Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải bất phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN CHO HỌC SINH THƠNG QUA VIỆC TRÌNH BÀY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: Trần Thị Hiếu Chức vụ: Tổ trưởng chuyên mơn SKKN thuộc mơn: Tốn Mục lục Nội dung Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Nghiên cứu lý luận 1.4.2 Điều tra quan sát 1.5 Những điểm SKKN Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề A Phương pháp biến đổi tương đương Kỹ thuật nâng luỹ thừa Kỹ thuật đưa bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Kỹ thuật dùng đẳng thức- Phép nhân liên hợp B Phương pháp đặt ẩn phụ Kỹ thuật đặt ẩn phụ Kỹ thuật đặt hai ẩn phụ đưa bất phương trình 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Mục đích kiểm chứng sư phạm 2.4.2 Nội dung kiểm chứng sư phạm 2.4.3 Tổ chức kiểm chứng sư phạm 2.4.4 Đánh giá kết kiểm chứng sư phạm 2.4.4.1 Kết định tính 2.4.4.2 Kết định lượng Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 3 3 3 4 4 5 8 10 10 10 11 11 11 11 13 13 13 14 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Giải tập tốn học có vai trò quan trọng mơn tốn, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến tốn học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngơn ngữ Việc giải tốn q trình mò mẫm, tìm tòi dựa hiểu biết người giải tốn Có người phải mò mẫm lâu, thử hết cách đến cách khác, có người lại tìm cách giải nhanh Vậy đâu bí cho kỹ giải tốn nhanh gọn xác? Cách rèn luyện chúng nào? Những đường mà người giải tốn trải qua để đến lời giải thoả đáng gì? Trong giai đoạn nay, việc đổi phương pháp dạy học chủ yếu theo hướng hoạt động hoá người học với phương châm "Học tập hoạt động hoạt động" Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh yêu cầu việc đổi phương pháp dạy học Trong chương trình mơn tốn, bất phương trình đưa vào từ cấp xun suốt chương trình mơn tốn trường phổ thơng Nó có vai trò quan trọng làm sở để nghiên cứu kiến thức tốn học có liên quan Trong chương trình tốn THPT, bất phương trình thể hình thức chủ yếu: Các bất phương trình thơng thường, bất phương trình vơ tỷ, bất phương trình chứa hàm mũ, hàm lôgarit Việc giải thành thạo bất phương trình thể khả lựa chọn cơng cụ, linh hoạt sáng tạo suy luận phân tích tốn Mặt khác, thực trạng kĩ giải tốn học sinh yếu, em học cách thụ động, lười suy nghĩ, bắt trước nhiều sáng tạo, tư logic em chưa rèn dũa, chưa biết tìm tòi, khai thác giả thiết, xâu chuỗi kiến thức để đến tìm hướng giải tốn Từ lý nói với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn, tơi chọn đề tài nghiên cứu là: "Rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh thơng qua việc trình bày số phương pháp giải bất phương trình " 1.2 Mục đích nghiên cứu Xác định nội dung phương pháp rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh sở trình bày phương pháp giải bất phương trình, nhằm góp phần nâng cao hiệu việc dạy học mơn tốn Làm rõ khâu tìm lời giải giải tốn nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Xây dựng phương pháp giải bất phương trình theo hướng rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Xây dựng ví dụ tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 10 THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu lý luận dạy học, phương pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng việc giải tập toán Nghiên cứu SGK, sách tham khảo bất phương trình để thấy vị trí tầm quan trọng bất phương trình, vấn đề nội dung phương pháp giảng dạy bất phương trình 1.4.2 Điều tra quan sát + Thực tiễn dạy học giải bất phương trình trường THPT + Những khó khăn sai lầm học sinh giải bất phương trình 1.5 Những điểm SKKN: Bổ sung phương pháp đặt ẩn phụ qui bất phương trình NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Theo tâm lý học kỹ khả vận dụng kiến thức (Khái niệm, cách thức, phương pháp …) để giải nhiệm vụ Thực chất hình thành kỹ hình thành cho học sinh nắm vững hệ thống phức tạp thao tác nhằm làm biến đổi sáng tỏ thông tin chứa đựng tập, nhiệm vụ đối chiếu chúng với hành động cụ thể Muốn vậy, hình thành kỹ (chủ yếu kỹ học tập) cho học sinh cần: - Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm yếu tố cho, yếu tố phải tìm mối quan hệ chúng - Giúp học sinh hình thành mơ hình khái qt để giải tập, đối tượng loại - Xác lập mối liên quan tập mơ hình khái qt kiến thức tương ứng Chúng ta khơng thể có thuật giải tổng qt để giải toán Ngay lớp tốn riêng biệt có trường hợp có, có trường hợp khơng có thuật giải Tuy nhiên, trang bị hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát cách giải tốn lại cần thiết 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Bài toán giải bất phương trình nói chung bất phương trình vơ tỉ nói riêng ln tốn khó đa số học sinh THPT đặc biệt học sinh có lực học trở xuống 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Sau ta nêu phương pháp chung để tìm lời giải tốn: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích nghiên cứu đề Đây yêu cầu quan trọng định việc tìm lời giải tốn Bước 2: Tìm cách giải Tìm tòi, phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đốn: Dựa vào việc phân tích giả thiết, điều kiện tốn hay liên hệ giả thiết Bước 3: Trình bày cách giải Từ cách giải phát hiện, xếp việc phải làm thành chương trình gồm bước theo trình tự định thực bước Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải, nghiên cứu giải toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, từ sáng tạo tốn Sau tác giả xin giới thiệu số phương pháp giải Bất phương trình A PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Kỹ thuật nâng luỹ thừa (thường áp dụng với với luỹ thừa bậc bậc 3) ND: B1: tìm TXĐ BPT B2: Luỹ thừa hai vế(khi luỹ thừa bậc không cần đk, luỹ thừa bậc cần đk hai vế khơng âm) Ví dụ : Giải bất phương trình sau: a x   5x  b  2x �x  (1) (2) Giải a Điều kiện x  �0 � ۳ x � 5x  � � x   5x  � x  Kết hợp với Với điều kiện (1) tương đương với �x  điều kiện ta 3� � S  �; � 2� � Vậy BPT có tập nghiệm x� Với đk BPT tương đương với b Điều kiện � �x  �0 �  2x � x  3 � �x �3 �x �3 � �2 �� � 3 �x �8  2 x  8x  �   2 � x �   2 � � Vậy BPT có tập nghiệm S � 3; 8  2 � � � Nhận xét: Từ ví dụ ta đưa phương pháp chung để giải bất phương trình tương tự: Chuyển vế, luỹ thừa hai vế phân tích theo biểu thức dấu Kỹ thuật đưa bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối ND: * Phương pháp áp dụng lớp bất phương trình mà biểu thức dấu bình phương * Nhiều phương trình mà biểu thức dấu bình phương đúng, qua phép biến đổi đưa bình phương * Sau tìm hiểu phương pháp này, ta nhận dạng phương pháp cách máy móc, bất phương trình mà biểu thức dấu phức tạp, để ý kỹ ta phát điều đặc biệt nằm sau phức tạp Điều đặc biệt bình phương hay qua biến đổi đưa bình phương Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x  x 1  x  x 1 � Giải ĐKXĐ: x �1 * Để ý biểu thức dấu căn, ta thấy được: x  x   x   x  1.1  12  Và x  x   x   x  1.1  12     x 1 1  x 1 1 2 Khi bất phương trình tương đương với: x 1 1  Do x 1 1  � x 1 1 � x 1 1  x 1 1 � � x   x �2 x 1 1  �  x  �x  �  Nếu x �2 bất phương trình cho tương đương với bất phương trình: x �� �۳4  x 1 x 25 16 Kết hợp với x �2 ta nghiệm bất phương trình x �2 2� ( đúng) Suy  Nếu �x  bất phương trình tương đương với: �x  nghiệm bất phương trình Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   1; � * Nhận xét: Ở ví dụ 2, giải thơng thường cách bình phương hai vế để đưa phương trình tương đương ta thu PT phức tạp, giải khó khăn Vì vậy, việc đưa phương trình chứa giá trị tuyệt đối hợp lý khẳng định tính hiệu phương pháp dạng PT tương tự Kỹ thuật dùng đẳng thức- Phép nhân liên hợp ND: - Vận dụng đẳng thức, phép nhân liên hợp để thu gọn BPT dạng đơn giản - Chú ý biểu thức liên hợp: a – b a + b dùng khử bậc hai 2 a – b a  ab  b dùng khử bậc 2 a + b a  ab  b dùng khử bậc Ví dụ 3: Giải BPT sau: a  2x   2x Giải: a) ĐK:   x  21 (1) 2x   2  x  b  �x   2x x � � � (1) � � � x  21 � � 2x �3   2x � �  9x  16 (2)  2x �0 � �  �x �0 � x �0 � � 12x    2x  � � x  21 � �  x  21 �   2x   2x  2x  42 �  2x  �  2x  16 � x  �9 �  ; �\  0 � 2� � Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình b) Bằng cách nhân lượng liên hợp bất phương trình (2) tương đương  6x   6x   2x   2  x 9x  16 �  3x   � 9x  16  �   2x   2  x � (3) � Lại thực phép nhân liên hợp   (3) �  3x   � 9x  16  12  2x   2x � � �  �  3x    x   �  3x   9x  8x  32  16  2x  Để    2x  x   2x  (4)  2x có nghĩa 2 �x �2 Do x �2 �  x   2x  Nên  3x   � � � �x   2x  Giải  (4) �  3x   x   2x   I �  I 3x   � � � x   2x  �  II   x �2 (I) 2 �x  � � �x  � �x  �� � 2 �x  �  II  :  II  � � � �x  2 �  2x � x  32  8x � � � Giải � � �4 � 2; ��� ;2 � � 3� �3 � � Vậy bất phương trình có tập nghiệm B PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Kỹ thuật đặt ẩn phụ ND: Đặt biểu thức chứa biến ẩn phụ sau biểu diễn biểu thức lại qua ẩn phụ đưa BPT BPT với ẩn BPT BPT dễ giải BPT cũ Ví dụ Giải BPT sau: a  x  1  x    x  5x  28 b  1 2x   x   3x  2x  5x   16  2 Giải a)  1 � x  5x   x  5x  28  * 87 � � 87 t  x  5x  28  �x  � � � 2� Đặt � x  5x   t  24 � 87 �t � ��� 2  * � �  �t  24  5t � � 87 �t � � �t  5t  24  � � 87 �t � � �3  t  � 87 t � x  5x  28  � x  5x  36  � 9  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình khoảng 2x  �0 � � 0 �x �۳ � 2x  5x  �0 b) Điều kiện: � x  9;4  2 Đặt t  2x   x  1, t �0 � t  3x   2x  5x   2 � t  t   16 � t  t  20  � 4  t  Kết hợp với t �0 ta �t  10 Suy 2x   x   � 3x   2x  5x   25 � 2x  5x   21  3x � 2x  5x  �0 � � �� 21  3x �0 �  2x  5x  3   21  3x  � 1 �x �7 � � � �� � 1 �x  x3 �� x  143 �� So sánh với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm nửa khoảng  1;3 Kỹ thuật đặt hai ẩn phụ đưa bất phương trình ND: * Học sinh nắm vững bất phương trình cách giải BPT * Biết cách biểu diễn đa thức theo đa thức khác * Để đưa bất phương trình ta cần nhận mối liên hệ biểu thức biểu thức dấu mối liên hệ biểu thức dấu * Để dùng phương pháp ta đặt hai ẩn phụ bất phương trình thu thường bất phương trình bậc hai hai ẩn phụ Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 3x  4x   x  7x  x �3 � x  7x  �0 �  x  1  x    x   �0 � � 2 �x �1 � Giải ĐKXĐ: Bất phương trình cho tương đương với  x  2x  3   x    x  2x  x  2 Đặt x  2x   u 3u  2v  5uv x   v  u �0; v �0  ta có:  * Đây BPT bậc hai hai ẩn  * �  u  v   3u  2v   11 Xét hai trường hợp : � uv0 �x  3x   � �x  2x   x  *� �� �� 3u  2v  �  x  2x  3   x   9x  22x  35  � � �  29 x � �� �  29 x � � 2 � uv0 �x  3x   � �x  2x   x  *� �� �� 3u  2v  �  x  2x     x   9x  22x  35  � � � 11  109 11  109 x 9 Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình : �  29 � � � �3  29 � 11  109 S � 2; ; 1��� ; �� ��� � � � � � � 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Mục đích kiểm chứng sư phạm -Vận dụng phương pháp tìm lời giải toán nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua hệ thống phương pháp giải bất phương trình vơ tỷ - Kiểm nghiệm tính hiệu việc sử dụng ví dụ phương pháp giải bất phương trình vơ tỷ nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 2.4.2 Nội dung kiểm chứng sư phạm Kiểm chứng sư phạm tiến hành khoảng thời gian giảng dạy mơn tốn lớp 10 trường THPT Hậu Lộc năm học 2017-2018 2.4.3 Tổ chức kiểm chứng sư phạm * Tác giả chọn đối tượng kiểm chứng lớp 10A3 với 48 học sinh lớp đối chứng 10A9 với 47 học sinh Qua điều tra thấy trình độ lớp tương đương 12 * Tác giả dựa vào khâu "Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua hệ thống phương pháp giải bất phương trình vơ tỷ", soạn giáo án kiểm chứng trực tiếp dạy kiểm chứng sư phạm * Cho học sinh lớp dạy kiểm chứng sư phạm lớp đối chứng làm kiểm tra đề Chấm kiểm tra, thống kê điểm làm sở để đánh giá 2.4.4 Đánh giá kết kiểm chứng sư phạm 2.4.4.1 Kết định tính Qua kiểm chứng cho thấy học sinh tiếp thu tốt phương pháp giải bất phương trình vơ tỷ mà giáo viên trình bày Trong tiết học khơng khí học tập sơi hào hứng 2.4.4.2 Kết định lượng Sau thời gian thực dạy kiểm chứng, cho hai lớp làm kiểm tra sau với thời gian tiết: Câu 1: Giải bất phương trình:  2x �x  Câu 2: Giải bất phương trình:  x  1  x    x  5x  28 Câu 3: Giải bất phương trình: 3x  4x   x  7x  Nhận xét cách làm học sinh: + Lớp đối chứng có 29 học sinh mắc sai lầm sử dụng phép biến đổi tương đương sau bình phương hai vế câu Lớp kiểm chứng có 10 học sinh mắc sai lầm + Câu 2, phần lớn học sinh hai lớp làm câu + Lớp đối chứng có học sinh làm câu 3, lớp kiểm chứng có học sinh làm câu Bảng thống kê tỷ lệ % (yếu- kém, trung bình, khá- giỏi) thu sau chấm kiểm tra Bảng 1: Thống kê điểm kiểm tra Điểm 10 số Lớp kiểm chứng 10A3 1 13 12 48 Lớp đối chứng 10A9 4 12 47 * Điểm trung bình kiểm tra lớp kiểm chứng: X = 7,02 13 * Điểm trung bình kiểm tra lớp đối chứng: Y = 6,00 Bảng 2: Thống kê tỷ lệ % (yếu - kém, trung bình, - giỏi) Xếp loại(điểm ) Lớp kiểm chứng 10A3 Lớp đối chứng 10A9 Yếu - 4,17% (2 ) 17,02 %(8 ) Trung bình Khá -giỏi 56,25%(27 bài) 39,42%(19 ) 61,7%(29 ) 21,28 %(10 ) Qua cho thấy chất lượng làm kiểm tra lớp kiểm chứng cao so với lớp đối chứng Điều chứng tỏ rèn luyện kỹ giải tập toán cho học sinh bước quan trọng cần thiết 14 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Nội dung Đề tài "Rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh thơng qua việc trình bày phương pháp giải bất phương trình vơ tỷ" Qua trình nghiên cứu, từ kết thu tơi kết luận - Đề tài góp phần làm sáng tỏ nội dung: "Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh dạy học giải tập toán" - Đề tài xây dựng hệ thống phương pháp giải bất phương trình giải vơ tỷ lớp ví dụ minh hoạ cho phương pháp theo hướng rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh - Những nghiên cứu lý luận thực tiễn chứng tỏ giả thuyết khoa học Đề tài chấp nhận 3.2 Kiến nghị: không Trên sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu, không chép người khác, sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hậu lộc, tháng 05 năm 2018 Xác nhận thủ trưởng đơn vị Người thực Trần Thị Hiếu 15 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn phụ để giải toán, NXBGD, 2004 [2] Nguyễn Thái Hoè, Rèn luyện tư qua việc giải tập toán NXBGD, 1995 [3] Lê Văn Hồng (Chủ biên), Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng, Tâm lý học lứa tuổi tâm lý học sư phạm, Hà Nội, 1995 [4] Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh Đại số THPT tập 1, NXBHN, 2001 [5] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXBĐHSP, 2003 [6] G.Polia, Giải tốn nào, NXBGD, 1997 16 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trần Thị Hiếu Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn Tốn Đơn vị cơng tác: Trường THPT Hậu Lộc Cấp đánh giá TT Tên đề tài SKKN xếp loại "Rèn luyện kỹ giải toán Ngành GD cấp cho học sinh thông qua việc tỉnh; Tỉnh Thanh Kết đánh giá xếp loại C Năm học đánh giá xếp loại 2012-2013 trình bày số phương pháp Hóa giải hệ phương trình " 17 ... luyện kỹ giải toán cho học sinh Xây dựng phương pháp giải bất phương trình theo hướng rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh Xây dựng ví dụ tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.3... pháp rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh sở trình bày phương pháp giải bất phương trình, nhằm góp phần nâng cao hiệu việc dạy học môn tốn Làm rõ khâu tìm lời giải giải toán nhằm rèn luyện kỹ giải. .. "Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh dạy học giải tập toán" - Đề tài xây dựng hệ thống phương pháp giải bất phương trình giải vơ tỷ lớp ví dụ minh hoạ cho phương pháp theo hướng rèn luyện kỹ giải