PhÇn mét PhÇn më ®Çu 1.Lí do chọn đề tài: Đối với học sinh nói chung thì trong hai bộ môn Đại số và Hình học thì Hình học là bộ môn khó học hơn nhiều và là một trong những bộ môn khó học
Trang 1PhÇn mét PhÇn më ®Çu 1.Lí do chọn đề tài:
Đối với học sinh nói chung thì trong hai bộ môn Đại số và Hình học thì Hình học là bộ môn khó học hơn nhiều và là một trong những bộ môn khó học.Đặc biệt
là phần hình học không gian.Có thể nói đây là phần tổng hợp rất nhiều kiến thức về định lượng cũng như định tính của tất cả các kiến thức về hình mà các em đã được học ở các lớp dưới,nếu không nói là những kiến thức từ khi bắt đầu đi học( về hình học),ngoài những yêu cầu về học tập như những môn học khác, bộ môn này còn yêu cầu khả năng tư duy trừu tượng cao- đây là một yêu cầu mà không phải đa số học sinh đáp ứng được,nhất là những học sinh lớp đại trà.Trong thực tế 13 năm giảng dạy-chủ yếu đối tượng của tôi là học sinh những lớp đại trà, bản thân nhận thấy kết quả học tập của học sinh ở phần này không cao,với những trăn trở trên con đường giúp học sinh nâng cao chất lượng học phần này và với khả năng cho phép của bản thân tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống bài tập cũng như phương pháp giải của phần Bài toán khoảng cách trong hình học không gian.Đây chính là lí do chọn
đề tài này
2.Mục đích nghiên cứu:
Víi hệ thống bài tập và câu hỏi gợi ý,hướng dẫn trong tài liệu này, giúp cho học sinh hiểu được và nắm bài nhanh nhất, có như vậy sẽ góp phần tạo hứng thú cho học sinh trong học tập bộ môn Hình học nói riêng và môn toán nói chung
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh rất khó hình các mối quan hệ hình học,do đó việc giải quyết bài toán khoảng cách trong không gian là tương đối khó khăn,nhất là đối với những lớp đại trà vì nó rất trừu tượng
Với mong muốn giúp các em phần nào đó tháo gỡ được những khó khăn của bản thân để các em có cơ hội học tốt những phần hình học ở lớp 12- một nội dung kiến thức được cho là quan trọng trong các kỳ thi
3.Đối tượng nghiên cứu:
Trong phạm vi của bài viết này tôi đề cập đến 3 dạng bài tập:
1
Trang 2Dạng 1:Bài toỏn tớnh khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng.
Dạng 2:Bài toỏn tớnh khoảng cỏch giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song song
Dạng 3:Bài toỏn xỏc định đoạn vuụng gúc chung và tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau
4 Phương phỏp nghiờn cứu: Phương phỏp điều tra khảo sỏt thực tế,thu thậ thụng
tin kết hợp với Phương phỏp thống kờ, xử lý số liệu
Phần hai nội dung của đề tài 1.Cơ sở lớ luận:
A.Hỡnh học phẳng:
1)Tỉ số gúc nhọn trong tam giỏc vuụng:
2)Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng:
BC
AB
BC
Ac
AC
AB
AB
AC
cot 2.1.BC2 AB2AC2(Định lớ Pitago)
2.2.AB2 BH.BC, AC2 CH.BC
2.3.AH2 BH.CH
, AB.AC AH.BC
2.4 2 2 2
1 1
1
AC AB
3)Định lớ cosin:
A bc c
b
a2 2 2 2 cos ;b2a2c2 2accosB;c2b2a2 2bacosC[2]
C
c B
b A
sin sin
5)Định lớ Talet:
NC
AN MB
AM BC
MN AC
AN
AB
AM
BC
MN
//
6)Cỏc đường trong tam giỏc:
6.1.Đường trung tuyến:
a)Là đường thẳng nối đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện
b)Giao cuả 3 đường trung tuyến là trọng tõm G của tam giỏc
BG BN BG GN GN BN
3
1
; 2
; 3
2
6.2.Đường cao: Là đường xuất phỏt từ một đỉnh và vuụng
gúc với cạnh đối diện.Giao của 3 đường cao là trực tõm của tam giỏc
6.3.Đường trung trực: Là đường vuụng gúc với mỗi cạnh tại trung điểm của
nú.Giao của 3 đường trung trực là tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc
6.4.Đường phõn giỏc: Là đường chia gúc của tam giỏc thành hai gúc bằng
nhau.Giao của 3 đương phõn giỏc là tõm của đường trũn nội tiếp tam giỏc
B A
N M
C B
A
N
G
C B
A
Trang 37)Diện tích Trong hình phẳng:
7.1.Tam giác thường:
ah
S
a
2
1
) ;b)S p(p a)(p b)(p c)(Công thức Hê-rông)
pr
S
c) (r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
R
abc
S
d
4
) (R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)[2]
7.2.Tam giác đều cạnh a:
a)Đường cao:
2
3
a
h ; b)
4 3 2
a
S
c)Đường cao cũng là đường trung tuyến,đường phân giác,đường trung trực
7.3.Tam giác vuông:
a) S ab
2
1
(a,b là hai cạnh góc vuông)
b)Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
7.4.Tam giác vuông cân(nửa hình vuông):
2
1 a
S (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b)Cạnh huyền bằng a 2
7.5.Tam giác cân:
ah
S
a
2
1
) (h:đường cao;a:cạnh đáy)
b)Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến,đường phân giác,đường trung trực
7.6.Hình chữ nhật: S = ab (với a,b là các kích thước)
7.7.Hình vuông: a)S = a2 ;b)Đường chéo a 2
7.8.Hình thoi: S 21d1.d2(d1.d2 là các đường chéo của hình thoi )
B Hình học không gian:
B1:Quan hệ song song:
1)Hai đường thẳng song song:
1.1 [3]
1.2 [3]
3
, , , /
a b c p b
a, b,c đồng quy
a, b, c đôi một song song
//
a P b Q
a b
// , //a a( b b)
Trang 42)Đường thẳng song song với mặt phẳng:
2.1 a (P);a//b;b (P) a//(P)
2.2 Nếu a // (P) thỡ (Q) a; (Q) (P) b b//a
2.3 Nếu (P) (Q) = b ; a//(P); a//(Q) thỡ b//a [3]
3)Hai mặt phẳng song song:
3.1
( ), ( )
( ) / /( ) / /( ); / /( )
a P b P
a Q b Q
[3] 3.2 (P)//(Q)(R) (P)=a
(R)(Q)=b,a//b[3]
B2:Quan hệ vuụng gúc:
1)Đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng:
1.1.a (P) ad; d (P) 1.2
P
a P c b c a b a
;
; ) (
)
(
//
.
3
.
a
P
b
a
a b
b a
P b
P a
//
) ( ) (
4
) ( )
(
)
//(
)
(
.
5
.
Q
a
Q
P
( ) //( )
) ( ) ( ) ( ) ( 6
Q P
a Q a P
; )
(
)
//(
.
7
.
1 b a P P ab
//( )
) (
) (
8
b P b a P a
[3]
1.9 Định lớ ba đường vuụng gúc:
Cho a khụng vuụng gúc với (P) b (P);ba ba'với a’ là hỡnh chiếu của a trờn (P)[3]
2)Hai mặt phẳng vuụng gúc: (P) a ; a(Q) (P) (Q).[3]
3)Gúc:
3.1.Gúc giữa hai đường thẳng:
(a;b) = (a’;b’), với a’//a;b’//b[3]
3.2 Gúc giữa đường thẳng d và mặt phẳng :
+d = O và Ad
H
AH
thỡ gúc giữa d và là
AOH [3]
3.3.Gúc giữa hai mặt phẳng và
Nếu
F M EM
AB
E M
A B FM
AB
; ,
.
thỡ gúc giữa và là
EMF [3]
2.Thực trạng vấn đề:
1/- Chơng trình tài liệu:
Đối với phân phối chơng trình của Bài 5 :Khoảng cỏch theo phơng án sách
giáo khoa mới chơng trình nõng cao là phù hợp giữa thời lợng phân phối và yêu cầu kiến thức cần đạt đợc.Xong chỉ với thời lượng 2 tiết học thỡ rất khú khăn cho việc học sinh nắm vững kiến thức.Trong khi cỏc tài liệu trờn thị trường chỉ cung cấp lời giải hoặc vài gợi ý mà khụng cú hệ thống cõu hỏi dẫn dắt.Việc sử dụng những tài liệu này hiệu quả sẽ khụng cao đối với những học sinh ở mức đại trà
2/- Đối tượng học sinh:
Đối với những lớp đại trà thỡ với thời gian chỉ 2 tiết học chắc chắn sẽ rất khú
để học sinh thực hiện thành thạo được cỏc bài toỏn về khoảng cỏch, nờn với tài liệu
Trang 5này hy vọng sau thời gian học trên lớp các em sẽ có thời gian sử dụng tài liệu này ở nhà để giúp tìm hướng dề dàng hơn cho việc giải bài tập của mình
3.Các giải pháp cụ thể của nội dung đề tài:
Lưu ý: Để việc đọc tài liệu được hiệu quả học sinh nên thực hiện theo các bước
sau:
Bước1:Đọc thật kỹ để hiểu đề ,viết ra những giả thiết mà đề bài đã cho,và vấn đề cần giải quyết của bài
Bước 2:Hãy tự mình suy nghĩ để tìm ra hướng giải quyết,cố gắng xoay quanh giả thiết và tìm mối liên hệ với kết luận.Nếu không được thì đến bước 3
Bước 3:Hãy xem những gợi ý bên cột hướng dẫn để tìm ra lời giải
Bước 4:Xem lời giải chi tiết để tham khảo cách trình bày và đối chiếu để chỉnh sửa lập luận của mình
Bước 5:Thông qua bài này,hãy rút ra cho bản thân các kết luận về hai khía cạnh:
-Kiến thức:Bản thân có thêm hoặc ôn lại được những kiến thức nào
-Kỹ năng:Bản thân có thêm được kỹ năng trình bày 1 bài toán,củng cố kỹ năng lập luận đối với loại bài vừa giải quyết
Dạng 1:Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
A.Phương pháp: Tính khoảng cách từ điểm M đến một mặt phẳng (P)
Bước 1:(Xác định khoảng cách)Chỉ ra đoạn MH vuông góc với mp(P) bằng cách.
- Dựng mp(Q) chứa M và Q P theo giao tuyến
- Hạ MH (H ) MH dM; P
Bước 2:(Tính khoảng cách) dM; P MH được tính
bằng các định lí hình học sơ cấp
Bước 3:Kết luận.[5]
B.Một số ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a,SA ( ABCD) và SA a 3.Tính khoảng cách :
a)Từ A đến mp(SBC)
b)Từ I đến mp(ABCD),với I là trung điểm của SC
c) Từ O đến mp(SBC),với O là tâm của hình vuông ABCD.[6]
H1:Hãy chỉ ra 1 mp
chứa A và vuông
góc với mp(SBC)
- Để chỉ ra 2 mp
vuông góc với nhau
cần làm gì?
a)+ Xác định khoảng cách từ A đến mp(SBC):
-Ta có:BC BA (gt hình vuông) (1)
BC SA(vì SA ( ABCD))(2)
Từ (1) và (2) suy ra BC SABmà
) (SBC SAB SBC
-SAB (SBC) SB
5
H
Q M
P
j
J
H O
I
D
C
K A
B S
Trang 6-Chứng minh
SAB
BC
H2:Những đường
nào nằm trong
(SAB) mà vuông
góc với (SBC)
Nhắc lại nội dung
của 1 định lí liên
quan
-Trong mp(SAB): Từ A kẻ
) (K SB SB
AK AK SBC Hay AK dA;SBC
+Tính khoảng cách từ A
đến mp(SBC):
Xét tam giác vuông SAB:
2 3
3
1 1 1 1 1
2 2
2 2 2
a AK
a a AB AS AK
KL: Khoảng cách từ A đến mp(SBC) là
2
3
a
AK
Cách 1:
H1: Hãy chỉ ra 1 mp
chứa I và vuông góc
với mp(ABCD)
H2:Từ I kẻ IMAC
điểm M nằm ở đâu?
Cách 2:
-So sánh
S ABCD
I ABCD
b)Cách 1:
+Xác định khoảng cách từ I đến mp(ABCD):
-Vì SA ( ABCD)và SA (SAC) SAC (ABCD)
- màSAC (ABCD) AC
-Trong mp(SAC): Từ I kẻ IO AC( với O là tâm của ABCD)
ABCD
IO
Hay IOdI;ABCD
+Tính khoảng cách từ I đến mp(ABCD):
Xét SAC có IO là đường trung bình của SAC nên
2
3 2
SA
IO
Cách 2:Vì I là trung điểm của SC nên
d ;I ABCD= 21 d ;S ABCD
2
3 2
SA
Cách 1:
-Dựng 1 mp chứa O
và song song với
(SAB)
Cách 2:
-Chứng minh
AKC (SBC)
-Kẻ HO KC
-HOdO;SBC
c) Cách 1:
+Xác định khoảng cách từ O đến mp(SBC):
-Từ O kẻ OJ //AB, khi đó (OIJ) // (ASB) OIJ (SBC)
- OIJ (SBC) IJ
-Trong mp(OIJ): Từ O kẻ HO IJ HO SBC Hay HOdO;SBC
+Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC):
Xét tam giác vuông OIJ:
4 3
2
1
2 3
1 1
1 1
2 2
2 2 2
a OH a
a OJ OI
Cách 3:Vì O là trung điểm của AC nên
dO;SBC=
2
1
A SBC
d ;
4
3 2
1AK a
Trang 7Lưu ý:Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính khoảng cách thì có thể bỏ qua bước 1,tức là
không cần chỉ ra cách xác định đoạn khoảng cách
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a,
3
a
AC Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).[6]
-So sánh
A SBC
H SBC
- Xác định khoảng
cách từ H đến(SBC)
+ Chỉ ra 1 mp chứa
A và vuông góc với
mp(SBC)
+Chứng minh
) (
)
(SHI SBC
-Chứng minh
ABC
˜ IBH
*Xác định khoảng cách từ A đến mp(SBC):
+Gọi H là trung điểm của AB
+dA;SBC = 2dH;SBC
+Vì tam giác SAB là tam giác đều nên SH AB.Mặt khác
SAB (ABC)nên SH ( ABC)
BC
SH (1) +Kẻ HI BCtại I (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC (SHI)
) ( ) (SHI SBC
theo giao tuyến SI +Trong SHIkẻ HK SI tại K
)
(SBC
HK
dH;SBCHK
* Tính khoảng cách từ H đến mp(SBC):
Xét tam giác vuông SHI: 2 2 2
1 1 1
HS HI
+Tính HI:ABC˜ IBH IH AC BC.BH
4
3
a
+Tính HS:
-Ta có AB BC2 AC2 a
-SAB đều cạnh a nên SH =
2
3
a
Do đó: HK =
10
15
a
Vậy dA;SBC= 2dH;SBC=
5
15
a
C.Bài tập tương tự:
1) Cho hình chóp S.ABCD có SA x,tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a a)Chứng ming tam giác SAC vuông
b)Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) [6] ĐS:
2 2
;
x a
ax ABCD
S d
2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a,
0
60
ˆC
B
7
a 3
2a
I
K
H
C
B A
S
Trang 8Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với đáy một góc 600 Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC).[6] ĐS:
9
5 8
; SAC a
B
Dạng 2:Bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
A.Phương pháp:
1) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
a // (P): d[a;(P)] = d[M;(P)] ,với M là 1 điểm bất kỳ thuộc a
Bước 1:Tìm điểm M thuộc đường thẳng a( dựa vào giả
thiết từng bài nên chọn những điểm đặc biệt:trung điểm,
trọng tâm tam giác,…để dễ tính)
Bước 2:Tính d[M;(P)] theo dạng 1.[3]
2) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:(Q) // (P):
d[(Q);(P)] = d[M;(P)] ,với M là 1 điểm bất kỳ thuộc (Q)
= d[N;(Q)] , với N là 1 điểm bất kỳ thuộc (P)
Bước 1:Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Q) hoặc N là 1
điểm bất kỳ thuộc (P) ( dựa vào giả thiết từng bài nên
chọn những điểm đặc biệt:trung điểm,trọng tâm tam
giác,…để dễ tính)
Bước 2:Tính d[M;(P)] hoặc d[N;(Q)] theo dạng 1.[3]
B.Một số ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD,có đáy là hình thang
vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a, SA (ABCD),SAa 2.Tính:
a)Khoảng cách giữa AB và mp(SCD)
b)Khoảng cách giữa DE và mp(SBC),với E là trung điểm của AB
a
H P
M
Q
H P
M
Trang 9H1:Nhận xét về mối
quan hệ giữa đường
thẳng AB và
mp(SCD)?Vì sao?
a)+Vì AB // CD,mà
CD(SCD) nên AB //(SCD) +d[AB;(SCD)] = d[A;(SCD)]
+Lập luận tương tự Ví
dụ 1-Dạng 1 ta được d[A;(SCD)] = AK
+ 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1
a a AD AS
AH
3
6
a
AH
Vậy d[AB;(SCD)]
3
6
a
H1:Nhận xét về mối
quan hệ giữa đường
thẳng DE và (SCB)?
Gợi ý:
-Chứng minh
DE // (SCB)
-Chỉ ra trong
mp(SBE) có một
đường thẳng song
song với DE
H2: Chứng minh
(SAC) (SCB)
Gợi ý:
- Chứng minh BC
(SAC)
-Chứng minh BC
AC
b) *Xác định khoảng cách từ DE đến mp(SBC):
+Xét tứ giác BCDE có:
DC EB
DC //
BCDE là hình bình hành
DE // BC mà BC(SBC) nên DE //(SBC) +d[DE;(SBC)] = d[I;(SBC)],với I = AC DE
*Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC):
+Trong SAC: kẻ AK SC tại K, kẻ IJ SC tại J.
+Ta có BC AS (do AS (ABCD)) (1) + Tứ giác ADCE là hình vuông A CˆE 45 0(2)
Mặt khác: BCE vuông cân tại E nên 0
45
ˆE
C
Từ (2) và (3),suy ra 0
90
ˆA
C
B hay BC AC (4)
Từ (1) và (4),suy ra BC(SAC) mà BC(SBC) nên (SBC)(SAC) theo giao tuyến SC
+Vì AK SC nên AK (SBC),do đó IJ(SBC)
+Vì I là trung điểm của AC nên d[I;(SBC)] = 21 d[A;(SBC)], + d[A;(SBC)] = AK ,với
a AC AS
AK2 2 2 2 2
2
1 )
2 (
1 1
1 1
Vậy d[DE;(SBC)] = a
Ví dụ 2:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông canh
a.Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh BC,A’C’,B’C’.Tính khoảng cách giữa:
a)Mp(AA’B’B) và mp(DEF)
b)B’C’ và (A’BC).[6]
H1:Nhận xét về mối a) *Xác định khoảng cách giữa
9
H
K
J
I
C D
A S
I J F E
B' A'
K
D C
B A
Trang 10quan hệ
giữa(AA’B’B) và
(DEF)?
Gợi ý:
-Chứng minh
(AA’B’B) //(DEF)
-Để chứng minh hai
mặt phẳng song song
cần làm gì?(Chỉ ra
trong mp(DEF) có hai
đường thẳng cắt nhau
và cùng song song với
(AA’B’B))
(AA’B’B) và (DEF):
+EF// A’B’(AA’B’B)
EF // (AA’B’B)(1) + DF// BB’(AA’B’B)
DF // (AA’B’B)(2)
Từ (1) và (2),suy ra AA’B’B) // (DEF)
+Gọi I là trung điểm của A’B’, khi đó C’I A’B’, C’I EF = I
+Gọi d là khoảng cách giữa(AA’B’B) và (DEF) d = IJ
*Tính khoảng cách giữa(AA’B’B) và (DEF):
IJ =
2
1
C’J =
4
3
a (vì A’B’C’ là tam giác đều cạnh a) Vậy khoảng cách giữa (AA’B’B) và (DEF) bằng
4
3
a
H1:Hãy dựng một mặt
phẳng chứa F và
vuông góc với
(A’BC)]?
Gợi ý:
-Nhận xét về quan hệ
của FD và BC;A’D và
BC?
b) *Xác định khoảng cách từ B’C’ đến mp(A’BC):
+Vì B’C’ // BC(A’BC) nên B’C’ // (A’BC)
+ d[B’C’; (A’BC)] = d[F; (A’BC)]
+Ta có BC DF(3)
BC A’D(4) (vì A’D là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác cân A’BC)
Từ (3) và (4),suy ra BC(A’DF) (A’BC)(A’DF) theo giao tuyến A’D
+Kẻ FKA’D tại K FK(A’BC) hay d[F; (A’BC)] = FK
*Tính khoảng cách từ B’C’ đến mp(A’BC):
+Xét DFA’ vuông tại F có:
7
21 2
2 3
1 2
1 2 '
1 2
1 2
a a FA FD
Vậy d[B’C’; (A’BC)] =
7
21
a
C.Bài tập tương tự:
1) Cho hình chóp S.ABC,có đáy là tam giác vuông tại C, với CA = a, CB = b,
SA = h và SA (ABC).Gọi D,M lần lượt là trung điểm của AB,AC Tính khoảng cách giữa BC và mp(SMD).[6] ĐS: d[BC; (SMD)] = 4h2 a2
ab