(Sáng kiến kinh nghiệm) một số phương pháp giải bài toán so sánh phân số lớp 6

“Một số phương pháp giải toán so sánh phân s lp UBND quận đống đa Tr-ờng THCS Thái ThÞnh - Sáng kiến kinh nghiệm Đề Tài: Một số phương pháp giải toán so sánh phân số lớp Môn: Toán Giáo viên: Trần Thị Thúy Dung Năm học 2011 - 2012 GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh Mt s phng phỏp gii bi tốn so sánh phân số lớp 6” Mơc lơc MỞ A ĐẦU Trang I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG Phần I Cơ sở lý luận Phần II Phương pháp so sánh phân số Phần III Các tập tổng hợp 13 Phần IV Kết 18 C KẾT LUẬN 20 D NHẬN XÉT – ĐÁNH GIÁ GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh Mt số phương pháp giải toán so sánh phân số lớp 6” A MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Toán học đời gắn liền với người, với lịch sử phát triển sống xã hội lồi người Nó có lý luận thực tiễn lớn lao quan trọng Số học môn đặc biệt quan trọng toán học Nếu sâu nghiên cứu môn số học hẳn thấy nhiều điều lý thú mang lại.Thế giới số thật gần gũi đầy bí ẩn Số học học sinh lớp 6, phần lớn em chưa có phương pháp giải, em làm quen từ tiểu học Nguyên nhân chỗ: học sinh biết cách giải tập cụ thể kĩ chung giải tốn cịn yếu Trong đó, việc dạy cách giải tập phải cho học sinh nắm phương pháp tự giải tập mới, đòi hỏi phải có tìm tịi, sáng tạo Vì nhiệm vụ người giáo viên tìm hiểu, nghiên cứu mặt mạnh yếu để khắc phục, giúp tất học sinh nắm kiến thức phát triển khả học sinh từ năm đầu THCS Dạy để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải nâng cao để em có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà thầy ln đặt cho Để đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục nhu cầu học tập học sinh đặc biệt học sinh khá, giỏi Điều địi hỏi giảng dạy phải biết chọn lọc kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng phát triển thành tổng quát giúp học sinh phát triển tốt tư tốn học Với đối tượng học sinh khá, giỏi, em có tư nhạy bén, có nhu cầu hiểu biết ngày cao, làm để học sinh phát huy hết khả mình, trách nhiệm giáo viên Qua giảng dạy nhận thấy “so sánh phân số " đề tài lí thú đa dạng số học lp v khụng th GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh Mt s phng phỏp gii bi toán so sánh phân số lớp 6” thiếu bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi xin đưa số phương pháp giúp học sinh lớp giải tập so sánh hai phân số tập hợp số nguyên mà áp dụng Tơi hy vọng có ích cho em học sinh II Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh : - Biết nhận dạng tìm phương pháp giải tập so sánh phân số - Các phương pháp thường dùng giải toán so sánh hai phân số - Rèn kỹ vận dụng kiến thức để giải toán so sánh hai phân số - Củng cố hướng dẫn học sinh làm tập III Đối tượng nghiên cứu Đối tượng : Học sinh lớp IV Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thực hành - Kinh nghiệm thân v d gi hc hi ng nghip GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh Mt s phng pháp giải toán so sánh phân số lớp 6” B NỘI DUNG PHẦN I CƠ SỞ LÝ LUẬN Muốn so sánh hai phân số không mẫu, ta viết chúng dạng hai phân số mẫu dương so sánh tử với nhau: Phân số có tử lớn phân số lớn Ví dụ : So sánh Ta viết : −11 17 ? & 12 −18 −11 −33 17 −17 −34 ; = & = = 12 36 −18 18 36 Vì −33 −34 −11 17    36 36 12 −18 Để so sánh phân số, tùy theo số trường hợp cụ thể, đặc điểm phân số, ta sử dụng nhiều cách tính nhanh hợp lí * Thơng thường để so sánh phân số, cần phải xem phân số tối giản hay chưa ( có phân số chưa tối giản cần rút gọn phân số so sánh dễ dàng) * Áp dụng tính chất bắc cầu : a c c m a m  &   b d d n b n Để học sinh giải toán so sánh phân số thành thạo biện pháp thực hình thành tốt cho học sinh nhận xét, quy tắc so sánh từ quy nạp khơng hồn tồn qua ví dụ cụ thể Phát hiện, nhấn mạnh điều kiện bổ sung để nhận xét đúng, nêu rõ nên áp dụng cách so sánh phân số trường hợp Sau cho học sinh áp dụng để giải số tập GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh Mt số phương pháp giải toán so sánh phân số lớp 6” Tiếp theo, giáo viên cần đưa hệ thống tập tổng hợp, nâng cao, hướng dẫn em quan sát nào, thứ tự quan sát sao, từ tìm lời giải thích hợp Trước hướng dẫn cách so sánh phân số cho học sinh, thân giáo viên cần có ý thức soi sáng quy tắc, hiểu quy tắc hình thành dựa sở lý thuyết Điều giúp giáo viên hiểu sâu sắc quy tắc, tiếp cận quy tắc nhanh xác Sau xin giới thiệu môt số phương pháp so sánh phân số: PHẦN II PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH PHÂN SỐ Dạng 1: Qui đồng mẫu dương so sánh: Ví dụ : So sánh −11 17 ? & 12 −18 −11 −33 = 12 36 Ta viết : 17 −17 −34 = = −18 18 36 Vì −33 −34 −11 17    36 36 12 −18 Dạng 2: Qui đồng tử dương so sánh: Ví dụ : 2  −  −4; −5 −4 Ví dụ 2: So sánh Ta có : Vì 3  vì7  5 & ? 10 10 ; = & = 25 24 10 10 25 24 GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh Mt s phng pháp giải toán so sánh phân số lớp 6” −3 −6 & ? Ví dụ 3: So sánh Ta có : −3 −6 ; = = & = −4 −8 −7 Vì 6 −3 −6    −8 −7 Chú ý : Khi quy đồng tử phân số phải viết tử dương Dạng 3: So sánh tích ( Tích chéo với mẫu b d dương) + Nếu a.d > b.c a c  b d + Nếu a.d < b.c a c  ; b d + Nếu a.d = b.c a c = b d Ví dụ 1:  vì5.8  7.6 Ví dụ 2: −4 −4  − 4.8  −4.5 Ví dụ 3: So sánh Ta vieát & ? −4 −5 −3 −4 ; = & = −4 −5 Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên  −4 −5 Dạng 4: Dùng số phân số làm trung gian Dùng số làm trung gian: a) Nếu a c a c  1&1    b d b d GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh Mt s phng phỏp gii bi toỏn so sánh phân số lớp 6” b) Nếu a c a c − M = 1; − N = mà M > N  b d b d • M,N phần thừa so với phân số cho • Phân số có phần thừa lớn phân số lớn c) Nếu a c a c + M = 1; + N = mà M > N  b d b d • M,N phần thiếu hay phần bù đến đơn vị phân số • Phân số có phần bù lớn phân số nhỏ ➢ Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh Ta có : Vì 19 2005 & ? 18 2004 19 2005 − = 1& − = 1; 18 18 2004 2004 1 19 2005    18 2004 18 2004 Bài tập 2: So sánh Ta có : Vì 72 98 & ? 73 99 72 98 + = 1& + = ; 73 73 99 99 1 72 98    73 99 73 99 Bài tập : So sánh Ta có 19 & ? 17 19 19 1   17 17 Dùng phân số làm trung gian: (Phân số có tử tử phân số thứ , có mẫu mẫu phân số thứ hai) Ví dụ : so sỏnh GV:Trần Thị Thúy Dung 18 18 15 ta xét phân số trung gian & 37 31 37 Tr-ờng THCS Thái Thịnh Mt s phng phỏp giải tốn so sánh phân số lớp 6” Vì 18 18 18 15 18 15  &    31 37 37 37 31 37 *Nhận xét : Trong hai phân số , phân số vừa có tử lớn , vừa có mẫu nhỏ phân số lớn (điều kiện tử mẫu dương) *Tính bắc cầu : a c c m a m  &   b d d n b n ➢ Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh 72 58 & ? 73 99 -Xét phân số trung gian 72 72 72 72 58 72 58 , ta thaáy  &    99 73 99 99 99 73 99 -Hoặc xét số trung gian 58 72 58 58 58 72 58 , ta thaáy  &    73 73 73 73 99 73 99 Bài tập 2: So sánh n n +1 & ;(n  N * ) n+3 n+2 Dùng phân số trung gian Ta có : n n+2 n n n n +1 n n +1  &    ;(n  N * ) n+3 n+2 n+2 n+2 n+3 n+2 Bài tập 3: (Tự giải) So sánh phân số sau: a) 12 13 & ? 49 47 b) 64 73 & ? 85 81 c) 19 17 & ? 31 35 (Hng dn : Xột phõn s trung gian.) GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh Mt s phng pháp giải toán so sánh phân số lớp 6” 3.Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian Ví dụ : So sánh 12 19 & ? 47 77 Ta thấy hai phân số cho xấp xỉ với phân số trung gian Ta có : 12 12 19 19 12 19  = &  =   47 48 77 76 47 77 ➢ Bài tập áp dụng : Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh 11 16 & ; 32 49 58 36 b) & ; 89 53 12 19 c) & ; 37 54 18 26 d) & 53 78 13 34 e) & ; 79 204 a) Dạng 5: Dùng tính chất sau với m  : a a a+m * 1  b b b+m a a a+m * =1 = b b b+m a a a+m * 1  b b b+m a c a+c * = = b d b+d Bài tập 1: So sánh A = Ta có : A = 1011 − 1010 + & B = ? 1012 − 1011 + 1011 −  (vì tử < mẫu) 1012 − GV:TrÇn Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh 10 Mt s phương pháp giải toán so sánh phân số lớp 6” A=  1011 − (1011 − 1) + 11 1011 + 10 1010 +  = = =B 1012 − (1012 − 1) + 11 1012 + 10 1011 + Vậy A < B Bài tập 2: So sánh M = 2004 2005 2004 + 2005 + &N = ? 2005 2006 2005 + 2006 2004 2004    Ta có : 2005 2005 + 2006  Cộng theo vế ta có kết M > N 2005 2005   2006 2005 + 2006  Bài tập 3: So sánh Giải: 37 3737 ? & 39 3939 37 3700 3700 + 37 3737 a c a+c (áp dụng = = ) = = = b d b+d 39 3900 3900 + 39 3939 Dạng 6: Đổi phân số lớn đơn vị hỗn số để so sánh : + Hỗn số có phần ngun lớn hỗn số lớn + Nếu phần nguyên xét so sánh phân số kèm theo Bài tập 1: Sắp xếp phân số Giải: Đổi hỗn số : 134 55 77 116 theo thứ tự tăng dần ; ; ; 43 21 19 37 13 ; ; ;3 43 21 19 37 13 5 55 134 116 77 nên  3 3 4   21 43 37 19 21 43 37 19 Ta thấy: Bài tập 2: So sánh A = 108 + 108 & B = ? 108 − 108 − 3 3 mà   A  B & B =1 10 − 10 − 10 − 10 − Giải: A = Bài tập 3: Sắp xếp phân số GV:Trần Thị Thúy Dung 47 17 27 37 theo th tự tăng dần ; ; ; 223 98 148 183 Tr-ờng THCS Thái Thịnh 11 Mt s phng phỏp gii toán so sánh phân số lớp 6” 223 98 148 183 , đổi hỗn số : ; ; ; 47 17 27 37 Giải: Xét phân số nghịch đảo: Ta thấy:  35 13 13 35 ;5 ;5 ; 47 17 27 37 13 13 35 35 5 4 4 17 27 37 47 17 27 37 47 a c b d    (vì    ) 98 148 183 223 b d a c Bài tập 4: So sánh phân số : A = 3535.232323 3535 2323 ? ;B = ;C = 353535.2323 3534 2322 Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , Đổi B; C hỗn số  AN  Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;… Bài tập 6: So sánh 17 1717 & ? 19 1919 Gợi ý: + Cách 1: Sử dụng a c a+c 17 1700 = = ; ý : = b d b+d 19 1900 + Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101… Bài tập 7: Cho a,m,n  N* Hãy so sánh : A = 10 10 11 + n &B = m + n ? m a a a a Giải: A =  m + n  + n & B =  m + n  + m a  a a  a a a 10 GV:Trần Thị Thúy Dung 10 Tr-ờng THCS Thái Thịnh 14 Mt s phng pháp giải toán so sánh phân số lớp 6” Muốn so sánh A & B ,ta so sánh 1 & m cách xét trường hợp: n a a a) Với a=1 am = an  A=B Với a  0: b) • Nếu m= n am = an  A=B • Nếu m< n am < an  1  n A < B m a a • Nếu m > n am > an  1  n  A >B m a a Bài tập 8: So sánh P Q, biết rằng: P = 31 32 33 60 & Q = 1.3.5.7 59 ? 2 2 31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30) = = 2 2 230 230.(1.2.3 30) (1.3.5 59).(2.4.6 60) = = 1.3.5 59 = Q 2.4.6 60 P= Vậy P = Q Bài tập : So sánh M = 7.9 + 14.27 + 21.36 37 &N = ? 21.27 + 42.81 + 63.108 333 Giải: Rút gọn M = 7.9 + 14.27 + 21.36 7.9.(1 + 2.3 + 3.4) 37 : 37 = &N = = 21.27 + 42.81 + 63.108 21.27.(1 + 2.3 + 3.4) 333: 37 Vậy M = N Bài tập 10: Sắp xếp phân số 21 62 93 theo thứ tự tăng dần ? ; & 49 97 140 Gợi ý: Quy đồng tử so sánh Bài tập 11: Tìm số nguyên x,y biết: Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta GV:Trần Thị Thúy Dung x y  ? 18 12 3x y  < 3x < 4y <  36 36 36 36 Tr-ờng THCS Thái Thịnh 15 “Một số phương pháp giải toán so sánh phân số lớp 6” Do x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2 1   3   Bài tập 12: So sánh a) A =   & B =   ; b)C =   & D =    80   243  8  243  n n x xn Giải: Áp dụng công thức:   = n & ( x m ) = x m.n y  y 7 6 1 1   1 1   1 a) A =      =   = 28 & B =   =   = 30 ;Vì 28  30  A  B 3  80   81     243    5 3     243     125 b)C =   =   = 15 & D =   =   = 15 8    243    Chọn 125 làm phân số trung gian , 215 so sánh 125 125 > 15  C > D 15 3 99 100 & N = 100 101 Bài tập 13: Cho M = a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh: M  10 Giải: Nhận xét M N có 45 thừa số a)Và 99 100 nên M < N  ;  ;  ;  100 101 b) Tích M.N = c)Vì M.N = 101 1 mà M < N nên ta suy : M.M < < 101 101 100 tc l M.M < GV:Trần Thị Thúy Dung 1  M< 10 10 10 Tr-ờng THCS Thái Thịnh 16 Mt s phng phỏp gii toán so sánh phân số lớp 6” Bài tập 14: Cho tổng : S = 1 Chứng minh:  S  + + + 31 32 60 5 Giải: Tổng S có 30 số hạng , nhóm 10 số hạng làm thành nhóm Giữ nguyên tử, thay mẫu mẫu khác lớn giá trị phân số giảm Ngược lại, thay mẫu mẫu khác nhỏ giá trị phân số tăng lên Ta có : S =  + + +  +  + + +  +  + + +  40   41 42 50   51 52 60   31 32 1 1 1 1 1   1   1    S   + + +  +  + + +  +  + + +  30   40 40 40   50 50 50   30 30 hay S  10 10 10 47 48 từc là: S   Vậy S  (1) + + 30 40 50 60 60 Mặt khác: S   1   1   1  + + +  +  + + +  +  + + +  40   50 50 50   60 60 60   40 40  S 10 10 10 37 36 tức : S   Vậy S  (2) + + 40 50 60 60 60 T (1) v (2) suy :pcm GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh 17 Mt s phng phỏp giải toán so sánh phân số lớp 6” PHẦN IV KẾT QUẢ Kết Trên số ví dụ số dạng tập "So sánh phân số" Các toán " So sánh phân số " thật đa dạng phong phú, hướng dẫn học sinh giải tập mức độ trung bình em chưa thể thấy "cái hay" dạng toán này, đồng thời có em cịn có cảm giác khó phức tạp Qua tập ta thấy, dạng tập sử dụng phương pháp biến đổi ban đầu khác nhau, giúp học sinh có tư sáng tạo linh hoạt giải tốn Khi làm việc giải toán trở thành niềm say mê, thích thú học sinh Với kinh nghiệm vừa trình bày trên, thân tơi nhận thấy: Khi dạy phần so sánh phân số tập hợp số nguyên, học sinh tiếp nhận kiến thức cách thoải mái, chủ động, rõ ràng Học sinh phân biệt nhận dạng toán liên quan đến cách so sánh hai phân số từ giải hầu hết tập phần này, xóa cảm giác khó phức tạp ban đầu khơng có quy tắc tổng qt Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo, phẩm chất trí tuệ khác học sinh thấy dạng tốn thật phong phú khơng đơn điệu Điều giúp cho học sinh hứng thú hc b mụn toỏn GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh 18 Mt s phng phỏp gii bi toỏn so sánh phân số lớp 6” Kết cụ thể: Với số tập giáo viên đưa ra, học sinh giải cách độc lập tự giác, thống kê theo bảng sau: áp dụng Năm học đề tài số Từ -20% Từ 20- Từ 50- Trên 80% HS BT 50% BT 80% BT BT lớp 2006 2007 Số HS giải theo mức độ Tổng SL % SL % SL % SL % 36 19.4 15 41.7 10 27.8 11.1 43 9.2 12 23.4 18 41.8 11 25.6 Tr-êng THCS Thái Thịnh 19 Cha ỏp dng 2010 - ó ỏp 2011 dng GV:Trần Thị Thúy Dung Mt s phng phỏp giải toán so sánh phân số lớp 6” C.KẾT LUẬN Bài học kinh nghiệm Phần " so sánh phân số " lớp nội dung quan trọng kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học sinh học tốt kiến thức sau đặc biệt có ứng dụng nhiều Do vậy, trước hết cần cho học sinh nắm thật vững cách so sánh hai phân số, dấu hiệu nhận dạng đề để lựa chọn phương pháp so sánh nhanh đặc biệt khả quan sát, nhận xét vấn đề khó, suy luận logic phán đốn… cần thiết tính chất hay sử dụng giải dạng toán Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, cần liên hệ kiến thức biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau bắt tay vào giải theo nhiều cách ( có thể) khơng thiết phải giải nhiều tập Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải cách lập luận trình bày học sinh học sinh đầu cấp Với dạng có đặc điểm riêng khơng có quy tắc tổng quát, song sau giải giáo viên nên đặc điểm, hướng giải để gặp tương tự học sinh liên hệ 2.Ý kiến Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút dạy phần " so sánh phân số " lớp Có thể nói với cách làm đây, tơi chuẩn bị tạo tình dẫn dắt học sinh học tập cách tự học Thơng qua GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh 20 “Một số phương pháp giải toán so sánh phân số lớp 6” phát huy tính tích cực chủ động học sinh Tuy nhiên để làm điều phải tốn khơng thời gian cho việc chuẩn bị nội dung phương pháp giảng dạy giáo viên Nhưng theo phương pháp giúp chất lượng học tập học sinh ngày nâng cao phải làm Qua đây, thân tơi muốn đóng góp số kinh nghiệm nhỏ mình, chưa hồn chỉnh cịn kiếm khuyết Tơi mong góp ý chân thành bạn đồng nghiệp để năm học tới thực tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2012 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép người khác Ngi vit Trn Th Thỳy Dung GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh 21 Mt s phng phỏp gii toán so sánh phân số lớp 6” d.nhËn xÐt- ®¸nh gi¸ GV:Trần Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh 22 Mt s phng phỏp giải toán so sánh phân số lớp 6” TƯ LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách giáo viên toán Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Nâng cao phát triển toán Các dạng toán phương pháp giải tốn Một số tư liệu tham khảo GV:TrÇn Thị Thúy Dung Tr-ờng THCS Thái Thịnh 23 ... 17 ? ?Một số phương pháp giải tốn so sánh phân số lớp 6? ?? PHẦN IV KẾT QUẢ Kết Trên số ví dụ số dạng tập "So sánh phân số" Các toán " So sánh phân số " thật đa dạng phong phú, hướng dẫn học sinh giải. .. Biết nhận dạng tìm phương pháp giải tập so sánh phân số - Các phương pháp thường dùng giải toán so sánh hai phân số - Rèn kỹ vận dụng kiến thức để giải toán so sánh hai phân số - Củng cố hướng... môt số phương pháp so sánh phân số: PHẦN II PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH PHÂN SỐ Dạng 1: Qui đồng mẫu dương so sánh: Ví dụ : So sánh −11 17 ? & 12 −18 −11 −33 = 12 36 Ta viết : 17 −17 −34 = = −18 18 36