(Sáng kiến kinh nghiệm) một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số cho học sinh THCS

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Sáng kiến kinh nghiệm: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH THCS" Lệ Thủy, tháng năm 2014 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Sáng kiến kinh nghiệm: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH THCS" Họ tên: Phan Thúc Bảy Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Sơn Thủy Lệ Thủy, tháng năm 2014 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học bản, mang tính trừu tượng mơ hình ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học lí thuyết khoa học ứng dụng Dạy học sinh học Tốn khơng cung cấp kiến thức bản, dạy học sinh giải tập sách giáo khoa, sách tham khảo, mà quan trọng hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải dạng Tốn từ giúp em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kĩ xảo, hồn thiện nhân cách Trong Tốn học, cực trị khái niệm hẹp kiến thức liên quan đến vơ rộng rãi Trong chương trình Tốn THCS tốn cực trị có mặt rải rác hầu khắp phân mơn Số học, Đại số Hình học Học sinh từ lớp đến lớp gặp tốn cực trị với u cầu như: “Tìm số x lớn cho ” , “Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức " Nhưng giải giáo viên khơng dạy phương pháp tổng qt có dạy học sinh khơng tiếp thu theo hệ thống dạng toán Trong năm thực tế giảng dạy học sinh từ lớp đến lớp 9, dạy học sinh ôn tập, luyện thi HSG ôn thi tuyển sinh THPT nhận thấy: gặp tốn cực trị đa phần học sinh THCS cịn e ngại lúng túng cách giải dạng toán Do vậy, tơi nghĩ cần phải hình thành cách có hệ thống dạng tốn cực trị đại số phương pháp giải để dạy học sinh Giúp học sinh nắm phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số thường gặp trường THCS, nâng cao dần kỹ năng, kỹ xảo giải dạng tốn Từ phục vụ tốt cho việc giảng dạy giáo viên gạt bỏ tư tưởng e ngại học sinh giải toán cực trị đại số Tôi dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp, tìm tịi thử nghiệm với đối tượng học sinh đại trà ơn thi Được khuyến khích, giúp đỡ nhiệt tình bạn bè đồng nghiệp trường, trường bạn nên mạnh dạn nghiên cứu bước đầu đề tài: “Phương pháp giải toán cực trị Đại số cho học sinh THCS” 1.2 Điểm đề tài Trong năm gần thân nhà trường phân công dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán 7, giải toán qua mạng lớp 9, luyện thi mơn tốn Trong việc xây dựng kế hoạch dạy bồi dưỡng từ đầu năm học thân tơi ln đưa vào chương trình dạy chun đề cực trị đại số song hiệu dạy học chun đề chưa cao Chính điểm đề tài đưa phương pháp giải toán cực trị Đại số cho học sinh THCS Trong phương pháp tơi đưa nội dung phần lý thuyết bản, tập áp dụng tập tự luyện nhằm khắc sâu kiến thức cho em Phạm vi áp dụng đề tài Vì đề tài bước đầu nghiên cứu nên xây dựng phương pháp cho số dạng toán cực trị đại số thường gặp giới hạn đối tượng học sinh trường THCS huyện Lệ Thủy – Quảng Bình PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng Trong năm qua, thực tế giảng dạy mơn Tốn học sinh từ lớp đến lớp 9, dạy học sinh ôn tập, luyện thi HSG ôn thi tuyển sinh THPT tơi nhận thấy: gặp tốn cực trị đa phần học sinh THCS cịn e ngại lúng túng cách giải Học sinh thường không theo hướng số đông học sinh thường bỏ qua, số học sinh có làm thiên biến đổi, đơn giản biểu thức nên không đến kết cho kết sai Nguyên nhân vấn đề tốn cực trị khơng phải dạng tốn thường gặp, muốn giải cần phải tổng hợp nhiều kiến thức, có kiến thức nâng cao, đề cập đến chương trình, sách giáo khoa bậc THCS Do học sinh khơng nắm dạng tốn cực trị phương pháp giải tổng quát cho dạng toán, dẫn đến kết kiểm tra thường bị điểm thấp Qua khảo sát lực học sinh việc giải toán cực trị đại số trước áp dụng đề tài cho thấy kết sau: Kết điểm kiểm tra Giỏi Năm học 20011 -2012 Khá Áp dụng đề tài Chưa áp dụng Trung Yếu Kém 52% 6% bình 3% 9% 30% 2.2 Các giải pháp: Sau thời gian dài nghiên cứu tổng hợp xây dựng vấn đề lí thuyết sau : * Đại cương cực trị Bài toán cực trị tên gọi chung cho tốn tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) Trong chương trình THCS xét giới hạn trường số thực R phân mơn Đại số Theo lí thuyết Giải tích, xét tập hợp số thực x E R, E khơng rỗng bị chặn tồn cận M E ( M = supE ) cận m E ( m = infE ) hai Tuy nhiên M m không thuộc E Khi M E (hoặc m E) ta viết M = maxE (hoặc m = minE) cách viết tắt theo chữ Latin (max = maximum, = minimum ) mà trường phổ thông ta thường gọi giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) Theo quan điểm việc tìm maxE = M minE = m phải bao gồm đồng thời hai điều kiện : i) M = E m = E ii) x E để M = E m = E Sau dạng tập phương pháp cụ thể xét theo quan điểm * Một số phương pháp tìm cực trị đại số 2.2.1 Phương pháp tìm cực trị theo tính chất luỹ thừa bậc hai A Lí thuyết Ta biết A2 ( -A2 0) với giá trị biến tập xác định E A Như biểu thức M (nguyên phân) đưa dạng M=A2 + k ( M=m-A2) rõ ràng supM= m ( infM=k) Nếu tồn giá trị biến để M = k (hoặc M=m) maxM = m (min M = k) B Bài tập áp dụng Bài số Tìm max ( min) biểu thức sau : a) A = 2x2 - 8x+1 b) B = -5x2 - 4x +1 Giải: a) Ta có : A = 2x2 - 8x+1 = 2( x2 - 4x +4) -7 = 2(x-4)2 - -7 Dấu = xảy x=4 Vậy minA=-7 x=4 b) Ta có : B = -5x2 - 4x +1 = 5(x2 229 5 Dấu = xảy x=- x 25 ) 5(x ) Do maxB = x=- Lưu ý : Khi chuyển biểu thức cần tìm max, học sinh mắc sai lầm Ví dụ : A = ( x-1)2 + (x-3)2 – - (x-1)2 (x-3)2 minA = -9 không tồn x thoả mãn điều Ta cần làm Bài 1a) Bài số Tìm C = x 2006 x Giải : Để C tồn ta phải có : x 2006 (*) Ta có : C= x = x - 2006 - x 2006 + x 2006 + 8023 = ( x 2006 )2 8023 8023 244 8023 Vậy C = 1x x 2006 8027 ( thoả (*)) Bài số Tìm D = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) Giải : Tập xác định D IR Ta có : D = ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = ( x2 + 5x + 5)2 – - Dấu = xảy : ( x2 + 5x + 5)2 = ( x2 + 5x + 5) = x 5 5 5 Vậy minD = - 1x x x Bài số Tìm E = x2 +2y2 -2xy - 4y + Giải : Tập xác định E IR2 Ta có : E = x2 +2y2 -2xy - 4y + = ( x-y)2 + (y-2)2 + Vì ( x-y)2 Dấu = xảy y (y-2)2 x,y x y y x y y nên E x,y x y Vậy minE = x=y=2 Bài số Tìm F = x2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz -2x -2y – 8z + 2012 Giải : Tập xác định F IR3 Ta có : F = ( x-y+z-1)2 + ( x+z-2)2 + ( z-1)2 + 2006 Vì : ( x-y+z-1)2 x,y,z, ( x+z-2)2 2006 x,y,z x,z ( z-1)2 xyz10 x1 xz20 Dấu = xảy z nên F y1 z Vậy F = 2006 z1 x=y=z=1 Bài số Tìm G = 6x 9x Giải : Ta có : G = 6x 9x 2 9x 6x (3x 1)2 1 ( 3x-1)2+4 G = x (3x 1)2 3x – = x= Do (3x-1)2 x 4 2 (3x 1)2 4 G Bài số Tìm H = 3x2 8x x2 2x Giải : Tập xác định H R\ {1} Ta có : H = (2x2 4x 2) (x2 x 2 (x 2)2 4x 4) 2x (x 1) H = x= 2 Bài số 4x Tìm max, I = x Giải : * Tìm I Ta có : I = x 4x x2 x2 * Tìm max I Ta có : I = 4x2 4x2 4x x2 (x 2)2 1 Min I = -1x=2 x2 (2x 1) Max I = x2 x Bài số Tìm K = x3 + y3 + xy biết x+y=1 Giải : Ta có : K = (x+y)(x2-xy+y2) + xy = x2 –xy + y2 + xy = x2 + y2 Có nhiều cách giải đây, ví dụ : )2 K = x2 + (1-x)2 = 2(x 1 2 Min K = x 1y 2 Bài số 10 Tìm L = x2 + y2 + z2 biết x + y + z = Giải: Ta có : x + y + z = ( x+ y + z)2 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx ) = L + 2(xy + yz + zx ) = (*) Ta ln có : x2 + y2 + z2 xy + yz + zx x,y,z, dấu = x=y=z nên từ (*) suy : 3L L L = x=y=z = C Bài tập tự luyện Bài số Tìm max ( ) biểu thức sau : a) A = x2 -5x + b) B = – x2 + 3x Bài số Tìm biểu thức sau : a) C = ( x-1)(x- 3)(x2 - 4x + 5) b) D = x2 – 2xy + 2y2 + 2x -10y + 17 Bài số Tìm max biểu thức sau : E = xy + yz + xz biết x+y+z=12 Bài số Tìm max ( ) biểu thức sau : a) F = 3x 6x 17 x 2x ; b) G = 27 12x ; c) H = x 8x 4x 2.2.2- Phương pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt đối x x x x 10 A Lí thuyết Ta biết : với A, B biểu thức đại số : i) A B A B Dấu xảy A.B ii) A B A B Dấu xảy A B A B B Bài tập áp dụng Bài số Tìm A = x x Giải : Ta có : A = x x = Suy minA = 10 (2-x)(x+8) x Bài số Tìm max B = x 2(1 x 1) x 2(1 x 1) Giải : Tập xác định B x Ta có : B = ( x 1) Suy max B = ( ( -1 (*) ( x x 1 1)2 1)( x x 1 1) x x 1 x (thoả(*)) 1 x 1 C Bài tập tự luyện Bài số Tìm max biểu thức : a) C= b) D= a a a a x 4012x 20062 x 4014x 20072 Bài số Tìm biểu thức : a) E = x2 64 16x x2 10 b) F = x2 4x x2 x 2.2.3 Phương pháp tìm cực trị dựa vào điều kiện tồn nghiệm phương trình bậc hai ( phương pháp miền giá trị hàm số ) A Lí thuyết Ta biết : phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm b2 4ac f (x) Nếu biểu thức A = g (x) xác định miền D qui dạng : f(A)x2 + g(A)x + k = (1) ( k số thực ) rõ ràng với x thuộc tập nguồn D thoả (1) cho ảnh h(A) tập đích E A Vì cách gián tiếp dựa vào điều kiện có nghiệm phương trình (1) ta xác định tập đích E giới hạn miền giá trị A hay maxA, minA B Bài tập vận dụng Bài số Tìm max, A = x2 x x2 x Giải : Biểu thức A nhận giá trị a phương trình sau có nghiệm : a = x2 x x2 (1) x (a-1)x2 + (a+1)x + (a-1) = ( Do x2 +x +1 > x ) (2) * Nếu a = (2) có nghiệm x = * Nếu a để (2) có nghiệm ta cần có (a 1)2 4(a 1)2 (3a 1)(a 3) Với Với a a 1 a 3(a 1) a=3 nghiệm (2) : x (a 1) a 2(a 1) 2(1 a) x = 1, với a=3 x = -1 Kết hợp hai trường hợp ta có : A = x 1; maxA = x=-1 11 Bài số Tìm max, B = x 3x x x Giải : Điều kiện để B có nghĩa x B nhận giá trị m (*) 0; x phương trình m = x2 3x x (1) x (1) có nghiệm (m-1)x2 – (m-3)x – = (2) *Nếu m=1 x = 2,5 *Nếu m để (2) có nghiệm ta cần có : (m 3)2 m7 15 Với m = 20(m 1) m2 m7 14m 11 15 15 x= 15 ; với m = x= 15 15 Kết hợp hai trường hợp điều kiện (*) ta có : maxB = x = 2,5 ; B = 15 x= 15 C Bài tập tự luyện Tìm max, biểu thức sau : a) 4x 6x C = 2x 16x 41 x ; b) D = 8x 22 (2x 1) x ; c) E = (x 10)2 2.2.4 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cơ- si ( Cauchy) A Lí thuyết Cho n số không âm : a1, a2, a3, , an ta ln có : Dạng : a a a a n n a1a2 a3 an n Dạng : a1 a2 a3 an nn a1a2 a3 an Dạng : ( a1 a2 a3 an )n a1a2 a3 an n Dấu xảy a1 = a2 = a3 = = an Từ ta dễ dàng suy : i) Nếu a1 a2 a3 an = A khơng đổi a1 a2 a3 an nn A : 12 a1 a2 a3 an nn A a1 = a2 = a3 = = an ii) Nếu a + a + a + + a = B khơng đổi n n B a a a a n : n B Bài tập áp dụng Bài số Cho a.b.c = Tìm A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) Giải : Theo BĐT Cơ- si ta có : a a b c2 dấu xảy a=b=c ca0 b c 2 ab bc 0 Suy A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) a b c Vậy A = a=b=c=1 Cho Bài số b 1c 1d a a, b, c, d tìm max a.b.c.d ? 1 1 Giải : Từ giả thiết theo BĐT Cơ-si ta có : 1 a (1 ) (1 b c )(1 d b ) b Tương tự : 3 d abc (1 a)(1 b)(1 c) (1 a)(1 b)(1 c)(1 d ) Vậy maxabcd = 81 d c ; acd (1 c)(1 d )(1 a) 1b c bcd 33 d c (1 b)(1 c)(1 d ) abd (1 b)(1 d )(1 a) Nhân vế với vế BĐT ta : 81 abcd (1 a)(1 b)(1 c)(1 d ) 81 a=c=b=d Bài số Với a>b 0, tìm B = a (a b)(b 1)2 Giải : 13 Ta có : B = 4 (a b) a (a b) (a b)(b 1) b b 2 b 1b 2 (a b)(b 1) (a b)(b 1) 2141 Vậy minB = a = 2; b = Bài số ab Tìm max C = Cho c bc ca c b a a3 b4 2 Giải : Ta có : ab c bc ab bc a ca ab (c 2) 2 b (a 3) c ca (b 4) (c 2)2 (a 3)3 ca b abc 2 abc ab c (b 4)4 4 Từ BĐT suy : C 2 Dấu b 4 b8 c2 2 Vậy max C =2 c a3 1 a Bài số a b c b c c a a b Cho a,b,c số dương Tìm D = Giải : a Ta có : D + = (1 ) (1 b b c c a 2D+6= c )a b c a bb c 1 c a a b a b c a b c c a a b 2(a b c)( 1 ) (b c) (c a) (a b) b c ( theo ) (1 Cô-si)2D + D b c c a a b 3 Vậy D = a=b=c C Bài tập tự luyện Bài số Cho a,b số khơng âm a.b = 14 Tìm A= (1+a+b)(a+b+ab) Bài số a2 Cho a số thực Tìm B = a2 Bài số Cho a,b số khơng âm a+b = Tìm max C = 16ab(a-b)2 2.2.5 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacơpxki A Lí thuyết Cho a1, a2, a3, , an b1,b2,b3, , bn 2n số thực tuỳ ý Khi ta có : Dạng : (a12+a22+a32+ +an2)(b12+b22+b32+ +bn2) ( a1b1+ a2b2+a3b3+ +anbn)2 (1) Dạng : 2 n 2 n 1 2 b ) ab ab a an Dấu xảy (1) (2) a (a a a )(b b (2) n n a b b b b n Hệ : C2 i) Nếu a1x1+a2x2+ +anxn= C = const ( x12+x22+ +xn2) = a2a x Dấu x a a 2 n x a n a n ii) Nếu x12+x22+ +xn2 = C2 max (a1x1+a2x2+ +anxn) = C a a2 an Dấu x x Dấu x (a1x1+a2x2+ +anxn) = C a1 a2 an a a a n x 1 x a n x a n a n B Bài tập vận dụng Bài số Cho xy + yz + xz = Tìm A = x4+y4+z4 Giải : Ta có : 15 1 1 A = ( 12+12+12)( x4+y4+z4) (x2+y2+z2)2 = ( x2+y2+z2)(y2+z2+x2) (xy+yz+xz)2 = 16 Suy minA = 16 đạt x=y=z= Bài số Cho a2 + b2 + c2 = Tìm max B = a + 3b + 5c Giải : Ta có : B = a + 3b + 5c (11 32 52 )(a 35 Từ ta minB = b2 a 35 c2) ;b ;c 35 35 35 Bài số Tìm C = (x-2y+1)2 + ( 2x+ay+5)2 Giải : Ta có : 1 C = [(-2)2 + 12 ][(x-2y+1)2 + (2x+ay+5)2] [(-2)(x-2y+1) + 1.(2x+ay+5)]2 = [(a+4)y +3 ] a - a =- Vậy : a - C = ; a = - max C = Bài số Cho a b c a, b, c Tìm D = a2+b2+c2 Giải : Theo BĐT B-C-S ta có : 2 a b 2 c (a b c) Vậy minD = (1 3)4 (a b c)( a b c Tìm A = a b a a, b ) (1 3) a=b=c=6 C Bài tập tự luyện Cho b a b 16 Bài số Cho x u y 216 Tìm max (x+y) v 225 yv20 Bài số Cho x2+4y2 =1 Tìm max x y Bài số Cho 3x-4y=7 Tìm 3x2+4y2 Bài số Cho 36x2 + 16y2 = Tìm max, y-2x Cho x y Tìm max, x 1y y x Bài số xy0 17 KẾT LUẬN Đề tài “ Một số phương pháp giải toán cực trị đại số cho học sinh THCS” theo cá nhân khó, nghiên cứu tổng hợp dạng tốn vấn đề dạy học sinh nắm dạng tốn giải chúng vấn đề khơng đơn giản Q trình nghiên cứu đề tài giúp tơi gặt hái thành sau: 3.1.1 Đối với học sinh -Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh cịn bở ngỡ khơng biết phải xuất phát từ đâu gặp số mà tơi trình bày Ngun nhân em chưa nắm phương pháp giải có biết vài phương pháp mơ hồ, cách vận dụng chúng để giải tập dạng nêu Chính phần lớn em bỏ trống không làm làm không đến kết cuối - Sau áp dụng đề tài trường THCS công tác, giúp em học sinh hiểu chất vấn đề dạng toán cực trị em bước đầu biết giải dạng toán cực trị đơn giản quan trọng gây hứng thú học toán toán cực trị cho em, rèn luyện tư logic sáng tạo cho em trình tự học Nhờ tỉ lệ em hiểu bài, làm tăng lên rõ rệt Sau bảng thống kê kết kiểm tra dạng toán cực trị học sinh sau áp dụng đề tài vào giảng dạy : Kết điểm kiểm tra Năm học Áp dụng đề tài Giỏi Khá Trung Yếu Kém bb́nh 2012-2013 Đã áp dụng 15% 20% 45% 17% 3% 2013 -2014 Đã áp dụng 20% 30% 40% 10% 0% 3.1.2 Đối với thân : Qua việc áp dụng đề tài nhận thấy giáo viên đỡ vất vả nhiều khâu phải giải thích dạng tốn hướng dẫn làm tập cho học sinh (phần lớn 18 em giải không được) mà kết đem lại không nhiều, giáo viên phải làm việc nhiều học sinh, học sinh biết thụ động tiếp thu kiến thức Sau sử dụng đề tài thấy học sinh có ý thức học tập hơn, biết tự phát dạng tốn biết áp dụng kiến thức, với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm, phù hợp với việc đổi phương pháp dạy học Trước nhu cầu đáng muốn vươn lên học tốt học sinh hòa vào khơng khí thi đua dổi phương pháp dạy học nay, tơi xin góp số kinh nghiệm ḿnh để trao đổi với đồng nghiệp, mục đích nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường Bài viết chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong giúp đỡ góp ý đồng nghiệp để đề tài áp dụng rộng rãi học sinh Xin chân thành cảm ơn ! 19 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc BẢN XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS SƠN THỦY Họ tên người viết: Phan Thúc Bảy Tên đề tài: “Một số phương pháp giải toán cực trị Đại số cho học sinh THCS” Nhận xét HĐKH trường THCS Sơn Thủy: Đề tài cập nhật nhiều điểm mới, áp dụng vào thực tiễn đạt hiệu cao Xếp loại: A Sơn Thuỷ, ngày 17 tháng năm 2014 CT HĐKH Nguyễn Đăng Sơn 20 21 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS QUẢNG LỘC Điểm:………………… Nhận xét: Quảng Lộc, Ngày tháng năm 2012 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH Điểm:………………… Nhận xét: Quảng Lộc, Ngày tháng năm 2012 Tài liệu tham khảo 22 Tên tài liệu Chủ biên ( Tác giả ) Bất đẳng thức toán cực trị 30 đề thi học sinh giỏi toán cấp II Trần Đức Huyên Nguyễn Vũ Thanh Nâng cao phát triển toán T1, Vũ Hữu Bình Nâng cao phát triển tốn T1, Vũ Hữu Bình Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phan Huy Khải Bất đẳng thức chọn lọc cấp II Nguyễn Vũ Thanh Các viết liên quan mạng Internet 23 24 ... thống dạng tốn cực trị đại số phương pháp giải để dạy học sinh Giúp học sinh nắm phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số thường gặp trường THCS, nâng cao dần kỹ năng, kỹ xảo giải dạng tốn... 17 KẾT LUẬN Đề tài “ Một số phương pháp giải toán cực trị đại số cho học sinh THCS? ?? theo cá nhân tơi khó, nghiên cứu tổng hợp dạng toán vấn đề dạy học sinh nắm dạng toán giải chúng vấn đề khơng... Tự - Hạnh phúc Sáng kiến kinh nghiệm: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH THCS" Họ tên: Phan Thúc Bảy Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Sơn Thủy Lệ Thủy,