Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua dạy học chủ đề ứng dụng của định lý vi et

Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học trong quá trình giải bài tập.. Dạy học định hướng phát triển năng lực thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI - 2019

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học

ThS DƯƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được

sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ Phương pháp dạy học môn Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên trong khoa Toán Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo trong tổ Phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt là cô giáo – ThS Dương Thị Hà đã tận tình giúp đỡ, chỉ dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp

Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội,ngày 10 tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Thị Thơm

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu của đề tài là kết quả nghiên cứu, tìm tòi của bản thân Đề tài và nội dung khóa luận là chân thực đƣợc viết trên

cơ sở khoa học không trùng với đề tài của các tác giả khác Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Thị Thơm

DANH MỤC NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG KHÓA

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1.Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3.Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 3

1.1 Khái niệm 3

1.1.1 Năng lực 3

1.1.2 Năng lực toán học 3

1.1.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học 4

1.2 Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực 6

1.3 Dạy học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực 7

1.4 Sự cần thiết của phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học 8

1.5 Giải bài tập với phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học 8

1.5.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 8

1.5.2 Dạy học giải bài tập 9

1.5.3 Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học trong quá trình giải bài tập 11

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 13

CHƯƠNG 2: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET 14

2.1.1 Vai trò 14

2.1.2 Định lý Vi-et 14

2.2 Hệ thống bài tập về ứng dụng định lý Vi-et nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học 17

2.2.1 Dạng 1: Tìm 2 số khi biết tổng và tích 17

2.2.2 Dạng 2: Tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm 20

2.2.3 Dạng 3: Tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 24

2.2.4 Dạng 4: Tìm giá trị tham số m thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm cho trước 28

2.2.5 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức 33

2.2.6 Dạng 6: Tương giao của hai đồ thị 37

2.2.7 Dạng 7: Giải hệ phương trình đối xứng loại I 44

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 49

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài

Nghị quyết số 29 – NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và

đào tạo đã đề ra: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo

hướng hiện đại, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học, khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ

sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”

Dạy học định hướng phát triển năng lực thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định kết quả đầu ra, khả năng vận dụng vào thực tiễn Vì vậy đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh là vấn đề then chốt

Toán học là một trong những ngành khoa học đóng vai trò quan trọng,

là yếu tố chủ chốt giúp ta có thể nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác Các năng lực chuyên biệt trong môn Toán bao gồm: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp toán học và năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học Trong

đó năng lực tư duy và lập luận toán học là một trong những năng lực quan trọng mà người học cần phải được rèn luyện và phát triển Nhờ tư duy con người mới có thể tồn tại và phát triển Nó chính là con đường ngắn nhất dẫn đến mọi sự thành công của mỗi con người

Định lý Vi-et có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán từ THCS đến THPT Nó xuất hiện trong nhiều dạng toán có liên quan đến nghiệm của phương trình, các bài toán về tiếp tuyến,… được chương trình Đại số 10 đề cập đến Việc giải các bài toán chứa đựng tiềm năng rất lớn trong việc phát triển tư duy và lập luận toán học

Với những lí do trên tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Phát triển năng

lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua dạy học chủ đề ứng dụng của định lý Vi-et”

2 Mục đích nghiên cứu

Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua chủ đề ứng dụng định lý Vi-et nhằm nâng cao chất lượng dạy học và đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận về năng lực tư duy và lập luận toán học, về ứng dụng định lý Vi-et trong dạy học môn Toán

- Xây dựng hệ thống bài tập dựa vào ứng dụng định lý Vi-et để phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Năng lực tư duy và lập luận toán học

- Chủ đề ứng dụng định lý Vi-et trong chương trình Toán lớp 10

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu luận

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học qua dạy học chủ đề ứng dụng của định lý Vi-et

Kết luận

Tài liệu tham khảo

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm

1.1.1 Năng lực

Khái niệm năng lực tùy theo cách tiếp cận nên có nhiều cách định nghĩa khác nhau Tuy nhiên để đảm bảo sự thống nhất và thuận tiện cho việc nghiên cứu thì định nghĩa năng lực của chương trình giáo dục phổ thông tổng thể (2018) cũng đã nêu được các đặc điểm bản chất của khái niệm này: “Năng lực

là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức,

kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhau như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”

1.1.2 Năng lực toán học

Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học Năng lực toán học được tiếp cận theo nhiều phương diện khác nhau

Trong tâm lí học, khái niệm về năng lực toán học được theo hai hướng:

- Thứ nhất: đó là năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu toán

học với tư cách là khoa học Người có năng lực toán học sẽ cống hiến cho nhân loại những công trình toán học đầy ý nghĩa đối với hoạt động thực tiễn của con người và đối với sự phát triển của khoa học toán học

- Thứ hai: đó là năng lực trong học tập, trong việc nắm vững những khái niệm, định lí, tính chất, hệ quả toán học với tư cách là môn học Ở đây, người học có năng lực toán học sẽ nhanh nhạy trong việc tiếp thu các kiến thức toán học và thực hiện thành thạo các kĩ năng, kĩ xảo tương ứng Có thể khẳng định năng lực toán học là điều kiện cần của năng lực sáng tạo toán học Bởi vì năng lực sáng tạo toán học có thể xuất phất từ việc tạo lập ra một định nghĩa mới hay một định lý mới, nó hoàn toàn khác so với năng lực hiểu được định lý toán học đã được chứng minh, thừa nhận trước đó

Theo quan điểm của UNESCO thì có 10 yếu tố cơ bản của năng lực

1 Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán

và các khái niệm

2 Năng lực tính nhanh, cẩn thận và sử dụng các kí hiệu

3 Năng lực dịch chuyển dữ liệu kí hiệu

4 Năng lực biểu diễn dữ liệu bằng kí hiệu

5 Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh

6 Năng lực xây dựng một chứng minh

7 Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán Toán học

8 Năng lực áp dụng cho bài toán không Toán học

9 Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể sử dụng

10 Năng lực tìm cách khái quát hóa Toán học

Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, các năng lực Toán học cần hình thành cho học sinh đó là:

- Năng lực tư duy

- Năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo

- Năng lực mô hình hóa

- Năng lực giao tiếp Toán học

- Năng lực sử dụng thiết bị công nghệ thông tin và truyền thông

- Năng lực tính toán

1.1.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học

1.1.3.1 Tư duy

Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được

tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất

định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó” [Tr.21]

Theo Từ điển tiếng Việt phổ thông: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý”

Các tác giả Phạm Minh Hạc, Phạm Hoàng Gia, Trần Trọng Thủy, Nguyễn Quang Uẩn (1992), (trong Tâm lí học, NXB Giáo dục, Hà Nội) đã định nghĩa: “Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện

thực khách quan”

1.3.3.2 Năng lực tư duy

Năng lực tư duy: là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn

1.1.3.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học

Theo Chương trình môn Toán 2018, năng lực tư duy và lập luận Toán học được thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

- So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch

- Chỉ ra được chứng cứ, lĩ lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận

- Giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

Năng lực tư duy và lập luận toán học ở cấp trung học phổ thông biểu hiện như sau:

- Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát

- Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn đề nhìn

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

1.2 Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực

Hiện nay, chương trình giáo dục của nhiều quốc gia trên thế giới đang chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học (Competency-based Curriculum)

Theo Đặng Thành Hưng (2014): “Bản chất của giáo dục theo tiếp cận năng lực là lấy năng lực làm cơ sở (tham chiếu) để tổ chức chương trình và thiết kế nội dung học tập Điều này cũng có nghĩa là năng lực của học sinh sẽ

là kết quả cuối cùng cần đạt được của quá trình dạy học hay giáo dục Nói cách khác, thành phần cuối cùng và cơ bản của mục tiêu giáo dục là các phẩm chất và năng lực của người học Năng lực vừa được coi là điểm xuất phát đồng thời là sự cụ thể hóa của mục tiêu giáo dục Vì vậy, những yêu cầu về phát triển năng lực của học sinh cần được đặt đúng chỗ của chúng trong mục tiêu giáo dục”

Do đó, dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực cần chú trọng vào những điều sau:

- Năng lực cần có của mỗi người học không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội Nó chỉ được hình thành và phát triển khi học sinh học tập, trau dồi, rèn luyện ở nhà trường, tác động của gia đình và xã hội,

- Phát huy được tính tích cực nhận thức của học sinh, nghĩa là “lấy việc

học của học sinh làm trung tâm” giúp cho HS hoạt động tích cực, tìm tòi,

sáng tạo Từ đó hình thành nên những con người mạnh dạn, tự tin, năng động

và sáng tạo trong tư duy, trong tình huống thực tế cuộc sống

- Kết quả của dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực là “kết quả đầu

ra” của người học, không phải là họ “biết” được bao nhiêu kiến thức mà chú

trọng người học làm được những gì sau khi học Tức là nhấn mạnh đến khả năng vận dụng vào thực tiễn của người học

- Cách học: Hình thành và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách

giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông tin ), tự giác, chủ động học theo

nhóm, học theo sở thích, trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy

GS Hoàng Tụy đã từng nói: “Vai trò quyết định đối với chất lượng giáo dục vẫn thuộc về các yếu tố có liên quan trực tiếp tới người thầy” Giáo viên là người thiết kế, tổ chức và hướng dẫn học sinh tích cực, tự lực thực hiện các nhiệm vụ học tập

- Môi trường dạy học phải tạo điều kiện tương tác tích cực giữa HS với

HS, giữa GV với HS, thúc đẩy và tạo cho HS thực hiện hóa năng lực của mình thông qua quan sát, tìm tòi, khám phá, sáng tạo

- Tích cực ứng dụng công nghệ, sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy học

1.3 Dạy học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực

- Năng lực toán học không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mà

còn cả động cơ, thái độ, hứng thú và niềm tin trong học toán Muốn có năng lực toán học học sinh phải rèn luyện, thực hành, trải nghiệm trong học tập môn Toán

- Nhấn mạnh đến kết quả đầu ra, dựa trên những gì người học làm

được (có tính đến khả năng thực tế của học sinh) Khuyến khích người học tìm tòi, khám phá tri thức toán học và vận dụng vào thực tiễn Đích cuối cùng cần đạt là phải hình thành được năng lực học tập môn Toán ở học sinh

- Nhấn mạnh đến cách học, yếu tố tự học của người học GV là người

hướng dẫn và thiết kế, còn HS phải tự xây dựng kiến thức và hiểu biết toán học của riêng mình

- Xây dựng môi trường dạy học tương tác tích cực Phối hợp các hoạt

động tương tác của học sinh giữa các cá nhân, cặp đôi, nhóm hoặc hoạt động chung cả lớp và hoạt động tương tác giữa GV và HS trong quá trình dạy học môn Toán

- Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học môn Toán

(đặc biệt là ứng dụng công nghệ và thiết bị dạy học hiện đại) nhằm tối ưu hóa việc phát huy năng lực của người học

1.4 Sự cần thiết của phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học

Môn Toán là nền tảng của nhiều môn khoa học khác, được xem như bộ não của con người Học Toán không chỉ giúp HS rèn luyện khả năng tính toán

mà còn rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học Nhờ có sự tư duy và lập luận mà các em có thể hiểu biết sâu sắc, nhạy bén và học tốt hơn các môn học khác Đồng thời, giúp bản thân tham gia trải nghiệm các hoạt động thực

tế tốt hơn và đó cũng là cách để các em khẳng định bản thân trong xã hội ngày nay

Bên cạnh đó, từ thực tiễn môn Toán thi theo hình thức trắc nghiệm cho thấy còn khá nhiều HS bộc lộ những sự yếu kém hay hạn chế về năng lực tư duy và lập luận toán học HS nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, thiếu logic, tư duy không linh hoạt, phụ thuộc nhiều vào máy tính cầm tay do các em chỉ cần nhớ hàng loạt các công thức tính nhanh, Nhiều khi có thể HS biết thông thạo các phép tính để đi đến kết quả nhưng để trình bày câu từ sao cho logic thì lại không thể làm được Khi đó không làm rõ được mức độ tư duy cũng như khả năng lập luận, diễn đạt bằng lời của HS khi làm toán

Từ những lý do trên có thể khẳng định rằng năng lực tư duy và lập luận

toán học sẽ được phát triển tốt thông qua một chủ đề giải toán trong chương trình Toán trung học phổ thông

1.5 Giải bài tập với phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

1.5.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Theo G.Polya: “Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách

có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”

Bài tập là bài toán trong đó có những yêu cầu đặt ra cho người học nhằm đạt được mục đích dạy học nào đó

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh cần thực hiện những hoạt động: nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương

pháp; những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

Vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên 3 bình diện (mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học do có liên hệ mật thiết với hoạt động của học sinh), cụ thể như sau:

- Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông

là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Ngoài ra, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán cụ thể là:

 Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

 Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy, hình những phẩm chất trí tuệ

 Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Trên bình diện nội dụng dạy học, bài tập toán học là giá mang những

hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

- Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang

hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra, Đặc biệt về mặt kiểm tra, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh

1.5.2 Dạy học giải bài tập

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

 Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

 Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm lời giải

 Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình,

 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan

 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước

đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

 Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải bài toán

 Xem lại toàn bộ các bước giải bài toán, từ đó rút ra tri thức phương

pháp để giải một bài toán

 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn

đề

1.5.3 Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học trong quá trình giải bài tập

 Xác định được dạng toán:

- Dạng toán quen thuộc, đã từng gặp hay gặp dạng toán này ở một dạng gần giống

- Phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong các dạng toán

- Biết quy lạ về quen bằng cách có thể phát biểu bài toán bằng một cách khác, đưa thêm một số yếu tố phụ,

 Liên hệ với các bài toán liên quan có thể là dễ hơn hay tổng quát hơn hay chỉ là một trường hợp riêng

 Liên hệ tới các bài toán thực tế

 Tìm được nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán So sánh các cách giải xem có điểm gì giống và khác nhau; từ đó đưa ra cách giải ngắn gọn

và hợp lí nhất

Sau đây là ví dụ minh họa:

Ví dụ: Một mảnh vườn hình chữ nhật có tổng 2 cạnh là 16m và diện

tích là 2

60m Tính độ dài hai cạnh của mảnh vườn

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

- Đây là bài toán thực tế có nội dung hình học

- Bài toán cho biết mảnh vườn hình chữ nhật có tổng 2 cạnh là 16m và

là tìm hai số khi biết tổng và tích

Để làm dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tích ta chỉ cần áp dụng định lý Vi-et đảo

 Bước 3: Trình bày lời giải

Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật lần lượt là u và v (u > 0, v > 0)

Suy ra PT (*) có 2 nghiệm phân biệt: x1 10;x2 6

Vậy độ dài hai cạnh của hình chữ nhật đó lần lượt là 10m và 6m

 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Bài toán tương tự: Một mảnh vườn hình chữ nhật có hiệu 2 cạnh là 4m

và diện tích là 2

60m Tính độ dài hai cạnh của mảnh vườn

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Với những gì đã nghiên cứu, có thể khẳng định việc dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua dạy học một chủ đề giải toán là thiết thực nhằm nâng cao chất lượng dạy và học Sang chương sau khóa luận sẽ xây dựng các dạng bài tập ứng dụng của định lí Vi-et nhằm phát triển NLTD và LLTH

CHƯƠNG 2:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC QUA

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET

2.1 Định lý Vi-et

2.1.1 Vai trò

Định lý Vi-et là một nội dung cơ bản trong chương trình toán THPT

Ở cấp THCS chương trình phần Đại số nói chung và chương trình Đại

số 9 nói riêng thì việc giải phương trình bậc 2 một ẩn là một nội dung quan trọng Định lý Vi-et có nhiều ứng dụng và nó giúp ta giải quyết được các dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai một ần

Dạy học ứng dụng của định lý Vi-et giúp học sinh:

- Hình thành các kiến thức cơ bản, có cái nhìn tổng thể về các ứng dụng của định lý Vi-et

- Có sự định hướng để giải các bài toán liên quan như: tìm điều kiện của tham số thỏa mãn điều kiện cho trước, tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm, chứng minh bất đẳng thức, giải hệ phương trình, sự tương giao của 2 đồ thị,

- Việc khai thác giả thiết bài toán, tìm ra phương pháp giải giúp học sinh hình thành và phát triển tư suy logic, khả năng lập luận, tìm tòi, sáng tạo, Đồng thời hình thành và phát triển tính kiên trì, linh hoạt và rèn luyện thói quen tự học, hứng thú học toán

n n

n

n n

n

a

a a

2.1.2.2 Định lý Vi-et đối với một số phương trình cụ thể

Định lý Vi-et đối với phương trình bậc ba:

 Định lý thuận:

Cho phương trình: 3 2

0

ax bx cx d (a0) Nếu phương trình có ba nghiệm x x x thì ta có: 1, 2, 3

x x x x x x

a d

Định lý Vi-et đối với phương trình bậc hai:

Ở lớp 9 giới thiệu cho HS định lý Vi-et thuận và định lý Vi-et đảo

 Dạng 3: Tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

 Dạng 4: Tìm giá trị tham số m thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm cho trước

 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức

 Dạng 6: Tương giao của hai đồ thị

 Dạng 7: Giải hệ phương trình đối xứng loại I

2.2 Hệ thống bài tập về ứng dụng định lý Vi-et nhằm phát triển năng lực

tư duy và lập luận toán học

Suy ra PT (*) có 2 nghiệm phân biệt: x1  2;x2 3

Vì vai trò của u và v là như nhau nên ta có: 2

3

u v

u v





  

Nhận xét: Qua ví dụ 1 ta thấy HS đã thực hiện được tương đối thành

thạo thao tác tư duy, cụ thể là phép đặc biệt hóa ( S = 1; P = -6 ) Đồng thời biết lập luận vai trò của u, v là như nhau trước khi kết luận Từ đó, góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

2



  

Phân tích: Dựa vào giả thiết thì bài toán trên không thuộc dạng toán

thường gặp nào mà ta đã biết Vậy làm thế nào để đưa về các dạng toán quen thuộc?

Tìm cách giải: Để tìm 2 số u và v, ta dựa vào định lý Vi-et đảo Tức là

ta phải tính được tổng và tích của 2 nghiệm Mà bài toán đã cho biết tổng

1 1.( 8) 9 0

3

Suy ra PT (*) có 2 nghiệm phân biệt: x1 2,x2  4

Vì vai trò của u và v là như nhau nên ta có: 4

2

u v

u v

uv Bài toán được đưa về dạng toán đã biết cách làm

Do vậy, năng lực tư duy và lập luận toán học được phát triển

VD3: Nhà bạn An có một mảnh vườn trồng rau hình chữ nhật có chu

vi là 24m, diện tích là 2

27 m Mẹ bạn An dự định chia nhỏ mảnh vườn thành các phần bằng nhau để trồng các loại rau khác nhau, muốn vậy cần phải tìm được chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn Hãy cùng An tính độ dài các cạnh của mảnh vườn

Phân tích: Đây là bài toán thực tế có nội dung hình học, chưa thuộc

dạng toán thường gặp nào Từ các dữ kiện bài cho ta liên hệ với phần hình học để tìm ra sự quen thuộc trong bài toán này

Tìm cách giải: Từ công thức tính chu vi và diện tích hình chữ nhật ta dễ

dàng tìm được tổng và tích hai cạnh của hình này Bài toán trở về dạng quen thuộc đó là tìm hai số khi biết tổng và tích

 Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh của mảnh vườn lần lượt là u và v (u > 0, v > 0)

Do mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 24m , diện tích là 27 m nên 2

Vậy độ dài hai cạnh của mảnh vườn đó lần lượt là 3m và 9 m

Nhận xét: Trong VD3 yêu cầu học sinh phải liên hệ được với phần hình

học, coi độ dài hai cạnh là hai số mà ta có thể tìm được tổng và tích của chúng thông qua công thức tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật Đó chính là điểm mấu chốt của bài toán, qua đây NLTD và LLTH được phát triển: học sinh nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề

u v

u v

u v

u v

u v

u v

u v

Yêu cầu: Không giải phương trình hãy tìm nghiệm còn lại x2?

Phân tích: Dễ dàng nhận thấy bài toán trên thuộc dạng tìm nghiệm còn

lại khi phương trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm Để làm dạng toán này ta chỉ cần áp dụng định lý Vi-et để tìm nghiệm còn lại

Tìm cách giải: Để xét xem một số có là nghiệm của một phương trình

hay không ta chỉ cần thay số đó vào phương trình Muốn tìm được nghiệm còn lại của phương trình bậc hai ta sử dụng một trong hai hệ thức của định lý Vi-et về tổng và tích hai nghiệm

 Lời giải:

Ta có: 2

( 2) 7.( 2) 10   4 14 10 0 Do đó x1 2 là một nghiệm của phương trình 2

 đều thuận tiện tính toán như nhau Qua ví dụ trên, năng lực tư duy

và lập luận toán học được phát triển: học sinh thực hiện tương đối thành thạo thao tác đặc biệt hóa (phương trình bậc hai cụ thể) Đồng thời, giải thích và chứng minh được (-2) là nghiệm của phương trình bậc hai ban đầu

VD2: Dùng hệ thức Vi-et để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

Tìm cách giải: Ví dụ này khác với VD1 ở chỗ phương trình bậc hai có

chứa tham số m Vì vậy để tìm nghiệm còn lại của phương trình ta phải lựa chọn hệ thức phù hợp Chẳng hạn, ở ý a) nếu sử dụng hệ thức tổng hai nghiệm

 trước để tìm ra nghiệm x , sau đó do đã biết 2 x x mà ta có thể dễ 1, 2

dàng tìm được giá trị của tham số m từ hệ thức Vi-et: x1 x2 b