Ứng dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TỐN CHO HỌC SINH Người thực hiện: Vi Thanh Hồng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2018 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Mở đầu 1.1.Lý chọn đề tài 1.2.Mục đích nghiên cứu 1.3.Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung nghiên cứu 2.1.Cơ sở lý luận 2.1.1 Kiến thức số phức 2.1.2 Tập hợp điêm biểu diễn số phức thường gặp 2.2 Thực trạng đề tài 2.3 Các biện pháp giải vấn đề 6 2.3.1 Bài tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 2.3.2 Bài tốn tìm số phức có mô đun lớn nhỏ thỏa mãn điều kiện cho trước 2.3.2.1 Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng 2.3.2.2 Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn 2.3.2.3 Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường E líp 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận, kiến nghị 11 16 17 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 18 Tài liệu tham khảo 19 MỞ ĐẦU 1.1.Lý chọn đề tài Khi học Số phức ta biết số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ , i = −1) biểu diễn điểm M ( x; y ) mặt phẳng tọa độ Oxy Như dùng hình học, cụ thể Phương pháp tọa độ mặt phẳng Oxy để giải tốn số phức Ta “nhìn’’ số toán số phức với quan điểm tọa độ Từ ta thấy Đại số Hình học có quan hệ mật thiết với nhau, hòa quyện Khi chuyển tốn Số phức từ ngơn ngữ Đại số sang Hình học số dường khô khan lại trở nên trực quan sinh động mang vẻ đẹp riêng, làm học sinh dễ hiểu, dễ học Từ làm người học hứng thú, đam mê khám phá tìm tòi sáng tạo Đặc biệt kì thi Đại học, Cao đẳng THPT quốc gia gần có nhiều toán số phức làm học sinh lúng túng Với hình thức thi trắc nghiệm nay, ngồi kiến thức nắm vững học sinh phải giải nhanh tốn Để làm nhanh người học phải hiểu cặn kẽ dạng toán Đối với dạng tốn tìm số phức thỏa mãn điều kiện đó, hay tốn Cực trị số phức học sinh vẽ hình minh họa, sau dùng phương pháp tọa độ giải nhanh chóng dễ hiểu, dễ nhớ Đi từ “trực quan sinh động đến tư trừu tượng” [1], đường nhận thức, khám phá Ngoài phương pháp tọa độ mặt phẳng Oxy số tốn số phức giải nhiều phương pháp dùng Bất đẳng thức, Dùng lượng giác, dùng Khảo sát hàm số Nhưng phương pháp tọa độ mặt phẳng Oxy đẹp riêng có sức hấp dẫn riêng người học toán Tuy nhiên, thực tế giảng dạy, việc chuyển từ toán Đại số nói chung Số phức nói riêng sang tốn Hình học tọa độ mặt phẳng Oxy nhiều học sinh nói chung lúng túng, bỡ ngỡ Để giúp học sinh giải số toán Số phức đặc biệt toán Cực trị Số phức tơi xin trao đổi với q đồng nghiệp đề tài: “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số toán Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” Với mục đích giúp học sinh lớp 12 nắm vững cách vận dụng kiến thức Phương pháp tọa độ học lớp 10 để giải số toán số phức Từ học sinh linh hoạt tư hiểu rõ kiến thức Số phức kiến thức Hình học Đặc biệt giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thơng quốc gia 1.2.Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài làm sáng tỏ sở lý luận thực tiễn tăng cường vận dụng kiến thức Phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải toán Số phức -Phân tích xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể mối liên hệ Số phức với Hình học Qua thấy giao thoa giưa Đại số nói chung số phức nói riêng với Hình học - Góp phần nâng cao tư sáng tạo, chất lượng dạy học mơn tốn trường THPT - Giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu trên, đối tượng nghiên cứu đề tài là: - Nghiên cứu tính ứng dụng Hình học đặc biệt ứng dụng Phương pháp tọa độ mặt phẳng - Hình học liên hệ với Đại số nói chung số phức nói riêng thể số toán số phức đặc biệt toán Cực trị số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận phương pháp giảng dạy mơn tốn học tập trung vào phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn,thu thập thông tin - Thực nghiệm sư phạm NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1.Cơ sở lý luận Theo nghị số 29-NQ/TW, ngày tháng 11 năm 2013- nghị hội nghị trung ương khóa XI đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trường học hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Trong văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn mạnh quan tâm đặc biệt làm rõ lập trường, quan điểm, tính quán cần thiết phải đổi bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực [2] Hiện giáo dục Việt Nam tập trung đổi mới, hướng tới giáo dục tiến bộ, đại ngang tầm với nước khu vực toàn giới Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt mơn tốn học cần thiết khơng thể thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, vận dụng kiến thức Hình học để giải toán Đại số ngược lại, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng Phương pháp tọa độ mặt phẳng Oxy để giải số toán số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh Giúp học sinh chuẩn bị tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia Để vận dụng tốt Phương pháp tọa độ mặt phẳng vào giải số toán số phức ta cần nắm vững kiến thức sau: 2.1.1.Kiến thức số phức Định nghĩa: Một số phức biểu thức có dạng a + bi, a, b số thực số i thoả mãn i2 = -1 Ký hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực Ký hiệu Re(z) = a b gọi phần ảo số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp số phức ký hiệu C *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i a = a ' b = b ' z = z’ ⇔  Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:  z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i   z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a + bi = a - bi Chú ý: 10) z = z ⇒ z z gọi hai số phức liên hợp với 20) z z = a2 + b2 *) Tính chất số phức liên hợp: (1): z = z (2): z + z ' = z + z ' (3): z.z ' = z.z ' (4): z z = a + b (z = a + bi ) Môđun số phức Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z mơđun số phư z, số thực không âm xác định sau: uuuuu v - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, z = OM = a + b - Nếu z = a + bi, z = z.z = a + b Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số 1 z-1= a + b z = z z Thương z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z '.z = z.z −1 = z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường [3] 2.1.2 Tập hợp điêm biểu diễn số phức thường gặp + Phương trình đường thẳng: ax + by + c = (a + b ≠ 0) + Phương trình đường tròn tâm I( a; b) bán kính R > là: ( x − a ) + ( y − b) = R x2 y2 + Phương trình tắc E líp : + = (a> b >0) a b 2.2.Thực trạng đề tài - Trong sách giáo khoa Toán 12 tập vận dụng kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng có số lượng hạn chế Hầu hết học sinh gặp khó khăn giải tốn dạng - “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số toán Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” cho ta phương pháp giải toán liên quan đến số phức cách dễ hiểu đối tượng học sinh có học lực trung bình trở lên - “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số toán Số phức nhằm tạo hứng thú học tốn cho học sinh” kích thích sáng tạo tính ham học hỏi, ham khám phá học sinh - “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số toán Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” giúp học sinh yêu thích học tập mơn tốn hơn, thấy “ gần gũi ’’ Hình học Đại số - “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số toán Số phức nhằm tạo hứng thú học tốn cho học sinh” giúp học sinh phát huy tối đa tự học,tự bồi dưỡng tri thức – đường tiết kiệm , kinh tế để học tập tốt 2.3.Các biện pháp giải vấn đề 2.3.1.Bài tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bài toán bản: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện K cho trước Phương pháp chung: + Bước 1: Gọi M(x ; y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y∈ ¡ ) + Bước 2: Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ x, y kết luận Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z = z − + 3i ? Giải Gọi M(x ; y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y ∈ ¡ ) Ta có: z = z − + 3i ⇔ x + yi = x − yi − + 3i ⇔ x + y = ( x − 2)2 + (− y + 3)2 ⇔ x2 + y = x2 − 4x + + y − y + ⇔ x + y − 13 = Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường thẳng (d): x + y − 13 = Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: u = ( z + − i )( z + + 3i ) số thực Học sinh giải tương tự Đáp số:Tập hợp điểm M đường thẳng (d ) : x − y + = Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z − (1 − 2i) = Giải Gọi M(x ; y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y ∈ ¡ ) Ta có: z − (1 − 2i ) = ⇔ x − + ( y + 2)i = ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường tròn (C) tâm I (1; −2) ,bán kính R = có phương trình: ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z − − 4i = Học sinh giải tương tự Đáp số: Tập hợp điểm M đường tròn (C ) : ( x − 2) + ( y − 4) = Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z + + z − = Giải Gọi M(x ; y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y ∈ ¡ ), số z1 = − có điểm biểu diễn F1 (− 3;0) , số z2 = − có điểm biểu diễn F2 ( 3;0) Số phức z thỏa mãn: z + + z − = ⇔ MF1 + MF2 = , suy M thuộc đường elip có a = 2, b = 1, c = ,tiêu điểm F1 , F2 , Elip ( E ) có phương tình trình tắc: x2 x2 + = Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z + + z − = x2 y2 Học sinh giải tương tự Đáp số: Tập hợp điểm M đường Elip ( E ) : + = 2.3.2.Bài tốn tìm số phức có mơ đun lớn nhỏ thỏa mãn điều kiện cho trước Bài toán bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ z Phương pháp chung: + Bước 1: Tìm tập hợp (H) điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*) + Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ∈ ( H ) cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ 2.3.2.1.Dạng : Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng Ví dụ 1.1 Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i , tìm số phức z có mơ đun nhỏ Giải Gọi z = x + yi số phức có điểm biểu diễn hình học M ( x; y ) , số phức z1 = + 4i có điểm biểu diễn hình học A(2 ; 4), số phức z1 = 2i có điểm biểu diễn hình học B(0 ; 2) Khi ta có: z − − 4i = z − 2i ⇔ MA = MB Suy điểm M thuộc đường trung trực ∆ đoạn thẳng AB nên đường thẳng ∆ có phương trình: x = 1+ t  y = 3−t Ta có : z ⇔ OM ⇔ OM ⊥ ∆ uuuu r Điểm M thuộc ∆ nên M (1 + t;3 − t ) ⇒ OM = (1 + t ;3 − t ) Véc tơ phương ∆ uu r uuuu r uur là: u∆ = (1; −1) Do OM ⊥ ∆ ⇔ OM u∆ = ⇔ 2t − = ⇔ t = ⇒ M (2; 2) Số phức cần tìm : z = + 2i Bài tập tương tự: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 13i = z + − 5i , tìm số phức z có mơ đun nhỏ Học sinh giải tương tự Đáp số : z = + 4i Ví dụ 1.2 Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 10i = z + − 4i , tìm giá trị nhỏ z − + i Giải Gọi z = x + yi số phức có điểm biểu diễn hình học M ( x; y ) , số phức z1 = + 10i có điểm biểu diễn hình học A(9 ; 10), số phức z2 = −1 + 4i có điểm biểu diễn hình học B(-1 ; 4) Khi ta có: z − − 10i = z + − 4i ⇔ MA = MB Suy điểm M thuộc đường trung trực ∆  x = + 3t đoạn thẳng AB nên đường thẳng ∆ có phương trình:   y = − 5t Gọi C(2 ; -1) điểm biểu diễn hình học số phức z3 = − i , ta có z − + i = MC Số z − + i có mơ đun nhỏ MC ngắn nhất, tức điểm M hình chiếu vng góc điểm Cuutrên đường thẳng ∆ Điểm M thuộc ∆ nên uu r tọa độ điểm M (4 + 3t;7 − 5t ) , véc tơ CM = (2 + 3t;8 − 5t ) , Véc tơ phương ∆ uu r uuuu r uur là: u∆ = (3;5) Giải điều kiện: CM ⊥ ∆ ⇔ CM u∆ = ⇔ 34T − 34 = ⇔ t = ⇒ M (7; 2) Suy z − + i = 34 Cách tính khác: Ta có z − + i = d (C ; ∆) Phương trình tổng quát ∆ là: x + y − 41 = , khoảng cách: d (C; ∆) = 5.2 + 3( −1) − 41 52 + 32 = 34 ⇒ z − + i = 34 [4] Bài tập tương tự: Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 3i = z − − 5i , tìm giá trị nhỏ z + + i Học sinh giải tương tự Đáp số : z + + i = 12 17 17 Ví dụ 1.3 Cho số phức z thỏa mãn z − + 6i = z − 15 Tìm số phức z để P = z − + i + z + − i nhỏ Giải 10 Gọi z = x + yi số phức có điểm biểu diễn hình học M ( x; y ) , số phức z1 = − 6i có điểm biểu diễn A(5 ; -6), số phức z2 = 15 có điểm biểu diễn B(15;0) Khi ta có: z − + 6i = z − 15 ⇔ MA = MB Suy điểm M thuộc đường trung trực ∆ đoạn thẳng AB nên đường thẳng ∆ có phương trình: x + y − 41 = số phức z3 = − i có điểm biểu diễn C(2;-1), số phức z4 = −6 + i có điểm biểu diễn D(-6;1) Biểu thức P nhỏ MC + MD nhỏ Đặt f ( M ) = x + y − 41 , ta có giá trị f (C ) = −34 , f ( D) = −68 Suy C, D thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng ∆ Do MC + MD nhỏ M = C ' D ∩ ∆ , với C’ điểm đối xứng điểm C qua đường thẳng ∆  x = + 5t thay  y = −1 + 3t vào phương trình ∆ ta có : t = ⇒ H (7; 2) (Với H = ∆ ∩ ∆ ' ) ⇒ C '(12;5) Đường thẳng ∆ ' qua C vng góc với ∆ có phương trình:  Phương trình đường thẳng DC’:  x = −6 + 9t  , thay vào phương trình  y = 1+ t ∆ ta t = Tọa độ điểm 11 M (6; ) ⇒ Số phức cần tìm z = + 11 i [4] Nhận xét : Ở ví dụ1.3 ta thấy tốn quy việc tìm M nằm đường thẳng ∆ cho trước cho tổng khoảng cách MC + MD nhỏ với điểm C, D cố định cho trước Bài toán toán bản, ta có cách sau: + Nếu C, D nằm hai phía ∆ với điểm M ∈∆, MC + MD ≥ CD Vậy MC + MD nhỏ MC + MD = CD ⇔ M , C , D thẳng hàng hay M = ∆ ∩ CD + Nếu C, D nằm phía ∆ gọi C’ điểm đối xứng với C qua ∆ Khi đó, với điểm M ∈∆, MC + MD = MC '+ MD ≥ C ' D 11 Vậy MC + MD nhỏ C’D C ', M , D thẳng hàng hay M = ∆ ∩C 'D Bài tập tương tự: Cho số phức z thỏa mãn z − + i = z − − 3i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z + − i + z − + 2i Học sinh giải tương tự Đáp số : P = 493 17 2.3.2.2.Dạng : Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn Bài tốn cơng cụ Cho đường tròn (T ) cố định có tâm I bán kính R điểm A cố định Điểm M di động đường tròn (T ) Hãy xác định vị trí điểm M cho AM lớn nhất, nhỏ Giải: TH1: A thuộc đường tròn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ M trùng với A AM đạt giá trị lớn 2R M điểm đối xứng với A qua I TH2: A khơng thuộc đường tròn (T) Gọi B, C giao điểm đường thẳng qua A, I đường tròn (T); Giả sử AB < AC +) Nếu A nằm ngồi đường tròn (T) với điểm M (T), ta có: AM ≥ AI − IM = AI − IB = AB Đẳng thức xảy M ≡ B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC Đẳng thức xảy M ≡ C +) Nếu A nằm đường tròn (T) với điểm M (T), ta có: AM ≥ IM − IA = IB − IA = AB Đẳng thức xảy M ≡ B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC Đẳng thức xảy M ≡ C Vậy M trùng với B AM đạt gía trị nhỏ 12 Vậy M trùng với C AM đạt gía trị lớn Bài tốn cơng cụ Cho hai đường tròn (T1) có tâm I, bán kính R1; đường tròn (T2) có tâm J, bán kính R2 Tìm vị trí điểm M (T1) , điểm N (T2) cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Giải: Gọi d đường thẳng qua I, J; d cắt đường tròn (T1) hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt (T2) hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC) Với điểm M bất khì (T1) điểm N (T2) Ta có: MN ≤ IM + IN ≤ IM + IJ + J N = R1 + R2 + IJ = AD Đẳng thức xảy M trùng với A N trùng với D MN ≥ IM − IN ≥ IJ − IM − J N = IJ − R1 + R2 = BC Đẳng thức xảy M trùng với B N trùng với C Vậy M trùng với A N trùng với D MN đạt giá trị lớn M trùng với B N trùng với C MN đạt giá trị nhỏ Bài tốn cơng cụ Cho hai đường tròn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng ∆ khơng có điểm chung với (T ) Tìm vị trí điểm M (T ) , điểm N ∆ cho MN đạt giá trị nhỏ Giải: Gọi H hình chiếu vng góc I d Đoạn IH cắt đường tròn (T ) J Với M thuộc đường tròn (T ) thẳng , MN ≥ IN − IM ≥ IH − IJ = J H = const N thuộc đường thẳng ∆ , ta có: Đẳng thức xảy M ≡ J ; N ≡ H 13 Vậy M trùng với J; N trùng với H MN đạt giá trị nhỏ [5] Ví dụ 2.1: Trong số phức z thoả mãn z − + 4i = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Giải: Cách Gọi z = x + yi ( x;y∈ R ) ⇒ M(x; y) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z − 3+ 4i = ⇔ (x − 3)2 + (y + 4)2 = ⇔ (x − 3)2 + (y + 4)2 = 16 Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm I (3;−4) , bán kính R = z = x2 + y2 = OM ; OI = > R nên O nằm ngồi đường tròn (T) z lớn OM lớn nhất, nhỏ OM nhỏ (Bài tốn qui Bài tốn cơng cụ 1- Trường hợp 2) Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) hai điểm phân biệt    27 36  A ;− ÷; B ;− ÷⇒ OA = 1;OB = 5  5  Với M di động (T), ta có: OA ≤ OM ≤ OB ⇔ 1≤ OM ≤ ⇒ 1≤ z ≤ ⇒ OM nhỏ M trùng với A; OM lớn M trùng với B 27 36 − i Vậy z nhỏ z = − i ; z lớn z = 5 5 Cách Gọi z = x + yi ( x; y∈ R ) ⇒ M (x; y) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy ω = 3− 4i ⇒ A(3; −4) biểu diễn cho số phức ω z = OM; ω = OA = ⇒ z − ω = AM ; Theo giả thiết z − 3+ 4i = ⇔ z − ω = ⇔ AM = Ta có: OM − OA ≤ AM ⇔ −4 ≤ OM − OA ≤ ⇔ −4 + OA ≤ OM ≤ + OA ⇔ 1≤ OM ≤ ⇒ 1≤ z ≤ ; z = z = 27 36 − i ; z = z = − i 5 5 14 27 36 − i ; z lớn z = − i 5 5  Nhận xét: Ngồi tốn giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki phương pháp lượng giác hoá Vậy z nhỏ z = Ví dụ 2.2 Trong số phức z1, z2 thoả mãn: z1 − 1− i =1; z2 − − 6i = 6, tìm số phức z1, z2 cho z1 − z2 đạt giá trị lớn Giải: Gọi z1 = a + bi ; z2 = c + d.i ; (a,b,c,d số thực); z1 biểu diễn điểm M(a; b); z2 biểu diễn điểm N(c; d) mặt phẳng toạ độ Oxy z1 − 1− i = 1⇔ z1 − 1− i = 1⇔ (a − 1)2 + (b − 1)2 = suy M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = z2 − − 6i = ⇔ z2 − − 6i = 36 ⇔ (c − 6)2 + (d − 6)2 = 36 suy M thuộc đường tròn tâm J(6; 6), bán kính R' = z1 − z2 = (c − a)2 + (d − b)2 = MN (Bài tốn qui Bài tốn cơng cụ 2) Đường thẳng IJ có phương trình y = x Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I  2− 2−   2+ 2+  M ; ; M ; ÷ 2 ÷ hai điểm  ÷  ÷ 2     Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J hai điểm ( ) ( ) N1 − 2;6 − ; N2 + 2;6 + M2N1 ≤ MN ≤ M1N2 ⇔ − ≤ z1 − z2 ≤ + max z1 − z2 = + M ≡ M1, N ≡ N2 ( ) Vậy z = − + − i ; z = + + + i 2 z1 − z2 đạt giá trị lớn Ví dụ 2.3 Cho số phức z1; z2 thoả mãn: z1 =1; z2  z2 − (1− i ) − + 2i số thực Tìm số phức z1; z2 cho P = z2 − ( z1z2 + zz đạt giá trị nhỏ 2) Giải: Gọi z1 = a + bi ; z2 = c + di ; ( a,b,c,d ∈ R ) 15 ⇒ M (a; b), N(c;d) biểu diễn cho z1; z2 hệ toạ độ Oxy z1 = 1⇔ a2 + b2 = 1⇔ a2 + b2 = ⇒ M thuộc đường tròn (T ) có tâm O, bán kính R = z2 = c − di; ω = z2  z2 − ( 1− i )  − + 2i = ( c − di ) (c − 1) + (d + 1)i  + − 6i = c(c − 1) + d(d + 1) + + c(d + 1) − d(c − 1) − 6 i ω số thực ⇔ c(d + 1) − d(c − 1) − = ⇔ c + d − = ⇒ N thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Ta có d(O;∆) > nên ∆ (T ) khơng có điểm chung z1z2 = ac + bd + (bc − ad)i; zz = ac + bd + (−bc + ad)i ⇒ z1z2 + zz = 2(ac + bd) 2 P = c2 + d2 − 2(ac + bd) = (c − a)2 + (b − d)2 − 1= MN − (vì a2 + b2 = 1) (Bài tốn qui Bài tốn cơng cụ 3) Gọi H hình chiếu vng góc O ∆ : x + y − = ⇒ H (3;3)  2 ( T ) I ; ÷ Đoạn OH cắt đường tròn  ÷ 2   Với N thuộc đường thẳng ∆ , M thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN ≥ ON − OM ≥ OH − OI = IH = − Đẳng thức xảy M ≡ I ; N ≡ H ( ) ⇒ P ≥ − − 1= 18− Đẳng thức xảy z1 = + i; z2 = 3+ 3i 2 Vậy P đạt giá trị nhỏ 18 − z1 = + i; z2 = 3+ 3i [5] 2 Bài tập Nếu số phức z thỏa mãn z − − 4i = z có giá trị lớn bằng: A B C D 13 Học sinh tự giải Đáp số: max z = ⇒ Chọn đáp án A “Trong tất số phức z thỏa mãn z − 10 − 8i = 41 , tìm số phức z có mơ đun nhỏ nhất” [4] Học sinh tự giải Đáp số: z = + 4i 2.3.2.3.Dạng : Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường E líp 16 Ví dụ : Trong số phức z thoả mãn điều kiện z − + z + = 10 Tìm số phức z có môđun lớn Giải: Gọi z = x + yi ( x; y∈ R ) ⇒ M (x; y) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z − + z + = 10 ⇔ (x − 3)2 + y2 + (x + 3)2 + y2 = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 ; (với F1(−3;0); F2(3;0) ) ⇔ M ∈(E ) có tâm O, trục lớn 10; tiêu cự x2 y2 ⇔ M ∈ (E ): + = 25 z = OM;OM lớn , ⇔ OM = a = ⇔ M (5;0) , M (−5;0) Vậy z lớn z = 5∨ z = −5 Bài tập tương tự: [6] Trong số phức z thoả mãn điều kiện z − + z + = 10 Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn Học sinh giải tương tự Đáp số: z = ⇔ z = ± 3i; z max = ⇔ z = ±2 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến thực từ năm học 2015-2016 tiếp tục hoàn thiện vào năm học 2017-2018 Kết thu khả quan Sau kết kiểm nghiệm: Năm học 2015-2016 (Kiểm nghiệm lớp 12A3): Kết Tổng số Kết Giỏi Khá Trung bình học sinh SL % SL % SL % Trước áp dụng SK 48 01 Sau áp dụng SK 48 09 2.1 07 18.7 24 14.6 17 35.4 23 47.9 50.0 18.75 12.5 Năm học 2017-2018(Kiểm nghiệm lớp 12C2): Kết Tổng số Kết Giỏi Khá Trung bình học sinh SL % SL % SL % Trước áp dụng SK 43 4.6 Yếu, SL % 20.9 21 49 Yếu, SL % 11 25.5 17 Sau áp dụng SK 43 13 30.2 24 55,9 9.3 4.6 Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thấy đa số học sinh hào hứng với toán số phức mà tơi trình bày Các em cảm thấy tự tin giải toán số phức đề thi khảo sát trường Sở giáo dục Đào tạo.Ngồi em khơng ngừng sưu tầm toán số phức khác Internet để làm phong phú thêm kiếm thức để tự tin dự thi THPT quốc gia tự tin bước vào thị trường lao động sản xuất sau em tốt nghiệp THPT Sáng kiến kinh nghiệm giáo viên tổ đánh giá cao đồng nghiệp hưởng ứng áp dụng phạm vi tổ Qua đóng góp phần nho nhỏ vào công tác nâng cao hiệu giáo dục trường THPT Tĩnh Gia 3.KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Việc vận dụng kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số toán số phức thể cho học sinh thấy khả vận dụng cơng cụ hình học để giải toán đại số Ở sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng Oxy để giải hai tốn Bài tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bài tốn tìm số phức có mơ đun lớn nhỏ thỏa mãn điều kiện cho trước Qua thực tế áp dụng đề tài tơi thấy rằng: Khi giải tốn số phức cơng cụ hình học ta thấy toán trở nên dễ hiểu hơn, trực quan hơn, từ học sinh hứng thú với mơn tốn Dạy học mơn tốn nhà trường phổ thông cần cho học sinh vận dụng tri thức phương pháp mơn Hình học học vào môn Đại số ngược lại Cũng vận dụng tốn học vào mơn học khác nhà trường Qua học sinh thêm u tốn học hơn, kích thích tư sáng tạo học tập sống học sinh 3.2 Kiến nghị Qua nghiên cứu áp “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số toán Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” thu hiệu định, để học tập mơn tốn em có kết cao kiến thức vững Đề tài mang tính chủ quan, chưa hồn thiện Tơi kính mong đồng nghiệp hội đồng khoa học trường THPT Tĩnh Gia hội đồng khoa học Sở Giáo Dục Đào Tạo tỉnh Thanh Hóa góp ý kiến thêm để đề tài tơi hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh 18 Trong chờ xem xét, nghiên cứu đánh giá Hội đồng khoa học cấp xin chân thành cảm ơn nhiều Chúc hội đồng khoa học cấp sức khỏe, hạnh phúc, thành đạt TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bút ký triết học Lê- nin, Nguyễn Bằng Tường, Nhà xuất Chính trị quốc gia 2009 [2] Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ XII, Nhà xuất Chính trị quốc gia 2016 [3] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao-Nhà xuất Giáo dục Việt Nam 2012 [4] Tạp chí tốn học tuổi trẻ số: 488, tháng 02 năm 2018 [5] Ebooktoan: https://ebooktoan.com/toan-lop-12/so-phuc [6].Chuyên đề ứng dụng số phức giải tốn trung học phổ thơng, Võ Thành Văn –Nhà xuất Đại học Sư phạm 2009 19 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 30 tháng 04 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Vi Thanh Hoàng 20 ... gặp khó khăn giải toán dạng - “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số toán Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh cho ta phương pháp giải toán liên quan đến số phức cách dễ... học sinh - “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số toán Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh giúp học sinh u thích học tập mơn tốn hơn, thấy “ gần gũi ’’ Hình học Đại số. .. đính giúp cho học sinh THPT vận dụng Phương pháp tọa độ mặt phẳng Oxy để giải số toán số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh Giúp học sinh chuẩn bị tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ