏn ở nhà trường phổ thụng núi riờng, chủ đề về bất phương trỡnh cú một vị trớ rất quan trọng Theo Ăngghen thỡ Toỏn học nghiờn cứu mối quan hệ số lượng và hỡnh học khụng gian của thế giới khỏch quan Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ bản Điều này núi lờn vai trũ quan trọng của phương trỡnh và bất phương trỡnh trong Toỏn học Kiến thức và kỹ năng về chủ đề bất phương trỡnh cú mặt xuyờn suốt trong chương trỡnh mụn toỏn ở nhà trường phổ thụng, đặc biệt trong cỏc kỳ thi đại học, cao đẳng

Trong chương trỡnh Đại số lớp 10, cỏc em học sinh đó được tiếp cận với cỏc dạng bất phương trỡnh cơ bản cũng như cỏch giải những dạng bất phương trỡnh cơ bản đú Tuy nhiờn trong thực tế, cỏc bài toỏn giải bất phương trỡnh rất phong phỳ và đa dạng đũi hỏi cỏc em phải vận dụng những kiến thức,

kỹ năng một cỏch tổng hợp Trong cỏc đề thi đại học, cao đẳng cỏc em học sinh cú thể gặp một lớp cỏc bài toỏn về bất phương trỡnh mà chỉ cú một số ớt học sinh biết phương phỏp giải nhưng trỡnh bày cũn chưa logic, chưa gọn gàng sỏng sủa, thậm chớ cũn mắc phải một số sai lầm khụng đỏng cú Vỡ vậy, bờn cạnh việc giảng dạy cỏc kiến thức lý thuyết về bất phương trỡnh một cỏch đầy đủ theo quy định của chương trỡnh thỡ việc rốn luyện kỹ năng giải bất phương trỡnh cho học sinh cũng cú một ý nghĩa rất quan trọng trong việc nõng cao chất lượng dạy học mụn toỏn ở nhà trường phổ thụng

Với mong muốn giỳp cỏc em học sinh cú được những kỹ năng, kỹ xảo cần thiết khi giải cỏc bài toỏn về bất phương trỡnh cũng như giỳp bản thõn cú được kiến thức, kỹ năng vững vàng hơn về việc dạy học phần bất phương trỡnh sau khi ra trường, với những lý do trờn tụi chọn đề tài: “Rốn luyện kỹ năng giải cỏc bài toỏn về bất phương trỡnh cho học sinh lớp 10”

Trang 2

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở tìm hiểu những vấn đề về bài tập toán học và kỹ năng giải bài tập toán học, khóa luận hệ thống lại những kiến thức cơ bản về bất phương trình, từ đó xây dựng hệ thống bài tập về bất phương trình nhằm rèn luyện và phát triển cho học sinh kỹ năng giải bài toán về bất phương trình Thông qua đó nâng cao chất lượng và hiệu quả việc dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu kiến thức cơ sở về dạy học giải bài tập toán

Nghiên cứu những kiến thức liên quan đến bất phương trình

Xây dựng hệ thống bài tập về bất phương trình

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận, nghiên cứu tài liệu liên quan

Tổng kết kinh nghiệm

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán về bất phương trình

Phạm vi nghiên cứu: Trong dạy học bất phương trình theo chương trình Đại số lớp10 nâng cao

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khóa luận gồm

có hai chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận

Chương 2 Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về bất phương trình

cho học sinh lớp 10

Trang 3

Trờn cơ sở định nghĩa khỏi quỏt của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toỏn là sự đũi hỏi phải đạt tới mục đớch nào đú Như vậy bài toỏn cú thể đồng nhất với một số quan điểm khỏc nhau về bài toỏn: Đề toỏn, bài tập…

1.1.2 Cỏc yếu tố cơ bản của bài toỏn

Trong định nghĩa về bài toỏn ở trờn ta thấy cú hai yếu tố chớnh hợp thành của một bài toỏn đú là: Sự đũi hỏi của bài toỏn và mục đớch của bài toỏn

1.1.3 Lời giải của bài toỏn

Lời giải của bài toỏn được hiểu là tập sắp thứ tự cỏc thao tỏc cần thực hiện để đạt tới mục đớch đó đề ra

Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cỏch giải, đỏp ỏn của bài toỏn Một bài toỏn cú thể cú:

Một lời giải

Khụng cú lời giải

Nhiều lời giải

Giải một bài toỏn được hiểu là tỡm ra và trỡnh bày đỳng ớt nhất một lời giải của bài toỏn trong trường hợp bài toỏn cú lời giải, hoặc lý giải được bài toỏn là khụng giải được trong trường hợp nú khụng cú lời giải

Trang 4

1.2 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông

G.POLYA cho rằng “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức

độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán? Đó

là biết giải toán”

1.2.1 Mục đích

Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là: Phát triển

ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác

1.2.2 Vai trò

Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Các-Mác nói “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của toán học”

Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, Rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: Tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo,

Trang 5

1.2.3 í nghĩa

Ở trường phổ thụng giải bài tập toỏn là hỡnh thức tốt nhất để củng cố,

hệ thống húa kiến thức và rốn luyện kỹ năng, là một hỡnh thức vận dụng kiến thức đó học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hỡnh thức tốt nhất để giỏo viờn kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đó học Việc giải bài tập toỏn cú tỏc dụng lớn trong việc gõy hứng thỳ học tập cho học sinh nhằm phỏt triển trớ tuệ và gúp phần giỏo dục, rốn luyện con người cho học sinh về nhiều mặt Việc giải một bài toỏn cụ thể khụng những nhằm một dụng ý đơn nhất nào đú mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đó nờu ở trờn

1.3 Vị trớ và chức năng của bài tập toỏn

1.3.1 Vị trớ

Ở truờng phổ thụng, dạy toỏn là dạy hoạt động toỏn học Đối với học sinh cú thể xem giải toỏn là hỡnh thức chủ yếu của hoạt động toỏn học Cỏc bài tập toỏn ở trường phổ thụng là một phương tiện rất cú hiệu quả và khụng thể thay thế được trong việc giỳp học sinh nắm vững tri thức, phỏt triển tư duy, hỡnh thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toỏn học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toỏn là điều kiện để thực hiện tốt cỏc nhiệm vụ dạy học toỏn ở trường phổ thụng Vỡ vậy, tổ chức cú hiệu quả việc dạy giải bài tập toỏn học

cú vai trũ quyết định đối với chất lượng dạy học toỏn

1.3.2 Cỏc chức năng của bài tập toỏn học

Mỗi bài tập toỏn đặt ra ở một thời điểm nào đú của quỏ trỡnh dạy học đều chứa đựng một cỏch tường minh hay ẩn tàng những chức năng khỏc nhau Cỏc chức năng đú là:

Trang 6

Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học

- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niền tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy

và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh

Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình

1.4 Phân loại bài toán

Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi

1.4.1 Phân loại theo hình thức bài toán

Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho hay chưa để phân chia bài toán ra thành 2 loại:

- Bài toán chứng minh: Là bài toán trong đó kết luận của nó đã được

đưa ra một cách rõ ràng trong đề bài toán

- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn

trong đề bài toán

Trang 7

1.4.2 Phõn loại theo phương phỏp giải bài toỏn

Người ta căn cứ vào phương phỏp giải bài toỏn: Bài toỏn này cú angorit giải hay chưa để chia cỏc bài toỏn thành hai loại:

- Bài toỏn cú angorit giải: Là bài toỏn mà phương phỏp giải của nú

theo một angorit nào đú hoặc mang tớnh chất angorit nào đú

- Bài toỏn khụng cú angorit giải: Là bài toỏn mà phương phỏp giải của

nú khụng theo một angorit nào hoặc khụng mang tớnh chất angorit nào

1.4.3 Phõn loại theo nội dung bài toỏn

Người ta căn cứ vào nội dung của bài toỏn được phỏt biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyờn mụn hẹp hơn để chia bài toỏn thành cỏc loại khỏc nhau như sau:

Bài toỏn số học

Bài toỏn đại số

Bài toỏn hỡnh học

1.4.4 Phõn loại theo ý nghĩa giải toỏn

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toỏn để phõn loại bài toỏn: Bài toỏn này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào

đú, hay là bài toỏn nhằm phỏt triển tư duy Ta cú hai loại bài toỏn như sau:

- Bài toỏn củng cố kỹ năng: Là bài toỏn nhằm củng cố trực tiếp ngay

sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kỹ năng nào đú

- Bài toỏn phỏt triển tư duy: Là bài toỏn nhằm củng cố một hệ thống

cỏc kiến thức cũng như kỹ năng nào đú hoặc đũi hỏi phải cú một khả năng tư duy phõn tớch, tổng hợp hoặc vận dụng một cỏch sỏng tạo

1.5 Phương phỏp tỡm lời giải của một bài toỏn

Trong mụn toỏn ở trường phổ thụng cú nhiều bài toỏn chưa cú hoặc khụng cú thuật giải và cũng khụng cú một thuật giải tổng quỏt nào để giải tất

cả cỏc bài toỏn Chỳng ta chỉ cú thể thụng qua việc dạy học giải một số bài

Trang 8

toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán Theo G.POLYA, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:

1.5.1 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng thú với việc giải bài toán đó Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quát Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho:

- Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

Trang 9

1.5.3 Bước 3: Trỡnh bày lời giải

Từ cỏch giải đó được phỏt hiện, sắp xếp cỏc việc phải làm thành một chương trỡnh gồm cỏc bước theo một trỡnh tự thớch hợp và thực hiện cỏc bước đú

1.5.4 Bước 4: Kiểm tra và Nghiờn cứu sõu lời giải

- Kiểm tra lại kết quả, xem lại cỏc lập luận trong quỏ trỡnh giải

- Nhỡn lại toàn bộ cỏc bước giải, rỳt ra tri thức phương phỏp để giải một loại bài toỏn nào đú

- Nghiờn cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiờn cứu giải những bài toỏn tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề 1.6 Những kỹ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài tập toỏn

1.6.1 Kỹ năng giải toỏn

Kỹ năng giải toỏn là khả năng vận dụng cỏc tri thức toỏn học để giải cỏc bài tập toỏn (bằng suy luận, chứng minh) Để thực hiện tốt mụn toỏn ở trong trường trung học phổ thụng, một trong những yờu cầu được đặt ra là: Về tri thức và kỹ năng, cần chỳ ý những tri thức, phương phỏp đặc biệt là tri thức

cú tớnh chất thuật toỏn và những kỹ năng tương ứng Chẳng hạn: Tri thức và

kỹ năng giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh, tri thức và kỹ năng chứng minh toỏn học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm, Cần chỳ ý là tựy theo nội dung kiến thức toỏn học mà cú những yờu cầu rốn luyện kỹ năng khỏc nhau

- Kỹ năng giải toỏn phải dựa trờn cơ sở tri thức toỏn học, bao gồm: Kiến thức, kỹ năng, phương phỏp

Do đặc điểm, vai trũ và vị trớ của mụn toỏn trong nhà trường phổ thụng, theo lý luận dạy học mụn toỏn cần chỳ ý: Trong khi dạy học mụn toỏn cần quan tõm rốn luyện cho học sinh những kỹ năng trờn những bỡnh diện khỏc nhau đú là:

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mụn toỏn

- Kỹ năng vận dụng tri thức toỏn học vào những mụn học khỏc

- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống

Trang 10

Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm

vụ quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông

1.6.2 Sự hình thành kỹ năng

Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài tập Vì vậy, muốn hình thành kỹ năng cho học sinh, chủ yếu là kỹ năng học tập và kỹ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:

- Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại

- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức tương ứng

Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:

i, Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình phổ thông Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau:

ii, Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:

- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán

- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian

- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo

iii, Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán, gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình, vẽ đồ thị 4i, Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính

cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp

Trang 11

CHƯƠNG 2 RẩN LYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP

VỀ BẤT PHƯƠNG TRèNH CHO HỌC SINH LỚP 10

2.1 Tầm quan trọng của chủ đề bất phương trỡnh và mục đớch yờu cầu dạy học bất phương trỡnh

2.1.1 Tầm quan trọng của chủ đề bất phương trỡnh

Khỏi niệm phương trỡnh và bất phương trỡnh là một trong những khỏi nệm quan trọng của toỏn học Theo Ăngghen thỡ toỏn học nghiờn cứu mối quan hệ số lượng và hỡnh học khụng gian của thế giới khỏch quan Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất

cơ bản Điều này núi lờn vai trũ của phương trỡnh và bất phương trỡnh Đặc biệt trong chương trỡnh toỏn phổ thụng nú là một trong những nội dung cơ bản và vụ cựng quan trọng, việc trỡnh bày lý thuyết, bài tập phương trỡnh và bất phương trỡnh một cỏch hợp lý là yờu cầu của cải cỏch giỏo dục

Ngay từ bậc tiểu học học sinh đó được làm quen một cỏch ẩn tàng với những phương trỡnh và bất phương trỡnh kể cả việc giải chỳng (Chẳng hạn điền

số thớch hợp vào ụ trống  , tỡm số tự nhiờn x sao cho tổng 3 x  4 10)

Khỏi niệm bất phương trỡnh được định nghĩa chớnh thức ở lớp 8 và được hệ thống lại ở lớp 10 Trong sỏch giỏo khoa Đại số 10 cú nờu hai vấn đề chớnh:

- Bất phương trỡnh bậc nhất

- Bất phương trỡnh bậc hai

Việc trỡnh bày hệ thống đầy đủ hai loại bất phương trỡnh trờn cú rất nhiều ớch lợi trong việc giải toỏn lớp 10 núi chung và là cụng cụ để giải toỏn chủ đề bất phương trỡnh sau này: Giải bất phương trỡnh bậc cao, bất phương trỡnh vụ tỷ, bất phương trỡnh lượng giỏc, bất phương trỡnh mũ, logarit, bất

Trang 12

phương trình quy về bậc nhất, bậc hai và một số loại toán khác như chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, khảo sát hàm số, …

2.1.2 Mục đích yêu cầu dạy học bất phương trình ở lớp 10

Chính vì tầm quan trọng của chủ đề bất phương trình nêu trên mà việc dạy học bất phương trình ở lớp 10 cần đạt được mục đích yêu cầu sau đây: Học sinh nắm vững được cách giải bất phương trình bậc nhất, nắm vững định

lý về dấu tam thức bậc hai và áp dụng nó để giải bất phương trình bậc hai, bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai Cụ thể:

- Về kiến thức: Học sinh nắm được khái niệm các dạng bất phương trình và nghiệm của các bất phương trình đó, cách giải mỗi dạng bất phương trình đồng thời củng cố đào sâu những kiến thức liên quan như định lý dấu tam thức bậc hai, cách biểu diễn tập hợp, cũng như logic toán

- Về kỹ năng: Có kỹ năng giải từng dạng bất phương trình theo thuật giải, qui tắc nhất định, đồng thời biết vận dụng linh hoạt vào giải phương trình và bất phương trình qui về bậc nhất, phương trình và bất phương trình qui và bậc hai

- Về tư duy: Học sinh phát triển tư duy thuật giải khi thực hiện giải bất phương trình, bên cạnh đó rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo, tính quy củ, kỷ luật, kế hoạch trong công việc

2.2 Các dạng bất phương trình trong chương trình Đại số lớp 10

2.2.1 Bất phương trình bậc nhất

2.2.1.1 Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là nội dung mà học sinh đã được làm quen ở lớp 8 Tuy nhiên học sinh mới được giới thiệu giải những bài toán đơn giản với hệ số bằng số Lên lớp 10 học sinh được tổng kết lại những kiến thức đã học, và hoàn thiện chúng, đi tới cách phát biểu tổng quát về khái niệm

Trang 13

bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn Học sinh được học về cỏc phộp biến đổi tương đương bất phương trỡnh một cỏch cụ thể, sõu sắc

* Khỏi niệm bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn

Bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn là bất phương trỡnh cú dạng :

0

ax  (hoặc b ax  ; b 0 ax  ; b 0 ax   ) trong đú x là ẩn a, b là b 0cỏc số đó cho; a  0

* Bất phương trỡnh tương đương

Trang 14

* Dấu của nhị thức bậc nhất: Nhị thức f x( )ax b , với a  0

Cùng dấu với a khi xlớn hơn nghiệm x0 b

x  b

a

 

( )

f x ax b trái dấu với a 0 cùng dấu với a

* Phương pháp giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn:

Giải và biện luận bất phương trình: ax   b 0

Phương trình được viết lại dưới dạng: ax  (1) b

+ Nếu a  thì: (1) 0 0  b b 0

+ Nếu b  thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x R0 

+Nếu b 0 thì bất phương trình vô nghiệm

Với a  và 0 b  , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x0  R

Với a 0 và b 0, bất phương trình vô nghiệm

Trang 15

Với a  : Tập nghiệm của bất phương trỡnh là 0 T ; b

* Vớ dụ: Giải bất phương trỡnh sau: mx 1 m2 ( với x m là tham số )

Học sinh cú thể biến đổi tương đương bỡnh thường:

Vậy giỏo viờn phải hướng dẫn cỏc em phõn chia cỏc trường hợp của

m 1 là: m 1 ;0 m 1 ; 0 m 1 và học sinh cú thể giải tiếp 0như sau :

+ Nếu m  thỡ nghiệm của bất phương trỡnh là 1 xm 1

+ Nếu m  thỡ nghiệm của bất phương trỡnh là 1 xm 1

+ Nếu m 1 thỡ bất phương trỡnh cú dạng 0x 0 nghiệm đỳng với mọi giỏ trị của x

2.2.1.2 Bất phương trỡnh bậc nhất hai ẩn

* Định nghĩa:

Bất phương trỡnh bậc nhất hai ẩn ;x y là bất phương trỡnh cú một trong

cỏc dạng: ax by c  ; ax by c; ax by c  ; ax by c  (trong đú , ,a b c là

những số thực đó cho, a và b khụng đồng thời bằng 0; x và y là cỏc ẩn số)

Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trỡnh ax + by < c

Nghiệm của cỏc bất phương trỡnh dạng ax + by > c, ax + by ≤ c,

ax + by ≥ c cũng được định nghĩa tương tự

Trang 16

* Ví dụ: Xét bất phương trình x2y1

Khi thay x0;y 1 vào vế trái của bất phương trình này thì vế trái

có giá trị nhỏ hơn vế phải của nó, vậy bộ hai số x y ;  0; 1  là một nghiệm của bất phương trình này

Dễ thấy rằng, ta có thể tìm được vô số bộ hai số là nghiệm của bất phương trình trên, như vậy bất phương trình trên có vô số nghiệm Tổng quát hơn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và nếu biểu diễn các nghiệm đó trên mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một nửa mặt phẳng

* Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by < c được gọi là miền nghiệm của bất phương

trình đó

Người ta đã chứng minh được rằng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng (d): ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by > c, nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by < c

Từ đó, suy ra:

Nếu (x0; y0) là một nghiệm của bất phương trình: ax + by > c (hay ax + by < c) thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M(x0; y0) chính là miền nghiệm của bất phương trình đó

Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c, ta có

quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau:

Trang 17

Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Linh Chi

Bước 2:Lấy điểm O(0;0)

Bước 3: Thay O(0;0) vào b

Bước 4: Kết luận: Nghi

chứa điểm O(0;0)

ền nghiệm của bất phương trỡnh ax + by < c

ối với cỏc bất phương trỡnh dạng ax + by ≤ c ho

Thay O(0;0) vào bất phương trỡnh ta cú: 0-0<1

Nghiệm của bất phương trỡnh là nửa mặt ph

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Lớp K35E Toán

ửa mặt phẳng (khụng kể bờ (d)) chứa điểm M là

ửa mặt phẳng (khụng kể bờ (d)) khụng chứa

hoặc ax + by ≥ c thỡ

t phẳng bờ khụng

Trang 18

2.2.2 Bất phương trình bậc hai

* Định nghĩa:

Bất phương trình bậc hai một ẩn (ẩn x) là bất phương trình có một trong các dạng f x( ) 0; ( ) 0; ( ) 0; ( ) 0 f x  f x  f x  , trong đó f x( )là một tam thức bậc hai

* Phương pháp giải bất phương trình bậc hai:

Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai

* Khái niệm về tam thức bậc hai:

Tam thức bậc hai là một biểu thức có dạng: ax2 bx với c a  0

Ví dụ: 3x2 4x ; 7 2x25x10; mx2 xm là những tam thức bậc hai

* Chú ý: Cần phân biệt rõ hai khái niệm tam thức bậc hai và phương trình bậc

hai: ax2 bxc a; 0 (tam thức bậc hai)

ax2bxc0;a 0(phương trình bậc hai)

* Xét dấu tam thức bậc hai:

Xét dấu 1 tam thức bậc hai là đi tìm những giá trị của xsao cho:

  cùng dấu với a với mọi x

 0 : ( )f x cùng dấu với a với mọi x; f x ( ) 0 khi x b

a

 

Trang 19

+ Nếu  0, ( ) 0f x  cú hai nghiệm x x và 1; 2 f x( ) sẽ cựng dấu với a

ngoài khoảng 2 nghiệm, f x( ) trỏi dấu với a trong khoảng 2 nghiệm

Chứng minh:

Ta cú:

2 2

a

 

+ Nếu

2 2

Trang 20

Xét dấu:

x  x 1 x 2 

xx1  0 + +

xx2   0 +

xx1xx2 + 0  0 +

f x( ) Cùng dấu a trái dấu a cùng dấu a

* Phương pháp giải bất phương trình bậc hai:

Cách giải:

Theo cách giải đã nêu trong sách giáo khoa: Muốn giải bất phương trình bậc hai: ax2 bxc 0( 0)( a0) ta làm như sau:

Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái ax2bx c

Chọn những giá trị x làm cho vế trái âm hay dương tùy theo chiều của bất phương trình

Chú ý: Có khi ta phải giải những bất phương trình dạng: ax2 bx c 0 ( 0) ta bổ sung vào tập hợp nghiệm của bất phương trình ax2 bx c 0 ( 0) các nghiệm của phương trình ax2bx   c 0

* Ví dụ: Giải và biện luận bất phương trình: 12x22(m3)xm0

Hướng dẫn:

Để giải được bài toán này học sinh cần phải đi xét dấu của tam thức bậc hai f x( )12x22(m3)xm

Ta có a 12 và   m320;m

Khi đó ta đi xét các trường hợp của 

Trường hợp 1: Nếu   0 m 3

Trang 21

Suy ra f x( ) 0,  x R Do đú nghiệm của bất phương trỡnh là 1

Vỡ vậy giỏo viờn cần hướng dẫn cho học sinh đi xột cỏc khả năng lớn

hơn hay nhỏ hơn giữa hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x) là nghiệm

Dựa vào bảng xột dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trỡnh là:

Trang 22

Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình là:

Với dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng để xét dấu nhưng cũng

có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần chú ý :

Tích (thương) của hai số cùng dấu là số dương Tích (thương) của hai số trái dấu là số âm

* Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: (x327)(x31)(2x3x2)0 (1)

Trang 23

x x

f x

g x rồi kết luận

nghiệm

Trang 24

Những sai lầm thường mắc phải:

+ Ngoài những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải khi đi xét dấu của

biểu thức f(x) học sinh có thể sẽ mắc phải sai lầm là biến đổi bất phương trình

(2) bằng cách nhân chéo biểu thức ở 2 vế chẳng hạn như:

x x



Xét dấu:

 

2.2.4 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Với dạng toán này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối

Trang 25

Ta nhớ lại rằng: Giỏ trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chớnh nú nếu biểu thức khụng õm, bằng số đối của nú nếu biểu thức õm

| | = A nếu A  0

A nếu A < 0

Cỏc phương phỏp để khử dấu giỏ trị tuyệt đối:

+ Sử dụng phộp biến đổi tương đương bằng định nghĩa giỏ trị tuyệt đối

+ Sử dụng phộp biến đổi tương đương bằng tớnh chất của giỏ trị tuyệt đối

+ Sử dụng phộp biến đổi tương đương bỡnh phương hai vế của biểu thức

Khi thực hiện khử dấu giỏ trị tuyệt đối của một biểu thức cần xột xem giỏ trị của biến làm cho biểu thức õm hay khụng õm

Nếu biểu thức nằm trong dấu giỏ trị tuyệt đối là nhị thức bậc nhất ta cần nhớ định lớ sau :

* Dạng 1:

Với a là số dương , ta cú: f x( ) a  a f x( )a

f x( ) g x( ) g x( ) f x( )g x( )

Trang 26

Cách 2:( Phương pháp biến đổi tương đương)

Biến đổi thành phương trình tương đương theo dạng 1 ta có:

Trang 27

14

41

x

x x

2.2.5 Bất phương trỡnh chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai

* Khỏi niệm: Bất phương trỡnh chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai với cỏc

dạng cơ bản là: f x( ) g x( ); f x( )g x( ); f x( )g x( ); f x( )  g x( )

Phương phỏp giải bất phương trỡnh chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai bao gồm phương phỏp biến đổi tương đương và phương phỏp đặt ẩn phụ

* Phương phỏp biến đổi tương đương:

Nội dung của phương phỏp này là sử dụng cỏc tớnh chất của lũy thừa

và cỏc phộp biến đổi tương đương của bất phương trỡnh nhằm đưa cỏc bất

phương ban đầu về bất phương trỡnh đó biết cỏch giải

Định dạng
Số trang	54
Dung lượng	617,67 KB