Sáng kiến kinh nghiệm một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ" - - - - A ĐẶT VẤN ĐỀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình, bất phương trình vô tỉ phương trình, bất phương trình có ẩn dấu thức toán phương trình bất phương trình siêu việt, phương trình, bất phương trình lượng giác thường đưa phương trình, bất phương trình vô tỉ để giải Chính việc khảo sát phương trình , bất phương trình vô tỉ cần thiết Trong năm gần đây, phương trình, bất phương trình vô tỉ thường xuất đề thi Đại học- Cao đẳng đề thi Học sinh giỏi Do đó, việc biên soạn hệ thống tập phương giải cho dạng toán giúp ích cho học sinh ôn luyện để thi học sinh giỏi thi vào trường đại học –Cao đẳng B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ LUẬN Một trọng tâm đổi chương trình sách giáo khoa giáo dục phổ thông tập trung vào đổi phương pháp dạy học, thực việc dạy học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động học sinh với tổ chức hướng dẫn giáo viên nhằm phát triển tư độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành phương pháp nhu cầu tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin niềm vui học tập cho học sinh.Tiếp tục - - tận dụng ưu điểm phương pháp truyền thống làm quen với phương pháp dạy học Khi giải toán, học sinh thường cố gắng tìm phương pháp tối ưu, đẹp nhất, chặt chẽ, xác nhiều cách giải toán Với cách học giúp em tích lũy nhiều kinh nghiệm giải toán giải toán sáng tạo Để bổ sung cho học sinh phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ giới thiệu đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ” II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Thuận lợi: Đa số học sinh thích học môn Toán, em học Toán để chuẩn bị cho kì thi Tốt nghiệp phổ thông, Đại học, Cao đẳng thi học sinh giỏi Ngoài ra, động viên, quan tâm giúp đỡ Ban Giám Hiệu đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho thực đề tài Khó khăn: - - Học sinh chủ yếu em nông thôn, gia đình xa trường, điều kiện kinh tế khó khăn, thời gian học trường em phải làm giúp gia đình Đa số điểm đầu vào học sinh thấp, có phần khó khăn cho việc lĩnh hội kiến thức III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Một số phương trình, bất phương trình vô tỉ giải phương pháp thông thường gặp nhiều khó khăn, có nhiều phương trình, bất phương trình chứa nhiều dấu phức tạp Ở nêu ba phương pháp để giải phương trình , bất phương vô tỉ phương pháp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ phương pháp vectơ 1) Phương pháp biến đổi tương đương Khi giải phương trình, bất phương trình vô tỉ ,đầu tiên ta phải đặt điều kiện cho toán có nghĩa sau tìm cách tách thức khử nó, có số phép biến đổi tương đương quan trọng sau : Giả sử k số nguyên dương  f ( x) = g k ( x) g2 k f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x) ≥ - - g2 k +1 f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x ) = g k +1 ( x)  f ( x) = g ( x) g2 k f ( x) = k g ( x) ⇔   f ( x) ≥ g2 k +1 f ( x) = 2k +1 g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) Ví dụ 1: Giải phương trình Giải : ta có x - 2x + x - 2x + = (1) = x ≥ x ≥ x ≥  ⇔ ⇔ ⇔   x = −1 ⇔ x =  x = 2x +  x − 2x −   x =  Ví dụ 2: Giải phương trình x + = − 3x + - - (2) x +1 ≥   x ≥ − ⇔ x + + 3x + = ⇔ 3x + ≥ ⇔   3x + 4x + = 31 − 2x  4x + + ( x + 1)(3x + 1) = 64 Giải: (2) 31  − ≤ x ≤ ⇔ ⇔ 3x + 4x + = 961 − 124x + 4x  31  − ≤ x ≤ ⇔ x=8   x − 128x + 960 =  Ví dụ 3: Giải phương trình x + + x +1 − x +1 = (3) KD -2005 Giải: Điều kiện : x ≥ -1 , (3) ⇔ ( x + + 1) − x + = ⇔ 2( x + + 1) − x − = ⇔ x +1 = ⇔ x = Ví dụ 4: Giải bất phương trình x − 3x + + x − 4x + ≥ x − 5x + - - (4) Giải : ∗ Nếu  x − 3x + ≥  x ≥  x − 4x + ≥ ⇔  x ≤1  x − 5x + ≥  Điều kiện x ≥4 Ta viết (4) dạng ( x − 1)( x − 2) + ( x − 1)( x − 3) ≥ ( x − 1)( x − 4) ⇔ ( x − 1)( x − + x − 3) ≥ x − x − ⇔ x−2 + x−3 ≥ x−4 ⇔ x−2 − x−4 ≥ x−4 − x−3 Vì x ≥ nên vế trái dương vế phải âm bất phương trình nghiệm Vậy ∗ Nếu ≥ x x ≤1 Ta viết (4) dạng (1 − x)(2 − x) + (1 − x)(3 − x) ≥ (1 − x)(4 − x) ⇔ 1− x ( − x + − x) ≥ 1− x − x Khả 1: x=1 nghiệm Khả : x 0) ĐS: x = 28 47 − 2x + 35 + 2x = ĐS: x = −17;x = 23 2/ 3/ x + − x = 1.ĐS: x = 1;x = 2 4/ x + = x2 + 4x ĐS: x = −3 + 17 −5 + 13 ;x = 2 − x + x − = 1.ĐS: x = 1;x = 2;x = 10 5/ 6/ x3 + = 2(x2 + 2) ĐS: x = ± 37 3) Vận dụng kiến thức vectơ để giải phương trình, bất phương trình vô tỉ Một số kiến thức vận dụng : r r ●u+v r r ≤ u+v r r r r r r u + v = u + v ⇔ u = kv (k > 0) ● r r r r u − v ≥ u −v ● r r r r r r u − v = u − v ⇔ u = kv (k > 0) ● rr r r r r uv = u v ⇔ u = kv (k > 0) ● - - 19 Ví dụ 9: Giải phương trình x2 − 2x + − x2 − 6x + 10 = Giải Phương trình ⇔ (x − 1)2 + − (x − 3)2 + = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn vectơ có tọa độ sau : r u = (x − 1;2) r v = (x − 3;1) Ta có : r r u − v = (2;1) r r u−v = r r u − v = (x − 1)2 + − (x − 3)2 + Vì r r r r r r x −1 u − v = u − v ⇔ u = kv(k > 0) nên = ⇔ x = x−3 Vậy nghiệm phương trình Ví dụ 10: Giải phương trình x = x2 + 2x + 10 + x2 − 6x + 13 = 41 Giải Phương trình cho ⇔ (x + 1)2 + + (3 − x)2 + = 41 - - 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn vectơ có tọa độ sau : r u = (x + 1;3) r v = (3 − x;2) Ta có : r r u + v = (4;5) r r u + v = 41 r r u + v = (x + 1)2 + + (3 − x)2 + Vì r r r r r r x+1 u + v = u + v ⇔ u = kv(k > 0) nên = ⇔x= 3− x Vậy nghiệm phương trình Ví dụ x= 11: Giải phương trình (3 − x) x − + − 2x = 40 − 34x + 10x2 − x3 Giải Điều kiện: 1≤ x ≤ PT ⇔ (3 − x) x − + − 2x = 40 − 34x + 10x2 − x3 - - 21 ⇔ (3 − x) x − + − 2x = [(3 − x)2 + 1](4 − x) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn vectơ có tọa độ sau : r u = (3 − x;1) r v = ( x − 1; − 2x ) Ta có : rr uv = (3 − x) x − + − 2x r r u v = (3 − x)2 + − x = 40 − 34x + 10x2 − x3 rr r r r r 3− x = uv = u v ⇔ u = kv(k > 0) nên x−1 Vì Vậy nghiệm phương trình − 2x ⇔ 2x3 − 17x2 + 49x − 46 = ⇔ x = x = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải phương trình 1/ x + − − x + x − − x − = ĐS: 2/ ≤ x ≤ 10 x2 − 8x + 816 + x2 + 10x + 267 = 2003 - - 22 ĐS: 3/ 4/ x=− 56 31 x − + − x = x2 − 6x + 11 ĐS: x=3 ĐS: x2 − 2x + + x2 + 2x + 10 = 29 x= 5/ x + 2x − + x − 2x − = 6/ x2 + 2x + + x2 − 2x + = 2 ĐS: x=0 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI - Qua thưc tế giảng dạy, học sinh nắm vấn đề lý thuyết hình học đại số- nhận dạng loại tập –phương pháp giải loại tập có hệ thống giúp cho em giải đươc toán giải phương trình, bất phương trình vô tỉ đề thi Đại học-Cao đẳng cách nhanh chóng - Kết cho thấy: đa số HS biết ứng dụng giải toán giải phương trình, bất phương trình vô tỉ C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT - - 23 Sáng kiến kinh nghiệm góp phần thiết thực vào việc ôn thi đại học học sinh Nó giúp học sinh thấy cách giải vấn đề nhanh chóng hiệu nắm vững phương pháp Tôi mong hội đồng chuyên môn nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện triển khai áp dung rộng rãi để giảng dạy cho học sinh lớp 12 chuẩn bị thi Đại học-Cao đẳng Trong trình biên soạn đề tài có nhiều cố gắng, nhiên không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài hoàn thiện - - 24 Xác nhận cuả thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 25/5/2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Văn Thảo - - 25 [...]... đại số- nhận dạng được các loại bài tập phương pháp giải từng loại bài tập có hệ thống như trên thì sẽ giúp cho các em giải quyết đươc bài toán giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trong các đề thi Đại học-Cao đẳng một cách nhanh chóng - Kết quả cho thấy: đa số HS biết ứng dụng và giải được các bài toán về giải phương trình, bất phương trình vô tỉ C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT - - 23 Sáng kiến kinh nghiệm. .. 2) ĐS: x = 5 ± 37 2 3) Vận dụng kiến thức vectơ để giải phương trình, bất phương trình vô tỉ Một số kiến thức vận dụng : r r ●u+v r r ≤ u+v r r r r r r u + v = u + v ⇔ u = kv (k > 0) ● r r r r u − v ≥ u −v ● r r r r r r u − v = u − v ⇔ u = kv (k > 0) ● rr r r r r uv = u v ⇔ u = kv (k > 0) ● - - 19 Ví dụ 9: Giải phương trình x2 − 2x + 5 − x2 − 6x + 10 = 5 Giải Phương trình ⇔ (x − 1)2 + 4 − (x − 3)2... ta đặt hai ẩn phụ để đưa về hệ phương trình Ví dụ 6: Giải phương trình 3 − x + x2 − 2 + x − x2 = 1 Giải Đặt u = 3 − x + x2 và u − v = 1 ⇔  2 2 u + v = 5  v = 2 + x − x2(u, v ≥ 0) , u = 1 + v ⇔  2 v + v − 2 = 0  ta được hệ phương trình : u = 2 hoặc  v = 1 u = −1 (loại)  v = −2 Đáp số : x = 1 ± 5 2 3 Ví dụ 7: Giải phương trình x + 34 − 3 x − 3 = 1 Giải Đặt u = 3 x + 34 và u − v... xứng quen thuộc Ví dụ 5: Giải phương trình 3 81x − 8 = x3 − 2x2 + 4 x − 2 3 4 3 Làm nháp: Xét hàm số f (x) = x3 − 2x2 + x − 2 4 3 Ta có f '(x) = 3x2 − 4x = , f ''(x) = 6x − 4, f ''(x) = 0 ⇔ x = 2 3 Giải  3 2 3y = x − 2x + Đặt 3 81x − 8 = 3y − 2 , ta được hệ phương trình  3x = y3 − 2y2 +  - - 4 x 3 4 y 3 15 Đáp số : x = 0;x = 3± 2 6 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải các phương trình sau : 1) x2 = 2 −... được hệ phương trình  2 y − x = 5 Hệ này là hệ đối xứng loại 2  1 − 21 x = 2 (loại) hoặc Giải hệ ta được  y = 1 − 21  2  1 + 21 x = 2 hoặc  y = 1 + 21  2   −1 − 17 −1 + 17 x = x = 2 2 hoặc  (loại)  y = −1 + 21 y = −1 − 21   2 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 + 21 , x = −1 + 17 2 Ví dụ 2: Giải phương trình 2 1 61 29 x+ = 3x2 + x − 3 36 6 Làm nháp: Xét hàm số f (x)... ≠ 0,c ≠ 0,a ≠ ) Xét hàm số f (x) = cx2 + dx + e d Ta có f '(x) = 2cx + d , f '(x) = 0 ⇔ x = − 2c - - 12 Đặt ax + b = 2cy + d , ta đưa phương trình dạng 2 về hệ đối xứng quen thuộc Ví dụ 3: Giải phương trình 9x − 5 = 3x2 + 2x + 3 Làm nháp: Xét hàm số f (x) = 3x2 + 2x + 3 1 3 Ta có f '(x) = 6x + 2, f '(x) = 0 ⇔ x = − Giải Đặt 1 9x − 5 = 3y + 1(y ≥ − ) , ta được hệ phương trình 3 3y2 + 2y = 3x −... có : r r u − v = (2;1) r r u−v = 5 r r u − v = (x − 1)2 + 4 − (x − 3)2 + 1 Vì r r r r r r x −1 u − v = u − v ⇔ u = kv(k > 0) nên = 2 ⇔ x = 5 x−3 Vậy nghiệm của phương trình là Ví dụ 10: Giải phương trình x = 5 x2 + 2x + 10 + x2 − 6x + 13 = 41 Giải Phương trình đã cho ⇔ (x + 1)2 + 9 + (3 − x)2 + 4 = 41 - - 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ có tọa độ như sau : r u = (x + 1;3) r v = (3 − x;2)... 0 ⇔ x = 0 Giải x3 + 1 = 2y  Đặt y = 3 2x − 1 , ta được hệ phương trình  3 y + 1 = 2x Trừ hai phương trình của hệ vế theo vế, ta được : x3 − y3 = 2y − 2x y = x ⇔ (y − x)(y2 + xy + x2 + 2) = 0 ⇔  2 y + xy + x2 + 2 = 0(VN ) Thay x = y vào phương trình ban đầu ta được : x3 − 2x + 1 = 0 - - 14 ⇔ x = 1, x = 1± 5 2 1 c Dạng 4 : 3 ax + b = cx3 + dx2 + ex + f (a ≠ 0,c ≠ 0,a ≠ ) Xét hàm số f (x) =... u + v = (4;5) r r u + v = 41 r r u + v = (x + 1)2 + 9 + (3 − x)2 + 4 Vì r r r r r r x+1 3 7 u + v = u + v ⇔ u = kv(k > 0) nên = ⇔x= 3− x 2 5 Vậy nghiệm của phương trình là Ví dụ x= 7 5 11: Giải phương trình (3 − x) x − 1 + 5 − 2x = 40 − 34x + 10x2 − x3 Giải Điều kiện: 1≤ x ≤ PT ⇔ (3 − x) 5 2 x − 1 + 5 − 2x = 40 − 34x + 10x2 − x3 - - 21 ⇔ (3 − x) x − 1 + 5 − 2x = [(3 − x)2 + 1](4 − x) Trong mặt phẳng... được hệ phương trình : u − v = 1 ⇔  2 2 ( u − v )( u + uv + v ) = 37  - - u = v + 1  2 2 (v + 1) + v(v + 1) + v = 37 17 u = v + 1 ⇔ 2 ⇔ v + v − 12 = 0  u = 4 hoặc  v = 3   3 x + 34 = 3  Khi đó  3 hoặc  x − 3 = 4 u = −3  v = − 4   3 x + 34 = 3  3  x − 3 = 4 Giải ra được x = 30, x = −61 Ví dụ 8 :Giải phương trình 23 3x − 2 + 3 6x − 5 − 8 = 0(ĐH Khối A- 2009) Giải Đặt ... TÀI Phương trình, bất phương trình vô tỉ phương trình, bất phương trình có ẩn dấu thức toán phương trình bất phương trình siêu việt, phương trình, bất phương trình lượng giác thường đưa phương trình, . .. nhiều kinh nghiệm giải toán giải toán sáng tạo Để bổ sung cho học sinh phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ giới thiệu đề tài: Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình. .. phương trình, bất phương trình vô tỉ giải phương pháp thông thường gặp nhiều khó khăn, có nhiều phương trình, bất phương trình chứa nhiều dấu phức tạp Ở nêu ba phương pháp để giải phương trình , bất