Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải bài toán tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước.

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải tốn tính ngun hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước Bộ mơn áp dụng sáng kiến: Tốn Tác giả: Họ tên: Giới tính: Ngày tháng năm sinh: Trình độ chuyên môn: Cử nhân sư phạm Chức vụ: Đơn vị công tác: Điện thoại: Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh học lý thuyết nguyên hàm tích phân Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2016 – 2017 TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ (Ký, ghi rõ họ tên) ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TĨM TẮT SÁNG KIẾN Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến: Từ năm học 2016 – 2017, tiến hành nghiên cứu đề thi THPT quốc gia để làm tài liệu phục vụ cho việc ôn tập học sinh lớp 12 Trong trình nghiên cứu giảng dạy nhận thấy lớp toán vận dụng vận dụng cao xuất số tốn tính tích phân tính giá trị biểu thức mà phải dựa vào tính nguyên hàm, tích phân với điều kiện cho trước Đây toán lạ khó học sinh, đặc biệt học sinh đại trà Chính từ năm học 2016 – 2017, bắt đầu xây dựng triển khai áp dụng sáng kiến “Một số phương pháp giải tốn tính ngun hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước” vào việc ôn tập cho học sinh khối 12 với mục đích xây dựng tài liệu hữu ích cho thầy hướng dẫn ơn tập cung cấp cho em học sinh giỏi nhà trường có hệ thống tập phương pháp cụ thể việc học tập nội dung nguyên hàm tích phân, đặc biệt tính tích phân dạng hàm ẩn Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến 2.1 Điều kiện áp dụng sáng kiến: Học sinh trang bị kiến thức nguyên hàm tích phân 2.2 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ năm học 2016 – 2017 đến năm học 2018 – 2019 2.3 Đối tượng áp dụng sáng kiến: Học sinh có học lực giỏi khối 12, đặc biệt phù hợp cho học sinh khối 12 tham dự kỳ thi THPT quốc gia Nội dung sáng kiến 3.1 Tính mới, tính sáng tạo sáng kiến: + Sáng kiến hệ thống sáu dạng toán thường gặp tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước + Xây dựng nhóm tập tương tự để học sinh tự luyện tập sau giáo viên hướng dẫn lớp + Lời giải đơn giản, dễ hiểu Cách trình bày phù hợp với kiến thức học sinh trung học phổ thông 3.2 Khả áp dụng sáng kiến: Để áp dụng sáng kiến có hiệu trước hết giáo viên cần dạy cho học sinh kiến thức nguyên hàm, tích phân Dạy nội dung sáng kiến theo dạng toán Cụ thể: + Phương pháp 1: Sử dụng công thức ( u.v ) ' = u '.v + u.v' '  u  u '.v − u.v' + Phương pháp 2: Sử dụng cơng thức  ÷ = v2 v + Phương pháp 3: Sử dụng tính chất “Nếu f(x) ≥ liên tục [ a;b ] b ∫ f ( x ) ≥ Dấu “=” xảy f(x) = 0, ∀x ∈ [ a;b] ” a + Phương pháp 4: Phương pháp đổi biến số + Phương pháp 5: Sử dụng tính chất khác + Phương pháp 6: Dựa vào nguyên hàm, tích phân để tính giá trị biểu thức 3.3 Chỉ lợi ích thiết thực sáng kiến: + Hệ thống tập sáng kiến tốn tổng hợp nên có tác dụng rèn luyện cho học sinh nhiều kỹ năng: Kỹ phân tích, kỹ quan sát, kỹ lập luận tư lôgic, + Hệ thống tập sáng kiến giúp học sinh học tập tiếp cận với toán cấp độ giành cho học sinh giỏi, nên giúp em nâng cao kỹ tính ngun hàm, tích phân, từ giải tốt toán gặp phải đề thi THPT quốc gia sau + Sáng kiến tài liệu tham khảo có giá trị giúp thầy cô thực công tác tự bồi dưỡng nâng cao trình độ chun mơn cho thân, bồi dưỡng học sinh giỏi đạt điểm cao kỳ thi THPT quốc gia + Nội dung sáng kiến sử dụng để xây dựng nội dung sáng kiến khác có liên quan như: Một số phương pháp tính nguyên hàm, tích phân; Một số dạng tốn tính tích phân chống máy tính cầm tay; Khẳng định giá trị, kết đạt sáng kiến: Năm học 2016 – 2017 2017 - 2018, đồng nghiệp nhà trường phụ trách ôn tập cho học sinh khối 12 nhà trường áp dụng sáng kiến “Một số phương pháp giải tốn tính ngun hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước” Nhờ đó, em học sinh giỏi 12 nhà trường giải tốt tốn tính ngun hàm, tích phân đề thi THPT quốc gia Nhờ đó, nhiều học sinh khối 12 năm học 2016 - 2017 2017 - 2018 đạt điểm cao đỗ vào trường đại học, cao đẳng theo nguyện vọng đặt Đề xuất kiến nghị để thực áp dụng mở rộng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng hiệu cho đối tượng học sinh giỏi khối 12 sau học xong phần nguyên hàm tích phân Sáng kiến kết hợp với với sáng kiến “Một số phương pháp tính nguyên hàm, tích phân” sáng kiến “Sử dụng máy tính cầm tay để tính nguyên hàm, tích phân” để nâng cao hiệu giảng dạy Sáng kiến lồng ghép hệ thống phương pháp tính nguyên hàm, tích phân Trong đó, phần phương pháp biết sách giáo khoa phần nội dung sáng kiến MÔ TẢ SÁNG KIẾN Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Từ năm học 2016 – 2017, tiến hành nghiên cứu đề thi THPT quốc gia để làm tài liệu phục vụ cho việc ôn tập học sinh lớp 12 Trong q trình nghiên cứu giảng dạy tơi nhận thấy lớp toán vận dụng vận dụng cao xuất số tốn tính tích phân tính giá trị biểu thức mà phải dựa vào tính nguyên hàm, tích phân với điều kiện cho trước Đây tốn lạ khó học sinh, đặc biệt học sinh đại trà Chính từ năm học 2016 – 2017, bắt đầu xây dựng triển khai áp dụng sáng kiến “Một số phương pháp giải tốn tính ngun hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước” vào việc ôn tập cho học sinh khối 12 với mục đích xây dựng tài liệu hữu ích cho thầy hướng dẫn ôn tập cung cấp cho em học sinh giỏi nhà trường có hệ thống tập phương pháp cụ thể việc học tập nội dung nguyên hàm tích phân, đặc biệt tính tích phân dạng hàm ẩn Cơ sở lý luận 2.1 Định nghĩa nguyên hàm tích phân: + Nguyên hàm: Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng R Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x), ∀x ∈ K + Tích phân: Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [ a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [ a; b] Hiệu số F(b) - F(a) gọi tích phân từ a đến b b (hay tích phân xác định đoạn [ a; b] ), hàm số f(x), kí hiệu ∫ f ( x ) dx a b Vậy ∫ f ( x ) dx = F(x) a = F(b) − F(a) b a 2.2 Các tính chất nguyên hàm, tích phân: 2.2.1 Các tính chất nguyên hàm: + Tính chất 1: ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C + Tính chất 2: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k số khác 0) + Tính chất 3: ∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx 2.2.2 Các tính chất tích phân: b b a a + Tính chất 1: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx (k số) b b b a a a + Tính chất 2: ∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx b c b a a c + Tính chất 3: ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx (a < c < b) Thực trạng 3.1 Thực trạng sách giáo khoa chương trình hành nội dung nguyên hàm, tích phân: Sách giáo khoa tập trung giới thiệu vấn đề đơn giản nguyên hàm, tích phân Hệ thống tập tập trung tính nguyên hàm, tích phân hàm số cụ thể Các tốn tính tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước chưa đề cấp đến (xem phụ lục 1) 3.2 Thực trạng yêu cầu đề thi THPT quốc gia mơn Tốn: Trong đề tham khảo đề thi THPT quốc gia năm 2016 - 2017 2017 2018 có số tốn tính tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước tính giá trị biểu thức thơng qua tốn tính nguyên hàm, tích phân(xem phụ lục 2) Các tốn tính ngun hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước chưa đề cập sách giáo khoa sách tập chương trình giải tích bậc trung học phổ thơng Do đó, việc giải dạng tập khơng khó khăn cho học sinh dự thi THPT quốc gia mà gây khó khăn cho giáo viên tham gia ơn tập thi THPT quốc gia đặc biệt giáo viên trẻ, có kinh nghiệm Vì cơng tác ôn tập cho học sinh khối 12 cần phải có tài liệu vấn đề tính ngun hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước Xuất phát từ quan điểm tơi đề xuất hệ thống tập tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn số điều kiện cho trước vài phương pháp giải thường gặp để khắc phục khó khăn Các giải pháp thực 4.1 Phương pháp 1: Sử dụng công thức ( u.v ) ' = u '.v + u.v' Bài toán: Cho hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện f( x1 ) = α đẳng thức liên hệ b f(x) với f’(x) Yêu cầu tính tích phân I = ∫ f (x)dx a Phương pháp giải: + Biến đổi điều kiện cho dạng f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x ) = h ( x ) ⇔ f ( x ) g ( x )  ' = h ( x ) (1) + Lấy nguyên hàm hai vế (1) ta f ( x ) g ( x ) = H ( x ) + C (với H(x) nguyên hàm h(x)) ⇒ f ( x ) = H( x) C + g( x) g( x) + Từ điều kiện f( x1 ) = α ⇒ giá trị C ⇒ hàm số f(x) b + Tính tích phân I = ∫ f (x)dx theo kết f(x) tìm a Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục khoảng xác định thỏa mãn điều kiện f(3) = 2; 3.f ( x ) + 3x.f ' ( x ) = x + a) Tính f(1) = ? b) Tính tích phân I = ∫ f (x)dx Lời giải + Ta có: 3x.f ( x )  = 3.f ( x ) + 3x.f ' ( x ) = x + ' x3 ⇒ ∫ 3x.f ( x )  dx = ∫ ( x + 1) dx ⇒ 3x.dx = +x+C ' x2 C ⇒ f(x) = + + 3x x2 + Lại có f(3) = ⇒ C = ⇒ f(x) = + + x 22 a) Vậy ta f ( 1) = 3  x2  b) Ta có: I = ∫ f (x)dx = ∫  + + ÷dx x 1  x3 x  44 + ln =  + + 2ln x ÷ =  27  27 Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R có f(2) = 2x.f ( x ) + ( x + 1) f ' ( x ) = x + a) Tính f(0) = ? b) Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx Lời giải + Ta có: ( x + 1) f ( x )  = 2x.f ( x ) + ( x + 1) f ' ( x ) = x + x2 ⇒ ( x + 1) f ( x ) = ∫ ( x + ) dx = + 4x + C x + 8x + 2C ⇒ f ( x) = 2x + + Lại có: x + 10 f ( ) = ⇒ C = Do ta f ( x ) = + 8x 2x + 10 a) Vậy f ( ) = = b) Ta có: 3 4x  1 + I = ∫ f ( x ) dx = ∫  + ÷dx x +1 x +1 0  ' 1  =  x + 2ln ( x + 1) ÷ + 2 1 ∫ dx π 3π = + 2ln + = + ln16 + x +1 2 2 Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục khoảng (- ∞; 0) (0; + ∞); có 2x.f ( x ) + x f ' ( x ) = 5x − a) Tính f (1) = ? b) Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx Lời giải + Ta có:  x f ( x )  = 2x.f ( x ) + x f ' ( x ) = 5x − 5x ⇒ x f ( x ) = ∫ ( 5x − 3) dx = − 3x + C C ⇒ f ( x) = − + x x + Lại có: f(2) = ⇒ C = Vậy f ( x ) = − + 2 x x a) Ta có: f(1) = 2 5  I = f x dx ( ) b) Ta có: = ∫1 ∫1  − x + x ÷ dx ' 4  5x − 3ln x − ÷ = − ln8 = x 1  Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) g(x) liên tục, có đạo hàm R thỏa mãn f ' ( ) f ' ( ) ≠ , g ( x ) f ' ( x ) = x ( x − ) e Tính tích phân I = x ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx Lời giải f ' ( ) ≠  + Từ giả thiết ta có f ' ( ) f ' ( ) ≠ ⇒  f ' ( ) ≠ x Lại có: g ( x ) f ' ( x ) = x ( x − ) e (1) Thay x = vào (1) ta g(0).f’(0) = ⇒ g(0) = Thay x = vào (1) ta g(2).f’(2) = ⇒ g(2) = + Do f (x).g ( x )  = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x ) nên ta ' f ( x ) g ' ( x ) = f (x).g ( x )  − f ' ( x ) g ( x ) Lấy tích phân hai vế (2) đoạn [0; 2] ta ' 2 x ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ' ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) g ( x ) − ∫ x ( x − ) e dx 2 0 = f(2).g(2) - f(0).g(0) + = Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn ∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx = 10 2f(1) - f(0) = Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx Lời giải + Ta có ( ( x + 1) f ( x ) ) ' = f ( x ) + ( x + 1) f ' ( x ) ⇒ f ( x ) = ( ( x + 1) f ( x ) ) '− ( x + 1) f ' ( x ) (1) Lấy tích phân hai vế (1) đoạn [0; 1] ta được: ∫ f ( x ) dx = ( x + 1) f ( x ) o − ∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx = 2.f(1) - f(0) - 10 = - 10 = - Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) liên tục R có f(2) = 16 ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân   I = ∫ x.f '  ÷dx   x Lời giải ' '   x  x x x   x  x + Ta có  2x.f  ÷÷ = 2.f  ÷+ x.f '  ÷ ⇒ x.f '  ÷ =  2x.f  ÷÷ − 2.f  ÷ (1)   2 2 2    2  Lấy tích phân hai vế (1) đoạn [0; 2] ta được: 4 x   x  x ∫0 x.f '  ÷ dx =  2x.f  ÷ ÷ − 2∫ f  ÷dx 0 4 x x = 8f(2) - ∫ f  ÷dx = 128 - ∫ f  ÷dx       + Xét tích phân K = ∫ f  ÷dx   Đặt t = x x ⇒ dt = dx 2 10 Với kết đạt được, mong muốn cấp lãnh đạo quan tâm khuyến khích giáo viên bậc trung học phổ thông phổ biến sáng kiến đến học sinh trường trung học phổ thơng tồn tỉnh Để thực sáng kiến có hiệu tơi xin đề nghị áp dụng đối tượng học sinh học xong nội dung nguyên hàm, tích phân chương trình bản, dùng ơn thi THPT quốc gia Để tăng cường tính hiệu sáng kiến học tập kinh nghiệm hay, tơi mong chia sẻ, đóng góp bổ sung giải pháp thầy cô em học sinh giúp cho sáng kiến ngày hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn quan tâm, động viên đồng nghiệp giúp tơi thực hồn thành sáng kiến 37 PHỤ LỤC Hệ thống tập tính nguyên hàm, tích phân sách giáo khoa sách tập Giải tích lớp 12 hành Các tập sách giáo khoa Giải tích 12: Bài (Trang 100) Tìm nguyên hàm hàm số sau: x + x +1 a) f ( x ) = x c) f ( x ) = b) f ( x ) = sin x.cos x 2x − ex d) f ( x ) = sin 5x.cos3x g) f ( x ) = ( + x ) ( − 2x ) 3− 2x e) f ( x ) = e Bài (Trang 101) Tính nguyên hàm sau: a) ∫ ( − x ) dx b) ∫ x ( + x ) dx c) ∫ cos x.sin xdx d) ∫ Bài (Trang 101) Tính nguyên hàm sau: 38 dx e + e− x + x a) ∫ x ln ( + x ) dx x b) ∫ ( x + 2x − 1) e dx c) ∫ x sin ( 2x + 1) dx d) ∫ ( − x ) cosxdx Bài (Trang 112) Tính tích phân sau: a) ∫ ( 1− x ) π b) ∫ sin  π − x ÷dx dx − c) ∫1 x ( x + 1) dx  d) ∫ x ( x + 1) dx 2 4 π − 3x e) ∫1 ( x + 1) dx g) ∫ sin 3xcos5xdx − π Bài (Trang 112) Tính tích phân sau: π 2 a) ∫ − x dx b) ∫ sin xdx 0 ln c) ∫ π e 2x +1 + dx ex d) ∫ sin 2xcos xdx Bài (Trang 113) Tính tích phân sau: a) ∫ x2 ( 1+ x ) dx b) ∫ − x dx ex ( + x ) dx c) ∫ x + xe d) a ∫ a − x2 Bài (Trang 113) Tính tích phân sau: π e b) ∫ x ln xdx a) ∫ ( x + 1) sin xdx 39 dx (a > 0) 1 c) ∫ ln ( + x ) dx d) ∫( x − 2x − 1) e − x dx Bài (Trang 113) Tính tích phân sau: 1 3 b) ∫ x − dx a) ∫ ( + 3x ) dx 0 x −1 ln ( + x ) dx x2 c) ∫ Bài (Trang 113) Tính tích phân ∫ x ( − x ) dx Bài (Trang 126) Tính nguyên hàm sau: ( x + 1) b) ∫ a) ∫ ( − x ) sin xdx c) e) dx x e3x + ∫ ex + dx ∫ d) ∫ ( s inx + cosx ) 1 dx 1+ x + x e) ∫ ( + x ) ( − x ) dx Bài (Trang 127) Tính tích phân sau: a) ∫ 64 x dx 1+ x b) 1+ x dx x ∫ π c) ∫ x e dx 3x d) ∫ + sin 2xdx Bài (Trang 127) Tính tích phân sau: π a) ∫ cos2xsin xdx b) c) ∫ π ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) dx x ∫2 x − 2− x dx −1 dx d) ∫ x − 2x − dx π g) ∫ ( x + s inx ) dx e) ∫ ( s inx + cos x ) dx 0 40 Bài 11 (Trang 147) Tính tích phân sau: π e4 a) xdx x ∫ sin π ∫ b) x ln xdx π c) ∫ ( π − x ) sin xdx −x d) ∫ ( 2x + 3) e dx −1 Bài 12 (Trang 147) Tính tích phân sau: a) π 24 π  ∫0 tan  − 4x ÷ dx b) dx ∫ + 25x π π c) ∫ sin x.cos xdx d) − + tan x dx cos x ∫ π Các tập sách tập Giải tích 12: Bài 3.3 (Trang 146) Tính nguyên hàm hàm số sau: a) f ( x ) = ( x − ) x c) f ( x ) = e) f ( x ) = b) f ( x ) = − x ( ) 1− x2 − cos2x cos x d) f ( x ) = 2x + g) f ( x ) = 2x + x + x +1 Bài 3.4 (Trang 146) Tính nguyên hàm sau: x a) ∫ x + x dx (với x > - 1) b) ∫ c) ∫ xe− x dx d) ∫ ( 1− x ) 1 e) ∫ sin dx x x ln x ) g) ∫ ( h) ∫ s inx cos x (1+ x ) 2 dx x x dx dx i) ∫ cos.sin xdx dx 41 k) ∫e dx − e− x x l) cos x + s inx dx sin x − cos x ∫ Bài 3.5 (Trang 146) Tính nguyên hàm sau: x a) ∫ ( − 2x ) e dx −x b) ∫ xe dx c) ∫ x ln ( − x ) dx d) ∫ x sin xdx e) ∫ g) ∫ x ln x ln xdx 1+ x dx 1− x Bài 3.6 (Trang 147) Tính nguyên hàm sau: a) ∫ x ( − x ) dx b) ∫( c) ∫ x − 5xdx d) ∫ x e) ∫ sin h) ∫ 1− x x − 3x ) dx ln ( s inx ) dx cos x x +1 dx g) ∫ ( x − ) ( x + 3) dx dx i) ∫ sin x cos xdx x sin x k) ∫ dx cos x l) sin x cos x ∫ a sin x + b 2cos x Bài 3.7 (Trang 147) Tính nguyên hàm sau: a) ∫ sin xdx b) c) ∫ sin x.co s xdx 4 d) ∫ sin x.co s xdx e) ∫ cos x.sin x g) dx ∫ sin x dx + s inx ∫ + cos x dx Bài 3.9 (Trang 151) Tính tích phân sau: a) ∫ ( y + 3y − ) dy  1 b) ∫  t + − ÷dt t t  1 π c) ∫ ( cos x − s in2x ) dx d) ∫( s 0 42 − 2s ) ds dx π 3π 5π e) ∫ cos3xdx + ∫ cos3xdx + ∫ cos3xdx π h) 5π ∫ π 3π g) ∫x − x − dx s inx − cos x dx + sin 2x Bài 3.10 (Trang 152) Tính tích phân sau: ln a) ∫ x ( − x ) dx b) c) ∫ x − xdx d) ∫ 1 2x + ∫ −1 e) e x − 1dx ∫ π 1+ x2 dx x4 x2 + x +1 dx x sinx g) ∫ + cos x dx Bài 3.11 (Trang 152) Tính tích phân sau: π ln a) ∫ xcos2xdx ∫ xe b) c) ∫ ln ( 2x + 1) dx d) ∫ ln ( x − 1) − ln ( x + 1)  dx π 2  x + 1x  e) ∫1 1 + x − x ÷ e dx g) ∫ x cos x.sin xdx h) dx 0 −2x xe x ∫ ( 1+ x ) e dx i) 43 + x ln x x e dx x ∫ PHỤ LỤC Một số tập tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước đề tham khảo thức thi THPT quốc gia năm học 2016 - 2017 2017 - 2018 Câu 38 (Đề minh họa thi THPT quốc gia năm 2017) Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn ∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx = 10 2f ( 1) − f ( ) = Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = - 12 B I = C I = 12 D I = - Câu 44 (Đề minh họa thi THPT quốc gia năm 2017) Cho hàm số y = f(x) liên tục R thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = + 2cos2x , ∀x∈R Tính I = 3π ∫ f ( x ) dx − A I = - 3π B I = C I = - 44 D I = Câu 25 (Mã đề 101 đề thi THPT quốc gia 2017) 0 Cho ∫ f (x)dx = 12 Tính I = ∫ f (3x)dx A B 36 C D Câu 32 (Mã đề 101 đề thi THPT quốc gia 2017) Cho F(x) = x nguyên hàm hàm số f ′(x)e 2x Tìm nguyên hàm hàm số f ′(x)e 2x 2x 2x A ∫ f ′(x)e dx = − x + 2x + C B ∫ f ′(x)e dx = − x + x + C 2x C ∫ f ′(x)e dx = 2x − 2x + C 2x D ∫ f ′(x)e dx = −2x + 2x + C Câu 21 (Mã đề 102 đề thi THPT quốc gia 2017) Cho ∫ f ( x ) dx = −1 A B 2 −1 −1 ∫ g ( x ) dx = −1 Tính I = ∫  x + 2f ( x ) − 3g ( x )  dx C 17 D 11 Câu 40 (Mã đề 102 đề thi THPT quốc gia 2017) Cho F ( x ) = ( x − 1) e nguyên hàm hàm số f ( x ) e Tìm nguyên hàm hàm số f ′(x)e 2x x 2x 2−x x e +C 2x x D ∫ f ′(x)e dx = (x − 2)e + C 2x x A ∫ f ′(x)e dx = (4 − 2x)e + C B ∫ f ′(x)e 2x dx = 2x x C ∫ f ′(x)e dx = (2 − x)e + C Câu 13 (Mã đề 103 đề thi THPT quốc gia 2017) Cho F(x) nguyên hàm hàm số f (x) = e x + 2x thỏa mãn F(0) = Tìm F(x) C F(x) = e x + x + 2 D F(x) = e x + x + A F(x) = e x + x + B F(x) = 2e x + x − 45 Câu 37 (Mã đề 103 đề thi THPT quốc gia 2017) Cho F(x) = − hàm số f ′(x) ln x f (x) Tìm nguyên hàm nguyên hàm hàm số 3x x ln x + +C x 5x ln x C ∫ f ′(x) ln xdx = + + C x 3x ln x − +C x 5x ln x D ∫ f ′(x) ln xdx = − + + C x 3x A ∫ f ′(x) ln xdx = B ∫ f ′(x) ln xdx = Câu 25 (Mã đề 104 đề thi THPT quốc gia 2017) π π 0 Cho ∫ f (x)dx = Tính I = ∫ [ f (x) + 2sin x ] dx B I = + A I = π C I = D I = + π Câu 28 (Mã đề 104 đề thi THPT quốc gia 2017) π Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = s inx + cos x thỏa mãn F  ÷ = A F(x) = cos x − sin x + C F(x) = − cos x + sin x − B F(x) = − cos x + sin x + D F(x) = − cos x + sin x +   Câu 42 (Mã đề 104 đề thi THPT quốc gia 2017) Cho F(x) = hàm số f ′(x) ln x f (x) Tìm nguyên hàm nguyên hàm hàm số 2x x  A ∫ f ′(x) ln xdx = −  ln x  + ÷+ C 2x   x B ∫ f ′(x) ln xdx = ln x + +C x2 x2  C ∫ f ′(x) ln xdx = −  D ∫ f ′(x) ln xdx = ln x + +C x 2x ln x  + ÷+ C x   x Câu 37 (Đề minh họa đề thi THPT quốc gia 2018) 1  Cho hàm số f(x) xác định R \   thỏa mãn f ' ( x ) = , f(0) = 1, 2x − 2 f(1) = Giá trị biểu thức f(- 1) + f(3) 46 A + ln15 B + ln15 C + ln15 D ln15 Câu 50 (Đề minh họa đề thi THPT quốc gia 2018) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f(1) = 0, 1 1  f ' x  dx = x f x dx = ( ) ( ) Tích phân ∫ f ( x ) dx ∫0   ∫0 A B C D Câu 48 (Mã đề 101 đề thi THPT quốc gia 2018) Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ( ) = − 2 f ' ( x ) = 2x f ( x )  , ∀x∈R Giá trị f(1) A − 35 36 B − C − 19 36 D − 15 Câu 40 (Mã đề 102 đề thi THPT quốc gia 2018) Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ( ) = − f ' ( x ) = x f ( x )  , ∀x∈R Giá trị f(1) A − 11 B − C − D − Câu 41 (Mã đề 103 đề thi THPT quốc gia 2018) Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ( ) = − f ' ( x ) = 4x f ( x )  , ∀x∈R Giá trị 25 f(1) A − 41 400 B − 10 C − 47 391 400 D − 40 Câu 44 (Mã đề 104 đề thi THPT quốc gia 2018) Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ( ) = − f ' ( x ) = x f ( x )  , ∀x∈R Giá trị f(1) A − 35 B − 71 20 C − 79 20 D − PHỤ LỤC Thống kê kết thi THPT quốc gia mơn Tốn nhà trường (Năm học 2016 - 2017; 2017-2018) Năm học 2016 - 2017 2017 - 2018 Số đạt Số đạt Số học sinh Số đỗ tốt điểm môn điểm Số đỗ khối 12 nghiệp Tốn giỏi mơn ĐH – CĐ 307 315 TB 184 174 Toán 81 42 127 145 307 315 Nhận xét: + Nhìn vào bảng thống kê nhận thấy kết đại trà xét tốt nghiệp giữ vững với tỉ lệ 100% tốt nghiệp Ngược lại, kết điểm thi mơn Tốn đạt trung bình điểm - giỏi năm học 2017 - 2018 lại giảm so với năm học 2016 - 2017 Nguyên nhân đề thi năm 2018 khó nhiều so với đề thi năm 2017, minh chứng số học sinh đỗ đại học, cao đẳng năm học 2017 2018 nhiều năm học 2016 - 2017 đồng thời nhà trường có học sinh có điểm thi xét tuyển đại học hai khối A00 C00 cao trường thị xã Kết 48 minh chứng cho hiệu ổn định tiến chất lượng đào tạo nhà trường nói chung mơn Tốn nói riêng TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Đề tham khảo thi THPT quốc gia năm học 2016 - 2017 2) Đề thi THPT quốc gia năm học 2016 - 2017 3) Đề tham khảo thi THPT quốc gia năm học 2017 - 2018 4) Đề thi THPT quốc gia năm học 2017 - 2018 5) Báo Toán học tuổi trẻ 6) Sách giáo khoa, sách tập Giải tích 12 7) Trang web math.vn 49 MỤC LỤC Nội dung Thơng tin chung sáng kiến …………………………… … Tóm tắt sáng kiến …………………………… .… Mô tả sáng kiến ………………………………………… .… Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Cơ sở lý luận .………………………………… Thực trạng ……………………………… Các giải pháp thực ……………………………… 4.1 Phương pháp 1: Sử dụng công thức (u.v)’ = u’.v + u.v’ Trang 5 7 /  u  u '.v − u.v ' 4.2 Phương pháp 2: Sử dụng công thức  ÷ = v2 v 4.3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất “Nếu f(x) ≥ liên tục 12 17 b [ a;b ] ∫ f ( x ) ≥ Dấu “=” xảy f(x) = 0, ∀x ∈ [ a;b ] ” a 4.4 Phương pháp 4: Phương pháp đổi biến số 4.5 Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng tính chất khác 4.6 Phương pháp 6: Dựa vào nguyên hàm, tích phân để tính giá 22 26 trị biểu thức Kết đạt ……………………………… Điều kiện để sáng kiến nhân rộng …………… Kết luận ………………… Phụ lục Phụ lục Phụ lục Tài liệu tham khảo 31 35 35 36 38 44 48 49 50 Mục lục 50 51 ... phương pháp tính nguyên hàm, tích phân? ?? sáng kiến “Sử dụng máy tính cầm tay để tính nguyên hàm, tích phân? ?? để nâng cao hiệu giảng dạy Sáng kiến lồng ghép hệ thống phương pháp tính ngun hàm, tích phân. .. tốn tính tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước tính giá trị biểu thức thơng qua tốn tính ngun hàm, tích phân( xem phụ lục 2) Các tốn tính ngun hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước chưa... dung nguyên hàm, tích phân: Sách giáo khoa tập trung giới thiệu vấn đề đơn giản nguyên hàm, tích phân Hệ thống tập tập trung tính nguyên hàm, tích phân hàm số cụ thể Các tốn tính tích phân thỏa mãn