Luận văn sư phạm Rèn luyện kỹ năng sử dụng công thứ lượng giác giải phương trình lượng giác

Mở ĐầU Lí chọn đề tài Trong chương trình Toán Phổ thông, lượng giác kiến thức quan trọng Cuối chương trình lớp 10, học sinh đà học phần lượng giác Kiến thức học sinh học là: Các công thức biến đổi lượng giác công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng Nó có mặt hầu hết phân môn toán như: Hình học; Đại số; Gải tích; Và coi nội dung trọng tâm môn toán nhà trường phổ thông Sang đến lớp 11, học sinh nghiên cứu thêm phần quan trọng lượng giác phương trình lượng giác, bao gồm: Các phương trình lượng giác số phương trình lượng giác thường gặp với cách giải chúng Thực tế, phương trình lượng giác mà gặp tập kì thi phương trình lượng giác đà biết cách giải Khi giải phương trình đó, cần phải vận dụng phép biến đổi phương trình lượng giác thích hợp để đưa chúng phương trình lượng giác quen thuộc đà biết cách giải Để có lời giải ngắn gọn, việc vận dụng phép biến đổi phương trình lượng giác thích hợp phải nắm vững sử dụng linh hoạt công thức lượng giác Vì vậy, xuất phát từ say mê thân với mong muốn có kiến thức vững lượng giác với động viên khích lệ cô giáo Đào Thị Hoa đà chọn đề tài: Rèn luyện kĩ sử dụng công thức lượng giác giải phương trình lượng giác Mục đích nghiên cứu Trên sở tìm hiểu nhiều vấn đề tập toán học kĩ giải tËp to¸n häc, khãa ln hƯ thèng nhiỊu kiÕn thøc công thức lượng giác phương trình lượng giác, từ xây dựng hệ thống tập giải phương trình lượng giác nhằm rèn luyện phát triển cho học sinh kĩ giải loại phương trình Thông qua nâng cao chất lượng hiệu việc dạy học môn Toán trường phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lí luận chung: - Bài toán lời giải toán, kĩ thường sử dụng dạy học giải tập toán - Xây dựng khai thác tập sách giáo khoa thực tế để rèn luyện kĩ giải phương trình lượng giác việc sử dụng công thức lượng giác Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiện cứu: Công thức lượng giác, phương trình lượng giác - Phạm vi nghiên cứu: Chương trình toán phổ thông Phương pháp nghiên cứu - Đề tài sử dụng số phương pháp nghiên cứu sau: Phương pháp nghiên cứu lí luận; Phương pháp quan sát, điều tra; Phương pháp tổng kết kinh nghiệm; Phương pháp thực nghiệm giáo dục Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 02 chương Chương Cơ sở lí luận Chương Rèn luyện kĩ sử dụng công thức lượng giác giải phương trình lượng giác NộI DUNG CHƯƠNG CƠ Sở Lí LUậN 1.1 Khái niệm toán lời giải toán 1.1.1 Khái niệm toán Theo G.POLYA: Bài toán việc đặt cần thiết tìm kiếm cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích định trông thấy rõ ràng, đạt Trên sở định nghĩa khái quát G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán đòi hỏi phải đạt tới đích Như vậy, toán đồng với số quan niệm khác toán như: đề toán, tập, 1.1.2 Khái niệm lời giải toán Lời giải toán hiểu tập thứ tự thao tác cần thực để đạt tới mục đích đà đặt Như vậy, ta thống lời giải, giải, cách giải, đáp án toán Một toán có thể: Có lời giải, lời giải nhiều lời giải Giải toán hiểu tìm trình bày lời giải toán trường hợp toán có lời giải, lí giải toán không giải trường hợp lời giải 1.2 Vai trò, ý nghĩa việc giải toán 1.2.1 Củng cố kiến thức cho học sinh Trong thực tế, toán chứa đựng nhiều kiến thức khái niệm toán học kết luận toán học Khi giải toán đòi hỏi ta phải phân tích kiện toán, huy động kiến thức đà cho đề toán kiến thức đà biết khác có liên quan tới toán, tổng hợp lại để đề kiến thức Và kiến thức tìm lại kiến thức đà biết trước phân tích, tổng hợp lại để kiến thức Cuối đến lời giải toán Như vậy, giải toán kiến thức đà có toán mà hệ thống kiến thức liên quan tới toán củng cố qua lại nhiều lần 1.2.2 Rèn luyện phát triển tư cho học sinh Đặc điểm bật toán học môn toán khoa học suy diễn, xây dựng phương pháp tiên đề Do vậy, lời giải toán hệ thống hữu hạn thao tác có thứ tự chặt chẽ để đến mục đích rõ rệt Vì vậy, giải toán có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta lực sử dụng phép suy luận hợp lôgic: suy luận có đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diƠn, Chóng ta biÕt r»ng, kh«ng thĨ cã phương pháp chung để giải toán Mỗi toán có hình vẻ khác nhau, muốn tìm lời giải toán phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái quát hóa Như vậy, qua việc giải toán lực tư sáng tạo rèn luyện phát triển 1.2.3 Rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức toán học cho học sinh Một yêu cầu việc nắm vững kiến thức môn khoa học hiểu, nhớ vận dụng kiến thức môn khoa học vào việc giải nhiệm vụ đặt ra, tức giải toán đặt lĩnh vực khoa học Trong việc giảng dạy toán: Bài toán lại tham gia vào tình trình dạy học môn toán Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán sử dụng để tổ chức gây tình để dẫn dắt cho học sinh đến định nghĩa khái niệm; Bài toán sử dụng để nêu làm ví dụ phản ví dụ minh họa cho khái niệm; Bài toán sử dụng để luyện tập củng cố vận dụng khái niệm Trong giảng dạy định lý toán học: Bài toán sử dụng để tổ chức gây tình dẫn dắt học sinh phát nội dung định lí toán học; Bài toán sử dụng học sinh tập vận dụng định lí Đặc biệt việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lí việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm lời giải toán có nhiều ứng dụng phần hay chương môn học Trong luyện tập toán học: Bài toán phương tiện chủ yếu tiết luyện tập toán học Trong người giáo viên phải xây dựng hệ thống tập có liên quan chặt chẽ với để nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức hình thành số kĩ 1.2.4 Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh Đặc điểm tính cách người hoạt động có mục đích rõ ràng Khi giải toán ta có hướng mục đích rõ rệt, việc giải toán góp phần tích cực vào việc rèn luyện lực hoạt động người Để giải toán, toán khó người giải phải vượt qua nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, nhiều người ta phải có tâm lớn để giải toán Nói theo cách G.POLYA Khát vọng tâm giải toán nhân tố chủ yếu trình giải toán Do ta thấy rằng: Hoạt động giải toán nhân tố chủ yếu trình hình thành phát triển nhân cách người 1.3 Phân loại toán Người ta phân loại toán theo nhiều cách khác để đạt mục đích định, thường để sử dụng cách thuận lợi 1.3.1 Phân loại theo hình thức toán Người ta vào kết luận toán: Kết luận toán đà cho hay chưa để phân chia toán thành loại: Bài toán chứng minh: Là toán kết luận đà đưa cách rõ ràng đề toán Bài toán tìm tòi: Là toán kết luận chưa có sẵn đề toán 1.3.2 Phân loại theo phương pháp giải toán Người ta vào phương pháp giải toán: Bài toán có angôrit giải hay chưa để chia toán thành loại: Bài toàn có angôrit giải: Là toán mà phương pháp giải theo angôrit mang tính chất angôrit Bài toàn angôrit giải: Là toán mà phương pháp giải không theo angôrit không mang tính chất angôrit 1.3.3 Phân loại theo nội dung toán Người ta vào nội dung toán phát biểu theo thuật ngữ hay vài lĩnh vực chuyên môn hẹp để chia toán thành loại khác sau: Bài toán số học; Bài toán đại số; Bài toán hình học 1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa giải toán Người ta dựa vào ý nghĩa việc giải toán để phân loại toán: Bài toán nhằm cđng cè trùc tiÕp mét hay mét vµi kiÕn thøc kĩ đó, toán nhằm phát triển tư Ta có loại toán sau: Bài toán củng cố kĩ năng: Là toán nh»m cñng cè trùc tiÕp sau häc mét vài kiến thức kĩ Bài toán phát triển tư duy: Là toán nh»m cđng cè mét hƯ thèng c¸c kiÕn thøc cịng kĩ đòi hỏi phải có khả tư phân tích, tổng hợp vận dụng cách sáng tạo 1.4 Phương pháp tìm lời giải toán: Dựa theo bước G.POLYA 1.4.1 Bước 1: Tìm hiểu đề Trước giải toán ta phải phân tích đề toán, tìm hiểu thấu đáo nội dung toán câu hỏi sau: Những đà biết? Cái chưa biết toán? Tìm yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi, biến thiên toán Xác định ẩn giá trị toán Dữ kiện toán có đủ để xác định chưa biết hay không? 1.4.2 Bước 2: Xây dựng chương trình giải Để tìm lời giải cho toán cách có hiệu bước xây dựng chương trình giải bước định, đồng thời bước khó khăn Bước đòi hỏi biết huy động kiến thức ®· biÕt ®Ĩ nhËn xÐt, so s¸nh, b¸c bá, tõ ®ã míi cã thĨ tiÕp cËn tíi lêi gi¶i cđa toán Đối với toán angôrit giải, phải tiến hành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau: i) Phương pháp xuôi Xuất phát từ giả thiết toán lấy làm tiền đề Bằng suy luận hợp lôgic tìm hệ lôgic tiỊn ®Ị ®ã TiÕp tơc chän läc ®ã ®Ĩ lấy hệ gần gũi với kết luận toán làm tiền đề Lại suy luận hợp lôgic tìm hệ lôgic gần gũi với kết luận Cứ tiếp tục trình tìm hệ lôgic trùng với kết luận toán Khi ấy, ta tìm lời giải toán Phương pháp mô tả theo sơ đồ sau: A B    X , ®ã A, C giả thiết X kết luận C D ii) Phương pháp ngược Đó trình xuất phát từ kết luận toán Bằng suy luận hợp lôgic ngược lên để tìm tiên đề lôgic kết luận Tiếp tục chọn lọc để lấy tiền đề gần gũi với giả thiết toán để làm kết luận mới, từ rút tiền đề lôgic kết luận Quá trình lại tiếp diễn, ta tìm tiền đề lôgic trùng với giả thiết toán tìm lời giải toán Phương pháp mô tả theo sơ đồ sau: C  A X  , ®ã A, B giả thiết X kết luận D B Chú ý: Thông thường nhiều trường hợp để tìm lời giải toán ta thường kết hợp phương pháp ngược xuôi iii) Phương pháp sử phép suy luận quy nạp Trong toán học để tới lời giải toán có nhiều phương pháp Tuy nhiên, phương pháp tới lời giải toán Có toán mà ta sử dụng nhiều phương pháp như: Phương pháp xuôi, phương pháp ngược, chí kết hợp hai phương pháp mà chưa tìm lời giải toán Lúc ta cần chuyển hướng suy nghĩ theo hướng khác, tạm gọi phương pháp sử dụng phép suy luận quy nạp, nghĩa là: suy nghĩ đến toan liên quan, có tính chất gần với toán ta cần giải (có thể toán con, toán tương tự, toán khái quát) Bằng cách phân tích sử dụng lời giải toán có liên quan với toán đà cho, có nhiều hội thuận lợi để tìm lời giải toán đà cho Theo G.POLYA thường phải đặt câu hỏi sau: Anh có biết toán gần giống toán anh không?; Đây toán gần giống với toán anh đà giải Anh dùng làm không?; Nếu anh không giải toán đà cho, trước hết hÃy giải toán gần giống với 1.4.3 Bước 3: Thực chương trình giải Đây trình tổng hợp lại bước xây dựng chương trình giải, ta dùng phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết toán học, mệnh đề toán học ®· biÕt ta suy dÇn tíi kÕt ln cđa toán Trong bước thực chương trình giải toán cần ý phân biệt khác điều đà thấy điều suy - điều chứng minh 1.4.4 Bước 4: Nhận xét lời giải khai thác toán Thử lại kết toán, thử lại lập luận lời giải đà tìm toán Tìm cách giải khác toán Nghiên cứu toán có liên quan Ví dụ: Phân tích trình tìm lời giải toán sau Chøng minh r»ng nÕu  ABC tháa m·n ®iỊu kiÖn cos2 A  cos2 B  (cot A  cot B) 2 sin A  sin B (1) ABC tam giác cân Hướng dẫn: Bước 1: Tìm hiểu đề Bài toán ®· cho:  ABC tháa m·n ®iỊu kiƯn cos2 A  cos2 B  (cot A  cot B) 2 sin A  sin B Bài toán yêu cầu: chứng minh ABC tam giác cân Bước 2: Xây dựng chương trình giải - Để chứng minh tam giác tam giác cân ta có cách nào? - Theo giả thiết, sử dụng cách chứng minh nào? - Có nhận xét góc A B? Để chứng minh tam giác tam giác cân có nhiều cách: chứng minh cạnh nhau, chứng minh góc đây, ta thấy giả thiết toán cho biết đẳng thức liên hệ góc Vậy ta chứng minh tam giác có góc Hơn nữa, ta thấy đẳng thức đà cho vai trò góc A B Do đó, ta dự đoán góc mà ta phải chứng minh góc A B Bước 3: Thực chương trình giải (1)    sin A   sin B  1       1 2  sin A sin A  sin B sin B  sin A  sin B 1     sin A  sin B sin A sin B     sin2 A  sin2 B   4(sin2 A sin2 B) , sin A,sin B    sin A  sin B    sin A  sin B  A B Vậy ABC tam giác cân C Bước 4: Nhận xét lời giải khai thác toán Ngoài cách giải ta cách giải khác, (1) cos2 A  cos2 B 2 sin A  sin B   cot A  cot B           cos A  cos2 B   cot A  cot B sin A  sin B   cos2 A  cos2 B  cos2 A  cot B sin A  cos2 B  cot A sin B  cos A  cos2 B  cot B sin A  cot A sin B      cot A  sin A  sin B   cot B  sin B  sin A    cot A  cot B  sin A  sin B    cos2 A  cot A sin B  cos2 B  cot B sin A  10   sin x  sin x  sin x  sin x    sin x  sin x  sin x  sin x     2cos3 x sin x  2sin x cos x    2cos x sin x  2sin x cos x    sin x sin x  sin x sin x   sin x  sin x  sin x   k  x    sin x  k   x   sin x   sin x    x   k  k  x   k ฀    x  k  k ฀  - Tõ bµi tËp trên, ta có toán khái quát sau: Giải phương trình: sin nx sin n  1 x  sin  n   x  sin  n3 x ” §Ĩ giải toán trên, ta làm tương tự tập - Hc sinh mc mt số sai lầm sau: +) Áp dụng sai c«ng thøc h¹ bËc, chẳng hạn sin    cos2 Từ dẫn đến t×m nghiệm sai +) Từ phương tr×nh: 2cos7 x cos x  2cos3x cos x học sinh chia vế phương tr×nh cho cos x mà chưa biết cos x  hay kh«ng Từ làm nghiệm phng trình à cho +) a công thc nghim sai Bài 3: Giải phương trình sau: 4sin3 xcos3x 4cos3 x sin3x  3cos4 x  H­íng dÉn: 4sin3 xcos3x  4cos3 x sin3x   3sin x  sin x  cos3 x   3cos x  cos3 x  sin x   sin x cos3 x  cos x sin x 3sin 4x Do đó, phương trình đà cho trở thành phương trình 63 3sin x  3cos4 x   sin x  3cos4x  (1)  k  x    24  sin x  cos4 x   sin(4 x  )    2 2  x    k  VËy nghiệm phương trình (1) là: x  k ฀  k  k vµ x    k ฀  24  Nhận xét - Cách giải khác Cách 4sin x cos3 x  4cos3 x sin 3x  3cos4 x       4 cos3 x  3cos x sin3 x  3sin x  4sin3 x cos3 x  3 cos x    12  cos x sin3 x  12sin x cos3 x  3 cos4 x     cos x sin x cos2 x  sin x  cos4 x   2sin x cos2 x  cos4 x    k x     24 , k  ฀  sin x  cos4 x   sin  x      3   x    k    k  x   24  , k ฀ Vậy nghiệm phương trình là:   x    k Cách Từ phương trình (1), ta thÊy: Khi cos2 x  th× sin x nên dễ thấy giá trị x mà cos2 x nghiệm phương trình (1) Vậy với cos2 x , ta đặt t tan x Do đó, ta cã: sin x  64 2t  t2 , cos4 x   t2  t2 Khi đó, phương trình (1) trở thành phương trình t  1  t  2t      t  Từ đó, tìm nghiệm phương trình (1) Cách Từ phương trình (1), ta đặt tan đưa phương trình (1) phương trình sin x cos Đây phương trình lượng giác đà biết cách giải - Hc sinh mắc sai lầm sau: +) Áp dụng sai c«ng thøc, chẳng hạn như: sin3 x  cos3 x  3sin x  sin3 x 3cos x  cos3x , t dẫn đến tìm nghiệm sai +) Học sinh giải sai phương trình: sin x 3cos4 x Bài 4: Giải phương tr×nh sau: cos10 x  2cos2 x  6cos3x cos x  cos x  8cos xcos33x H­íng dÉn: cos10 x  2cos2 x  6cos3x cos x  cos x  8cos xcos3 3x  cos10 x   cos8 x  cos x  2cos x(4cos3 3x  3cos3x)  2cos9 x cos x   cos x  2cos9 x cos x  cos x   x  k 2 (k ) Vậy nghiệm phương trình là: x  k 2 (k ฀ ) NhËn xÐt - Cách giải khác cos10 x 2cos2 x 6cos3x cos x  cos x  8cos xcos3 3x  cos10 x   cos8x  6cos3x cos x  cos x  2cos x(3cos3x  cos9 x ) 65   cos10 x  cos8 x   cos x cos9 x   cos x  2cos x cos9 x  cos x cos9 x   cos x  cos x   x  k 2 (k  ฀ ) - Từ tập trên, ta có toán tương tự sau: Giải phương trình sin10 x  2sin x  6sin3x sin x  sin x 8sin x sin3 3x Để giải toán này, ta làm tương tự tập - Sai lầm mà học sinh mắc phải là: áp dụng sai công thức lượng giác; tìm sai công thức nghiệm 2.4.2 Bài tập nâng cao Bài 1: Giải phương trình sau: a) cot x   cos2 x  sin x  sin x ; (§H - A - 2003)  tan x b) cos3x  sin x  2sin   4  5x   9x   2cos2   (§H ThĨ dơc thĨ thao - 2001)  2   H­íng dÉn: a) cot x   cos2 x  sin x  sin x (1)  tan x sin x  §iỊu kiện phương trình là: cosx () tan x Khi đó, phương trình (1) tương đương với phương trình cos x cos2 x sin x 1   sin x(sin x  cos x) sin x sin x 1 cos x  cos x  sin x  cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  cos x) sin x cos x  sin x   (cos x  sin x)(1  sin x cos x  sin x)    1  sin x cos x  sin x  66 (1') (2') (1')  sin x  cos x  tan x   x    k (k ฀ ) tháa m·n ®iỊu kiƯn () 1  cos2 x (2')   sin x    sin x  cos2 x   2   sin  x    (2'') 4  V× sin  x      nên (2) vô nghiệm Do đó, phương trình (2) vô nghiệm Vậy nghiệm phương trình (1) lµ: x  b) cos3x  sin x  2sin   4  cos3x  sin x   cos    2   k (k ฀ ) 5x   9x   2cos2    2    x  1  cos9 x  cos3 x  sin x  sin x  cos9 x   cos9 x  cos3x  sin x  sin x   2cos6 xcos3x  2cos6 x sin x  cos6 x   2cos6 x (cos3x  sin x)    cos3x   sin x  k   x  12   cos6 x       (k  ฀ )     x   k cos3x  cos   x    2   x     k   k   x  12  Vậy nghiệm phương trình đà cho là:  x    k (k  ฀ )   x     k  NhËn xÐt i) Trong c©u a) häc sinh mắc phải sai lầm sau: 67 - Không tìm điều kiện () có điều kiện () tìm nghiệm không so sánh với điều kiện, từ dẫn đến tìm sai nghiệm - Giải phương trình (2) có nghiệm ii) Trong câu b) học sinh mắc phải sai lầm sau: áp dụng sai công thức lượng giác, từ dẫn đến tìm sai nghiệm Bài 2: Giải phương trình sau: cos2 x  sin x  cos x  H­íng dÉn: cos x  sin x  cos x   cos2 x  cos x  sin x sin x   cos x(cos x  1)  (1  cos2 x)sin x  cos x  1 (1) sin x  cos x  sin x cos x  (2)  (1  cos x) (1  cos x)sin x  cos x     Gi¶i (1): cos x  1  x    k (k ) Giải (2) Đặt t sin x  cos x, t  Khi ®ã, sin x cos x  t 1 Khi đó, phương trìn (2) trở thành phương trình t t   t 1   t  2t    t So sánh điều kiÖn t  ta thÊy t   tháa m·n Khi ®ã, ta cã sin x  cos x    sin  x     1    sin      x     k 2   x k      4  (k  ฀ )   (k  ฀ )  x  3    k 2  x        k 2   4 68   x    k 2 Vậy nghiệm phương trình đà cho là:  x     k 2 (k  ฀ )   3 x     k 2  (trong ®ã sin   ) Nhận xét - Cách giải khác: Giải phương trình (2) cách đặt t sin x cos x ta cách khác, lµ   sin x  cos x  2cos(  x)  cos t    Đặt t x đó: sin x cos x  sin x  cos(  x)  cos2 t   2 2 Khi đó, phương trình (2) trở thành phương trình 2 cos t cos2 t  cos t      22  cos t  Vì cos t nên cos t  t   arccos Tõ ®ã suy x   2 tháa m·n Do ®ã, ta cã 2 2  k 2 (k  ฀ )  arccos 2  k 2 (k ) - Từ tập trên, ta có toán tương tự: Giải phương trình sin x  cos3 x  sin x  Ta giải phương trình tương tự tập 69 - Sai lầm mà học sinh mắc phải giải tập là: +) Học sinh kh«ng đặt điều kiện t đ· cã điều kiện t kết luận nghim không so sánh vi iu kin, t ó dẫn đến đưa kết luận nghiệm sai +) Khi tìm nghim t không thay tr li vi t  cos2x để t×m nghiệm x phương trình đà cho Bài 3: Giải phương trình sau: cos x  cos2x  cos3x  H­íng dÉn: 1 cos x  cos2x  cos3x  (1)  (1  cos x)+(cos3 x  cos x)   cos x  2cos x cos x  cos x   2cos x (cos x  cos2 x)    cos2 x   cos x  cos(  x)      x   k  x   k    x    k 2 (k  ฀ )   (k  ฀ ) k     x   k 2  x   3 3     x k Vậy nghiệm phương trình (1) lµ:  (k  ฀ ) k   x    3 NhËn xÐt - Cách giải khác Cách Trng hp 1: Ta thấy cos x   x  phương tr×nh (1) 70   k (k  ฀ ) nghiệm Trường hợp 2: Với cos x ta nhân v ca phng trình (1) với cos x ta phương tr×nh tương đương cos x  cos2 x  cos x cos2 x  cos x cos3 x   cos x  cos2 x  1 cos3 x  cos x    cos4 x  cos2 x    2 1  cos4 x  cos3 x  cos2 x  cos2 x  cos x  2 2  1 8cos4 x  8cos2 x   4cos3 x  3cos x  cos2 x   2  cos2 x  cos x         2cos4 x  cos3 x  cos2 x   2cos2 x  cos x   (do cos2 x  )  cos x  1  x    k 2   (k  ฀ )  x     k 2  cos x    Do đã, nghiệm phương tr×nh là:      x   k   k x   (k  ฀ )  x    k 2 (k  ฀ )   k   x       x    k 2 3  C¸ch (1)   cos x  2cos2 x   4cos3 x  3cos x     4cos3 x  cos2 x  cos x   2cos2 x  cos x  cos x   cos x   2cos x  cos x   71 Từ tìm nghiệm phương trình - Học sinh mắc phải sai lầm sau: +) Áp dụng sai c«ng thức biến đổi tổng thành tÝch, chẳng hạn như: cos3x  cos x  2cos x.cos x , từ dẫn đến t×m nghiệm sai +) Giải phương tr×nh sai, chẳng hạn như: cos2 x   cos x  cos2 x  cos   x  , từ dẫn đến t×m nghiệm sai +) Từ phương tr×nh: cos x  2cos x cos x  học sinh khử cos x mà chưa biết cos x  hay không T ó lm mt nghim ca phng trình à cho 72 kết luận Đề tài hoàn thành với kết đạt sau: Cơ sở lí luận toán, lời giải toán, kĩ giải tập; Phân loại dạng tập có ứng dụng công thức lượng giác giải phương trình lượng giác; Hệ thống tập sử dụng hỗn hợp công thức lượng giác giải phương trình lượng giác Trong dạng tập chia làm phần: Phần tập tập nâng cao Phần tập giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức phần công thức lượng giác số phương trình lượng giác đơn giản Phần tập nâng cao nhằm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo, linh hoạt nhanh nhạy việc lựa chọn công thức lượng giác để tránh biến đổi không cần thiết Ngoài ra, phần hệ thống tập sử dụng hỗn hợp công thức lượng giác giải phương trình lượng giác, tập đưa cung cấp thêm số cách giải khác, toán tương tự toán khái quát số sai lầm học sinh mắc phải giải phương trình lượng giác Từ đó, giúp học sinh có khả tư phân tích, tổng hợp, vận dụng cách sáng tạo công thức lượng giác Tôi mong muốn rằng, đề tài phần giúp học sinh học tốt phần giải phương trình lượng giác, đồng thời với thân có thêm tư liệu để sau giảng dạy tập toán Do lần tiếp xúc nghiên cứu đề tài toán học, đồng thời với khả có hạn thân chắn đề tài có thiếu xót tránh khỏi Rất mong đóng góp tất thầy cô bạn để đề tài ngày hoàn thiện 73 tài liệu tham khảo Vũ Quốc Anh (2012), Tuyển Tập 589 Bài Toán Lượng Giác, NXB Đại Học Sư Phạm Trần Tuấn Điệp - Ngô Long Hậu - Ngun Phó Tr­êng (2008), Giíi thiƯu §Ị Thi Tun Sinh Vào Đại Học - Cao Đẳng Toàn Quốc từ năm học 2002 - 2003 đến năm học 2008 - 2009, NXB Hà Nội Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Môn (2011), Bài Giảng Chuyên Sâu Toán THPT Giải Toán Lượng Giác 11, NXB Hà Nội Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh Đoàn Quỳnh - Ngô Xuân Sơn - Đặng Hùng Thắng - Lưu Xuân Tình (2009), Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao, NXB Giáo Dục Nguyễn Văn Hà (1999), Giáo Trình Phương Pháp Toán Sơ Cấp Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên (2009), Đại Số 10, NXB Giáo Dục Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên (2009), Đại Số Và Giải Tích 11, NXB Giáo Dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoàn ( Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đặng Hùng Thắng (2009), Đại Số 10 Nâng Cao, NXB Giáo Dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoàn ( Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đặng Hùng Thắng (2009), Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao, NXB Giáo Dục 10 Vũ Tuấn (Chủ biên) - Trần Văn Hạo - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên (2009), Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11, NXB Giáo Dục 11 Hồ Sĩ Vinh (2010), Những Bài Toán Chọn Lọc Lượng Giác, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 74 lời cảm ơn Trong thời gian nghiên cứu hoàn thành khóa luận, đà nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy cô tổ phương pháp bạn sinh viên khoa Qua đây, muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô tổ phương pháp, đặc biệt cô Đào Thị Hoa người đà định hướng cho lựa chọn đề tài, dẫn dắt bảo tận tình chu đáo giúp hoàn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Hà 75 lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Những số liệu kết khóa luận hoàn toàn trung thực Đề tài chưa công bố công trình khoa học Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Hà 76 MụC LụC Mở ĐầU 1 Lí chọn đề tài .1 Môc ®Ých nghiªn cøu NhiƯm vơ nghiªn cøu .2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cøu .2 CÊu tróc khãa luËn néi dung………………………………………………… ch­¬ng c¬ së lÝ luËn 1.1 Khái niệm toán lời giải to¸n 1.2 Vai trò, ý nghĩa việc giải toán 1.3 Phân loại to¸n 1.4 Phương pháp tìm lời giải toán: Dựa theo bước G.POLYA 1.5 Những kĩ thường sử dụng dạy học giải tập toán 11 CHƯƠNG rèn luyện kĩ sử dụng công thức lượng giác giải phương trình lượng giác 13 2.1 Mục tiêu dạy học chủ đề phương trình lượng giác trường phổ thông 13 2.2 Các kiến thức .14 2.3 Các dạng tập rèn luyện kĩ sử dụng công thức lượng giác giải phương trình lượng giác 29 2.4 Giải phương trình lượng giác việc sử dụng hỗn hợp phép biến đổi .60 kÕt luËn 73 tài liệu tham khảo 74 77 ... tập rèn luyện kĩ sử dụng công thức lượng giác giải phương trình lượng giác 2.3.1 Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc 2.3.1.1 Bài tập Bài 1: Dùng công thức hạ bậc để giải phương. .. niệm phương trình lượng giác như: Phương trình lượng giác bản, số dạng phương trình lượng giác đơn giản Hiểu cách tìm nghiệm phương trình lượng giác phương pháp giải số dạng phương trình lượng giác. .. lầm gặp 12 CHƯƠNG RèN LUYệN Kĩ NăNG Sử DụNG CÔNG THứC LƯợNG GIáC GIảI PHƯƠNG TRìNH LƯợNG GIáC 2.1 Mục tiêu dạy học chủ đề phương trình lượng giác trường phổ thông Về kiến thức Học sinh phải