Chính vì vậy giáo viên cần chuẩn bị thật kỹ lý thuyếtcũng như các dạng bài tập phù hợp với học sinh, để vừa có điều kiện ôn lại kiếnthức cơ bản vừa giúp học sinh phát triển tốt tư duy, t
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS
Trang 22.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN 3 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4
Trang 31 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học tự nhiên có tính trừu tượng cao, tính logic, chặtchẽ đồng thời môn toán còn là bộ môn hỗ trợ cho các môn học khác Hình học làmôn học rèn luyện cho học sinh khả năng đo đạc, tính toán, suy luận logíc, pháttriển tư duy sáng tạo cho học sinh Nâng cao được năng lực tư duy, tính độc lập,sáng tạo linh hoạt trong cách tìm lời giải bài tập toán nhất là bộ môn hình họccàng có ý nghĩa quan trọng Việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi và ôn thi vào lớp
10 không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông quaviệc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rènluyện khả năng sáng tạo đối với bộ môn hình học càng phải biết rèn luyện nănglực tư duy trừu tượng và phán đoán logic
Qua thực tế giảng dạy và đối tượng là học sinh lớp 9 trường THCS ThiếtỐng tôi thấy rằng khả năng vận dụng kiến thức cơ bản để vẽ hình, giải bài tậpHình học của học sinh còn nhiều hạn chế dẫn đến khi giải mắc nhiều sai sót,không biết cách trình bày hoặc áp dụng kiến thức có liên quan một cách khônglinh hoạt và thiếu sáng tạo Chính vì vậy giáo viên cần chuẩn bị thật kỹ lý thuyếtcũng như các dạng bài tập phù hợp với học sinh, để vừa có điều kiện ôn lại kiếnthức cơ bản vừa giúp học sinh phát triển tốt tư duy, thuật giải,…Trong chươngtrình môn Hình học THCS, đặc biệt ở lớp 9 các bài toán về đường tròn là dạngkhó, có rất nhiều ứng dụng trong thực tế cũng như các kì thi Với kinh nghiệmcủa bản thân, qua thực tế giảng dạy cùng với sự học hỏi đồng nghiệp tôi xin
được giới thiệu đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về đường tròn cho
học sinh lớp 9 trường THCS Thiết Ống”.
1.2 Mục đích nghiên cứu
a Đối với giáo viên:
- Tìm ra các giải pháp, hình thức dạy học và bồi dưỡng nhằm đạt hiệu quảcao nhất
- Nâng cao trình độ chuyên môn cụ thể là thành thạo kĩ năng giải các bàitoán về đường tròn phục vụ cho quá trình giảng dạy
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức
b Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài toán vềđường tròn nói riêng Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nângcao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo
và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến đường tròn
- Kích thích mạnh mẽ ý thức tự giác, lòng say mê và ý chí vươn lên tronghọc tập, tu dưỡng của học sinh nói chung
- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách thamkhảo, giúp học sinh tự khai thác và giải được một số bài tập
Trang 4- Giúp học sinh có ý thức khai thác bài toán cơ bản và vận dụng thànhthạo các phương pháp đó để giải bài tập.
- Thông qua việc giải các bài toán về đường tròn giúp học sinh thấy rõmục đích của việc học toán và học tốt hơn phần toán về đường tròn
1.3 Đối tượng nghiên cứu
- Các kĩ năng giải bài toán về đường tròn cho học sinh lớp 9
- Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 9 và trong các giờ dạy, luyện tập, ôn tậpcuối kỳ, cuối năm, kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT
1.4 Phương pháp nghiên cứu
a Phương pháp nghiên cứu lí luận
Thông qua các tài liệu: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, sáchtham khảo, một số vấn đề phát triển toán 9 Các chuyên đề bồi dưỡng toánTHCS, nâng cao và phát triển Toán 9, phương pháp giải toán hình học 9, 300 bàitoán trắc nghiệm và tự luận về đường tròn lớp 9, những bài toán tổng hợp vềđường tròn, báo toán học tuổi trẻ
b Phương pháp kiểm tra
Qua các bài kiểm tra trắc nghiệm và tự luận của học sinh để nắm bắt kiếnthức, kĩ năng việc giải các bài toán về đường tròn của học sinh lớp 9 Đặc biệtlưu ý tới các sai lầm thiếu sót mà học sinh thường mắc phải trong quá trình giảibài toán về hình học
c Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Thông qua việc giảng dạy hàng ngày của bản thân và kết quả học tập củahọc sinh và việc ứng dụng của học sinh để làm bài tập
d Phương pháp phân tích, tổng hợp
Từ các bài thực tế giảng dạy, các bài làm của học sinh, các khóa học đểphân tích kĩ càng điểm thiếu sót, lập luận chưa chặt chẽ của học sinh Thông quatrao đổi kinh nghiệm giảng dạy của đồng nghiệp để tổng hợp lại các bài giảngchi tiết nhất, cụ thể nhất để cung cấp cho học sinh một cách hiệu quả nhất
Trang 52 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Hoạt động dạy và học trong nhà trường được tiến hành bằng kế hoạch cụthể và chi tiết Toán học là một môn học khó, học sinh khi học và vận dụng vàogiải bài tập thì cần có sự linh hoạt trong từng bài, từng trường hợp Hình học làmột trong hai môn Toán, nó trừu tượng trong hình vẽ, rắc rối trong suy luận nênyêu cầu học sinh phải chăm chỉ luyện tập Do đó đại đa số học sinh ngại họcmôn Hình Các bài toán về đường tròn là một phần nhỏ của Hình học THCScũng như lớp 9, phần lí thuyết thì ngắn gọn nhưng sự vận dụng vào giải cácdạng bài tập thì vô vàn, mà các dạng toán áp dụng trong SGK và SBT ít, khôngđáp ứng được yêu cầu học tập và rèn luyện của học sinh, đòi hỏi học sinh phải tựmua sách và nghiên cứu sách nâng cao ở nhà Khi gặp dạng bài tập mới không
có lời giải và chỉ dẫn chi tiết, việc làm này làm cho học sinh thụ động và đôi khichán nản, không muốn tự mình tìm tòi và suy luận nữa
Chính vì vậy vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào mà mỗi tiết học về đườngtròn, giáo viên cần khắc sâu kiến thức trọng tâm cho học sinh, để các em đềunắm được kiến thức cơ bản Có như vậy tiết học mới phong phú và chất lượng.Môn Hình học có khả năng giúp học sinh rèn luyện óc trừu tượng, khả năng tưduy chính xác trong việc tìm ra các kiến thức mới Có tác dụng rèn luyện chohọc sinh phương pháp thực hành, phương pháp suy luận, phương pháp xử líthông tin, tính cần cù chịu khó trong quá trình học tập môn này Vì vậy để họcsinh chủ động chiếm lĩnh tri thức và nâng cao chất lượng học tập của học sinhtôi đã chọn đề tài này
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
a Thực trạng chung
Toán học là môn học công cụ đắc lực không thể thiếu để hổ trợ cho cácmôn khoa học khác cũng như giải quyết các vấn đề thực tế Việc giúp học sinhnắm vững kiến thức cơ bản và vận dụng toán học vào thực tế không phải củariêng thầy giáo, cô giáo nào
Chương trình toán THCS đã giúp học sinh giải quyết nhiều vấn đề cơ bảntrong thực tế Trong chương trình toán THCS nhiều dạng toán mang tính ápdụng cao, nó là cơ sở để ứng dụng giải quyết các bài toán liên quan Trong đó cómột dạng toán liên quan giải các bài toán về đường tròn là rất khó đối với họcsinh THCS Trên thực tế kiến thức về đường tròn chỉ dừng lại ở khái niệm chứkhông đi sâu vì thế khi gặp một bài toán khó về đường tròn thì học sinh không
có phương hướng để giải quyết Tuy nhiên việc hệ thống hóa các dạng bài tậpcũng như phương pháp giải các dạng toán liên quan đến đường tròn chưa đượccác giáo viên thực sự chú ý và quan tâm Vì lí do đó kĩ năng giải các bài toán vềđường tròn cho học sinh lớp 9 còn ở mức yếu kém, lúng túng, gặp nhiều khókhăn khi tìm huớng giải đúng đắn
Giải các bài toán về đường tròn là bài toán khó vì phạm vi kiến thức rộngđặc biệt là với học sinh lớp 9, các dạng bài toán về đường tròn thường xuyênxuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, các đề thi vào lớp 10 THPT
Trang 6b Đối với giáo viên
Qua thực tế dạy học sinh lớp 9 và tham khảo ý kiến của đồng nghiệp tôithấy rằng khi gặp các bài toán về đường tròn thường có những khó khăn sau:
- Các dạng toán đường tròn là dạng toán khó vì phạm vi và kiến thức rộngnên khi dạy còn nhiều lúng túng
- Giáo viên khi dạy về đường tròn chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác,phân tích, mở rộng bài toán, đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút làkhông có phương pháp giải nên không giải được
- Khi dạy loại toán này giáo viên chưa đưa ra được các phương pháp cụthể do đó việc giảng dạy còn mang tính chất thụ động
- Không đưa ra hoặc sửa chữa những sai lầm mà học sinh thường mắcphải khi giải các bài toán này
c Đối với học sinh
Các em khi giải các bài toán về đường tròn thường lúng túng, không biếtbắt đầu từ đâu, chưa định hình được phương pháp giải nên đa số các em thườnghọc kém và không hứng thú học tập
Học sinh thường ngại học Hình học cũng như các bài toán về đường tròn
vì không biết vẽ hình, kiến thức không liền mạch, phương pháp giải hạn chế
Kết quả khảo sát trước khi thực hiện đề tài năm 2017 - 2018
Vì vậy phát triển năng lực tư duy lôgíc, óc trừu tượng cho học sinh thôngqua việc giải các bài toán về đường tròn là cần thiết Trong những năm giảngdạy thực tế ở trường THCS Thiết Ống tôi đã tích luỹ được một số kiến thức vàkinh nghiệm về các kĩ năng giải các bài toán về đường tròn
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Các giải pháp cụ thể
- Ra đề cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát để đánh giá đúng chấtlượng của học sinh về kiến thức giải các bài toán về đường tròn
- Cung cấp toàn bộ kiến thức cơ bản cho học sinh
- Điều tra về mức độ hứng thú học giải các bài toán về đường tròn của họcsinh
- Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng đốitượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể
- Hệ thống bài toán theo từng dạng và đưa ra các bài toán từ dễ đến khó,sau đó giảng giải cụ thể cho học sinh từng dạng để từ đó học sinh nắm vững kiếnthức và cách vận dụng vào giải các bài toán tương tự
- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách thamkhảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập
- Thực hiện dạy theo phương pháp đổi mới, sử dụng tối đa các đồ dùngdạy học
Trang 7- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải cácbài toán về đường tròn trong quá trình dạy học.
Dạng 1 Bài tập vận dụng về tính chất của đường tròn
1 Ứng dụng tính chất của đường tròn
Xem xét và sử dụng tính chất của đường tròn (lớp 9) về quan hệ đườngkính và dây cung; dây cung và khoảng cách đến tâm để chứng minh hai đườngthẳng vuông góc, so sánh hai đoạn thẳng
Sử dụng đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn để xác định vịtrí của một đường thẳng, một điểm, có hình đặc biệt hoặc là áp dụng để giải cácbài toán về cực trị
2 Bài toán áp dụng
Bài 1 Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt dường kính
AB Gọi H và K theo thứ tự là chân các dường vuông góc kẻ từ A và B đến CD.Chứng minh rằng: CH = DK
Hướng dẫn:
Theo giả thiết ta có: AHCD và BKCD
nên AH//BK suy ra AHKB là hình thang
Kẻ OMCD tại M MC=MD (1) (Định lí
quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
Xét hình thang AHKB có:
OA=OB=R; OM//AH//BK (cùng vuông góc với CD)
OM là đường trung bình của hình thang
MH=MK (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CH = DK
Bài 2 Cho (O) và dây AB không là đường kính Gọi M là trung điểm của
AB Qua M vẽ dây CD không trùng với AB Chứng minh rằng:
Trang 8a) M không là trung điểm của CD;
b) AB < CD
Hướng dẫn:
a) Vì MA = MB nên OMAB Giả sử MC = MD
suy ra OMCD Điều này vô lí vì qua điểm M có
2 đường thẳng cùng vuông góc với OM Vậy điều
giả sử là sai, do đó M không là trung điểm của
D O
Bài tập tương tự:
Bài 1 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Lấy một điểm C
trên nửa đường tròn sao cho ABC = 300 Gọi P là giao của tiếp tuyến tại A vớinửa đường tròn và đường thẳng BC Chứng minh PA 2 PC.PB
Bài 2 Cho (O; R) và điểm M ở trong đường tròn Hãy dựng dây AB qua
M sao cho góc AOB nhỏ nhất
Dạng 2 Bài tập về tiếp tuyến của đường tròn
1 Ứng dụng của tiếp tuyến
- Từ các tính chất của tiếp tuyến, của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chỉ ra đượccác đường thẳng vuông góc, các cặp đoạn thẳng và các cặp góc bằng nhau; cũng
từ đó ta xây dựng được các hệ thức về cạnh, về góc
- Vận dụng tính chất của tiếp tuyến HS có thể vận dụng vào tam giác tìm
ra công thức tính diện tích của đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp vàđường tròn bàng tiếp tam giác, cũng như bán kính
Lưu ý : Chứng minh AX là tiếp tuyến của (O;R) chúng ta làm theo một trong
Bài 1 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ các đường
kính AOB; AO’C Gọi DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn; D(O); E(O’) Gọi M là giao điểm của BD và CE
Trang 9a) Tính số đo góc DAE.
b) Tứ giác ADME là hình gì ?
c) Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Hướng dẫn :
a) Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn
đi qua A cắt tiếp tuyến chung DE ở F Dựa
vào tính chất tiếp tuyến ta có FA = FD =
FE Vậy DAE là tam giác vuông tại A
hay DAE = 900
b) Tứ giác ADME có Dˆ = Aˆ = Eˆ = 90 0 nên
nó là hình chữ nhật
c) Từ câu b) AM đi qua trung điểm của
DE hay AM trùng với AF nên AM là tiếp
tuyến chung của hai đường tròn
- Với bài tập trên chúng ta có thể hỏi:
- CMR: OFO’ là góc vuông
- DE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OFO’
- Các tia AD và AE cắt (O) và (O’) ở H; K Chứng minh: SAHK = SADE
Bài 2 Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác ABC, r là bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác Tính diện tích tam giác theo p và r, trong đó p là nửa chu
vi tam giác
Hướng dẫn :
Gọi D, E, F là các tiếp điểm
Theo tính chất tiếp tuyến: OD = OF = OE = r
Nên : SABC = SABO + SBCO + SACO
SABC =
2
1( a + b + c).r = pr
Từ bài tập trên hãy tính:
Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác vuông, tam giác đều theo các cạnh của tam giác
Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo các cạnh a , b, c của tam giác
Trang 10Bài tập tương tự:
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC; d là tiếp tuyến của đường tròn tại A Các tiếp tuyến của đườngtròn tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E
a) Tính góc DOE?
b) Chứng minh : DE = BD + CE
c) Chứng minh : BD.CE = R2 (R là bán kính đường tròn tâm O)
d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính DE
Bài 2 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R, M di động trên nửa
đường tròn (O) (M khác A và B) Kẻ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H
Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với (M), C và D là hai tiếp điểm
a) Chứng minh 3 điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của (O)
b) Gọi K là giao điểm của AB và CD; K và B nằm cùng phía với A Xác định
Bài 1 Cho đường tròn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường
tròn Điểm C thuộc nửa đường tròn cùng nửa mặt phẳng với Ax với bờ là AB.Phân giác của góc CAx cắt đường tròn tại E, cắt BC ở D Chứng minh:
a) Tam giác ABD cân
b) H là giao điểm của BC và DE Chứng minh DH AB
c) BE cắt Ax tại K Chứng minh tứ giác AKDH là hình thoi
Hướng dẫn :
a) AD là phân giác hai cung AE và CE bằng
nhau Dựa vào góc nội tiếp ta dễ dàng chứng
minh được BE vừa là phân giác vừa là đường
cao của tam giác ABD, nên ABD cân đỉnh B
b) Dựa vào góc chắn nửa đường tròn Ta thấy H
là trực tâm của ABD nên DH AB
c) Ta thấy KE = HE (vẽ AKH cân đỉnh A) và
AE = DE ( ABD cân đỉnh B) và ADKH, nên
tứ giác AKDH là hình thoi
K
* Khai thác bài toán :
- Chứng minh OE AC
Trang 11- Tìm vị trí của C trên cung AB để ABD đều
Bài 2 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Đường tròn (O) có đường kính
BC cắt AB, AC theo thứ tự ở D, E Gọi I là giao điểm của BE và CD
a) Chứng minh : AI BC
b) Chứng minh : IDE = IAE
c) Cho BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE là tam giác đều
Hướng dẫn:
a) Dựa vào tính chất góc chắn nửa đường tròn, ta
chứng minh được I là trực tâm của ABC nên AI
BC
b) IAE = EBC (góc có cạnh tương ứng vuông
góc)
EBC = EDC (cùng chắn cung EC)
Từ hai điều trên suy ra điều chứng minh
c) BAC = 600 DBE = 300 (cùng chắn cung
Bài 1 Cho A là một điểm cố định trên đường tròn (O) và M là một điểm
di động trên đường tròn đó N là giao của AM với đường kính cố định BC.Chứng minh giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giácOMN là cố định
Bài 2 Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) Chứng minh rằng:
a) R =
SinC 2
c SinB 2
b SinA 2
Dạng 4 Bài tập về tứ giác nội tiếp một đường tròn
1 Kiến thức: Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn theo một trong
các cách sau đây :
- Chứng minh tổng hai góc đối diện trong một tứ giác bằng 1800
- Chứng minh hai điểm nhìn hai điểm còn lại dưới cùng một góc
Trang 12- Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại M mà MA.MC = MB.MD thì tứ giácABCD nội tiếp
- Tứ giác có hai cạnh bên AB và CD giao nhau tại M mà MA.MB =MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp
2 Bài toán áp dụng:
Bài 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh rằng:
AC.BD = AB.DC + AD.BC
Hướng dẫn :
Giả sử ACD > ACB
Lấy E trên BD sao cho ACB = DCE
ABC DEC � AB.DC = AC.DE
ADC BEC � AD.BC = AC.BE
Cộng từng vế hai đẳng thức trên suy ra điều chứng
Bài 2 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với các đường cao BD, CE
a) Chứng minh BEDC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh: AD.AC = AE.AB
c) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minhrằng: Ax // ED
Hướng dẫn:
a) D, E cùng nhìn BC dưới một góc 900 nên tứ giác
BEDC nội tiếp
b) Hai tam giác vuông ABD và ACE đồng dạng
Suy ra: AD.AC = AE.AB
c) xAB = ACB (cùng chắn cung AB)
AED = ACB (cùng phụ với BED)
Nên xAB = AED Suy ra Ax // ED
x
O
C B
A
D E
Khai thác bài toán : Với giả thiết của bài toán trên chúng ta có thể khai
thác bài toán theo nhiều hướng và ra được nhiều câu hỏi :
- Kéo dài các đường cao BD, CE, AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
ở D’, E’, F’ Chứng minh :
+ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’F
+ H đối xứng với D’, E’, F’ qua AC, AB, BC
+ ED // E’D’.
+ OA E’D’.