Một số phương pháp giải bài toán về khoảng cách trong không gian lớp 11 dành cho HS trung bình, khá 2

PhÇn mét PhÇn më ®Çu 1.Lí do chọn đề tài: Đối với học sinh nói chung thì trong hai bộ môn Đại số và Hình học thì Hình học là bộ môn khó học hơn nhiều và là một trong những bộ môn khó học

PhÇn mét PhÇn më ®Çu 1.Lí do chọn đề tài:

Đối với học sinh nói chung thì trong hai bộ môn Đại số và Hình học thì Hình học là bộ môn khó học hơn nhiều và là một trong những bộ môn khó học.Đặc biệt

là phần hình học không gian.Có thể nói đây là phần tổng hợp rất nhiều kiến thức về định lượng cũng như định tính của tất cả các kiến thức về hình mà các em đã được học ở các lớp dưới,nếu không nói là những kiến thức từ khi bắt đầu đi học( về hình học),ngoài những yêu cầu về học tập như những môn học khác, bộ môn này còn yêu cầu khả năng tư duy trừu tượng cao- đây là một yêu cầu mà không phải đa số học sinh đáp ứng được,nhất là những học sinh lớp đại trà.Trong thực tế 13 năm giảng dạy-chủ yếu đối tượng của tôi là học sinh những lớp đại trà, bản thân nhận thấy kết quả học tập của học sinh ở phần này không cao,với những trăn trở trên con đường giúp học sinh nâng cao chất lượng học phần này và với khả năng cho phép của bản thân tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống bài tập cũng như phương pháp giải của phần Bài toán khoảng cách trong hình học không gian.Đây chính là lí do chọn

đề tài này

2.Mục đích nghiên cứu:

Víi hệ thống bài tập và câu hỏi gợi ý,hướng dẫn trong tài liệu này, giúp cho học sinh hiểu được và nắm bài nhanh nhất, có như vậy sẽ góp phần tạo hứng thú cho học sinh trong học tập bộ môn Hình học nói riêng và môn toán nói chung

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh rất khó hình các mối quan hệ hình học,do đó việc giải quyết bài toán khoảng cách trong không gian là tương đối khó khăn,nhất là đối với những lớp đại trà vì nó rất trừu tượng

Với mong muốn giúp các em phần nào đó tháo gỡ được những khó khăn của bản thân để các em có cơ hội học tốt những phần hình học ở lớp 12- một nội dung kiến thức được cho là quan trọng trong các kỳ thi

3.Đối tượng nghiên cứu:

Trong phạm vi của bài viết này tôi đề cập đến 3 dạng bài tập:

1

Dạng 1:Bài toỏn tớnh khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng.

Dạng 2:Bài toỏn tớnh khoảng cỏch giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song song

Dạng 3:Bài toỏn xỏc định đoạn vuụng gúc chung và tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau

4 Phương phỏp nghiờn cứu: Phương phỏp điều tra khảo sỏt thực tế,thu thậ thụng

tin kết hợp với Phương phỏp thống kờ, xử lý số liệu

Phần hai nội dung của đề tài 1.Cơ sở lớ luận:

A.Hỡnh học phẳng:

1)Tỉ số gúc nhọn trong tam giỏc vuụng:

2)Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng:

BC

AB





BC

Ac





AC

AB





AB

AC



 cot 2.1.BC2 AB2AC2(Định lớ Pitago)

2.2.AB2 BH.BC, AC2 CH.BC

2.3.AH2 BH.CH

 , AB.AC AH.BC

2.4 2 2 2

1 1

1

AC AB

3)Định lớ cosin:

A bc c

b

a2  2 2 2 cos ;b2a2c2 2accosB;c2b2a2 2bacosC[2]

C

c B

b A

sin sin

5)Định lớ Talet:

NC

AN MB

AM BC

MN AC

AN

AB

AM

BC

MN





//

6)Cỏc đường trong tam giỏc:

6.1.Đường trung tuyến:

a)Là đường thẳng nối đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện

b)Giao cuả 3 đường trung tuyến là trọng tõm G của tam giỏc

BG BN BG GN GN BN

3

1

; 2

; 3

2







6.2.Đường cao: Là đường xuất phỏt từ một đỉnh và vuụng

gúc với cạnh đối diện.Giao của 3 đường cao là trực tõm của tam giỏc

6.3.Đường trung trực: Là đường vuụng gúc với mỗi cạnh tại trung điểm của

nú.Giao của 3 đường trung trực là tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc

6.4.Đường phõn giỏc: Là đường chia gúc của tam giỏc thành hai gúc bằng

nhau.Giao của 3 đương phõn giỏc là tõm của đường trũn nội tiếp tam giỏc



B A

N M

C B

A

N

G

C B

A

7)Diện tích Trong hình phẳng:

7.1.Tam giác thường:

ah

S

a

2

1

)  ;b)S  p(p a)(p b)(p c)(Công thức Hê-rông)

pr

S

c)  (r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)

R

abc

S

d

4

)  (R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)[2]

7.2.Tam giác đều cạnh a:

a)Đường cao:

2

3

a

h  ; b)

4 3 2

a

S 

c)Đường cao cũng là đường trung tuyến,đường phân giác,đường trung trực

7.3.Tam giác vuông:

a) S ab

2

1

 (a,b là hai cạnh góc vuông)

b)Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

7.4.Tam giác vuông cân(nửa hình vuông):

2

1 a

S  (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b)Cạnh huyền bằng a 2

7.5.Tam giác cân:

ah

S

a

2

1

)  (h:đường cao;a:cạnh đáy)

b)Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến,đường phân giác,đường trung trực

7.6.Hình chữ nhật: S = ab (với a,b là các kích thước)

7.7.Hình vuông: a)S = a2 ;b)Đường chéo a 2

7.8.Hình thoi: S 21d1.d2(d1.d2 là các đường chéo của hình thoi )

B Hình học không gian:

B1:Quan hệ song song:

1)Hai đường thẳng song song:

1.1  [3]

1.2 [3]

3

   

   

   

, , , /

a b c p b

  



  



  





a, b,c đồng quy



a, b, c đôi một song song

//

a P b Q

a b

  







     // , //a a( b b)

2)Đường thẳng song song với mặt phẳng:

2.1 a (P);a//b;b (P)  a//(P)

2.2 Nếu a // (P) thỡ  (Q) a; (Q)  (P) b b//a

2.3 Nếu (P) (Q) = b ; a//(P); a//(Q) thỡ b//a [3]

3)Hai mặt phẳng song song:

3.1

( ), ( )

( ) / /( ) / /( ); / /( )

a P b P

a Q b Q



  





[3] 3.2 (P)//(Q)(R) (P)=a



 (R)(Q)=b,a//b[3]

B2:Quan hệ vuụng gúc:

1)Đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng:

1.1.a (P)  ad; d  (P) 1.2  

P

a P c b c a b a













;

; ) (

)

(

//

.

3

.

a

P

b

a











a b

b a

P b

P a

//

) ( ) (

4









) ( )

(

)

//(

)

(

.

5

.

Q

a

Q

P











( ) //( )

) ( ) ( ) ( ) ( 6

Q P

a Q a P











; )

(

)

//(

.

7

.

1 b a P P  ab







//( )

) (

) (

8

b P b a P a













[3]

1.9 Định lớ ba đường vuụng gúc:

Cho a khụng vuụng gúc với (P) b (P);ba ba'với a’ là hỡnh chiếu của a trờn (P)[3]

2)Hai mặt phẳng vuụng gúc: (P) a ; a(Q) (P) (Q).[3]

3)Gúc:

3.1.Gúc giữa hai đường thẳng:

(a;b) = (a’;b’), với a’//a;b’//b[3]

3.2 Gúc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   :

+d   = O và Ad

 













H

AH

thỡ gúc giữa d và  là 

AOH [3]

3.3.Gúc giữa hai mặt phẳng   và  

Nếu    

























F M EM

AB

E M

A B FM

AB

; ,

.

thỡ gúc giữa   và   là 

EMF [3]

2.Thực trạng vấn đề:

1/- Chơng trình tài liệu:

Đối với phân phối chơng trình của Bài 5 :Khoảng cỏch theo phơng án sách

giáo khoa mới chơng trình nõng cao là phù hợp giữa thời lợng phân phối và yêu cầu kiến thức cần đạt đợc.Xong chỉ với thời lượng 2 tiết học thỡ rất khú khăn cho việc học sinh nắm vững kiến thức.Trong khi cỏc tài liệu trờn thị trường chỉ cung cấp lời giải hoặc vài gợi ý mà khụng cú hệ thống cõu hỏi dẫn dắt.Việc sử dụng những tài liệu này hiệu quả sẽ khụng cao đối với những học sinh ở mức đại trà

2/- Đối tượng học sinh:

Đối với những lớp đại trà thỡ với thời gian chỉ 2 tiết học chắc chắn sẽ rất khú

để học sinh thực hiện thành thạo được cỏc bài toỏn về khoảng cỏch, nờn với tài liệu

này hy vọng sau thời gian học trên lớp các em sẽ có thời gian sử dụng tài liệu này ở nhà để giúp tìm hướng dề dàng hơn cho việc giải bài tập của mình

3.Các giải pháp cụ thể của nội dung đề tài:

Lưu ý: Để việc đọc tài liệu được hiệu quả học sinh nên thực hiện theo các bước

sau:

Bước1:Đọc thật kỹ để hiểu đề ,viết ra những giả thiết mà đề bài đã cho,và vấn đề cần giải quyết của bài

Bước 2:Hãy tự mình suy nghĩ để tìm ra hướng giải quyết,cố gắng xoay quanh giả thiết và tìm mối liên hệ với kết luận.Nếu không được thì đến bước 3

Bước 3:Hãy xem những gợi ý bên cột hướng dẫn để tìm ra lời giải

Bước 4:Xem lời giải chi tiết để tham khảo cách trình bày và đối chiếu để chỉnh sửa lập luận của mình

Bước 5:Thông qua bài này,hãy rút ra cho bản thân các kết luận về hai khía cạnh:

-Kiến thức:Bản thân có thêm hoặc ôn lại được những kiến thức nào

-Kỹ năng:Bản thân có thêm được kỹ năng trình bày 1 bài toán,củng cố kỹ năng lập luận đối với loại bài vừa giải quyết

Dạng 1:Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

A.Phương pháp: Tính khoảng cách từ điểm M đến một mặt phẳng (P)

Bước 1:(Xác định khoảng cách)Chỉ ra đoạn MH vuông góc với mp(P) bằng cách.

- Dựng mp(Q) chứa M và  Q  P theo giao tuyến 

- Hạ MH   (H  )  MH dM; P 

Bước 2:(Tính khoảng cách) dM; P  MH được tính

bằng các định lí hình học sơ cấp

Bước 3:Kết luận.[5]

B.Một số ví dụ:

Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a,SA  ( ABCD) và SA  a 3.Tính khoảng cách :

a)Từ A đến mp(SBC)

b)Từ I đến mp(ABCD),với I là trung điểm của SC

c) Từ O đến mp(SBC),với O là tâm của hình vuông ABCD.[6]

H1:Hãy chỉ ra 1 mp

chứa A và vuông

góc với mp(SBC)

- Để chỉ ra 2 mp

vuông góc với nhau

cần làm gì?

a)+ Xác định khoảng cách từ A đến mp(SBC):

-Ta có:BC  BA (gt hình vuông) (1)

BC  SA(vì SA  ( ABCD))(2)

Từ (1) và (2) suy ra BC SABmà

) (SBC SAB SBC

-SAB (SBC) SB

5

H

Q M

P

j

J

H O

I

D

C

K A

B S

-Chứng minh

SAB

BC 

H2:Những đường

nào nằm trong

(SAB) mà vuông

góc với (SBC)

Nhắc lại nội dung

của 1 định lí liên

quan

-Trong mp(SAB): Từ A kẻ

) (K SB SB

AK    AK SBC Hay AK dA;SBC

+Tính khoảng cách từ A

đến mp(SBC):

Xét tam giác vuông SAB:

2 3

3

1 1 1 1 1

2 2

2 2 2

a AK

a a AB AS AK













KL: Khoảng cách từ A đến mp(SBC) là

2

3

a

AK 

Cách 1:

H1: Hãy chỉ ra 1 mp

chứa I và vuông góc

với mp(ABCD)

H2:Từ I kẻ IMAC

điểm M nằm ở đâu?

Cách 2:

-So sánh

S ABCD 

I ABCD 

b)Cách 1:

+Xác định khoảng cách từ I đến mp(ABCD):

-Vì SA  ( ABCD)và SA (SAC)  SAC (ABCD)

- màSAC (ABCD) AC

-Trong mp(SAC): Từ I kẻ IO  AC( với O là tâm của ABCD)

ABCD

IO 



Hay IOdI;ABCD

+Tính khoảng cách từ I đến mp(ABCD):

Xét SAC có IO là đường trung bình của SAC nên

2

3 2

SA

IO 

Cách 2:Vì I là trung điểm của SC nên

d ;I ABCD= 21 d ;S ABCD

2

3 2

SA 



Cách 1:

-Dựng 1 mp chứa O

và song song với

(SAB)

Cách 2:

-Chứng minh

AKC  (SBC)

-Kẻ HO  KC

-HOdO;SBC

c) Cách 1:

+Xác định khoảng cách từ O đến mp(SBC):

-Từ O kẻ OJ //AB, khi đó (OIJ) // (ASB)  OIJ  (SBC)

- OIJ (SBC) IJ

-Trong mp(OIJ): Từ O kẻ HO  IJ  HO SBC Hay HOdO;SBC

+Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC):

Xét tam giác vuông OIJ:

4 3

2

1

2 3

1 1

1 1

2 2

2 2 2

a OH a

a OJ OI

































Cách 3:Vì O là trung điểm của AC nên

dO;SBC=

2

1

A SBC 

d ;

4

3 2

1AK  a



Lưu ý:Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính khoảng cách thì có thể bỏ qua bước 1,tức là

không cần chỉ ra cách xác định đoạn khoảng cách

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a,

3

a

AC  Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).[6]

-So sánh

A SBC 

 

H SBC 

- Xác định khoảng

cách từ H đến(SBC)

+ Chỉ ra 1 mp chứa

A và vuông góc với

mp(SBC)

+Chứng minh

) (

)

(SHI  SBC

-Chứng minh

ABC

 ˜ IBH

*Xác định khoảng cách từ A đến mp(SBC):

+Gọi H là trung điểm của AB

+dA;SBC = 2dH;SBC

+Vì tam giác SAB là tam giác đều nên SH  AB.Mặt khác

SAB  (ABC)nên SH  ( ABC)

BC

SH  (1) +Kẻ HI  BCtại I (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC  (SHI)

) ( ) (SHI  SBC

 theo giao tuyến SI +Trong SHIkẻ HK SI tại K

)

(SBC

HK 

  dH;SBCHK

* Tính khoảng cách từ H đến mp(SBC):

Xét tam giác vuông SHI: 2 2 2

1 1 1

HS HI

+Tính HI:ABC˜ IBH  IH AC BC.BH

4

3

a



+Tính HS:

-Ta có AB BC2 AC2 a

-SAB đều cạnh a nên SH =

2

3

a

Do đó: HK =

10

15

a

Vậy dA;SBC= 2dH;SBC=

5

15

a

C.Bài tập tương tự:

1) Cho hình chóp S.ABCD có SA  x,tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a a)Chứng ming tam giác SAC vuông

b)Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) [6] ĐS:   

2 2

;

x a

ax ABCD

S d





2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a,

0

60

ˆC 

B

7

a 3

2a

I

K

H

C

B A

S

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với đáy một góc 600 Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC).[6] ĐS:   

9

5 8

; SAC a

B

Dạng 2:Bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

A.Phương pháp:

1) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:

a // (P): d[a;(P)] = d[M;(P)] ,với M là 1 điểm bất kỳ thuộc a

Bước 1:Tìm điểm M thuộc đường thẳng a( dựa vào giả

thiết từng bài nên chọn những điểm đặc biệt:trung điểm,

trọng tâm tam giác,…để dễ tính)

Bước 2:Tính d[M;(P)] theo dạng 1.[3]

2) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:(Q) // (P):

d[(Q);(P)] = d[M;(P)] ,với M là 1 điểm bất kỳ thuộc (Q)

= d[N;(Q)] , với N là 1 điểm bất kỳ thuộc (P)

Bước 1:Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Q) hoặc N là 1

điểm bất kỳ thuộc (P) ( dựa vào giả thiết từng bài nên

chọn những điểm đặc biệt:trung điểm,trọng tâm tam

giác,…để dễ tính)

Bước 2:Tính d[M;(P)] hoặc d[N;(Q)] theo dạng 1.[3]

B.Một số ví dụ:

Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD,có đáy là hình thang

vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a, SA (ABCD),SAa 2.Tính:

a)Khoảng cách giữa AB và mp(SCD)

b)Khoảng cách giữa DE và mp(SBC),với E là trung điểm của AB

a

H P

M

Q

H P

M

H1:Nhận xét về mối

quan hệ giữa đường

thẳng AB và

mp(SCD)?Vì sao?

a)+Vì AB // CD,mà

CD(SCD) nên AB //(SCD) +d[AB;(SCD)] = d[A;(SCD)]

+Lập luận tương tự Ví

dụ 1-Dạng 1 ta được d[A;(SCD)] = AK

+ 2 2 2 2  2

2

1 1 1 1 1

a a AD AS

AH    

3

6

a

AH 



Vậy d[AB;(SCD)]

3

6

a

H1:Nhận xét về mối

quan hệ giữa đường

thẳng DE và (SCB)?

Gợi ý:

-Chứng minh

DE // (SCB)

-Chỉ ra trong

mp(SBE) có một

đường thẳng song

song với DE

H2: Chứng minh

(SAC) (SCB)

Gợi ý:

- Chứng minh BC

(SAC)

-Chứng minh BC

AC

b) *Xác định khoảng cách từ DE đến mp(SBC):

+Xét tứ giác BCDE có: 





DC EB

DC //

BCDE là hình bình hành

 DE // BC mà BC(SBC) nên DE //(SBC) +d[DE;(SBC)] = d[I;(SBC)],với I = AC DE

*Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC):

+Trong SAC: kẻ AK  SC tại K, kẻ IJ  SC tại J.

+Ta có BC AS (do AS (ABCD)) (1) + Tứ giác ADCE là hình vuông  A CˆE  45 0(2)

Mặt khác: BCE vuông cân tại E nên 0

45

ˆE 

C

Từ (2) và (3),suy ra 0

90

ˆA

C

B hay BC AC (4)

Từ (1) và (4),suy ra BC(SAC) mà BC(SBC) nên (SBC)(SAC) theo giao tuyến SC

+Vì AK  SC nên AK (SBC),do đó IJ(SBC)

+Vì I là trung điểm của AC nên d[I;(SBC)] = 21 d[A;(SBC)], + d[A;(SBC)] = AK ,với

a AC AS

AK2  2  2  2  2  

2

1 )

2 (

1 1

1 1

Vậy d[DE;(SBC)] = a

Ví dụ 2:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông canh

a.Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh BC,A’C’,B’C’.Tính khoảng cách giữa:

a)Mp(AA’B’B) và mp(DEF)

b)B’C’ và (A’BC).[6]

H1:Nhận xét về mối a) *Xác định khoảng cách giữa

9

H

K

J

I

C D

A S

I J F E

B' A'

K

D C

B A

quan hệ

giữa(AA’B’B) và

(DEF)?

Gợi ý:

-Chứng minh

(AA’B’B) //(DEF)

-Để chứng minh hai

mặt phẳng song song

cần làm gì?(Chỉ ra

trong mp(DEF) có hai

đường thẳng cắt nhau

và cùng song song với

(AA’B’B))

(AA’B’B) và (DEF):

+EF// A’B’(AA’B’B)

 EF // (AA’B’B)(1) + DF// BB’(AA’B’B)

 DF // (AA’B’B)(2)

Từ (1) và (2),suy ra AA’B’B) // (DEF)

+Gọi I là trung điểm của A’B’, khi đó C’I  A’B’, C’I EF = I

+Gọi d là khoảng cách giữa(AA’B’B) và (DEF)  d = IJ

*Tính khoảng cách giữa(AA’B’B) và (DEF):

IJ =

2

1

C’J =

4

3

a (vì A’B’C’ là tam giác đều cạnh a) Vậy khoảng cách giữa (AA’B’B) và (DEF) bằng

4

3

a

H1:Hãy dựng một mặt

phẳng chứa F và

vuông góc với

(A’BC)]?

Gợi ý:

-Nhận xét về quan hệ

của FD và BC;A’D và

BC?

b) *Xác định khoảng cách từ B’C’ đến mp(A’BC):

+Vì B’C’ // BC(A’BC) nên B’C’ // (A’BC)

+ d[B’C’; (A’BC)] = d[F; (A’BC)]

+Ta có BC DF(3)

BC A’D(4) (vì A’D là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác cân A’BC)

Từ (3) và (4),suy ra BC(A’DF)  (A’BC)(A’DF) theo giao tuyến A’D

+Kẻ FKA’D tại K FK(A’BC) hay d[F; (A’BC)] = FK

*Tính khoảng cách từ B’C’ đến mp(A’BC):

+Xét DFA’ vuông tại F có:

7

21 2

2 3

1 2

1 2 '

1 2

1 2

a a FA FD

















Vậy d[B’C’; (A’BC)] =

7

21

a

C.Bài tập tương tự:

1) Cho hình chóp S.ABC,có đáy là tam giác vuông tại C, với CA = a, CB = b,

SA = h và SA (ABC).Gọi D,M lần lượt là trung điểm của AB,AC Tính khoảng cách giữa BC và mp(SMD).[6] ĐS: d[BC; (SMD)] = 4h2 a2

ab

