SKKN hướng dẫn học sinh dùng phương pháp toạ độ trong không gian để giải bài tập hình học không gian tổng hợp

Lí do chọn đề tài Việc dùng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian tổng hợp là một vấn đề cần thiết với học sinh lớp 12 vì đó là một nội dung quan trọng để học sinh

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LÀO CAI

TRƯỜNG THPT SỐ 1 BẮC HÀ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH DÙNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TẬP

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP

Họ và tên: Nguyễn Khánh Chi

Chức vụ : TTCM

Tổ chuyên môn: Toán - lý - Tin- CN

Đơn vị công tác: Trường THPT số 1 Bắc Hà

Năm học: 2013 - 2014

Mục lục

2

2 Thực trạng dạy và học bộ môn trước khi đưa ra phương pháp giải phương trình mặt cầu

3

3.3 Các dạng bài tập tương tự 17

3

III Kết luận.

Tài liệu tham khảo

20

I Lí do chọn đề tài

Việc dùng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian tổng hợp là một vấn đề cần thiết với học sinh lớp 12 vì đó là một nội dung quan trọng để học sinh dự thi các trường Đại học và Cao đẳng, trung học chuyên nghiệp Đây vốn là dạng bài khó đối với học sinh, đa phần các em học ở mức độ trung bình khá trở xuống đều cảm thấy hết sức bồi rối khi đứng trước 1 bài hình

không gian, không biết bắt đầu từ đâu, đi theo hướng nào thì tới đích và cuối cùng là bỏ qua, thậm chí có em còn không cần đọc kĩ đề và bỏ qua luôn nếu trong đề có xuất hiện dạng này Một giải pháp có thể giúp các em này không mất điểm một cách đáng tiếc là chuyển bài toán hình học không gian tổng hợp thuần tuý sang bài toán hình giải tích quen thuộc bằng phương pháp toạ độ hoá Việc vận dụng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian tổng hợp là rất tiện lợi song phương pháp này có được đề cập đến trong chương trình toán phổ thông dưới dạng một vài bài tập đơn giản, ít được chú trọng nên học sinh thường không chú ý Học sinh không biết chọn hệ trục toạ độ như thế nào cho thích hợp Cho nên vấn đề đặt ra là dạy như thế nào để học sinh nắm chắc lí thuyết và biết vận dụng tốt để giải các bài tập cơ bản

II Nội dung

1 Cơ sở lý luận của vấn đề

Dựa vào nền tảng là “phương pháp toạ độ trong không gian” trong SKG hình học 12, qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu của bản thân Tôi đã nghiên cứu và rút ra một số kinh nghiệm giảng dạy chương này nhằm mục đích để học sinh nắm vững kiến thức đồng thời biết làm bài tập và giúp các em học sinh tạo

sự húng thú trong học tập

2 Thực trạng dạy và học bộ môn trước khi đưa ra phương pháp giải phương trình mặt cầu

Đối với giáo viên tuy không gặp khó khăn trong truyền thụ kiến thức cơ bản của bộ môn, song đối với học sinh của trường THPT số 1 Bắc Hà việc truyền thụ kiến thức cho học sinh gặp đôi chút khó khăn

Đối với học sinh tỉ lệ học sinh đi học ở bậc THPT còn thấp, đầu vào tuyển sinh thấp hơn nhiều so với các địa phương khác trong tỉnh Đây thực sự là khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng dạy bởi những “lỗ hổng” kiến thức bộ môn là quá lớn Hơn nữa đa số học sinh còn sợ học môn hình học nên việc tiếp thu gặp nhiều khó khăn Học sinh chưa có kĩ năng vẽ hình và trình bày bài

3 Các giải pháp

Hệ thống lại cho học sinh định nghĩa phương trình mặt phẳng, điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Đây là phần khó đối với học sinh nên khi dạy cần củng cố bằng các ví dụ

cụ thể cho học sinh, cho học sinh thực hành tính toán chú ý nhiều đến học sinh yếu kém Nên ra một ví dụ là một bài toán nhưng có thể vận dụng được nhiều dạng kiến thức lí thuyết vừa học

3.1 Phần Lý thuyết

3.1.1 Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau

với ba vectơ đơn vị i j k    , ,

i j k  1

 1; ;2 3 a 1 2 3

a a a a  a i a j a k    

; M(x;y;z)ÛOM xi y j zk     

3.1.2 Tọa độ của vectơ: cho u x y z v x y z( ; ; ), ( '; '; ')

1 u v  x x y y z z ';  ';  ' 2 u v  x x y y z z ';  ';  ' 3 ku ( ; ; )kx ky kz

4 u v xx   '  yy zz '  '

5 u v  xx' yy'zz' 0 6 u  x2 y2 z2

7 ; ;  ' ' ; ' ' ; ' ' 

' ' ' ' ' ' yz y z zx z x xy x y

y z z x x y

u v

 

 

8 u v , cùng phươngÛ[ , ] 0u v  

3.1.3 Tọa độ của điểm: cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)

1.  (  ;  ;  )

B A B A B A

AB x x y y z z

2.AB (x B  x A) 2  (y B  y A) 2  (z B  z A) 2

3 G là trọng tâm tam giác ABC ta có:

x G =x A x3B x C

; y G = y A y3B y C

; z G =z A z3B z C

3.1.4 Các công thức về góc

1 Góc giữa hai véctơ: ( , ) .

.

u v cos u v

u v



 

 

 

2 Góc giữa hai đường thẳng: 1 2 1 2

1 2

( , )

.

u u cos

u u

  

 

  (u u 1, 2

là các véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng   1 , 2)

3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sin( , ) .

.

u n







 

 

,

u n 

 

là vectơ chỉ phương của  và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )

4 Góc giữa hai mặt phẳng: ( , ) .

.

n n cos

 

 

  

 

 

(n n , 

là vectơ pháp tuyến của ( ),( )  )

3.1.5 Công thức về khoảng cách

1 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng; d M( , ) M M u,

u



 

 



2 Khoảng cách từ điểm M(x0,y0,z0) đến mp(P): Ax+By+Cz+D=0 là:

0 0 0

( ,( )) Ax By Cz D

d M P



3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 1 2 1 2 1 2

1 2

, ( , )

,

M M u u d

u u

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 

(M1   1 ,M2   2 , ,u u  1 2

là véctơ chỉ phương của   1 , 2)

3.1.6 Các công thức về diện tích và thể tích

1 Diện tích hình bình hành ABCD: S  ABCD   AB AD,  

 

2 Diện tích tam giác ABC: 1

2

ABC

S    AB AC, 

3 Thể tích khối hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢: V ABCD A B C D ' ' ' ' [ ,AB AD AA]. '

  

6

ABCD

V  [ ,AB AC AD].

  

3.2 Phần bài tập

3.2.1 Phương pháp giải

Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào

hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh của hình

Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O)

Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan

(có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết)

Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :

 Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ)

 Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ

 Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng

 Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán

Các dạng toán thường gặp:

 Độ dài đọan thẳng

 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng

 Góc giữa hai đường thẳng

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Góc giữa hai mặt phẳng

 Thể tích khối đa diện

 Diện tích thiết diện

 Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc

 Bài toán cực trị, quỹ tích

Bổ sung kiến thức :

1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S' bằng tích của S với cosin của góc giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu

S ' S cos 

2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B',

C' khác với S Ta luôn có:

SC

SC SB

SB SA

SA V

V

ABC S

C B A

.

' ' '

3.2.2 Các dạng toán

1 Hình chóp tam giác

a Dạng tam diện vuông

(Hình chóp có một cạnh

bên vuông góc với đáy)

Bài toán 1 Tam diện

vuông :

Cho hình chóp O.ABC

có OA, OB, OC đôi

một vuông góc,

Chọn hệ trục Oxyz

như hình vẽ

B

A

C

z

x

b, Tam diện có một góc phẳng vuông (Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy)

khi đó ta thiết lập một mặt của hệ trục tọa độ chứa góc phẳng đó

Bµi to¸n .

Cho hình chóp S.ABC có (SAB) 

(ABC), SABcân tại S, ABC

vuông tại A (vuông tại B làm tương

tự) Ta nên

* Gọi O, I lần lượt là trung điểm AB

và BC

* Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ

Ví dụ 1 Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3;

AC = AD= 4 Tính kho ng cách t A t i m t ph ng (BCD)ảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) ừ A tới mặt phẳng (BCD) ới mặt phẳng (BCD) ặt phẳng (BCD) ẳng (BCD)

A

C

B

O

x z

Hướng dẫn giải

+ Chọn hệ trục Oxyz sao cho

A º O

D Ox; C  Oy và B  Oz

Þ A(0;0;0); B(0;0;3);

C(0;4;0); D(4;0;0)

Þ Phương trình đoạn chắn

của (BCD) là:

1

443 

 3x + 3y + 4z – 12 = 0

Khoảng cách từ A tới mặt

 , ( ) 6 34

17

d A BCD 

Ví dụ 2.

Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc Điểm

M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3 Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:

O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

d(M, (OAB))= 3 Þ zM = 3

Tương tự Þ M(1; 2; 3)

phương trình mặt phẳng(ABC): x y z 1

a+ + =b c

(1)

O.ABC 1

6

3

1

6

(2)

min

A

C

I

y

x

H M

Z

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích S của tam giác BCD theo

a, b, c và chứng minh rằng : 2S abc a b c   

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như

hình vẽ, ta cĩ tọa độ các

điểm là :A(0;0;0),

B(c;0;0), C(0;b;0),

D(0;0;a)

; ;0 , ;0; ,

BC BD ab ac bc

 

,

BCD

 

Theo bất đẳng thức Cachy ta cĩ:

2 2 2

a b b c ab c

b c c a bc a

c a a b ca b







Cộng vế : a b2 2a c2 2b c2 2 abc a b c(   )

c D ng hình chĩp tam giác ạng hình chĩp tam giác đều đềuu

Bài tốn Cho hình

chĩp tam giác đều

S.ABC,

Ta nên:

* Gọi O là tâm mặt

đáy

* Trong (ABC) dựng

OI song song với BC

cắt AC tại I

* Chọn hệ trục Oxyz

như hình vẽ

S

B

A

C

z

x

y

Ví dụ 1 (trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ độ dài cạnh đáy là a Gọi M, N là trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích DAMN, biết (AMN) vuơng gĩc với (SBC)

Hướng dẫn giải

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm D ABC

Gọi I là trung điểm của BC, ta cĩ :AI 3BC a 3

Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuơng gĩc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa

độ như hình vẽ ta được: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A a 3; 0; 0

3

a 3

I ; 0; 0

6

ç

Þ ççè - ÷÷ø, B a 3 a; ; 0

6 2

a 3 a

çè ø, M a 3 a h; ;

12 4 2

và N a 3; a h;

12 4 2

2

n AM, AN ; 0;

Þ = êë úû è =çç ÷÷ø

uuur uuur r

2

n SB, SC ah; 0;

6

= êë úû çè = -ç ÷÷ø

uur uur

r

2 2

(AMN) (SBC)

2 AMN

(AMN) (SBC)

5a

12

D

^

uuur uuur

.Ví dụ 2.(ĐH khối A – 2011).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a;

hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM

và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC) nên SA(ABC)

Þ Góc giữa (SBC) và (ABC) là SBA Û 60  Þ SA AB tan 60 2a 3

Mặt phẳng qua SM, song song BC, cắt AC tại NÞ MN // BCÞ N là trung điểm

AC Do đó tam giác AMN vuông cân tại M

Khi đó, ta có .

3

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SN bằng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ,

với B là gốc tọa độ,

(2 ;0;0), (0; 2 ;0), (0; 2 ; 2 3)

N là trung điểm AC

( ; ;0) ( ; ; 2 3)

Þ Þ    

Mặt khác

(0; 2 ;0)

, (4 3;0; 2 )



Lại có BN  ( ; ;0)a a



3

2

, ( , )

,

13

2 13

SN BA BN

d SN AB

SN BA

a

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 

C

S

y

x

z

N M

Chú ý

+ Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết phải bằng đáy Chân đường cao là trọng tâm của đáy + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy

2 Hình chóp tứ giác

a) Bài toán 1 Hình

chóp S.ABCD có SA

vuông góc với đáy và

đáy là hình vuông

(hoặc hình chữ nhật)

Ta chọn hệ trục tọa độ

như dạng tam diện

C B

S

x

I

z

y

b) Bài toán 2 Hình chóp

S.ABCD có đáy là hình

vuông (hoặc hình thoi) tâm

O đường cao SO vuông góc

với đáy Ta chọn hệ trục tọa

độ tia OA, OB, OS lần lượt

là Ox, Oy, Oz

Giả sử SO = h, OA = a, OB

= b có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),

B(0; b; 0), C(–a; 0; 0),

D(0;–b; 0), S(0; 0; h)

A

D

C B

S

x

O

y z

c, Bài toán 3 Cho hình

chóp S.ABCD có SA 

(ABCD), tứ giác ABCD là

thoi,

Ta nªn: * Gọi O là tâm

hình thoi, I là trung điểm

SC

* Chọn hệ trục Oxyz như

hình vẽ

A

D

C B

S

x

O

y

z

I

d,

Bài toán 4 Cho hình

chóp S.ABCD có (SAB)

 (ABCD), SAB cân

tại S, tứ giác ABCD là

hình thoi,

Ta nên:

* Gọi M, N, I lần lượt là

trung điểm AB, CD, SN,

và O là tâm hình thoi

* Chọn hệ trục Oxyz như

hình vẽ

A

D

C B

S

x

O

y

I z

Ví dụ 1: (ĐH - Khối B- 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tính của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Hướng dẫn giải

Gọi





3 : (0; 0; 0), (0; 0; ),

2 ( ; 0; 0), ( ; 0; 0),

( ; ; 0), ( ; ; 0)

a

Ta có:







3

3

3

3

; ;

SA

SB

B

C

H

S z

y

x

I

K

3 3 3

S ABCD SABC SACD

V V V   SA SC SB  SA SC SD     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

SCD

Þ ptđt đi qua A và vuông góc SCD có dạng( ) :

















2 2

2

3 , 2

a

a

Lưu ý sử dụng cơng thức khoảng cách nhanh hơn





2

7

a

d A SCD

Ví dụ 2: (ĐH - Khối A- 2010) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng

cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) và SH=a 3 Tính th tích kh i chĩp S.CDNM v tính kho ng cách gi a hai B ối chĩp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng à tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) ữa hai đường thẳng đường thẳngng th ngẳng (BCD)

DM v SC theo a.à tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Hướng dẫn giải

Dễ thấy

S CDNM S ABCD S BCM S AMN

1

3SH S ABCD S BCM S AMN

2

Bây giờ ta tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng DM và

SC bằng phương pháp tọa

độ

Chọn hệ trục Oxyz như hình

vẽ, ta cĩ

CºO(0;0;0), B(a;0;0),

D(0;a;0), A(a;a;0). C ºO

A

B

D

H

x

y

S

z

M

N

M là trung điểm AB ( ; ;0)

2

a

M a

N là trung điểm AD

( ; ;0)

2

a

Þ H (Oxy) Þ H x y( ; ;0)

H DM CN Þ CH CN  ,

cùng phương và  DH DM,

cùng phương

2

x y

a a

và

2

x y a a a







,

Þ   Vậy H(2 ;4 ;0

5 5

a a

) (2 ;4 ; 3)

5 5

a a

Þ

Khi đó, (2 ;4 ; 3), ( ; ;0)

3

2

a

 

Mặt khác ( ; ;0)

2

a

CM  a



3 2

19 19

,

2

d SC DM

a

CS DM

  

Ví dụ 3: (ĐH - Khối A- 2009)

Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=2a, CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o Gọi I

là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD), tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

Hướng dẫn giải

Vì (SBI)(ABCD), (SCI) (ABCD)

Þ SI(ABCD), giả sử SI=h

Dựng đường thẳng qua A và song song

với SI

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Khiđó:A(0;0;0),B(2a;0;0),

D(0;2a;0),C(a;2a;0)I(0;a;0),S(0;a;h)

( 2 ; ; ); ( ; ;0)

( )

( )

2

, (2 ; ;3 );

(0;0;1) 60

SBC

ABCD

o



 





   

I

S

z

x

y

60

2

cos

h



3