Phát triền năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học giải phương trình vô tỷ

Thực trạng của việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 THPT qua dạy học giải bài tập.. - Hệ thống các dạng bài toán về giải phương trình vô tỷ để phát tr

HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI - 2019

HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học

ThS Dương Thị Hà

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày các nội dung chính của bài khóa luận, em xin bày

tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung và các thầy cô tổ phương pháp dạy học Toán nói riêng đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ của khóa học và khóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc của mình

tới ThS Dương Thị Hà, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em để hoàn

thành tốt bài khóa luận này

Do thời gian, năng lực của bản thân và điều kiện còn rất nhiều hạn chế nên bài khóa luận tốt nghiệp này không thể tránh khỏi những sai sót không mong muốn Vì vậy, em rất mong nhận được sự thông cảm, đóng góp ý kiến quý báu của các thầy cô trong tổ và các bạn sinh viên để đề tài này của em được hoàn thiện tốt hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 6 tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Phạm Thị Lánh

LỜI CAM ĐOAN

Bài khóa luận này được hoàn thành sau quá trình tìm hiểu, nghiên cứu

của bản thân cùng với sự giúp đỡ và hướng dẫn của ThS Dương Thị Hà

Trong bài khóa luận này em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của một số nhà khoa học trong nước và nước ngoài Em xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong bài khóa luận này hoàn toàn là trung thực và không được sao chép từ bất kì một bài khóa luận nào khác

Hà Nội, ngày 6 tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Phạm Thị Lánh

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG 3

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1.1 Cơ sở lí luận 3

1.1.1 Khái niệm năng lực tư duy và lập luận toán học 3

1.1.2 Dạy học theo tiếp cận năng lực 6

1.2.1 Thực trạng của việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 THPT qua dạy học giải bài tập 14

1.2.2 Thực trạng dạy học nội dung phương trình vô tỷ cho học sinh lớp 10 THPT 16

KẾT LUẬN CHƯƠNG I 17

Chương 2: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 18

2.1 Mục tiêu dạy học phương trình vô tỷ 18

2.2 Nội dung phương trình vô tỷ trong Toán 10 THPT 18

2.3 Xây dựng các bài tập về phương trình vô tỷ nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học 21

2.3.1 Các phương pháp giải phương trình vô tỷ 21

2.3.2 Hệ thống các bài tập về phương trình vô tỷ 29

KẾT LUẬN CHƯƠNG II 64

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Dạy học theo định hướng phát triển năng lực là chương trình dạy học định hướng kết quả đầu ra, chú trọng đến những năng lực có thể vận dụng tri thức vào thực tiễn cuộc sống, nhằm mục tiêu phát triển năng lực của người học Đó là một bước chuyển mạnh từ giáo dục chủ yếu theo hướng trang bị các kiến thức sang phát triển năng lực và phẩm chất của người học Vì vậy việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực người học là một vấn đề chủ chốt

Trong chương trình giáo dục, môn Toán là một trong những môn học

có vai trò vô cùng quan trọng trong sự nghiệp phát triển đất nước Nó góp phần hình thành và phát triển những kiến thức, kỹ năng, phẩm chất và năng lực của người học; tạo điều kiện để học sinh có thể trải nghiệm, áp dụng những kiến thức đã học vào thực tiễn Một số năng lực chuyên biệt trong bộ môn Toán gồm: Năng lực tư duy và lập luận, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự học, năng lực sử dụng ngôn ngữ, năng lực tính toán Trong đó, năng lực tư duy và lập luận toán học cần được chú trọng Tư duy toán học sẽ giúp cho người học phát hiện được ra những mối quan hệ bên trong có tính quy luật của các đối tượng toán học mà trước đó ta chưa nhận thấy được

Trong chương trình Toán học nội dung phần phương trình là một trong những nội dung phổ biến và quan trọng xuyên suốt chương trình học ở từng cấp học Điển hình là phần phương trình vô tỷ với các dạng và cách giải đa dạng, phong phú, điều này gây khó khăn cho học sinh trong quá trình tìm ra lời giải nhất là HS cuối cấp THSC và đầu cấp THPT Tuy nhiên nội dung này cũng chứa đựng nhiều cơ hội để người học phát triển tư duy và lập luận toán

Từ những lý do trên, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triền năng

lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học giải phương trình vô tỷ”

2 Mục đích nghiên cứu

Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học phương trình vô tỷ nhằm nâng cao chất lượng dạy học và đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận về năng lực tư duy và lập luận toán học; về phương trình vô tỉ trong dạy học môn Toán

- Nghiên cứu lí luận về dạy học giải bài tập toán

- Hệ thống các dạng bài toán về giải phương trình vô tỷ để phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu luận

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm

2 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học qua dạy học giải phương trình vô tỷ

NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức,

kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”

- Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện

ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn

Như vậy năng lực có thể được hiểu là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện một công việc có hiệu quả Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo, mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức, hành vi xã hội

1.1.1.2 Năng lực toán học

Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học Hiệp hội giáo viên Toán của Mĩ mô tả: “Năng lực Toán học là cách thức nắm bắt và sử dụng

nội dung kiến thức toán”

Theo Blomhoj và Jensen (2007): “Năng lực toán học là khả năng sẵn sàng hành động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất định”

Theo Niss (1999): “Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích)”

Như vậy, ta có thể hiểu năng lực toán học chính là khả năng của người học biết tiếp thu nắm bắt và áp dụng các nội dung toán học vào các tình huống có liên quan tới toán học không chỉ bên trong mà cả bên ngoài toán học

1.1.1.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học

 Khái niệm tư duy

Tư duy theo tâm lí học là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng

mà trước đó ta chưa biết

Theo từ điển Tiếng Việt ta hiểu như sau: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý”

Nói theo một cách khác tư duy trước hết chính là sự phản ánh ở trình

độ cao bằng con đường khái quát, hướng sâu vào nhận thức bản chất và quy luật của đối tượng Đồng thời tư duy là quá trình vận dụng các khái niệm, phạm trù theo những quy luật logic chặt chẽ nhằm đạt tới chân lý và tư duy là quá trình sáng tạo lại hiện thực dưới dạng tinh thần

 Khái niệm lập luận

Khái niệm về lập luận đã được nêu ở rất nhiều tài liệu khác nhau Lập luận được định nghĩa rất khác nhau tùy theo ngữ cảnh của hiểu biết lý tính như một hình thức của tri thức

Theo Toulmin (1958) ông xem xét lập luận gồm có ba thành tố cơ bản

là luận cứ, kết luận và luận chứng

 Luận cứ (tiên đề) gồm một hay nhiều dữ kiện xuất phát làm căn cứ cho lập luận, từ đó suy ra kết luận

 Kết luận là một khẳng định có được trên cơ sở luận cứ đã cho

 Luận chứng là những quy tắc, nguyên lý, định lý mà nhờ đó từ tiên đề chúng ta suy ra kết luận

Trong cuốn Đại từ điển Tiếng Việt của Nguyễn Như Ý đã đưa ra khái niệm: “Lập luận là trình bày có lí lẽ, hệ thống để chứng minh cho kết luận về vấn đề nào đó”

Trong luận án của tác giả Nguyễn Văn Lộc, ông cũng đã đưa ra khái niệm: “Lập luận là sắp xếp lí lẽ một cách có hệ thống để trình bày nhằm chứng minh cho một kết luận về một vấn đề”

 Năng lực tư duy và lập luận toán học

Theo chương trình môn Toán (2018) năng lực tư duy và lập luận toán học được thể hiện qua việc thực hiện các hành động như sau:

- So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa; khái quát hóa; tương tự; quy nạp; diễn dịch

- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận

- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

Năng lực tư duy và lập luận toán học được phát triển ở cấp trung học phổ thông biểu hiện như sau:

- Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát

- Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn đề nhìn

ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

1.1.2 Dạy học theo tiếp cận năng lực

1.1.2.1 Dạy học theo tiếp cận năng lực

Theo Đặng Thành Hưng (2014): “Bản chất của giáo dục theo tiếp cận năng lực là lấy năng lực làm cơ sở để tổ chức chương trình và thiết kế nội dung học tập Điều này có nghĩa là năng lực của học sinh sẽ là kết quả cuối cùng cần đạt được của quá trình dạy học hay giáo dục Nói cách khác, thành phần cuối cùng và cơ bản của mục tiêu giáo dục là các phẩm chất và năng lực của người học Năng lực vừa được coi là điểm xuất phát đồng thời là sự cụ thể hóa của mục tiêu giáo dục Vì vậy, những yêu cầu về phát triển năng lực học sinh cần được đặt đúng chỗ của chúng trong mục tiêu giáo dục”

Dạy học theo tiếp cận năng lực nhấn mạnh:

- Muốn có năng lực, học sinh phải học tập và rèn luyện trong hoạt động

và bằng hoạt động Mặt khác các năng lực được hình thành trong quá trình dạy học và không chỉ ở nhà trường mà còn dưới tác động của gia đình, xã hội, của chính trị, tôn giáo, văn hóa

- “Lấy việc học của học sinh làm trung tâm”, chú ý tới mỗi cá nhân học sinh, giúp họ tự tìm tòi, khám phá, làm chủ tri thức và vận dụng vào giải quyết các tình huống thực tế cuộc sống, qua đó có thể rút ra kinh nghiệm và tri thức cho riêng mình

- Kết quả đầu ra của người học, những gì người học làm được sau khi kết thúc chương trình học hoặc kết thúc bài học, nhấn mạnh đến khả năng thực tế của học sinh

- Cách học, yếu tố tự học của người học Thay vì lối dạy truyền thống thầy giảng trò nghe có thể tổ chức cho cá nhân tự học, học theo nhóm, học theo sở thích và mối quan tâm riêng của người học

- Giáo viên là người thiết kế, tổ chức và hướng dẫn học sinh tích cực,

tự lực thực hiện các nhiệm vụ học tập

- Môi trường dạy học phải tạo điều kiện tương tác tích cực giữa học

sinh với học sinh, giữa giáo viên và học sinh, thúc đẩy và tạo cho học sinh thực hiện hóa năng lực của mình thông qua quan sát, tìm tòi, khám phá, sáng tạo

- Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học (đặc biệt là ứng dụng công nghệ và thiết bị học hiện đại) nhằm tối ưu hóa việc phát huy năng lực của người học

1.1.2.2 Đặc điểm dạy học môn Toán theo tiếp cận năng lực

Dạy học theo tiếp cận năng lực toán học nhấn mạnh các đặc điểm sau:

- Năng lực toán học không chỉ bao hàm kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo, mà còn cả động cơ, thái độ, hứng thú và niềm tin trong toán học Muốn có năng lực toán học học sinh phải rèn luyện, thực hành, trải nghiệm trong học tập môn Toán

- Nhấn mạnh kết quả đầu ra, dựa trên những gì người học làm được (có tính đến khả năng thực tế của học sinh) Khuyến khích người học tìm tòi, khám phá tri thức toán học và vận dụng vào thực tiễn Đích cuối cùng cần đạt

là phải hình thành được năng lực học tập môn Toán của học sinh

- Nhấn mạnh đến cách học, yếu tố tự học của người học Giáo viên là người hướng dẫn và thiết kế, còn học sinh phải tự xây dựng kiến thức và hiểu biết toán học riêng của mình

- Xây dựng môi trường dạy học tương tác tích cực Phối hợp các hoạt động tương tác của học sinh giữa cá nhân, cặp đôi, nhóm hoặc hoạt động chung cả lớp và hoạt động tương tác giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy học môn Toán

- Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học môn Toán (đặc biệt là ứng dụng công nghệ và thiết bị dạy học hiện đại) nhằm tối ưu hóa việc phát huy năng lực của người học

1.1.2.3 Yêu cầu dạy học môn Toán theo tiếp cận năng lực

Dạy học theo hướng tiếp cận phát triển năng lực đòi hỏi các yêu cầu sau:

- Trước hết cần xác định các yêu cầu về năng lực toán học mà người học cần có trong quá trình học tập ở nhà trường và để hoạt động hữu ích có hiệu quả trong thực tế đời sống Tiếp theo, khi xác định được các yếu tố của quá trình dạy học như: Mục tiêu dạy học, phạm vi và mức độ nội dung dạy học, phương pháp và hình thức tổ chức dạy học, cách thức đánh giá kết quả học tập đều phải được đối chiếu với các yêu cầu của năng lực toán học cần hình thành và phát triển ở học sinh và cái đích cuối cùng (kết quả đầu ra cần đạt) là phải hình thành được năng lực học tập môn Toán ở các em

- Chọn lựa và tổ chức nội dung dạy học không chỉ dựa vào tính hệ thống logic của khoa học toán học mà ưu tiên những nội dung phù hợp trình

độ nhận thức của học sinh trung học phổ thông, thiết thực với đời sống thực tế hoặc có tính tích hợp, liên môn, góp phần giúp học sinh hình thành, rèn luyện

và làm chủ các “kỹ năng sống”

- Các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học dựa trên cơ sơ tổ chức các hoạt động trải nghiệm, khám phá phát hiện, học tập độc lập, tích cực, tự học có hướng dẫn của học sinh Tránh lối dạy học đọc – chép, “áp đặt” Tạo dựng môi trường dạy học tích cực Tăng thực hành, vận dụng, gắn kết giữa nội dung dạy học với đời sống thực tiễn của học sinh, của cộng đồng Chú trọng khai thác và sử dụng kinh nghiệm của học sinh trong đời sống hằng ngày

- Tập trung các đánh giá sự phát triển năng lực học tập môn Toán của người học bằng nhiều hình thức: Tự đánh giá, đánh giá thường xuyên, đánh giá định kì, đánh giá thông qua sản phẩm của học sinh, Tăng cường quan sát, nhận xét cụ thể bằng lời, động viên, giúp học sinh tự tin, hứng thú, tiến bộ trong học tập môn Toán

- Ở trung học phổ thông, việc tăng cường sự gắn kết giữa nhà trường và gia đình cũng là yếu tố quan trọng thức đẩy sự phát triển năng lực học tập môn Toán của học sinh

- Ngoài ra, do việc hình thành, phát triển các năng lực đòi hỏi sự vận dụng phối hợp các kiến thức, kĩ năng, nên khi xây dựng chương trình hoặc thiết kế bài học môn Toán cần chú ý tới tính tổng thể, tính tích hợp, liên môn

Chương tình dạy học theo định hướng phát triển năng lực không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của quá trình dạy học, trên cơ sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu dạy học Học sinh cần đạt được những kết quả theo yêu cầu đã quy định trong chương trình Việc đưa ra yêu cầu cần đạt về năng lực, phẩm chất, về nội dung cũng là công cụ nhằm đảm bảo quản lí chất lượng giáo dục theo định hướng kết quả đầu ra

1.1.3 Dạy học giải bài tập

1.1.3.1 Khái niệm về bài toán và lời giải bài toán

 Khái niệm bài toán

Theo G.Polya, bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có

ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt ngay được

Trên những cơ sở định nghĩa khái quát của G Polya ta nhận thấy được rằng: Bài toán chính là sự đòi hỏi phải đạt tới một mục đích nhất định nào đó

 Lời giải của bài toán

Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác hữu hạn cần thiết để đạt tới mục đích đã đặt ra và trình bày

Như vậy ta có thể thấy được một bài toán được đặt ra có thể có:

Duy nhất một lời giải

Có nhiều lời giải

Không có lời giải nào

Giải được một bài toán là tìm ra và trình bày được chính xác ít nhất một lời giải của bài toán đặt ra khi bài toán có lời giải hoặc đối với bài toán không

có cách giải thì phải lí giải được bài toán đó không giải được

1.1.3.2 Mục đích của giải bài tập trong trường phổ thông

Theo G Polya đã chỉ ra rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn Toán

quan trọng hơn nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy, cả trong trường trung học cũng như các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn Toán? Đó là biết giải toán”

Hiện nay, giáo dục đang từng bước đổi mới phương pháp dạy học để đạt được mục tiêu dạy học đề ra Từng bước “đổi mới hình thức và phương pháp dạy học nhằm phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo và rèn luyện phương pháp tự học; tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn”

Dạy học giải bài tập trong trường phổ thông giúp học sinh nắm vững được một cách chính xác và hệ thống lại được các kiến thức, kỹ năng toán học phổ thông cơ bản cần thiết đã được học Từ đó học sinh biết vận dụng những tri thức, kỹ năng kỹ xảo để giải các bài toán tương tự và bài toán trong thực tế không chỉ trong đời sống hằng ngày, trong lao động sản xuất mà còn áp dụng trong việc học các ngành khoa học khác như vật lý, hóa học, sinh học,

1.1.3.3 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng

và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Vì vậy, vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên cả 3 bình diện:

+ Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Ngoài ra, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán cụ thể là:

 Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

 Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy, hình những phẩm chất trí tuệ

 Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

+ Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, bài tập Toán là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

+ Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập Toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở

đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra, Đặc biệt về mặt kiểm tra, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh

1.1.3.4 Các yêu cầu đối với lời giải

Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:

 Kết quả đúng kể cả bước trung gian

Kết quả cuối cùng của một bài toán phải là một đáp số đúng chính xác

hoặc một biểu thức, một hàm số, thỏa mãn các yêu cầu đã được cho trước Kết quả của các bước trung gian của một bài toán cũng phải đúng, lời giải của bài toán sẽ không thể chứa những sai lầm tính toán hay biến đổi biểu thức,

 Lập luận chặt chẽ

Lời giải của một bài toán phải tuân thủ các yêu cầu như lập luận phải

nhất quán, đúng và phải hợp logic

 Lời giải đầy đủ

Lời giải của một bài toán không được giải bỏ sót một trường hợp nào

hay một chi tiết cần thiết nào đó

1.1.3.5 Phương pháp chung để giải bài toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thức giải bài toán có thể đưa ra phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

 Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

 Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm lời giải

 Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình,

 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc

biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan

 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lý nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước

đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

 Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải bài toán

 Xem lại toàn bộ các bước giải bài toán, từ đó rút ra tri thức phương

pháp để giải một bài toán

 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn

GV: Phương trình trên có phải là phương trình vô tỷ không?

HS: Đây là phương trình vô tỷ chứa căn bậc hai

2x  x 1xác định là gì?

HS: 2x2   x 1 0

GV: Phương trình trên có thuộc dạng toán quen thuộc nào không?

HS: Phương trình trên thuộc dạng f x( ) g x( )đã có cách giải

Bước 3: Trình bày lời giải

3

3 1 0

13

x x

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=1

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Thử lại với x 1 phương trình đã cho trở thành 2 1 1     2 3.1 1 

Điều tra về việc phát triển tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp

10 qua dạy học giải bài tập

1.2.1.2 Nội dung điều tra

- Tìm hiểu nhận thức của giáo viên về việc phát triển năng lực tư duy

và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua dạy học giải bài tập

- Tìm hiểu thực trạng việc giảng dạy nhằm phát triển năng lực tư duy

và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua dạy học giải bài tập

1.2.1.3 Đối tượng điều tra

- Giáo viên dạy khối lớp 10 trường THPT Cao Bá Quát – Gia Lâm

- Số lượng: 10 giáo viên

1.2.1.4 Phương pháp điều tra

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp đàm thoại, phỏng vấn

- Phương pháp xử lí số liệu

1.2.1.5 Kết quả điều tra

- Tìm hiểu nhận thức của giáo viên về việc phát triển năng lực tư duy

và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua dạy học giải bài tập

Bảng 1.1 Tầm quan trọng của việc phát triển năng lực tư duy và lập luận

cho học sinh lớp 10 qua dạy học giải bài tập

- Tìm hiểu thực trạng việc giảng dạy nhằm phát triển năng lực tư duy

và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua dạy học giải bài tập

Bảng 1.2 Mức độ tổ chức hoạt động giảng dạy nhằm phát triển năng lực

tư duy và lập luận toán học cho học sinh qua dạy học giải bài tập

Nhận xét: Mức độ tổ chức hoạt động giảng dạy nhằm phát triển năng

lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua dạy học giải bài tập

còn rất ít

1.2.2 Thực trạng dạy học nội dung phương trình vô tỷ cho học sinh lớp 10

THPT

Theo chương tình giáo dục, các bài toán về phương trình vô tỷ được

học chi tiết trong chương trình Đại số lớp 10 Tuy nhiên, theo phân phối

chương trình số tiết dành cho phần này là rất ít Học sinh bị hạn chế thời gian

trong việc vận dụng và làm việc với các dạng toán phương tình vô tỷ khác

nhau Trong sách Đại số 10 nâng cao, chỉ đưa ra dạng toán phương tình vô tỷ

cơ bản như A B ; A B, các ví dụ và bài tập cũng chỉ xoay quanh các

dạng toán này Tuy nhiên thực tế lại cho thấy phương trình vô tỷ rất phong

phú và đa dạng cả về dạng toán và những phương pháp giải

Trong quá trình học Toán lớp 10 khi học sinh gặp những bài toán đưa

về phương trình vô tỷ, đa số học sinh đều cảm thấy lúng túng trong việc phân

dạng và nhớ cách giải, học sinh thường mắc sai lầm hoặc thậm chí

là không biết cách giải Đặc biệt trong đề thi THPT Quốc gia học sinh sẽ gặp

những phương trình vô tỷ không có dạng quen thuộc buộc học sinh phải biến

đổi quy về dạng toán quen thuộc đã biết cách giải Đây là một cơ hội của việc

phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học khi học nội dung này

Vì vậy, việc giúp học sinh có thêm những kĩ năng tốt, thành thạo các

dạng toán về phương trình vô tỷ với những cách giải phù hợp là nhiệm vụ cần

thiết để nâng cao hiệu quả dạy – học

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Với những gì đã nghiên cứu, em thấy rằng: Việc dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 trong nội dung phương trình vô tỷ hiện nay là điều cần thiết Sang chương sau khóa luận sẽ xây dựng các dạng bài tập phương tình vô tỷ nhằm phát triển NLTD

và LLTH

Chương 2: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN

HỌC QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

2.1 Mục tiêu dạy học phương trình vô tỷ

 Kiến thức:

+ Hiểu khái niệm phương trình, nghiệm của phương trình

+ Hiểu định nghĩa hai phương trình tương đương

+ Hiểu các phép biến đổi tương đương phương trình

 Kỹ năng:

+ Giải thành thạo được các phương trình vô tỷ cơ bản

+ Nhận biết được và lựa chọn được những phương pháp giải phù hợp + Nắm vững được các kiến thức cơ bản về phương trình vô tỷ để áp dụng làm một số bài toán về biện luận theo tham số

 Thái độ:

Nghiêm túc, tích cực, chủ động trong việc giải bài tập

 Năng lực:

 Năng lực tư duy và lập luận toán học

 Năng lực giải quyết vấn đề toán học

2.2 Nội dung phương trình vô tỷ trong Toán 10 THPT

Trong chương trình sách giáo khoa cơ bản Đại số 10 THPT bao gồm có

6 chương với chương 3: Phương trình và Hệ phương trình nghiên cứu nội dung nhằm củng cố và nâng cao các kiến thức đã được học về vấn đề này một cách rõ ràng hơn

Phương trình vô tỷ được đưa vào giảng dạy theo hướng giảm nhẹ những yêu cầu về kiến thức và kĩ năng Bên cạnh đó, chương trình không yêu cầu người học giải phương trình vô tỷ chứa tham số nhưng trong chuyên đề

về phương trình vô tỷ giáo viên có nhắc tới dạng bài toán này

Cụ thể các nội dung về phương trình đặc biệt là phương trình vô tỷ được trình bày ở hai ban như sau:

Ban cơ bản Ban nâng cao

- Khái niệm về phương

trình

- Khái niệm phương trình

tương đương

- Định lý về hai phép biến

đổi tương đương

- Khái niệm về phương

trình hệ quả

- Cách giải phương trình

dưới dấu căn bằng cách

sử dụng phương pháp

nâng lên lũy thừa

- Khái niệm về phương trình

- Khái niệm phương trình tương đương

- Định lý về hai phép biến đổi tương đương

- Khái niệm về phương trình hệ quả

- Cách giải phương trình dưới dấu căn bằng cách sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa

- Giải và biện luận phương trình

vô tỷ theo tham số m

- Giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ

ta được phương trình tương đương

2 Nếu phép biến đổi một phương trình dẫn đến phương trình hệ quả thì sau khi giải phương trình hệ quả ta phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương trình đã cho để phát hiện và

loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Như vậy dựa vào định lí và chú ý được nêu trên chính là cơ sở hình thành phương pháp giải phương trình vô tỷ được nhắc tới sau này

Phương trình vô tỷ là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình môn toán Không chỉ phần lý thuyết rộng mà phần bài tập cũng vô cùng

đa dạng từ đơn giản đến phức tạp Vì vậy, việc trình bày lý thuyết với các dạng bài tập hợp lí giúp học sinh phát triển được các năng lực cần thiết

Trong sách giáo khoa cơ bản toán 10 THPT phần phương trình vô tỷ được trình bày rất sơ lược và vắn tắt với nội dung giới thiệu, tìm điều kiện của phương trình cùng cách giải chung là nâng lũy thừa, trong sách giáo khoa toán 10 nâng cao thì phần này được trình bày rõ ràng hơn Các phép biến đổi tương đương, sử dụng hệ quả trong giải phương trình rất trừu tượng khiến học sinh khó hiểu không nắm bắt được hết kiến thức cơ bản dẫn tới khó khăn khi giải bài tập Hơn nữa theo phân phối chương trình thời gian dạy kiến thức trên lớp khá ít kèm theo đó là lượng kiến thức khá nhiều Vì vậy giáo viên khó có thể trình bày diễn giải được chi tiết, cặn kẽ phần kiến thức và việc đưa ra các

ví dụ minh họa giúp học sinh nắm vững được kiến thức với các phép biến đổi tương đương và phép biến đổi không tương đương trong giải phương trình cũng còn hạn chế

Học sinh thường được tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô

tỷ khác nhau ở các tiết chuyên đề Đặc biệt đối với học sinh khá giỏi được tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỷ nâng cao hơn như phương pháp đánh giá, phương pháp hàm số, đòi hỏi học sinh phải nắm được các kiến thức

cơ bản liên quan để từ đó biết tư duy biến đổi, quy lạ về quen

Các bài tập liên quan tới phương trình vô tỷ đa dạng và khó nên học sinh thường lúng túng dễ mắc sai lầm trong quá trình giải đặc biệt là việc tìm điều kiện của phương trình hay xét các trường hợp nhưng để sót nghiệm Hệ thống bài tập trong sách giáo khoa cũng còn khá ít và cơ bản chưa bao quát được toàn bộ các dạng của phương trình vô tỷ Do đó, với các tiết bài tập giáo viên thường nêu ra các phương pháp giải cùng với ví dụ và các bài tập giúp học sinh rèn luyện và sử dụng thành thạo các kĩ năng giải bài toán

Việc hệ thống các loại phương trình cơ bản trong chương trình toán 10 THPT cùng với các phương pháp giải tạo nền tảng cho việc học chuyên đề về phương trình, hệ phương trình ở lớp trên như phương trình lượng giác, phương trình mũ, phương trình logarit

2.3 Xây dựng các bài tập về phương trình vô tỷ nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

2.3.1 Các phương pháp giải phương trình vô tỷ

Phương trình vô tỷ rất đa dạng với hệ thống bài tập từ đơn giản tới phức tạp Từ đó có thể đưa ra các phương pháp để giải một phương trình vô tỷ

nhiều lớp căn thức có thể đưa về phương trình cơ bản Điều quan trọng nhất trong hướng giải bằng phép nâng lên lũy thừa đó là ta sẽ thu được phương trình tương đương hay phương trình hệ quả Để có thể biến đổi chính xác nhất, ta cần chú ý rằng ta sẽ thu được phương trình tương đương nếu hai vế của phương trình cùng dấu, hệ quả khi hai vế của phương trình đó chưa rõ về dấu.

2.3.1.2 Phương pháp đưa về phương trình chứa dấu trị tuyệt đối

Bước 1: Lập bảng xét dấu phá dấu giá trị tuyệt đối

Bước 2: Giải phương trình trên từng khoảng của ẩn

 ta đi giải phương trình f x( )g x( )a

 Khi nào sử dụng phương pháp đưa về phương trình chứa dấu giá

trị tuyệt đối?

Nếu phương trình vô tỷ đang xét có biểu thức dưới dấu căn bậc chẵn là

hằng đẳng thức thì thay vì sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa nhiều khi

sẽ cho ta một phương trình mới rắc rối, khó giải với bậc cao thì ta đi phá căn bằng cách sử dụng dấu giá trị tuyệt đối để giải

Đối với phương trình vô tỷ nhẩm được nghiệm x0 ta luôn viết được về dạng: xx0  f x 0 Khi đó ta đi giải phương trình ( ) 0f x  hoặc chứng minh phương trình ( ) 0f x  vô nghiệm

 Khi nào nên sử dụng phương pháp liên hợp?

Với bài toán sử dụng được phương pháp liên hợp thường là những bài toán nhẩm được nghiệm Bản chất của phương pháp liên hợp là bắt nhân tử chung tách thành tích trong đó có một thừa số ở trong tích chỉ ra được nghiệm của phương trình, thừa số còn lại thông thường chúng ta phải đánh giá nó vô

nghiệm hoặc chúng ta kết hợp với phương trình đầu hoặc dùng các kĩ thuật khác để tìm nghiệm của nó

0 2

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm của phương trình

ff

x x

 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là thao tác sử dụng một ẩn khác để đưa phương trình đã cho về phương trình có ẩn phụ và trong phương trình các hệ

số vẫn còn chứa ẩn ban đầu

Và t là một biểu thức chính phương Khi đó ta phải đi tìm giá trị m thỏa mãn phương trình trên

Ta viết lại phương trình (1) thành dạng:

mt  b t  mc x  qmd x h e Với

+ Với v  0thì chia cả hai vế của phương trình cho 2

v Khi đó phương trình trở thành

Dựa vào phần kiến thức trên ta chuyển đổi phương trình đã cho về dạng (1) và giải

Khi đó phương trình trở thành: au2 bv2 cuv0

 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại II

Ta sẽ trừ hai phương trình của hệ đối xứng từ đó tìm mối liên hệ giữa hai ẩn t và y

 Khi nào sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô

tỷ?

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỷ là một phương pháp vô cùng quan trọng và phức tạp Trong một số bài tập ta sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa để giải sẽ không giải được hoặc giải được nhưng lại rất phức tạp, lúc này ta sẽ hướng tới một phương pháp khác ngắn gọn hơn Tuy nhiên ngoài những định dạng cụ thể để đặt ẩn phụ ở phương pháp thì ta cần xác định rõ xem bài toán đó nên đặt ẩn phụ như thế nào là thuận tiện nhất

Để ẩn phụ hóa một phương trình ta cần tìm ra các mối liên hệ của các đại lượng trong bài toán đó Ngoài ra, các phép biến đổi ẩn phụ hóa phải đưa

về phương trình có lối thoát trong hướng giải, thường là các phương trình tách nhân tử, một số phương trình đa thức thường gặp, phương trình đẳng cấp,hệ đối xứng

+ Cho 3 số dương a,b,c Khi đó ta có:

+ Một cách tổng quát Cho n số dương a1, a2, , an Khi đó ta có

Dấu “=“ xảy ra  a1 a2   a n

Từ đó ta chuyển phương trình đã cho về dạng

2 2

0

A B 

 Khi nào nên sử dụng phương pháp đánh giá?

Những phương trình vô tỷ sử dụng phương pháp đánh giá để giải là những phương trình có dấu hiệu là khi chúng ta chia nó trên từng khoảng nghiệm ta sẽ thu được những điều vô lý và phương trình chỉ đúng với một hoặc hai giá trị nào đó Với một số phương trình gợi tới một hằng đẳng thức

cơ bản đã học Phương pháp này đòi hỏi sự khéo léo cùng kiến thức và kĩ năng vững chắc

2.3.2 Hệ thống các bài tập về phương trình vô tỷ

Câu 1: Giải phương trình sau:

a) x2 13x 2 5x1