SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học không gian tổng hợp Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán: Hình học lớp 11, 12 bậc THPT Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng năm 2014 đến tháng năm 2015 Tác giả: Họ tên: Nguyễn Thị Huyền Năm sinh: 1986 Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Trình độ chuyên môn: Cử nhân Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc:Trường THPT Xuân Trường Địa liên hệ: Xóm - Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Điện thoại: 0944.347780 Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Điện thoại: 03503.886.167 Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong chương trình hình học lớp 11, 12 toán khoảng cách không gian nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi đại học đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh Các toán khoảng cách phong phú đa dạng, đòi hỏi người học phải có tư tốt, có trí tưởng tượng không gian phong phú có kĩ tính toán tốt Do học sinh có lực học trung bình, trung bình toán khoảng cách thường mảng kiến thức khó dễ điểm, học sinh có lực học khá, giỏi em Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 làm tốt phần thân nhiều em chưa tổng quát phương pháp giải cụ thể cho dạng tập nên gặp toán dạng em thường nhiều thời gian để giải Với mong muốn giúp em có nhìn tổng quát hơn, hệ thống hơn, có phương pháp giải cho dạng tập khoảng cách không gian định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học không gian tổng hợp” Từ giúp học sinh đỡ e ngại gặp toán khoảng cách không gian tổng hợp II MÔ TẢ GIẢI PHÁP Thực trạng trƣớc tạo sáng kiến Hình học không gian mảng khó toán học phổ thông khó học sang quan hệ vuông góc Đối với quan hệ song song không gian, tính chất hình vẽ nhiều khác biệt hình học phẳng nên em dễ nắm bắt dạng toán phương pháp giải Còn quan hệ vuông góc, tính chất có nhiều khác biệt, khó hình vẽ vuông góc không gian hoàn toàn không giống hình học phẳng Do qua quan sát để ý tìm hiểu tôi, nhận thấy học sinh hạn chế sau: + Khả tưởng tượng không gian kĩ vẽ hình không gian không tốt, đặc biệt toán liên quan đến quan hệ vuông góc + Chưa có kĩ vận dụng kiến thức linh hoạt giải tập Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 + Chưa tự tổng quát phương pháp giải tập sau dạng tập Mà nguyên nhân hạn chế là: + Học sinh chưa quen với cách vẽ hình hình học không gian, đặc biệt toán quan hệ vuông góc + Giáo viên chưa phân loại đưa cách giải cụ thể, dễ hiểu cho học sinh dạng tập + Giáo viên chưa trọng rèn kĩ vẽ hình, kĩ tính toán, kĩ tổng hợp vấn đề cho học sinh + Giờ học hình học không gian chưa thực hấp dẫn lôi cuốn, rời rạc tẻ nhạt Từ thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hướng dẫn em từ kiến thức Trên sở thấy học sinh yếu phần ta bổ sung kịp thời với hướng dẫn học sinh tham khảo tài liệu liên quan đến học Trong đề tài cố gắng đưa số phương pháp giải dạng tập cụ thể hay gặp để từ giúp học sinh có nhìn tổng quát cụ thể Mô tả giải pháp sau áp dụng sáng kiến A- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Các phƣơng pháp chứng minh đƣờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng : Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Cách 1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Cách 2: Chứng minh d song song với đường thẳng mà Cách Chứng minh d giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc với Cách Chứng minh d đường thẳng thuộc mặt phẳng d vuông góc với giao tuyến a ( ) Các định nghĩa khoảng cách a Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng khoảng cách A với hình chiếu vuông góc H A Kí hiệu: d(A, ) Như d(A, ) = AH { b Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm A mặt phẳng ( ), gọi H hình chiếu vuông góc A lên ( ) Khi khoảng cách hai điểm A H gọi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) Kí hiệu: d(A,( )) Như d(A, ( )) = AH { ( ) ( ) c) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng ( )là khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng ( ) Kí hiệu: d(a,( )) d Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng e Khoảng cách hai đường thẳng chéo + Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo a, b vuông góc với đường thẳng gọi đường vuông góc chung a b + Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Một số công thức cần nhớ a/ Hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Ta có: 1 2 + b/ Định lí Cosin tam giác: Trong tam giác ABC có 2 + –2 cos ̂ Trong tam giác bình phương độ dài cạnh tổng bình phương độ dài hai cạnh lại trừ lần tích hai cạnh với cosin góc xen Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 c/ Các công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có đường cao AH = h, BC = a, AC = b, AB = a, nửa chu vi p, R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, S diện tích tam giác ABC Khi ta có: S S √ ( – )( – )( – ) , S sin S S Công thức Hê rông * Đối với phương pháp tọa độ không gian có S |[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]| Công thức khoảng cách hình học không gian Oxyz Trong không gian Oxyz cho điểm M ( ; ; ), mp(P): a + b + c + d Khoảng cách từ M đến mặt phẳng P) là: d( ,( )) a +b +c +d √a2 + b2 + c2 B- BÀI TẬP I- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƢỜNG THẲNG Phƣơng pháp chung: Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ta thực sau: Bước Trong mặt phẳng , hạ , Bước Tính d( , ) dựa vào công thức học Đặc biệt: + Nếu tồn đường thẳng Tác giả: Nguyễn Thị Huyền qua A song song với GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI d , + Nếu đường thẳng d , NĂM HỌC 2014 – 2015 d , qua A cắt , I với điểm B thuộc có: d , d , Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O, Gọi I, M theo thứ tự trung điểm SC AB SA = a, a) Chứng minh rằng: b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM Từ suy khoảng cách từ S đến CM Giải: a) Trong tam giác SAC có I, O trung điểm SC, AC nên IO // SA Mà nên b) +/ Tính khoảng cách từ I tới CM Gọi trọng tâm tam giác ABC Trong tam giác ABC có √2 , √2 Gọi H hình chiếu I CM ta có: { d Trong tam giác vuông vuông Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI có 2 + NĂM HỌC 2014 – 2015 √20 Trong tam giác vuông √ có + √30 10 √30 10 Vậy d +/ Tính khoảng cách từ S đến CM d( ) √30 Ví dụ 1.2 Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a ( ), Vì nên d( d( ) ) IC SC vuông 300 Gọi M điểm di động cạnh AC, H hình C với AB = 2a, ̂ chiếu vuông góc S BM a) Chứng minh b) Đặt AM = x với √3 Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm x để khoảng cách từ S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất? Giải } a) Có Mà nên Vì nên b) Vì d( , ) Trong tam giác vuông SAH có 2 + Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Trong tam giác vuông ABC có { sin ̂ cos ̂ √3 Trong tam giác vuông MBC có: √ + 2 √( √3 - ) + √ - 2√3 √ +4 - 2√3 +4 Thay AH SA vào ta được: √ 22 8√3 - √3 + 16 +4 Từ suy ra: +/ SH lớn AH lớn nhất, √3 +/ SH nhỏ AH nhỏ nhất, Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ trụ tam giác ’ ’ ’ có đáy ABC tam giác tâm O cạnh a Hình chiếu ’ mặt phẳng ABC trùng với tâm tam giác ABC Cạnh ’ hợp với mặt phẳng ABC góc Gọi I trung điểm AB Tính khoảng cách: a) Từ O đến b) Từ C đến ’ ’ c) Từ C đến ’ ’ Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Bài ĐH 2014A Cho hình chóp có đáy chiếu vuông góc là hình vuông cạnh , mặt phẳng Tính theo thể tích khối chóp hình trung điểm cạnh khoảng cách từ đến mp Bài ĐH 2014B Cho lăng trụ ’ ’ ’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc ’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng ’ mặt đáy Tính theo a thể tích khối lăng trụ ’ ’ ’ khoảng cách từ B đến mặt phẳng ’ ’ Bài CĐ 2014) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60 Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SMN) Bài ĐH 2013A Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ̂ 300 , SBC tam giác cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với đáy, tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Bài ĐH 2013B Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD d(A,(SCD)) Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI III- NĂM HỌC 2014 – 2015 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phƣơng pháp chung: Để tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta quy toán tìm khoảng cách từ điểm tới đường thẳng từ điểm tới mặt phẳng Cụ thể Cách Thường sử dụng a b chéo vuông góc Dựng mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng b vuông góc với a, cắt a điểm A Từ A kẻ AH b, H b d(a, b) = AH Cách Dựng mặt phẳng chứa b song song với a Khi d(a, b) = d(a, ) = d(A, ) Ví dụ 3.1 Đại học 2010 khối A – Khoảng cách hai đường thẳng chéo vuông góc Cho hình chóp S.ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB, AD, H giao điểm CN Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 √ Tính khoảng cách hai DM, SH vuông góc với (ABCD), SH đường thẳng DM SC Giải (c – g – c) Ta có ̂ ̂ Mà ̂ + ̂ 900 nên ̂ + ̂ 900 ̂ 900 hay ( Có { Vì { ( ) ) ( ) nên d( d ) Trong tam giác Hay d( kẻ ) ta có d( ,( ) ) = HI Trong tam giác vuông có 2 √ + Trong tam giác vuông 2 có √( ) + 1 2 + √5 19 12 2 √3 √19 Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI Vậy d( ) NĂM HỌC 2014 – 2015 √3 √19 Ví dụ 3.2 Khoảng cách hai đường chéo vuông góc Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AB = AD = 2a, BC = 4a Góc SA mặt phẳng đáy 450 Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách hai đường thẳng CD SB Giải Gọi = ( ) ( ) Có { ( ( ) ) AO hình chiếu vuông góc SA mp(ABCD) góc tạo SA mp(ABCD) góc tạo hai đường thẳng SA AO góc ̂ 450 Gọi E trung điểm BC Ta có: // { ̂ 900 ADEB hình vuông { Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Trong tam giác BCD có: { vuông cân ( mà ( ( Có { d( ) ) Trong tam giác ) ) d kẻ suy d( , Gọi ) d( ) ( – – ) Có (g – g) √ Trong tam giác vuông Trong tam giác √5 , + tan ̂ có: 4√2 √5 có: 2√10 √ + √13 Ví dụ 3.3 Khoảng cách hai đường chéo không vuông góc Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD), AC = 2a, BD = 4a Tính khoảng cách từ AD đến SC Giải Có AD // BC, BC (SBC) Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 AD // (SBC) Mà ( ) d( ) d( ( )) Vì ( nên ( )) ) d( ( d( ( d( ( d( )) )) 2d( ( )) )) Trong tam giác ABC kẻ HI mà BC ( SH BC, I ) Trong tam giác SHI kẻ HJ HJ Có (SBC) BC SI, J SI HJ BC mà BC SI = I d(H, (SBC)) = HJ √15 , 2 2 2 2 2 √5 √5 Trong tam giác vuông SHI có: 1 d( ( + )) 91 60 2√15 √91 4√15 √91 Ví dụ 3.4 Đại học 2011 - Khoảng cách hai đường thẳng chéo không vuông góc Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 vuông cân B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm B, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN Giải ( Có {( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) , , Có {( ) ( ( ) ), ( ) góc tạo mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 (gt) góc tạo hai đường thẳng SB AB góc ̂ Từ giả thiết suy N trung điểm AC Gọi đường thẳng qua N song song với AB Trong tam giác S I kẻ AJ SI, (J { ( ) SI) mà d( ( Vì { // )) d( Trong tam giác vuông ) d( có SA Tác giả: Nguyễn Thị Huyền ( d( ( )) tan 600 )) 2√3 GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Trong tam giác vuông 1 + Vậy d( 13 12 2 ) có 2√39 13 2√39 13 Ví dụ 3.5 Đại học 2008 D – Khoảng cách hai đường thẳng chéo không vuông góc Cho lăng trụ đứng ’ ’ ’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, ’ = a√ , gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM ’ theo a Giải Gọi E trung điểm ’ ME // ’ Mà ME (AME), ’ (AME) ’ // (AME) d( d( ) ( )) d( ( d( ( )) )) Trong tam giác vuông ABM kẻ BI AM AM, I AM mà AM ’ ’ Trong tam giác vuông BIE kẻ BH Tác giả: Nguyễn Thị Huyền IE, H IE BH AM mà AM IE = I GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI ( ) NĂM HỌC 2014 – 2015 d( ( )) Trong tam giác vuông BIE có: 1 2 + 1 2 + + 2 √7 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài ĐH 2014D Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng chéo SA, BC Bài ĐH 2013 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc AB cho HA = 2HB Góc SC mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA, BC theo a Bài ĐH 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm của cạnh AB, AD, H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với (ABCD) SH = a √3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng chéo DM SC theo a Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI Bài Cho hình lập phương NĂM HỌC 2014 – 2015 ’ ’ ’ ’ cạnh a Gọi M trung điểm CD, N trung điểm ’ ’ Tính thể tích tứ diện hai đường thẳng ’ ’ ’ góc ’ III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy thực tế hai lớp 11 10, 11 năm học 2013 – 2014 đề thi kiểm tra chất lượng học kì II môn Toán năm học 2013 – 2014 Sở Giáo Dục đào tạo Nam Định có câu: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AB = BC = CA = a, SA vuông góc với đáy SA = a √3 Gọi O giao điểm AC BD Tính khoảng cách hai đường thẳng SO CD theo a Kết thi: Số học sinh làm câu Lớp 11A6 Lớp 11A10 3/40 1/44 7,5% 2,3% khoảng cách Tỉ lệ Sở dĩ đạt kết do: - Thời gian làm quen luyện tập tập phần khoảng cách chưa nhiều - Là phần kiến thức nên mức độ hiểu hạn chế - Học sinh hai lớp lại chủ yếu có học lực trung bình – Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 - Khi tiếp cận toán khoảng cách lớp 11 thường phải sử dụng phương pháp tính trực tiếp gián tiếp thông qua điểm khác nên hạn chế phương pháp - Học sinh chưa hình thành tảng kiến thức phương pháp giải tập khoảng cách hình học không gian - Khả tưởng tượng để vẽ hình Rút kinh nghiệm từ kết thi tập trung suy nghĩ, tìm tòi hoàn thiện chuyên đề: Một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học không gian tổng hợp áp dụng vào giảng dạy lớp 12 10 12 năm học 2014 – 2015 đạt kết thiết thực sau: + Trong đề thi tám tuần học kì I năm học 2014 – 2015 trường THPT Xuân Trường có câu: Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh Cạnh bên vuông góc với , điểm nằm cạnh từ a √3, Tính khoảng cách từ đến đến mặt phẳng cho Dành cho lớp 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với (ABCD), SA = a √2, M N trung điểm của cạnh BC, BA Tính khoảng cách từ M đến mp(SND) Dành cho lớp từ đến 6) Kết thi: Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI Số học sinh làm NĂM HỌC 2014 – 2015 Lớp 12A6 Lớp 12A10 20/37 16/40 54,1% 40,0% câu khoảng cách Tỉ lệ + Trong đề thi khảo sát chất lượng cuối năm học 2014 – 2015 môn Toán trường THPT Xuân Trường có câu: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Mặt bên SAB tam giác vuông cân đỉnh S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích hình chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng (SAC) Kết thi sau: Số học sinh làm Lớp 12A6 Lớp 12A10 25/37 20/40 67,6% 50,0% câu khoảng cách Tỉ lệ Sau kì thi kiểm tra học sinh bớt e dè với tập khoảng cách Thay nghĩ mặc định câu khoảng cách khó học sinh nhìn nhận câu khoảng cách dễ dàng Một số học sinh tỏ thích thú với tập khoảng cách IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm không chép đâu không vi phạm quyền tác giả Nếu sai thật xin chịu hình thức kỉ luật quan công tác quan chủ quản Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN xác nhận, đánh giá¸, xếp loại Ký tên, đóng dấu Nguyễn Thị Huyền Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 CÁC PHỤ LỤC KÈM THEO SÁNG KIẾN Danh mục tài liệu tham khảo Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI Lê Hồng Đức Chủ biên , 2004, NĂM HỌC 2014 – 2015 ươ ả Toán Hì ọ tậ 4, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội Lê Đức, 2009, Toá đ ể ì ì ọ 11, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Kiếm, Lê Thị Hƣơng, Hồ Xuân Thắng, 2007, ươ ả â loạ tậ Toá 11 tậ 2, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Trần Thành Minh, Phan Lƣu Biên, Trần Quang Nghĩa,2007, âu ỏ t ắ ệ ì Đỗ Thanh Sơn, 2009, ả Toá ọ 11, NXB Giáo dục ươ ả Toá â ươ ì ọ 11 t eo ủ đề, NXB Giáo dục Việt Nam Trần Đình Thì, 2007, ả ì ọ 11, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Bùi Quang Trƣờng, 2002, tu ể s đạ ọ o đẳ ữ Toá đ ể ì to đề t tậ 2, NXB Hà Nội Các diễn đàn Toán học internet: bachkim.violet.vn, diendantoanhoc.net, vnmath.vn, Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường