(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về đường tròn cho học sinh lớp 9 trường THCS thiết ống

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS THIẾT ỐNG Người thực hiện: Trịnh Văn Đoan Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thiết Ống SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2019 MỤC LỤC NỘI DUNG Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận SKKN 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp cụ thể 2.3.2 Các bước tổ chức thực 2.3.3 Tổ chức thực + Dạng + Dạng + Dạng + Dạng + Dạng + Dạng + Bài tập vận dụng 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Trang 1 2 3 4 5 11 12 16 18 19 19 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học tự nhiên có tính trừu tượng cao, tính logic, chặt chẽ đồng thời mơn tốn cịn mơn hỗ trợ cho mơn học khác Hình học mơn học rèn luyện cho học sinh khả đo đạc, tính tốn, suy luận logíc, phát triển tư sáng tạo cho học sinh Nâng cao lực tư duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt cách tìm lời giải tập tốn mơn hình học có ý nghĩa quan trọng Việc bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10 không đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả sáng tạo mơn hình học phải biết rèn luyện lực tư trừu tượng phán đoán logic Qua thực tế giảng dạy đối tượng học sinh lớp trường THCS Thiết Ống thấy khả vận dụng kiến thức để vẽ hình, giải tập Hình học học sinh nhiều hạn chế dẫn đến giải mắc nhiều sai sót, khơng biết cách trình bày áp dụng kiến thức có liên quan cách khơng linh hoạt thiếu sáng tạo Chính giáo viên cần chuẩn bị thật kỹ lý thuyết dạng tập phù hợp với học sinh, để vừa có điều kiện ôn lại kiến thức vừa giúp học sinh phát triển tốt tư duy, thuật giải,…Trong chương trình mơn Hình học THCS, đặc biệt lớp tốn đường trịn dạng khó, có nhiều ứng dụng thực tế kì thi Với kinh nghiệm thân, qua thực tế giảng dạy với học hỏi đồng nghiệp xin giới thiệu đề tài: “Rèn luyện kĩ giải tốn đường trịn cho học sinh lớp trường THCS Thiết Ống” 1.2 Mục đích nghiên cứu a Đối với giáo viên: - Tìm giải pháp, hình thức dạy học bồi dưỡng nhằm đạt hiệu cao - Nâng cao trình độ chuyên môn cụ thể thành thạo kĩ giải tốn đường trịn phục vụ cho q trình giảng dạy - Làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b Đối với học sinh: - Giúp học sinh học tập môn tốn nói chung việc giải tốn đường trịn nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học môn toán giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến đường trịn - Kích thích mạnh mẽ ý thức tự giác, lịng say mê ý chí vươn lên học tập, tu dưỡng học sinh nói chung - Gây hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự khai thác giải số tập - Giúp học sinh có ý thức khai thác tốn vận dụng thành thạo phương pháp để giải tập - Thông qua việc giải tốn đường trịn giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học tốn học tốt phần tốn đường trịn 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các kĩ giải tốn đường trịn cho học sinh lớp - Đề tài áp dụng cho học sinh lớp dạy, luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối năm, kỳ thi học sinh giỏi thi tuyển vào THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu a Phương pháp nghiên cứu lí luận Thông qua tài liệu: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập, sách tham khảo, số vấn đề phát triển toán Các chuyên đề bồi dưỡng toán THCS, nâng cao phát triển Toán 9, phương pháp giải tốn hình học 9, 300 tốn trắc nghiệm tự luận đường tròn lớp 9, tốn tổng hợp đường trịn, báo tốn học tuổi trẻ b Phương pháp kiểm tra Qua kiểm tra trắc nghiệm tự luận học sinh để nắm bắt kiến thức, kĩ việc giải tốn đường trịn học sinh lớp Đặc biệt lưu ý tới sai lầm thiếu sót mà học sinh thường mắc phải q trình giải tốn hình học c Phương pháp thực nghiệm sư phạm Thông qua việc giảng dạy hàng ngày thân kết học tập học sinh việc ứng dụng học sinh để làm tập d Phương pháp phân tích, tổng hợp Từ thực tế giảng dạy, làm học sinh, khóa học để phân tích kĩ điểm thiếu sót, lập luận chưa chặt chẽ học sinh Thông qua trao đổi kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp để tổng hợp lại giảng chi tiết nhất, cụ thể để cung cấp cho học sinh cách hiệu 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm  Hoạt động dạy học nhà trường tiến hành kế hoạch cụ thể chi tiết Tốn học mơn học khó, học sinh học vận dụng vào giải tập cần có linh hoạt bài, trường hợp Hình học hai mơn Tốn, trừu tượng hình vẽ, rắc rối suy luận nên yêu cầu học sinh phải chăm luyện tập Do đại đa số học sinh ngại học mơn Hình Các tốn đường trịn phần nhỏ Hình học THCS lớp 9, phần lí thuyết ngắn gọn vận dụng vào giải dạng tập vơ vàn, mà dạng tốn áp dụng SGK SBT ít, khơng đáp ứng yêu cầu học tập rèn luyện học sinh, đòi hỏi học sinh phải tự mua sách nghiên cứu sách nâng cao nhà Khi gặp dạng tập khơng có lời giải dẫn chi tiết, việc làm làm cho học sinh thụ động chán nản, không muốn tự tìm tịi suy luận Chính vấn đề đặt làm mà tiết học đường tròn, giáo viên cần khắc sâu kiến thức trọng tâm cho học sinh, để em nắm kiến thức Có tiết học phong phú chất lượng Mơn Hình học có khả giúp học sinh rèn luyện óc trừu tượng, khả tư xác việc tìm kiến thức Có tác dụng rèn luyện cho học sinh phương pháp thực hành, phương pháp suy luận, phương pháp xử lí thơng tin, tính cần cù chịu khó q trình học tập mơn Vì để học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức nâng cao chất lượng học tập học sinh chọn đề tài 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm  a Thực trạng chung Tốn học mơn học công cụ đắc lực thiếu để hổ trợ cho môn khoa học khác giải vấn đề thực tế Việc giúp học sinh nắm vững kiến thức vận dụng toán học vào thực tế riêng thầy giáo, giáo Chương trình tốn THCS giúp học sinh giải nhiều vấn đề thực tế Trong chương trình tốn THCS nhiều dạng tốn mang tính áp dụng cao, sở để ứng dụng giải toán liên quan Trong đó có mợt dạng toán liên quan giải tốn đường trịn là rất khó đới với học sinh THCS Trên thực tế kiến thức về đường tròn chỉ dừng lại ở khái niệm chứ không sâu vì thế gặp mợt bài toán khó về đường trịn thì học sinh không có phương hướng để giải quyết Tuy nhiên việc hệ thống hóa dạng tập phương pháp giải dạng toán liên quan đến đường tròn chưa giáo viên thực ý quan tâm Vì lí kĩ giải tốn đường trịn cho học sinh lớp mức yếu kém, lúng túng, gặp nhiều khó khăn tìm huớng giải đắn Giải tốn đường trịn tốn khó phạm vi kiến thức rộng đặc biệt với học sinh lớp 9, dạng toán đường tròn thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 THPT b Đối với giáo viên Qua thực tế dạy học sinh lớp tham khảo ý kiến đồng nghiệp tơi thấy gặp tốn đường trịn thường có khó khăn sau: - Các dạng tốn đường trịn dạng tốn khó phạm vi kiến thức rộng nên dạy nhiều lúng túng - Giáo viên dạy đường trịn chữa tập xong, khai thác, phân tích, mở rộng tốn, đến học sinh gặp tốn khác chút khơng có phương pháp giải nên không giải - Khi dạy loại toán giáo viên chưa đưa phương pháp cụ thể việc giảng dạy cịn mang tính chất thụ động - Khơng đưa sửa chữa sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải toán c Đối với học sinh Các em giải toán đường trịn thường lúng túng, khơng biết đâu, chưa định hình phương pháp giải nên đa số em thường học không hứng thú học tập Học sinh thường ngại học Hình học tốn đường trịn khơng biết vẽ hình, kiến thức khơng liền mạch, phương pháp giải hạn chế Kết khảo sát trước thực đề tài năm 2017 - 2018 Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Sĩ Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 9A 36 5,5 16,7 18 50 10 27,8 0% Vì phát triển lực tư lơgíc, óc trừu tượng cho học sinh thơng qua việc giải tốn đường tròn cần thiết Trong năm giảng dạy thực tế trường THCS Thiết Ống tơi tích luỹ số kiến thức kinh nghiệm kĩ giải tốn đường trịn 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp cụ thể - Ra đề cho học sinh làm kiểm tra khảo sát để đánh giá chất lượng học sinh kiến thức giải tốn đường trịn - Cung cấp toàn kiến thức cho học sinh - Điều tra mức độ hứng thú học giải tốn đường trịn học sinh - Nghiên cứu, phân loại dạng tập cho phù hợp với đối tượng học sinh phần kiến thức cụ thể - Hệ thống toán theo dạng đưa toán từ dễ đến khó, sau giảng giải cụ thể cho học sinh dạng để từ học sinh nắm vững kiến thức cách vận dụng vào giải toán tương tự - Gây hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải số tập - Thực dạy theo phương pháp đổi mới, sử dụng tối đa đồ dùng dạy học - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải toán đường trịn q trình dạy học 2.3.2 Các bước tổ chức thực - Phân dạng toán đường tròn nhằm nâng cao chất lượng học sinh - Tham khảo tài liệu biện soạn đưa dạng từ dễ đến khó - Trao đổi với đồng nghiệp bạn bè để hoàn thiện dạng toán phương pháp giải để hồn thiện giảng 2.3.3 Tổ chức thực Để học sinh nắm vững dạng toán hình học lớp có kĩ giải thành thạo dạng, q trình giảng dạy tơi phân tốn hình học lớp thành dạng để dạy cho học sinh sau: Dạng Bài tập vận dụng tính chất đường trịn Ứng dụng tính chất đường trịn Xem xét sử dụng tính chất đường trịn (lớp 9) quan hệ đường kính dây cung; dây cung khoảng cách đến tâm để chứng minh hai đường thẳng vng góc, so sánh hai đoạn thẳng Sử dụng đường kính dây cung lớn đường trịn để xác định vị trí đường thẳng, điểm, có hình đặc biệt áp dụng để giải toán cực trị Bài toán áp dụng Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt dường kính AB Gọi H K theo thứ tự chân dường vuông góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh rằng: CH = DK Hướng dẫn: Theo giả thiết ta có: AH  CD BK  CD C H D M K nên AH//BK suy AHKB hình thang Kẻ OM  CD M  MC=MD (1) (Định lí A O B quan hệ vng góc đường kính dây) Xét hình thang AHKB có: OA=OB=R; OM//AH//BK (cùng vng góc với CD)  OM đường trung bình hình thang  MH=MK (2) Từ (1) (2) suy ra: CH = DK Bài Cho (O) dây AB khơng đường kính Gọi M trung điểm AB Qua M vẽ dây CD không trùng với AB Chứng minh rằng: a) M không trung điểm CD; b) AB < CD Hướng dẫn: a) Vì MA = MB nên OM  AB Giả sử MC = MD suy OM  CD Điều vơ lí qua điểm M có đường thẳng vng góc với OM Vậy điều giả sử sai, M khơng trung điểm CD b) Vẽ OH  CD, OH < OM (cạnh góc vng nhỏ cạnh huyền) Suy CD > AB hay AB < CD C O H A B M D Bài tập tương tự: Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Lấy điểm C nửa đường tròn cho  ABC = 300 Gọi P giao tiếp tuyến A với nửa đường tròn đường thẳng BC Chứng minh PA  PC.PB Bài Cho (O; R) điểm M đường trịn Hãy dựng dây AB qua M cho góc AOB nhỏ Dạng Bài tập tiếp tuyến đường tròn Ứng dụng tiếp tuyến - Từ tính chất tiếp tuyến, hai tiếp tuyến cắt ta đường thẳng vng góc, cặp đoạn thẳng cặp góc nhau; từ ta xây dựng hệ thức cạnh, góc - Vận dụng tính chất tiếp tuyến HS vận dụng vào tam giác tìm cơng thức tính diện tích đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp đường trịn bàng tiếp tam giác, bán kính Lưu ý : Chứng minh AX tiếp tuyến (O;R) làm theo cách sau: E A  (O; R)  OAX = 900 Khoảng cách từ O đến AX R Nếu X nằm phần kéo dài O F EF XA = XE.XF (xem hình) X A Bài tốn áp dụng Bài Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ đường kính AOB; AO’C Gọi DE tiếp tuyến chung đường tròn; D(O); E (O’) Gọi M giao điểm BD CE a) Tính số đo góc DAE b) Tứ giác ADME hình ? c) Chứng minh MA tiếp tuyến chung hai đường tròn Hướng dẫn : a) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường tròn qua A cắt tiếp tuyến chung DE F Dựa vào tính chất tiếp tuyến ta có FA = FD = FE Vậy  DAE tam giác vuông O A O' C B A hay  DAE = 900 b) Tứ giác ADME có Dˆ = Aˆ = Eˆ = 90 nên E hình chữ nhật F D c) Từ câu b) AM qua trung điểm DE hay AM trùng với AF nên AM tiếp M tuyến chung hai đường tròn Chú ý : - Với tập cho trước hai đường tròn tiếp xúc nhau, ta nên lưu ý đến tiếp tuyến chung chúng Nó thường có vai trị quan trọng lời giải - Với tập hỏi: - CMR:  OFO’ góc vng - DE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác OFO’ - Các tia AD AE cắt (O) (O’) H; K Chứng minh: SAHK = SADE Bài Gọi a, b, c số đo cạnh tam giác ABC, r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Tính diện tích tam giác theo p r, p nửa chu vi tam giác Hướng dẫn : Gọi D, E, F tiếp điểm A Theo tính chất tiếp tuyến: OD = OF = OE = r Nên : SABC = SABO + SBCO + SACO SABC = ( a + b + c).r = pr E F O Vậy S = pr B D C Từ tập tính: Bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác vuông, tam giác theo cạnh tam giác Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo cạnh a , b, c tam giác Bài tập tương tự: Bài Cho tam giác ABC vuông A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; d tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt d theo thứ tự D E a) Tính góc DOE? b) Chứng minh : DE = BD + CE c) Chứng minh : BD.CE = R2 (R bán kính đường tròn tâm O) d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn có đường kính DE Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB=2R, M di động nửa đường tròn (O) (M khác A B) Kẻ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB H Từ A B kẻ hai tiếp tuyến AC BD với (M), C D hai tiếp điểm a) Chứng minh điểm C, M, D thẳng hàng CD tiếp tuyến (O) b) Gọi K giao điểm AB CD; K B nằm phía với A Xác định vị trí M để OK+2OH nhỏ Dạng Bài tập loại góc đường trịn Kiến thức: Học sinh sử dụng định nghĩa, tính chất góc nội tiếp, góc tâm, để tìm số đo, chứng minh góc nhau, … Bài tập áp dụng Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Điểm C thuộc nửa đường tròn nửa mặt phẳng với Ax với bờ AB Phân giác góc CAx cắt đường tròn E, cắt BC D Chứng minh: a) Tam giác ABD cân b) H giao điểm BC DE Chứng minh DH  AB c) BE cắt Ax K Chứng minh tứ giác AKDH hình thoi Hướng dẫn : a) AD phân giác hai cung AE CE Dựa vào góc nội tiếp ta dễ dàng chứng D x minh BE vừa phân giác vừa đường cao tam giác ABD, nên ABD cân đỉnh B K C E b) Dựa vào góc chắn nửa đường trịn Ta thấy H trực tâm ABD nên DH  AB H c) Ta thấy KE = HE (vẽ AKH cân đỉnh A) AE = DE ( ABD cân đỉnh B) ADKH, nên tứ giác AKDH hình thoi A O B * Khai thác toán : - Chứng minh OE  AC - Tìm vị trí C cung AB để ABD Bài Cho tam giác ABC có góc nhọn Đường trịn (O) có đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD a) Chứng minh : AI  BC b) Chứng minh :  IDE =  IAE c) Cho  BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE tam giác Hướng dẫn: a) Dựa vào tính chất góc chắn nửa đường trịn, ta chứng minh I trực tâm  ABC nên AI  A BC b)  IAE =  EBC (góc có cạnh tương ứng vng góc) D  EBC = EDC (cùng chắn cung EC) I Từ hai điều suy điều chứng minh c)  BAC = 600   DBE = 300 (cùng chắn cung DE) B O E C   Sđ DE = 600   DOE = 600 (góc tâm) mà tam giác DOE cân đỉnh O nên DOE tam giác Bài tập tương tự: Bài Cho A điểm cố định đường tròn (O) M điểm di động đường trịn N giao AM với đường kính cố định BC Chứng minh giao điểm đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN cố định Bài Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) Chứng minh rằng: a) R = a b c   2SinA 2SinB 2SinC b) R = abc 4S  (Từ tập tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vng, tam giác đều.) Dạng Bài tập tứ giác nội tiếp đường tròn Kiến thức: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn theo cách sau : - Chứng minh tổng hai góc đối diện tứ giác 1800 - Chứng minh hai điểm nhìn hai điểm cịn lại góc - Tứ giác ABCD có AC cắt BD M mà MA.MC = MB.MD tứ giác ABCD nội tiếp - Tứ giác có hai cạnh bên AB CD giao M mà MA.MB = MC.MD tứ giác ABCD nội tiếp Bài toán áp dụng: Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh rằng: AC.BD = AB.DC + AD.BC Hướng dẫn : Giả sử  ACD >  ACB A Lấy E BD cho  ACB =  DCE B  ABC  DEC  AB.DC = AC.DE O  ADC  BEC  AD.BC = AC.BE E Cộng vế hai đẳng thức suy điều chứng C minh D Bài Cho tam giác ABC có góc nhọn với đường cao BD, CE a) Chứng minh BEDC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: AD.AC = AE.AB c) Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: Ax // ED Hướng dẫn: a) D, E nhìn BC góc 900 nên tứ giác BEDC nội tiếp A b) Hai tam giác vuông ABD ACE đồng dạng x D Suy ra: AD.AC = AE.AB E O c)  xAB =  ACB (cùng chắn cung AB)  AED =  ACB (cùng phụ với  BED) C B Nên  xAB =  AED Suy Ax // ED Khai thác toán : Với giả thiết tốn khai thác toán theo nhiều hướng nhiều câu hỏi : - Kéo dài đường cao BD, CE, AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D’, E’, F’ Chứng minh : + H tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’F + H đối xứng với D’, E’, F’ qua AC, AB, BC + ED // E’D’ + OA  E’D’ 10 + Các đường tròn tam giác: HAB , HBC, HCA có bán kính + SABC = abc 4R - Vẽ hình bình hành BHCK, I trung điểm BC Chứng minh: + Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm đường tròn (O) + BAˆH = OAˆC H, I, K thẳng hàng + AH // OI ; AH = 2.OI Nếu B, C cố định A di động bán kính đường trịn ngoại tiếp  ADE khơng đổi + Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH M A, B, C, K, M nằm đường tròn Bài tập tương tự: Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O); E điểm cung AB, hai dây EC, ED cắt AB P Q Các dây AD EC kéo dài cắt I, dây BC ED kéo dài cắt K Chứng minh rằng: a) Tứ giác CDIK nội tiếp b) Tứ giác CDQP nột tiếp c) IK // AB d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA Bài Cho đường trịn (O;R) đường kính AB, C điểm đường kính AB Trên đường trịn lấy điểm D M trung điểm cung DB MC cắt đường tròn E, DE cắt AM K Vẽ đường thẳng qua C song song AD cắt DE F Chứng minh: a) Tứ giác AKCE nội tiếp b) CK//BD c) CK  AD d) Tứ giác CBEF nội tiếp Dạng Hệ thức hình học Bài Trên cung BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P tuỳ ý Các đoạn thẳng AP BC cắt điểm Q Chứng minh rằng: 1   PQ BP CP Hướng dẫn: Cách giải 1: (Hình 1) Trên đoạn AP lấy hai điểm N M cho BN = BP PM = PC Khi ta có tam giác BNP tam giác MPC tam giác cân Vì  APB =  ACB = 600  MPC =  ABC = 600 (Các góc nội tiếp chắn cung) Suy tam giác BNP tam giác MPC tam giác Xét  CQP  BQN có:  BQN =  CQP (hai góc A N O M B C Q P Hình 11 đối đỉnh)  BNQ =  CPQ = 600 Suy ra:  CQP   BQN  1 =  CP PQ BP CP BN BN BN - PQ = = =  PQ NQ BN - PQ CP PQ.BN 1   PQ BP CP Cách giải 2: (Hình 2) PQ QC = PB AC PQ BQ = ∆PCQ ∆BAQ (g-g)  PC AB PQ PQ QC BQ + = + Do đó: PB PC AC AB 1 1    PQ( + ) =  PQ BP CP PB PC ∆PBQ ∆CAQ (g-g)  A O B Q C P Hình * Nhận xét: Từ tốn trên, giáo viên cần yêu cầu học sinh khái quát nên toán sau tự giải: Bài Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R), P điểm chuyển động cung BC không chứa A Xác định vị trí P để tổng 1 = + đạt giá trị PA PB PC nhỏ Bài Cho BC dây cung cố định (O;R), (BC ≠ 2R), A điểm chuyển động cung lớn BC, P điểm chuyển động cung nhỏ BC Xác định vị trí điểm A P để tổng 1 = + đạt giá trị nhỏ PA PB PC Dạng Bài tập tổng hợp Ở phần sử dụng số định nghĩa tính chất đường tròn, yếu tố liên quan để giải đáp số toán Ở phần nâng cao khả giải toán toán tổng hợp dạng toán dựa kiến thức học tư trừu tượng Vì để giải tốn u cầu: - Đối với giáo viên: phải nắm vững kiến thức, vận dụng kiến thức linh hoạt từ dễ đến khó để truyền đạt giải đáp cho học sinh - Đối với học sinh: nắm vững kiến thức bản, biết đọc vẽ hình, chịu khó tư lập luận để giải toán liên quan Các câu hỏi thường gặp toán hình: - Chứng minh: Nhiều điểm nằm đường tròn (đặc biệt điểm nằm đường tròn hay chứng minh tứ giác nội tiếp) - Chứng minh hai đường thẳng song song, vng góc với 12 - Chứng minh đẳng thức hình học - Chứng minh điểm cố định - Nhận biết hình hình gì? (có thể tam giác cân, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật,…) Lưu ý: Khi chứng minh tứ giác hình thang cân khơng chứng minh hình thang có hai cạnh bên - Chứng minh đường thẳng đồng quy; hay nhiều điểm thẳng hàng - Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn, tiếp tuyến chung hai đường trịn - Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt - Tốn cực trị hình học - Tốn đại lượng hình học: đoạn thẳng, cung, góc, chu vi, diện tích… Trong câu hỏi tùy theo mà câu hỏi cho có lơgíc câu thứ nhất, thứ hai câu sau Thông thường kết câu giả thiết để chứng minh câu dưới, cần vẽ thêm đường phụ để toán trở nên đơn giản Bài tập vận dụng Bài Cho đường tròn (O) dây cung AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngồi đường trịn Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ, cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I Các dây AB QI cắt K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp đường tròn b) Chứng minh CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC tia phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB d) Cố định A, B, C Chứng minh đường tròn (O) thay đổi qua A, B đường thẳng QI ln qua điểm cố định Hướng dẫn: a) Ta có: PQ  AB   PDK = 900 P  PIK =  PIQ = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) I Vậy tứ giác PDIK nội tiếp đường tròn đường kính PK O b) Hai tam giác vng CIK CDP đồng dạng Từ suy ra: A C D K B CI CK   CI CP  CD.CK CD CP Q c) Ta có:  AIQ =  BIQ (góc nội tiếp chắn cung nhau) Suy IQ tia phân giác I tam giác AIB 13 Do IC  QI nên IC phân giác I tam giác AIB d) Theo câu b) ta có: CI.CP = CK.CD (1) Đồng thời ta thấy hai tam giác CIB CAP đồng dạng (vì có  IBC =  APC bù góc ABI) Từ suy ra: CI CA   CI CP  CA.CB CB CP Từ (1) (2) suy ra: CK.CA.CB  (2) CK  CA.CB CD Do A, B, C cố định nên D cố định Do CK có độ dài khơng đổi K điểm cố định Vậy đường thẳng QI qua điểm cố định K Bài Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự đó) Một đường trịn (O) thay đổi qua B C Từ điểm A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng MN cắt AO BC H K a) Chứng minh điểm O, M, N, I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn (O) thay đổi c) Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm P Q (P nằm A O) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Hướng dẫn: a) Vì I trung điểm BC nên: OI  BC   OIA = 900 Ta có:  AMO =  ANO = 900 (do AM, AN tiếp tuyến (O)) Suy điểm O, M, N, I thuộc đường trịn đường kính AO M H P O Q D A B E K I C N b) AM, AN hai tiếp tuyến căt A nên OA tia phân giác góc MON mà  OMN cân O nên OA  MN  ABN đồng dạng với tam giác  ANC (vì  ANB =  CAN góc CAN chung) suy ra: AB AN   AB AC  AN AN AC  ANO vuông N đường cao NH nên ta có: AH.AO = AN2 Suy ra: AB.AC = AH.AO  AHK đồng dạng với  AIO (vì  AHK =  AIO = 900  OAI chung) suy ra: AH AK   AH AO  AI AK AI AO 14  AI.AK = AB.AC  AK  AB AC AI (khơng đổi) Ta có A, B, C, I cố định nên điểm K cố định Vậy điểm K cố định đường trịn (O) thay đổi c) Ta có  PMQ = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét  MHE  QDM có:  MEH =  DMQ (cùng phụ với góc DMP)  EMH =  MQD(cùng phụ với góc MPO) ME MH MP MH  MHE đồng dạng với  QDM  MQ  DQ MH MP ME  PMH đồng dạng với  MQH  MQ  HQ  DQ  MQ  MQ  ME = 2MP  P trung điểm ME Bài Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB cát tuyến SCD đường trịn a) Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S, A, E, O, B nằm đường tròn b) Nếu SA = OA SAOB hình gì? Tại ? c) Chứng minh AC.BD = BC.DA = AB.CD Hướng dẫn: a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến, ta có A, B nhìn SO góc vng, nên tứ giác SADO nội tiếp đường trịn đường kính SO ˆ = 900 Nên Dựa vào tính chất đường kính vng góc với dây cung, ta có SEO E thuộc đường trịn đường kính SO b) Nếu SA = OA SA = AB = OA = OB góc A vng nên tứ giác SAOB hình vng c) Ta thấy: AC SC = DA SA ∆SAC ∆SDA  ∆SCB BC SC = ∆SBD  BD SB A K E C D S O AC BC = Mà SA = SB  AD BD  AC.BD = AD.BC (1) B Trên SD lấy K cho  CAK =  BAD lúc đó: ∆CAK ∆BAD (g-g)  AC.DB = AB.CK 15 ∆BAC ∆DAK (g-g)  BC.AD = DK.AB Cộng vế ta AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK ) = AB.CD (2) Từ (1) (2) suy ra: AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD= AB.CD (đpcm) Bài Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M (M khơng trùng với B, C, H); từ M kẻ MP, MQ vng góc với cạnh AB AC a) Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp b) Chứng minh MP + MQ = AH c) Chứng minh OH  PQ Hướng dẫn: a) Ta có: MP  AB (gt)  APM = 900; MQ MQ  AC (gt)  AQM = 900 A  APM + AQM = 1800  Tứ giác APMQ nội tiếp đường trịn đường kính AM O b) Ta có: SABC = BC.AH; SABM = AB.MP; AC.MQ SACM = P Q B Mặt khác: SABM + SACM = SABC  H M C 1 AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2  AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều)  MP + MQ = AH c) Tam giác ABC có AH đường cao nên đường phân giác  HAP = HAQ => HP= HQ( tính chất góc nội tiếp)  HOP = HOQ (t/c góc tâm)  OH tia phân giác góc POQ Mà tam giác POQ cân O ( OP OQ bán kính) nên suy OH đường cao  OH  PQ Bài tập vận dụng: Bài Cho tam giác ABC, có góc A nhọn, nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Hai đường cao BI CJ cắt đường tròn P, Q a) Chứng minh IJ//PQ b) Chứng minh OA  IJ c) Cho B, C cố định, A di chuyển vung lớn BC đường trịn (O) Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AIJ khơng đổi 16 Bài Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O Các đường cao BD CE tam giác ABC cắt H Gọi K giao điểm DE với CB a) Chứng minh: Tứ giác BCDE nội tiếp b) Chứng minh: KB.KC = KE.KD c) Gọi M trung điểm BC, AK cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Chứng minh: Ba điểm M, H, N thẳng hàng Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C trung điểm OA, qua C kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt đường trịn hia điểm phân biệt M N Trên cung nhỏ BM lấy điểm K (K khác B M), tia KN lấy điểm I cho KI = KM Gọi H giao điểm AK MN Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) AK.AH = R2 c) NI = BK Bài Cho đường trịn (O) bán kính R đường thẳng d cắt (O) C, D Một điểm M di động d cho MC > MD ngồi đường trịn (O) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB Gọi H trung điểm CD giao AB với MO, OH E, F Chứng minh rằng: a) OE.OM = R2 b) Tứ giác MEHF nội tiếp c) Đường thẳng AB qua điểm cố định Bài Cho đường trịn (O) bán kính R, dây AB cố định (AB < 2R) điểm M cung lớn AB (M khác A, B) Gọi I trung điểm dây AB (O’) đường tròn qua M, tiếp xúc với AB A Đường thẳng MI cắt (O), (O’) giao điểm thứ hai N, P Chứng minh rằng: a) IA2 = IP.IM b) Tứ giác ANBP hình bình hành c) IB tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác MBP d) Khi M di chuyển trọng tâm G tam giác PAB chạy cung tròn cố định Bài Cho hai đường tròn (O ; R) (O’ ; R’) tiếp xúc A (R > R’) Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) (O’) theo thứ tự B C (B C khác A) EF dây cung đường trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đường tròn (O’) D a) Tứ giác BECF hình gì? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng c) CF cắt đường tròn (O’) G Chứng minh ba đường thẳng EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’) 17 Bài Cho (O) cắt (O’) A B Kẻ cát tuyến chung CBD  AB ( C (O) D (O’).) a) Chứng minh A, O, C A,O’, D thẳng hàng b) Kéo dài CA DA cắt (O’) (O) theo thứ tự I K Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp c) Chứng minh BA, CK DI đồng quy Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AO cắt nửa đường tròn cho D Trên cung BD lấy điểm M (M khác B M khác D) Tiếp tuyến nửa đường tròn cho M cắt đường thẳng CD E Gọi F giao điểm AM CD a) Chứng minh tam giác EMF tam giác cân b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng c) Chứng minh góc ABI có số đo khơng đổi M di chuyển cung BD 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với thân, với đồng nghiệp nhà trường Trước kia, chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy đại đa số học sinh nắm chưa vững kiến thức nên phần lớn áp dụng vào giải tốn cịn hạn chế Sau thực áp dụng phương pháp đổi mới: lấy học sinh làm trung tâm, học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, vận dụng vào giải số dạng tập liên quan chất lượng học sinh bước cải thiện nâng cao rõ rệt Đặc biệt vận dụng đưa đề tài vào dạy tiến hành thực giảng dạy học sinh khối trường THCS Thiết Ống, chất lượng có nhiều chuyển biến tích cực Kết khảo sát sau thực đề tài cuối năm học 2017 - 2018 Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Sĩ Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 9A 36 16,7 12 33,3 18 50 0 0 Qua kết thống kê cho thấy việc áp dụng đề tài “Rèn luyện kĩ giải toán đường tròn cho học sinh lớp trường THCS Thiết Ống” học theo nội dung phương pháp phù hợp với quan điểm dạy học đem lại kết khả quan Để đạt kết mong muốn, giáo viên đứng lớp phải thực tâm huyết, quan tâm đến vấn đề nội dung phương pháp dạy học Tốn nói chung Hình học nói riêng Giáo viên phải thực thấu hiểu chất đơn vị kiến thức Tóm lại thiết kế dạy công việc thường xuyên quan trọng giáo viên trước lên lớp Giáo án định thành công dạy “Sự hình dung trước công việc” mà giáo viên tổ chức cho học sinh tìm hiểu học tập, tiếp nhận lớp KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18 3.1 Kết luận Sau trình nghiên cứu trực tiếp giảng dạy thực nghiệm đề tài “Rèn luyện kĩ giải toán đường tròn cho học sinh lớp trường THCS Thiết Ống” nhận thấy: Qua việc giảng dạy theo tinh thần sáng kiến học sinh có tiến rõ rệt thể điểm sau: học sinh biết suy ngẫm trước tốn đường trịn từ đơn giản đến phức tạp, đưa toán đường trịn phức tạp sử dụng dạng đơn giản có sẵn để giải cách thành thạo, linh hoạt Giúp trang bị số phương pháp giải, bổ sung kiến thức cịn thiếu hụt sai xót Quan trọng tạo hứng thú cho em tìm tịi, sáng tạo, áp dụng tốn học vào đời sống thực tế Do chất lượng học tốn học sinh nâng lên rõ rệt Tỷ lệ học sinh giỏi tăng lên Đề tài cịn kích thích ham mê học toán học sinh đặc biệt hình học, phát huy tính linh hoạt, chủ động sáng tạo tự tin học tập sống 3.2 Kiến nghị a Đối với giáo viên Phần loại toán tương đối phức tạp, đa dạng cần có tư tốt, kỹ vận dụng tương đối linh hoạt học sinh hiểu sâu rộng vấn đề Bởi trình truyền đạt kiến thức cho học sinh, thân giáo viên phải trang bị thật chu đáo, tỉ mỷ, rõ ràng đơn vị kiến thức bản, thể loại tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất vận dụng tốt vào giải toán Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, trân trọng suy nghĩ, ý kiến phát biểu sáng tao nhỏ em để có tác dụng động viên khích lệ, kích thích khả tự tìm tịi nghiên cứu em Giáo viên cần thường xuyên kiểm tra đánh giá kết học tập em Từ mà bổ xung thiếu sót, sai lầm kiến thức, phương pháp kịp thời Phải có kế hoạch phân chia chuyên đề cụ thể Dạy sâu, kết hợp logic dạng toán khác b Đối với nhà trường Phải kết hợp tốt lực lượng giáo dục: Nhà trường - gia đình xã hội tham gia kèm cặp, giúp đỡ em Tăng cường sở vật chất, bố trí phịng học mơn để thuận tiện cho giáo viên ứng dụng công nghệ thông tin giảng dạy Thư viện trường cần có thêm nhiều tài liệu tham khảo, đặc biệt chuyên đề phân môn Hình học Tạo điều kiện thời gian, khơng gian, tổ chức chuyên đề cấp trường để giáo viên áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy c Đối với phòng giáo dục đào tạo 19 Tổ chức chuyên đề phương pháp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, phụ đạo học sinh yếu kém, đặc biệt phát huy phương pháp dạy học sáng tạo theo tinh thần đổi Triển khai sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng hiệu đến với giáo viên, để từ áp dụng vào cơng tác giảng dạy Hồn thành đề tài này, việc nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy, tơi cịn giúp đỡ đồng nghiệp, đặc biệt bảo tận tình của Ban giám hiệu Nhưng với thời gian lực thân có hạn, đề tài khơng tránh khỏi sai sót Rất mong giúp đỡ, góp ý bạn đồng nghiệp, thầy giáo để tơi rút kinh nghiệm trình giảng dạy Trên vài kinh nghiệm nhỏ giảng dạy “Rèn luyện kĩ giải tốn đường trịn học sinh lớp trường THCS Thiết Ống”, có lẽ khơng tránh khỏi thiếu sót Song tơi xin phép trình bày sáng kiến với tinh thần mong muốn góp ý cấp lãnh đạo ngành, giao lưu, học hỏi đồng nghiệp nhằm bổ sung kinh nghiệm khắc phục thiếu sót để phương pháp ngày hồn thiện đạt hiệu cao Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN Thiết Ống, ngày 28 tháng năm 2019 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Hà Văn Chinh Trịnh Văn Đoan 20 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải nhiều cách toán lớp - Tác giả: Nguyễn Đức Tấn NXB giáo dục Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học - Nguyễn Đức Tấn - NXB giáo dục Cẩm nang vẽ thêm hình phụ giải tốn hình học phẳng - Nguyễn Đức Tấn - NXB tổng hợp TP HCM Tuyển chọn chuyên đề Toán học tuổi trẻ- NXB giáo dục Giáo trình Thực hành giải tốn tập - NXB ĐHSP Những toán tổng hợp đường tròn lớp - Nguyễn Tiến Quang NXB giáo dục Nâng cao phát triển toán tập - NXB giáo dục Tuyển tập toán hay khó hình học - NXB giáo dục 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trịnh Văn Đoan Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THCS Thiết Ống TT Tên đề tài SKKN Phương pháp hướng dẫn học sinh giải tốn hình học trường THCS Khai thác phát triển toán từ tập Khai thác phát triển toán từ bất đẳng thức Khai thác phát triển toán từ bất đẳng thức Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại Huyện C 2007-2008 Huyện C 2013-2014 Huyện B 2014-2015 Tỉnh C 2014-2015 22 ... chất lượng học sinh kiến thức giải toán đường trịn - Cung cấp tồn kiến thức cho học sinh - Điều tra mức độ hứng thú học giải toán đường tròn học sinh - Nghiên cứu, phân loại dạng tập cho phù hợp... kĩ giải tốn đường tròn cho học sinh lớp mức yếu kém, lúng túng, gặp nhiều khó khăn tìm huớng giải đắn Giải toán đường trịn tốn khó phạm vi kiến thức rộng đặc biệt với học sinh lớp 9, dạng tốn đường. .. tốn đường trịn giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học tốn học tốt phần tốn đường trịn 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các kĩ giải tốn đường trịn cho học sinh lớp - Đề tài áp dụng cho học sinh lớp