Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết đã đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “phương pháp đếm nâng cao”; làm rõ những lưu ý, hiệu quả trong quá trình sử dụng các biện pháp sư phạm.
VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 111-116 ISSN: 2354-0753 MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH CHUN TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP ĐẾM NÂNG CAO” Trần Mạnh Sang1, Nguyễn Văn Thái Bình2,+ Article History Received: 12/3/2020 Accepted: 03/4/2020 Published: 08/5/2020 Keywords: Mathematics subject, Advanced counting method, mathematical thinking and reasoning, thinking capacity Trường Trung học phổ thông Chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định; Trường Đại học Sư phạm Hà Nội + Tác giả liên hệ ● Email: binhnvt@gmail.com ABSTRACT Mathematics has good conditions to develop thinking and reasoning for students in general, and mathematical thinking and reasoning ability in particular This study aims to help find some methods to develop mathematical thinking and reasoning for math students through teaching the topic “Advanced counting method” These measures focus on training and fostering thinking manipulations for students through organizing students to solve a class of difficult content problems, often in the exam questions in national and international exam for good students These measures not only help develop students' thinking but also help students practice math skills Mở đầu Trong chương trình chun Tốn THPT, nội dung tổ hợp ln lĩnh vực khó với thầy trị Các tốn dạng xuất nhiều kì thi học sinh (HS) giỏi quốc gia quốc tế, phần quan trọng việc phát bồi dưỡng HS giỏi Trong đó, tốn đếm thường xuất đề thi Bài tốn đếm nói toán cổ xưa nhất: đếm số vật ni chuồng, đếm số qn đồn qn, Để đếm số lượng đối tượng đó, nói chung người đưa kết quả, chưa hẳn giống Hơn nữa, có cách đếm khác Chẳng hạn, kết 36 có người đếm 36x1, có người lại 6x6, hai cách hồn tồn khác Bài tốn đếm hay làm khó người giải (HS giáo viên (GV)), làm họ dễ dẫn đến nhầm lẫn tính tốn Do đó, khả tư duy, lập luận quan trọng, giúp HS tìm ra, xác định chiến lược giải trình bày lời giải xác Bài báo trình bày số biện pháp phát triển lực tư lập luận toán học cho HS chuyên Toán THPT dạy học chủ đề “Phương pháp đếm nâng cao” Kết nghiên cứu 2.1 Về tư lực tư Theo Từ điển Tiếng Việt, “Tư trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ có tính chất quy luật vật, tượng” (Hoàng Phê, 1998) Nguyễn Thanh Hưng (2019, tr 184-187) cho rằng: “tư giai đoạn cao nhận thức, sâu vào chất phát quy luật vật hình thức biểu tượng, phán đốn, suy lí, Đối tượng tư hình ảnh, biểu tượng, kí hiệu Các thao tác tư chủ yếu gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, ” Theo Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn, biểu quan trọng lực tư lập luận toán học “thực tương đối thành thạo thao tác tư duy, đặc biệt phát tương đồng khác biệt tình tương đối phức tạp lí giải kết việc quan sát” (Bộ GD-ĐT, 2018) Từ toán đếm quen thuộc, HS tự tìm lời giải cho tốn tương tự, tìm khác tốn, cao phát biểu toán Trong nghiên cứu này, xem lập luận thành phần, phương thức đặc thù tư toán học thành phần lực toán học, tập trung vào khả HS thực hoạt động suy luận chứng minh (hoặc bác bỏ) - từ lựa chọn đắn đối tượng, cách thức kết quy luật toán học học Tốn Từ đó, chúng tơi xác định cấu trúc lực tư lập luận toán học HS học Toán bao gồm 05 thành tố: - Kĩ lập luận để xác định cấu trúc toán phân chia trường hợp; - Kĩ lập luận để nhận diện toán kiến thức có liên quan; - Kĩ lập luận để tìm đoán lựa chọn đường lối giải; - Kĩ lập luận để thực q trình giải tốn; - Kĩ lập luận để đánh giá trình giải nghiên cứu sâu toán 111 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 111-116 ISSN: 2354-0753 2.2 Về chủ đề “Phương pháp đếm nâng cao” Cơ sở phép đếm định nghĩa phép đếm, nguyên lí đếm số tổ hợp Tuy nhiên, với công cụ sở đó, thường giải tốn dạng đơn giản Với tốn có u cầu phức tạp hơn, cần đến phương pháp đếm nâng cao Ở giới thiệu phương pháp thường hay sử dụng giải toán đếm hay gọi phương pháp đếm nâng cao: Sử dụng nguyên lí bù trừ, sử dụng truy hồi, sử dụng song ánh sử dụng hàm sinh Sử dụng nguyên lí bù trừ: Nội dung nguyên lí: Cho A1, A2, , An (n 1) tập hợp hữu hạn khác rỗng n n i 1 Ai Ai i 1 1 i1 i n Ai1 Ai2 1 n 1 n Ai i 1 hay n i 1 n Ai (1) k 1 k 1 1 i1 i k n Ai1 Ai2 Aik (1) Các bước giải tốn sử dụng ngun lí bù trừ: - Bước 1: Gọi tập hợp phù hợp, xác định cần tính số phần tử tập - Bước 2: Đưa công thức bù trừ với hợp số tập gọi - Bước 3: Tính số phần tử tập cơng thức - Bước 4: Thay số vào cơng thức tính số cần tìm Đếm phương pháp truy hồi: Xuất phát từ toán với số lượng nhỏ đối tượng, cần giải toán nâng số lượng lớn Khi cần tìm mối liên hệ kết thay đổi số lượng đưa hệ thức truy hồi cho kết Các bước giải toán: - Bước 1: Gọi tập hợp trường hợp xảy với giá trị n - Bước 2: Đưa mối liên hệ tập tăng giá trị lên n+1, n+2 - Bước 3: Đưa biểu thức truy hồi số cần tìm - Bước 4: Sử dụng biểu thức truy hồi để tính số cần tìm Phương pháp sử dụng song ánh: Dựa tính chất song ánh “Nếu có song ánh từ tập A đến tập B số phần tử A B nhau”, giải toán đếm theo bước sau: - Bước 1: Xác định tập A cần tính (ở đề bài) tập B tạo song ánh với A - Bước 2: Thiết lập song ánh A B - Bước 3: Tính số phần tử B - Bước 4: Suy số phần tử A Ngồi ra, sử dụng phương pháp hàm sinh (Đây phương pháp coi đại) Các nghiên cứu vấn đề cịn nhiều hạn chế, đề thi thấy xuất toán ứng dụng phương pháp 2.3 Một số biện pháp sư phạm Biện pháp 1: Hướng dẫn tập luyện cho HS khả nhìn tốn đếm nhiều góc độ khác để tìm nhiều cách giải khác Bài tốn đếm có nhiều tập đa dạng phong phú, nhìn nhận góc độ khác nhau, cách nhìn nhận tạo cách giải khác Trong trình dạy học, việc rèn luyện cho HS nhìn nhận tốn theo nhiều hình thức khác rèn luyện tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn độc đáo tư Để tìm nhiều cách giải cho toán, trước hết HS cần nắm vững kiến thức phương pháp giải toán Đồng thời, tư lập luận, HS trình bày cách để giải toán Cách thức thực hiện: GV đưa tốn đếm giải nhiều cách, nhiều phương pháp khác GV yêu cầu HS giải tập đó, hướng dẫn HS cách nhìn nhận khác để đưa lời giải khác cho toán Sau đưa lời giải so sánh để nhận xét ưu điểm, nhược điểm cách giải, đưa lời giải tối ưu Ví dụ Xét số nguyên dương n k ≤ [n/2] Cho n điểm đường thẳng, có cách chọn k điểm cho khơng có hai điểm liên tiếp chọn Phân tích: Gặp tốn này, HS khơng thể làm theo cách đếm chia trường hợp cụ thể, số n k số dạng tổng quát Khi cần nghĩ đến phương pháp đếm nâng cao, phương pháp chọn lựa để giải toán, qua thể hoạt động tư phân tích HS + Hướng thứ chọn trực tiếp k điểm thỏa mãn điều kiện, cách cần chia trường hợp cụ thể, nói khơng khả thi Qua thể hoạt động tư so sánh, bác bỏ HS + Hướng thứ hai chuyển việc chọn k điểm thỏa mãn điều kiện việc chọn số điểm điểm này, điểm chọn có điểm Đến cho suy nghĩ sử dụng toán chia kẹo Ơle để giải tốn 112 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 111-116 ISSN: 2354-0753 Lời giải Giả sử k điểm chọn A1 ,A2 , ,Ak theo thứ tự đường thẳng, gọi x1 số điểm trước A1 , x i i 2,3, , k số điểm Ai Ai 1 , x k 1 số điểm sau Ak Số cách chọn k điểm thỏa mãn điều kiện số x1 , x , , x k thỏa mãn hệ điều kiện x i , i 1, 2, , k * x i , i 2,3, , k x x x n k k 1 (các xi ,i 2,3, , k số nguyên dương điểm chọn có điểm) Thực đổi biến y1 x1 , yk 1 x k 1 , yi xi 1, i 2,3, ,k ta hệ yi , i 1, 2, , k I y1 y2 yk 1 n 2k Ta có “Bài tốn chia kẹo Ơle”: Cho k, n số nguyên dương Số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 x x k n Ckn 1k 1 Áp dụng vào toán trên, số nghiệm I Ckn k 1 , suy số cách chọn thỏa mãn Ckn k 1 Kết thúc lời giải Lời giải Kí hiệu S A1 , A , , A n tập n điểm theo thứ tự đường thẳng Thiết lập ánh xạ f : A B , Aa1 , A a , A a3 , , A a k A A a1 A a1 , Aa , , Aa k | a i a i 1 1,1 a i n , B Ta chứng minh f song ánh , A a 1 , A a3 , , A a k k 1 với A b1 , Ab2 , , Abk | bi bi 1; bi n k ' ' ' ' Với hai a1 ;a ;a ; ;a k , a1;a ;a ; ;a k khác nhau, nghĩa chúng khác vị trí đó, giả sử vị trí thứ i, tức a i a a i i a i' i , hay hai a1 ;a 1;a 2; ;a k k 1 ; a ;a ' ' i ' 1;a 3' 2; ;a 'k k 1 khác Suy f đơn ánh Với a1 ;a 1;a 2; ;a k k 1 rõ ràng cho a1 ;a ;a ; ;a k A , hay f toàn ánh Vậy f song ánh Suy │A│= │B│= số cách chọn k số từ n – k + số (mà không quan tâm thứ tự) Ckn k 1 Qua ví dụ trên, GV tạo tình mà HS nhìn nhận tốn đếm qua nhiều phương diện khác nhau, từ tìm lời giải khác cho Với cách giải khác nhau, HS phát triển lực tư lập luận toán học Biện pháp 2: Tập luyện cho HS thói quen khơng suy nghĩ rập khn, máy móc, khơng bị phụ thuộc vào dạng có sẵn để HS có tư logic, xử lí linh hoạt trước tình Một thuộc tính quan trọng tư tính mềm dẻo Tính mềm dẻo thể khả dễ dàng chuyển từ giải pháp sang giải pháp khác, không suy nghĩ rập khuôn, không áp dụng máy móc kinh nghiệm, kiến thức, kĩ có, biết vào hoàn cảnh mới, điều kiện mà có yếu tố thay đổi Vì vậy, biện pháp nhằm rèn luyện cho HS tính mềm dẻo tư Cách thức thực hiện: GV phải linh hoạt, mềm dẻo gợi mở vấn đề để HS từ kiến thức có tổng hợp cơng cụ để giải tốn, khơng áp đặt để HS không suy nghĩ cứng nhắc, máy móc bắt chước theo hướng giải GV cần khuyến khích HS sáng tạo đưa hướng giải không liệt kê cụ thể tất phương pháp mà nên đưa dấu hiệu tương ứng gợi mở để HS phát phương pháp Ví dụ Cho số nguyên dương n ≥ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, tạo số tự nhiên có n chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: a) Số chia hết cho 5; b) Tổng chữ số số chẵn Phân tích: Trước hết GV hướng dẫn HS giải toán số thỏa mãn điều kiện a) Giả sử số có dạng a1a a n , a n có cách chọn (chữ số 5), a1 có cách chọn (khác chữ số 0), số cịn lại có cách chọn Áp dụng quy tắc nhân, số số thỏa mãn 10.6n 113 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 111-116 ISSN: 2354-0753 Những toán liên quan tổng chữ số số (chẵn, lẻ, chia hết cho 3, cho 9), trước HS thường chia trường hợp tính trường hợp Tuy nhiên với ví dụ này, việc chia trường hợp khó khăn n số dạng tổng quát Để hiểu toán hơn, GV hướng dẫn HS giải toán với trường hợp n có giá trị nhỏ, cố định điều kiện i Với n = 2, ta có số có tổng chẵn 20, 40, 15, 35, 55 số có tổng lẻ 10, 30, 50, 25, 45 Với n = 3, ta có số thỏa mãn 200, 220, 240, 400, 420, 440,105,125,145,305,325, 345,505,525,545,110, 130,150,310,330,350,510,530,550, 215, 235, 255, 415, 435, 455 Nhận thấy với n = 3, việc chia trường hợp phức tạp Tuy nhiên thấy số trường hợp n tạo từ số trường hợp trên, phương pháp truy hồi sử dụng để giải toán Lời giải Gọi Sn tập số thỏa mãn điều kiện i, An tập Sn mà phần tử An có tổng chữ số chẵn, Bn Sn \ An Mỗi phần tử An tạo phần tử thuộc A n 1 (thêm 0, 2, vào trước chữ số hàng đơn vị) phần tử thuộc Bn 1 Mỗi phần tử Bn tạo phần tử thuộc A n 1 (thêm 0, 2, vào trước chữ số hàng đơn vị) phần tử thuộc Bn 1 Suy A n 1 A n Bn S 10.6n 1 A n Bn n 5.6n 1 2 B A B n 1 n n Qua ví dụ trên, HS rèn luyện thói quen khơng suy nghĩ rập khn, máy móc, khơng bị phụ thuộc vào dạng có sẵn Từ giúp HS phát triển tư logic, khả linh hoạt tình Qua hoạt động trên, HS có khả phân tích, so sánh tốn với từ giải thích, điều chỉnh cách thức giải vấn đề Đây thành phần lực tư lập luận toán học Biện pháp 3: Hướng dẫn tập luyện cho HS khả khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, khả lập luận Tốn học để giải toán phát biểu toán Trong tác phẩm “Giải toán nào”, G Polya viết: “Cách giải thật, làm để phát kiện vậy? làm để tự phát được?” (Polya, 1997) Quan điểm G Polya muốn nhấn mạnh ý nghĩa việc dạy cho HS biết tự tìm tịi lời giải, tự tìm từ quen thuộc, biết Cách thức thực hiện: Để phát đề xuất toán mới, phương pháp từ tốn cho, hướng dẫn HS theo đường sau đây: - Sử dụng thao tác tư như: đặc biệt hóa, tương tự hóa, tổng qt hóa… để đến tốn đặc biệt hóa, tương tự, tốn đảo, hay tổng qt hóa; - Nghiên cứu sâu chất toán, đoán nhận sở hình thành tốn,… để xây dựng toán dạng; - Xét thay đổi giả thiết, từ dẫn đến thay đổi tương ứng kết luận, để xây dựng, đề xuất tốn mới; - Các câu hỏi hướng dẫn HS trả lời là: + Bài toán cho tương tự với toán nào? + Bài tốn có trường hợp đặc biệt tốn khơng? + Có thể mở rộng tốn theo hướng nào? + Có thể thay đổi giả thiết, điều kiện nào, thêm điều kiện gì? + Phương pháp giải tốn áp dụng cho dạng toán khác? + Bài toán có nêu lên vấn đề khơng? Ví dụ Cho hai tập hợp A a1 , a , , a n tập B b1 , b2 , , bn Có song ánh f : A B ? Đây toán mà HS chuyên Toán giải Kết toán n! Sau HS giải xong toán, GV hướng dẫn HS mở rộng thêm toán theo hướng: Bài toán 1: Cho hai tập hợp A a1 , a , , a n tập B b1 , b2 , , bm với m n Có đơn ánh f :A B Bài toán 2: Cho hai tập hợp A a1 , a , , a n tập B b1 , b2 , , bm với m n Có tồn ánh f :A B Bài tốn 3: Cho tập hợp A a1 , a , , a n Có song ánh f : A A mà f khơng có điểm bất động? 114 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 111-116 ISSN: 2354-0753 Bài toán 4: Cho tập hợp A a1 , a , , a n Có song ánh f : A A mà f có k điểm bất động? Bài tốn 5: Cho tập hợp A 1, 2, , n Có hoán vị A Bài toán 6: Cho tập hợp A 1, 2, , n Có hốn vị A có k điểm bất động? Bài tốn 7: Có n bóng b1 , b2 , , bn 2n hộp h1 , h , , h 2n Biết bóng bi i 1, 2, , n bỏ vào hộp h1 , h , , h 2i Hỏi có cách bỏ k ( 1 k n ) bóng vào hộp, biết hộp chứa nhiều bóng? (Hai cách bỏ bóng gọi khác bóng bỏ vào hai hộp khác hai cách đó) Bài toán 8: (Bulgaria 1995) Cho số nguyên n Tìm số hốn vị a1 ,a , ,a n tập hợp 1, 2, , n cho tồn số i 1, 2, , n 1 thỏa mãn điều kiện a i a i 1 ? Bài toán 9: (Canada 1996) Cho số nguyên n Gọi u n số hoán vị a1 ,a , ,a n tập hợp 1, 2, , n a1 thỏa mãn điều kiện Tìm số dư u1996 chia cho a i 1 a i 2, i 1, 2, , n Bài toán 10: (IMO Shortlist 2008) Cho số nguyên dương n Tìm số hoán vị a1 ,a , ,a n tập hợp 1, 2, , n thỏa mãn tính chất: a1 a a k chia hết cho k với k 1, 2, , n Bài toán 11: (VMO 2003) Với số nguyên n , kí hiệu s n số hoán vị a1 ,a , ,a n n số nguyên dương đầu tiên, mà hoán vị a1 ,a , ,a n có tính chất a k k với k = 1, ,…n Chứng minh 1,75.sn 1 sn 2.sn 1 với n > Bài toán 12 (VMO 2009) Cho số nguyên dương n Kí hiệu T tập hợp gồm 2n số nguyên dương Hỏi có tất tập S T có tính chất: S khơng tồn số a, b mà a b {1; n}? Như vậy, từ toán ban đầu, GV linh hoạt khai thác thành nhiều tốn nhằm giúp HS phát triển tư thơng qua hoạt động dẫn dắt, định hướng cách suy luận; qua HS rèn luyện khả khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, khả lập luận hợp lí trước kết luận Biện pháp 4: Đưa toán thực tế tạo hội để HS trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực tiễn, để HS rèn luyện tư lập luận toán học Cách thức thực hiện: GV đưa tình thực tế, hướng dẫn HS phát biểu tốn, đưa mơ hình biết tương tự mơ hình biết giải tốn Ví dụ 4: (Bài tốn bầu cử) Trong bầu cử, số người ủng hộ cho ứng cử viên X a người, ứng cử viên Y b người (a > b) Cử tri bỏ phiếu người Có cách xếp việc bỏ phiếu để lúc X Y số phiếu bầu? C B Lời giải Xét hình chữ nhật b a hình vẽ (có b hàng a cột) Mỗi cách xếp việc bỏ phiếu cách từ A đến B (nếu bỏ cho X qua phải, bỏ cho Y lên trên) Chú ý: Số cách từ A đến B Caa b N Thật vậy, ta mã hóa lần lên số 1, qua phải số Khi tồn song ánh tập đường với tập mã gồm E M a số b số Số dãy số cách chọn a vị trí a b vị trí để A đặt số 1, ta kết Caa b D Cách xếp để lúc X thắng cách từ A đến B mà không chạm AB (không kể điểm A) Đi từ A đến B mà không chạm AC, nghĩa bước đầu phải qua D Số bước từ A đến B không chạm AC số cách từ D đến B mà không chạm AC số cách từ D đến B trừ số cách từ D đến B mà chạm vào AC Mỗi cách từ D đến B mà chạm AC, giả sử chạm điểm M N (như hình vẽ) ta lấy đối xứng qua đường AC đoạn đường từ D đến N, cách từ E đến B, tổng quát ta lấy đối xứng đường từ D đến điểm chạm AC cuối Dễ thấy song ánh từ tập cách từ D đến B mà chạm AC với tập cách từ E đến B 115 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 111-116 ISSN: 2354-0753 Theo ý, ta được: số cách từ D đến B Caa 1b 1 , số cách từ E đên B Caa b 1 Vậy kết ab a Caa 1b 1 Caa b 1 Ca b ab ab a Ca b Tuy nhiên, cần hoán vị cử tri để có kết a!b! ab Kết luận Bài viết đề xuất số biện pháp sư phạm nhằm phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua dạy học chủ đề “phương pháp đếm nâng cao” Trong biện pháp, tác giả trình bày ví dụ minh họa, phân tích để làm rõ lưu ý, hiệu trình sử dụng biện pháp sư phạm đề xuất Các biện pháp cần thực đồng trình dạy học để bổ sung, hỗ trợ cho việc phát triển lực tư lập luận toán học cho HS Tài liệu tham khảo Arthur Engel (1999) Problem - Solving Strategies Springer Bộ GD-ĐT (2007a) Đại số giải tích 11 nâng cao NXB Giáo dục Việt Nam Bộ GD-ĐT (2007b) Đại số giải tích 11 nâng cao - Sách tập NXB Giáo dục Việt Nam Bộ GD-ĐT (2007c) Đại số giải tích 11 nâng cao - Sách giáo viên NXB Giáo dục Việt Nam Bộ GD-ĐT (2009) Chương trình chun sâu trung học phổ thơng chun mơn Tốn ban hành theo Cơng văn số 10803/BGDĐT-GDTrH ngày 16/12/2009 Bộ GD-ĐT (2018) Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (ban hành theo Thơng tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018) Hoàng Phê (1998) Từ điển tiếng Việt NXB Khoa học xã hội Nguyễn Thanh Hưng (2019) Rèn luyện thao tác tư cho học sinh dạy học chương “Tứ giác” (Toán 8) trường trung học sở Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt tháng 4, tr 184-187 Nguyễn Bá Kim (2016) Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB Đại học Sư phạm G Polya (1997a) Giải toán nào? NXB Giáo dục G Polya (1997b) Tốn học suy luận có lí NXB Giáo dục 116 ... có kết a!b! ab Kết luận Bài viết đề xuất số biện pháp sư phạm nhằm phát triển lực tư lập luận tốn học cho HS thơng qua dạy học chủ đề “phương pháp đếm nâng cao” Trong biện pháp, tác giả trình... phần lực tư lập luận toán học Biện pháp 3: Hướng dẫn tập luyện cho HS khả khái quát hóa, đặc biệt hóa, tư? ?ng tự hóa, khả lập luận Toán học để giải toán phát biểu toán Trong tác phẩm “Giải toán nào”,... rõ lưu ý, hiệu trình sử dụng biện pháp sư phạm đề xuất Các biện pháp cần thực đồng trình dạy học để bổ sung, hỗ trợ cho việc phát triển lực tư lập luận toán học cho HS Tài liệu tham khảo Arthur