Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian nhằm nâng cao chất lượng môn toán ở trường THPT nông cống 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MƠN TỐN TRONG KÌ THI TỐT NGHIỆP Ở TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2021 MỤC LỤC Tiêu đề TRANG BÌA MỤC LỤC A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Thực trạng Cơ sở lí luận 2.1 Kiến thức 2.2 Một số kinh nghiệm nhận dạng toán cách chọn hệ trục tọa độ 2.3 Các bước thực Bài toán minh họa DẠNG 1: TÍNH GĨC 1.1 Một số kiến thức 1.2 Một số ví dụ 1.3 Bài tập áp dụng DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH 2.1 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: 2.1.1 Kiến thức 2.1.2 Một số ví dụ 2.2 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b 2.2.1 Kiến thức 2.2.2 Một số ví dụ 2.3 Bài tập áp dụng Kiểm nghiệm C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 4 4 7 7 13 14 14 14 14 18 18 19 23 24 26 27 A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong năm học 2019-2020, 2020-2021 dạy lớp 12, thời gian ôn tập để chuẩn bị cho đợt thi THPT quốc gia nhận thấy đa số học sinh cảm thấy khó học phần hình phần hình liên quan đến lớp 11 như: tính góc, tính khoảng cách Đặc biệt hình cần đến tư vẽ thêm đường phụ hình phần lớn học sinh gặp khó khăn, từ dẫn đến chán nản quan tâm đến mơn hình học Hơn thời gian ôn tập học sinh phải ôn tập nhiều môn nên lần phải ơn lại kiến thức tốn lớp 11 học sinh cảm thấy tải Các vấn đề tính góc, tính khoảng cách chủ yếu nằm chương hình học 11, đa số học sinh lớp 12 quên kiến thức chương Bởi ôn tập lại phần kiến thức khoảng thời gian ngắn đa số học sinh khơng tiếp thu lĩnh hội cách lơ mơ Đặc điểm phần kiến thức phải kẻ thêm đường phụ hình, điểm yếu khó khắc phục phần lớn học sinh, có học sinh giỏi mơn tốn làm Vì cần hướng dẫn em phương pháp tiếp cận dạng tốn mà khơng phải đụng chạm tới điểm yếu phần lớn học sinh Dựa vào tình hình thực tiễn học sinh lớp 12 trường THPT Nông Cống 3, thấy em thích học phần hình học giải tích phần hình học khơng gian túy, hình vẽ khơng q phức tạp, việc tính tốn nhiều tư hình vẽ Chẳng hạn việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có cơng thức tính, em tìm đủ yếu tố hồn tồn tính được, cịn hình học túy em phải dựng hình, phải chứng minh quan hệ vng góc Đây thật việc khó với nhiều học sinh Vì tơi nghĩ cần phải đưa giải pháp nhằm giải phần khó khăn mà học sinh gặp phải Chính tơi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian để giải số tốn hình học khơng gian nhằm nâng cao chất lượng mơn Tốn trường THPT Nơng Cống 3” để giải phần khó khăn Dùng phương pháp tọa độ để giải tốn khơng gian vấn đề khơng mới, nhiều giáo viên chọn để viết sáng kiến kinh nghiệm Trong tình hình học sinh thi hình thức trắc nghiệm, với kiến thức rộng hơn, nên muốn sử dụng phương pháp tọa độ không gian học sinh vừa học xong chương trình 12 để giải nhiều dạng tốn hình học khơng gian mà học sinh học lớp 11 đề thi THPT Quốc gia năm 2020 đề tự luyện thi Tốt Nghiệp năm 2021 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Thực trạng Trong năm học 2019 – 2020 phân cơng giảng dạy mơn Tốn lớp 12C3, 12C7 trường THPT Nông Cống Tôi nhận thấy: Hầu hết học sinh ngại gặp tốn hình học khơng gian Có học sinh có khả giải tốn này, đa số em khơng thể tự nhìn hướng giải tốn Thấy vậy, tơi Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ không gian để giải số tốn hình học khơng gian học sinh làm nhiều tập Năm 2020 – 2021 phân công dạy mơn Tốn lớp 12A6, 12A7 trường THPT Nơng Cống Qua kết khảo sát lớp 12A6, 12A7 trường THPT Nông cống trước Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ không gian để giải số tốn hình học khơng gian thu kết sau: Lớp 12A 12A Điểm Giỏi SL tỷ lệ 1/45 2,2 % 1/47 2,1 % Điểm Khá SL tỷ lệ 4/45 8,9% 6/47 12,8 % ĐiểmTB SL tỷ lệ 14/4 31,1 % 18/4 38,3 % Điểm Yếu SL tỷ lệ 19/4 42,2 % 17/4 36,2 % Điểm Kém SL tỷ lệ 7/45 15,6 % 5/47 10,6 % Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường THPT giúp học sinh đạt kết cao kì thi THPT Quốc Gia 2021 tới chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ không gian để giải số tốn hình học khơng gian nhằm nâng cao chất lượng mơn Tốn trường THPT Nơng Cống ” Nhằm đơn giản toán hình học khơng gian đồng thời khắc sâu kiến thức phương pháp tọa độ không gian để học sinh vừa giải tốn hình học tọa độ khơng gian cách nhuần nhuyễn, vừa giải tốn hình học khơng gian thơng thường Cơ sở lí luận 2.1 Kiến thức Khi sử dụng phương pháp tọa độ không gian để giải số tốn hình học khơng gian em học sinh cần ôn lại kiến thức véc tơ, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, góc hai vec tơ, góc hai đường thẳng, góc hai mặt phẳng để nhanh chóng nhận dạng tiếp cận với phương pháp 2.2 Một số kinh nghiệm nhận dạng toán cách chọn hệ trục tọa độ Những tốn hình khơng gian có yếu tố hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ đứng hình chóp kèm với câu hỏi như: chứng minh quan hệ vng góc, tính góc, tính khoảng cách Ta chuyển sang hệ trục tọa độ để giải Với hình có sẵn ba cạnh đơi vng góc hình hộp chữ nhật hay hình lập phương ta chọn ba cạnh làm ba cạnh nằm ba trục hệ trục tọa độ, sau dựa vào độ dài cạnh để chọn tọa độ điểm Cịn với hình chóp, hình lăng trụ dựa vào giả thiết cho suy từ giả thiết Chẳng hạn: z • Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' với cạnh a … ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho đỉnh gốc hệ trục, chẳng hạn ta chọn A �O ; cạnh AB, AD, AA ' nằm ba trục Ox, Oy, Oz Khi chọn tọa độ điểm là: A  0;0;0  , B  a;0;0  , D  0; a;0  , A '  0;0; a  A' a D' B' C' A y a D B C a x z C' B' • Khi giả thiết cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' Chẳng hạn hình hộp chữ nhật có cạnh BA  a, BC  2a, BB '  3a ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho B �O ; cạnh BA, BC , BB ' 3a A' D' B y 2a C nằm trục Ox, Oy, Oz ta chọn tọa độ A D a x B  0;0;0  , A  a;0;0  , C  0;2a;0  , B '  0;0;3a  z S • Nếu giả thiết cho hình chóp S.ABCD gọi I tâm hình vng ABCD, ta có ba đường đơi vng góc với IS, IA, IB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho I �O , đoạn IA, IB, IS nằm trục Ox, Oy, Oz D C A I B y x  Nếu giả thiết cho hình chóp có mặt bên tam giác cân tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy chọn trung điểm cạnh đáy tam giác cân gốc hệ trục tọa độ Chẳng hạn hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SAB tam giác cân nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, gọi H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , H �O Ta có hình vẽ sau: z S  Cịn giả thiết cho hình lăng trụ tứ giác ta chọn đỉnh gốc hệ trục tọa độ cịn ba cạnh có chung đỉnh nằm ba trục tọa độ (giống với cách làm đối hình hộp chữ nhật) D C H  Cịn giả thiết cho hình lăng trụ tam y A B giác đều, chẳng hạn hình lăng trụ tam giác x ABC A ' B ' C ' Khi gọi H trung điểm AB chọn H gốc hệ trục tọa độ AB �Ox, HC �Oy , HK �Oz ( K trung điểm A ' B ' ) z z B' C' K A' y y B C H x Hình lăng trụ tứ giác A x Hình lăng trụ tam giác Chú ý: Với hình lăng trụ đứng có đáy tam giác cân, chẳng hạn hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân C ta làm hoàn toàn giống với lăng trụ tam giác  Với hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vng hiển nhiên chọn đỉnh góc vng làm gốc hệ trục tọa độ ba cạnh chung đỉnh nằm ba trục tọa độ Khi xác định tọa độ điểm ta cần ý đến số tính chất kĩ sau: A a; b; c  Giả sử ta có điểm  A a;0;0  - Hình chiếu điểm A trục Ox  (giữ nguyên thành phần hoành độ A) A 0; b;0  - Hình chiếu điểm A trục Oy  (giữ nguyên thành phần tung độ A) A 0;0; c  - Hình chiếu điểm A trục Oz  (giữ nguyên thành phần cao độ A) A a; b;0  - Hình chiếu điểm A (Oxy)  (giữ nguyên hoành độ tung độ A) A a;0; c  - Hình chiếu điểm A (Oxz)  (giữ nguyên hoành độ cao độ A) - Hình chiếu điểm A (Oyz) A) A6  0; b; c  (giữ nguyên tung độ cao độ 2.3 Các bước thực Bước 1: Khéo léo gán hệ trục tọa độ cho tốn, hình vẽ Bước 2: Sử dụng kiến thức tọa độ không gian để giải đưa kết luận Bài toán minh họa DẠNG 1: TÍNH GĨC 1.1 Một số kiến thức Góc đường thẳng d1 d tính theo công thức uu r uu r u1.u2 uu r uu r a1.a2  b1.b2  c1.c2 cos  d1 , d   cos u1, u2  uu r uu r  u1 u2 a12  b12  c12 a22  b22  c22   P Góc đường thẳng d1 mặt phẳng phẳng   tính theo cơng thức uu r uu r u1.n1 uu r uu r sin  d1,  P1    cos u1 , n1  uu r uu r u1 n1  Góc hai mặt phẳng  P1    P2  cos   P1  ,  P2   tính theo cơng thức uu r uu r n1.n2  uu r uu r n1 n2 1.2 Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  2a, AD  3a, AA '  4a Tính cosin góc hai đường thẳng a) A ' D CD ' b) A ' C BD Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A �O với B  2a;0;0  , D  0;3a;0  , A '  0;0;4a  z A' Suy ra: C  2a;3a;0  B '  2a;0;4a  , , D '  0;3a;4a  , C '  2a;3a;4a  uuuur uuuu r A ' D   0;3a; 4a  , CD '   2a;0;4a  a) D' C' B' A D B y C x uuuur uuuu r A ' D.CD ' cos  A ' D, CD '   16a  A ' D.CD ' 5a.2a 5 uuuur uuur A ' C   2a;3a; 4a  , BD   2a;3a;0  b) Ta có uuuur uuur A ' C.BD 4a  9a  cos  A ' C , BD     A ' C.BD 2.a 39.2a 195 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với (ABC), tam giác ABC vuông A, tam giác SAC cân Biết AB  2a, AC  4a Gọi M, N trung điểm AC, SC z a) Tính góc BM SC S b) Tính sin góc AN BC N Lời giải: Nhận xét: ta có AS, AB, AC đơi vng góc A Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho A �O B  2a;0;0  , C  0; 4a;0  , S  0;0; a  AN , BC  �900 Vì  Ví dụ     10 nên ta có sin  AN , BC    cos y x 8a  2.4a 2 C B M  0;2a;0  , N  0; 2a; 2a  Suy uuuu r uuu r BM   2a;2a;0  , SC   0;4a; 4a  a) uuuu r uuu r BM SC uuuu r uuu r cos  BM , SC   cos BM , SC   BM SC 2a uuur uuur AN   0;2a;2a  , BC   2 a;4a;0  b) Ta có uuur uuur 8a cos  AN , BC   cos AN , BC   2a 2.2a M  �  BM , SC   600 �2 � AN , BC    � �  � 10 � : Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân B Biết AB  3cm, BC '  2cm Tính góc hợp đường thẳng BC ' mặt ACC ' A ' phẳng  A 30 B 45 C 60 D 90 z B' C' A' Lời giải: Ta dễ dàng tính BB '  3cm y B Ta có ba đường BA, BB’, BC đơi vng góc nên A ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho B �O , với x A 3;0;0  , C  0;3;0  B '  0;0;3 điểm  , uuuu r BC '   0;3;3 A '  3;0;3 , C '  0;3;3 Suy Ta có , uuur uuuu r AC   3;3;0  , AA '   0;0;3 uuur uuuu r AC � AA '   9;9;0  � r n   1;1;0  ACC ' A '  Mặt phẳng có vector pháp tuyến Ta có uuuu rr BC '.n uuuu r r sin  BC ',  ACC ' A '   cos BC ', n  uuuur r   BC ' n 2  Vậy C   BC ',  ACC ' A '  =30 Đáp án A B' Cách giải thông thường: Gọi H trung điểm cạnh AC, A' �BH  AC � BH   ACC ' A ' � �BH  CC ' ACC ' A '  Vậy HC ' hình chiếu BC '  C' B A C H �  BC ',  ACC ' A '    BC ', HC '  Trong tam giác vuông BHC ' (vuông H) ta có AC BH   2 ) sin C '  BH  BC ' ( �'  300 �  BC ',  ACC ' A '   300 �C Nhận xét: Với cách giải thơng thường cần phải xác định hình chiếu đường thẳng mặt phẳng Đây điểm yếu phần lớn học sinh, phải nhìn hình khơng theo chiều thuận Cịn với cách giải dùng phương pháp tọa độ với kiến thức học phần tọa độ không gian việc tính tọa độ vector phương đường thẳng vector pháp tuyến mặt phẳng việc đơn giản Giáo viên nhiều thời gian cho việc nhắc lại kiến thức lớp 11 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, có AB  2a �  1200 BAD Hình chiếu vng góc S xuống mặt đáy trùng với giao điểm I hai a SI  Tính góc tạo hai mặt phẳng đường chéo  SAB  (ABCD) z S A 30 B 45 C 60 D 90 D A Nhận xét: AC, BD, IS ba đường đơi vng góc, ta dùng chuyển sang phương pháp tọa độ Để thuận tiện cho việc chọn tọa độ ta phải tính độ dài AC, BD trước I B C x y Lời giải: � Ta có tam giác ABI vng I, BAD  60 , AB  2a Nên ta có AI  AB.cos60  a BI  AB.sin 600  a � a� 0;0; � B a 3;0;0 , C  0; a;0  S � Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho I �O , � 2� � A  0; a;0    Ta có: uuu r uuu r � a� AB  a 3; a;0 , AS  � 0; a; � � �� uuu r uuu r �a a � a � AB, AS � � � �2 ;  ; a � 1;  3;2 � � ur n SAB   1;  3;2 Suy ra:  có vector pháp tuyến uu r uur uu r uur IA   0;  a;0  , IB  a 3;0;0 � � IA , IB �  0;0; a  a 0;0; � � Ta có uu r n ABCD   0;0; Suy  có vector pháp tuyến ur uu r n1.n2 cos   ur uu  r  n1 n2 SAB  ABCD  Gọi  góc   Ta có               � góc hai mặt phẳng  SAB   ABCD  300 10 Đáp số: 5 cos  SM , DN   Câu Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi  số đo góc hai mặt BA ' C  DA C phẳng    Mệnh đề sau đúng? A   30 B   45 D   90 C   60 Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy 2a Gọi E điểm đối xứng điểm D qua trung điểm SA Gọi M, N tương ứng trung điểm AE, BC Gọi  góc hai đường thẳng MN BD Mệnh đề sau đúng? A   30 B   45 D   90 C   60 Câu Cho tam giác SAD hình vng ABCD nằm hai mặt phẳng vng góc với Gọi I, M, F trung điểm AD, AB, SB Gọi  góc CMF  SIB  hai mặt phẳng   Mệnh đề sau đúng? A   30 B   45 D   90 C   60 Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân với �  1200 AB  AC  2a , góc BAC , cạnh bên AA '  2a , gọi I trung điểm CC ' Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   AB ' I  Khẳng định sau đúng? A cos  10 B cos  30 10 C cos  D cos   Câu7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  a 2, SA  a SA vng góc với (ABCD) Gọi M, N SAC  hai trung điểm AD SC Gọi  góc hai mặt phẳng  SMB   Mệnh đề sau đúng? A cos  B cos  C cos  D cos  2 DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH 2.1 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: 2.1.1 Kiến thức Giả sử ta có: M  xM ; yM ; zM  d  M ,( P )   ,  P  : Ax  By  Cz  D  A.xM  B yM  C.z M  D A2  B  C 14 Chú ý: Một số trường hợp viết phương trình mặt phẳng cần lấy tích có hướng r r u v (P) chứa giá hai vector � (P) có vector pháp tuyến r r r u (P) � r song song với giá hai vector � u �, v � v r u (P) chứa giá song song với giá r v 2.1.2 Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) (ĐH 2013-Khối B) Lời giải: Gọi H trung điểm AB, suy SH vng góc với (ABCD) Gọi K trung điểm CD, ta có ba đường HB, HS, HK đơi vng góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho S � a 3� �a � H �O, B � ;0;0 � , K  0; a;0  , S � 0;0; � � �2 � �  D A H x �a � �a � �a � A � ;0;0 � , C � ; a;0 � , D � ; a;0 � � �2 � �2 � Suy �2 uuu r �a a � a SC  � ; a; � 1;2;  2 � � z K B C  uuu r �a a � a SD  � ; a; � 1;2;  2 � � r n  1;2;  � 1;2;   0;2 3;4 (SCD) có vector pháp tuyến    Phương trình mặt phẳng Ta có d  A,  SCD     SCD  : a y       3y  2z  a  a 21 Cách giải thông thường: d  A,  SCD    d  H ,  SCD   Do AB//CD H �AB nên 15 SHK    SCD  SHK  � SCD   SK Ta có   Gọi I hình chiếu H SK d  H ,  SCD    HI SI   SCD  Vậy Xét tam giác SHK ta có HS HK HI  HS  HK 2  a 21 a 21 � d  A,  SCD    7  Nhận xét: -Với cách giải đáp án học sinh phải tính khoảng cách từ A đến (SCD) gián tiếp thông qua khoảng cách từ H đến (SCD) Học sinh phải có kiến thức vững nhìn thấy mối quan hệ khoảng cách từ A H đến (SCD) Trong cách giải nhiều học sinh lúng túng việc dựng chân đường vng góc hạ từ H xuống (SCD) - Trong cách giải phương pháp tọa độ nhìn dài dịng hơn, học sinh chủ yếu tính tốn, khơng cần nhiều kĩ kẻ đường phụ hay chứng minh vng góc Việc tính tọa độ tích có hướng hai vector, viết phương trình mặt phẳng, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng kiến thức học sinh 12 học nên em sử dụng dễ dàng Ví dụ 2: Cho hình hộp AB  a, AD  2a, CC '  3a chữ tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng nhật ABCD A ' B ' C ' D ' A Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A ' �O DA ' C '  Suy   có vec tơ pháp tuyến Phương trình tổng quát Vậy d  B,  DA ' C '    D C D' A' B' x r n   6; 3;2  C' y  DA ' C ' : x  y  z  6a   2.3a 3 2 B z Suy C '  a; 2a;0  , D  0; 2a;3a  B  a;0;3a  , uuuuu r uuuur A ' C '   a; 2a;0  , A ' D   0;2a;3a  Ta có uuuuu r uuuur 2 2 � � A ' C � ', A ' D � 6a ; 3a ;2a  a  6; 3;2   cạnh  DC ' A '  Lời giải: B '  a;0;0  , D '  0;2a;0  , A '  0;0;3a  có 2  12a Cách giải thông thường 16 DA ' C '  B ' AC  Ta có hai mặt phẳng   song song BD ' cắt đường chéo K I, ta có kết BI  IK  KD nên d  B,  DA ' C '   2d  D ',  DA ' C '   Trong hình chóp D A ' C ' D ' có D ' A ', D ' C ', D ' D đôi DA ' C '  vng góc Gọi H hình chiếu D  ta có B A D C I K D' A' B' C' 1 1 49     2 2 D'H D ' A' D 'C ' D'D 36a � d  D ',  DA ' C '   6a � d  B,  DA ' C '   12a  Nhận xét: - Trong cách giải thơng thường địi hỏi người giải phải có kiến thức tổng hợp giải tốn địi hỏi nhiều kiến thức đan xen, chẳng hạn: việc B ' AC  DA ' C '  chứng minh hai mặt phẳng   cắt đoạn BD ' theo ba đoạn d  B,  DA ' C '  BK  d  D ',  DA ' C '  D ' K nhau, việc sử dụng công thức , sử dụng kết 1 1    2 D'H D ' A' D 'C ' D ' D tập hình học 11 - Còn sử dụng phương pháp tọa độ, ngồi việc xác định tọa độ điểm khơng cần tư hình, cần viết phương trình mặt phẳng sử dụng cơng thức tính khoảng cách có sẵn để tính tốn Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AD  CD  a AB  2a, SA  3a  a   Đường thẳng SA vng góc với  ABCD  a) Tính khoảng cách từ C đến (SBD) b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác ABD đến (SBC) Lời giải: z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A �O D  a;0;0  , B  0;2a;0  , S  0;0; a  � C  a; a;0  uuur uuur DB    a;2a;0  , DS   a;0; a  a) uuur uuu r � �  2a ; a ;2a   a  2;1;2  DB , DS � � S B A y x D C 17 mặt phẳng (SBD) có vec tơ pháp tuyến r n   2;1;2  Ta có phương trình (SBD): x  y  z  2a  Ta có d  C ,  SBD    2a  a   2a 22   2  a �a 2a � G � ; ;0 � b) Ta có �3 � uur uuu r uur uuu r � �   a ; a ; 2a   a  1;1;  � SB , SC SB   0;2a; a  , SC   a; a;  a  � � r n   1;1;2  SBC   Mặt phẳng có vector pháp tuyến Phương trình mặt phẳng � d  G,  SBC    SBC  : x  y  z  2a  a 2a    2a a 3   6 Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc �  600 BAD , gọi O O ' hai tâm đáy ABCD A ' B ' C ' D ' , biết OO '  2a KAB  Gọi K trung điểm OO ' Tính khoảng cách từ O đến  Lời giải: Ta có tam giác ABD tam giác cạnh a , suy a AO  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: C' z D' O' B' A' K C B x O D A y �a � � a � O  0;0;0  , B � ;0;0 � , A� 0; ;0 � , O '  0;0;2a  �2 � � � Suy ra: K  0;0; a  Ta có: uuu r � a � uuur a � KA  � 0; ; a � KB  � ;0;  a � � � �, �2 � 18 uuu r uuu r �a a a � a � KA, KB � � � � ; ; � 3;2; � � r n KAB  có vec tơ pháp tuyến  3; 2; Suy     Phương trình mặt phẳng � d  O,  KAB     KAB  : a 19   3x  y  3z  a  a 19 D' C' Cách giải thông thường O' B' A' Học sinh sử dụng kết toán sách giáo khoa 11 hình chóp K.OAB 1 1    2 OH OA OB OK C Trường hợp khơng nhớ kết học sinh phải làm bước sau: Gọi M hình chiếu O AB, Suy K H O B M D A AB   KMO   KMO    KAB  , ta có  KMO  � KAB   KM Gọi H hình chiếu O KM Xét tam giác OAB , tính � d  O,  KAB    OH OM  OA.OB a  AB 1 16 19      OM OK 3a a 3a Xét tam giác KOM: OH � d  O,  KAB    a 19  Nhận xét: - Trong cách giải không dùng phương pháp tọa độ địi hỏi học sinh phải có kĩ dựng hình, sử dụng kiến thức lớp 11 để chứng minh quan hệ vng góc để xác định khoảng cách hình Việc tương đối khó với phần lớn học sinh - Cịn dùng phương pháp tọa độ học sinh sử dụng kiến thức 12 học để giải toán 2.2 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b 2.2.1 Kiến thức Phương pháp: - Xác định mặt phẳng  P chứa b song song với a 19 - Lấy điểm A đường thẳng a Khi d  a, b   d  a,  P    d  A,  P   r  Chú ý:r Nếu đường thẳng a có vec tơ phương u , đường thẳng b có vec tơ phương v r r � u ,v� P Thì   có vec tơ pháp tuyến � � 2.2.2 Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A, cạnh AB  a, AC  AA '  2a Tính khoảng cách hai đường thẳng B ' C ' A ' B Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz B  a;0;0  , C  0;2a;0  A '  0;0;2a  � B '  a;0;2a  , C '  0;2a; 2a  cho A �O , A' z C' B' Gọi (P) mặt phẳng chứa BA ' song song với B ' C ' uuur uuuuu r BA '   a;0;2a  , B ' C '   a;2a;0  uuur uuuuu r 2 2 �� BA ', B ' C '� � �  4a ; 2 a ; 2a   2 a  2;1;1 r  P  có vector pháp tuyến n   2;1;1 A C B y x (P) qua B nên có phương trình tổng quát x  y  z  2a  d  B ' C ', BA '  d  B ' C ',( P )   d  B ',  P    Suy 2a   2a  2a 11 Cách giải thông thường Ta thấy B 'C ' Khi  BCA ' mặt phẳng chứa BA ' song song với  BCA ' C' B' H d  B ' C ', BA '   d  B ' C ',  BCA '   d  B ',  BCA '   Gọi H hình chiếu A 2a A' qua trung điểm đoạn AB ' nên khoảng A ' BC  cách từ B ' đến  khoảng cách từ A đến  A ' BC  Ta có  A B C K  A ' BC  , ta có 20 1 1 1     2   2 2 2 AH AB AC A' A a  2a   2a  4a � AH  2a 2a 2a � d  B ',  A ' BC    � d  B ' C ', BA '   6 Nhận xét: - Trong lời giải sử dụng kết tập hình học 11 (bài 4, SGK 11 bản, chương 3, trang 105) Nếu học sinh không sử dụng kết tốn việc tính độ dài AH phức tạp hơn, bao gồm việc dựng đoạn AH thiết lập biểu thức tính AH Trong lời giải điểm nhấn quan trọng việc xác định mặt phẳng chứa đường song song với đường kia, việc nhận xét trung điểm BCA ' A ' BC  đoạn BA ' nằm mặt phẳng  để từ tính khoảng cách từ B ' đến  BCA ' thông qua khoảng cách từ A đến  Những kĩ thường khó với phần lớn học sinh - Với cách dùng phương pháp tọa độ nhận thấy mặt phẳng (P) khơng thiết phải nhìn thấy hình, biết có vector pháp tuyến tích có hướng hai vector phương hai đường thẳng B ' C ' BA ' Cách viết phương trình mặt phẳng (P) đơn giản, phần lớn học sinh làm Từ tính khoảng cách hai đường chéo Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc SC mặt phẳng (ABCD) 45 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB AC (TSĐH năm 2015-Khối A) Lời giải: Ta có AC  a Tam giác SAC vuông cân � SA  a S B a;0;0  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A �O ,   D  0; a;0  S 0;0; a ,  � C  a; a;0  Gọi (P) mặt phẳng chứa SB song song với AC uur uuur SB  a;0; a , AC   a; a;0  uur uuur 2 2 � SB, AC � 2;  2;1 � � a 2; a 2; a  a r n  P  có vector pháp tuyến  2; 1;1  z D A x B y C       Phương trình mặt phẳng  P là:  2x  y  z  a  21 d  AC , SB   d  AC ,  P    d  A,  P    a  a 10 Cách giải thông thường: Kẻ đường thẳng d qua B song song với AC, gọi M hình chiếu A đường thẳng d, gọi H hình chiếu A SM Ta có: � AH  BM Suy ra: SA  BM , MA  BM �  SAM   BM S H AH   SBM  A D M B C � d  AC , SB   d  AC ,  SBM    d  A,  SBM    AH � Tam giác ABM vng M có AMB  45 suy ra: AM  a 2 Tam giác SAC vuông cân A nên SA  AC  a 1 1  2  2  2 SA AM 2a 2a 2a Ta có AH Vậy d  AC , SB   a 10 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy tam giác SAB cân S, SC tạo với đáy góc 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD theo a Lời giải: S z Gọi H trung điểm AB � SH  AB Do  SAB    ABCD  � SH   ABCD  D A H Gọi K trung điểm CD � HK  2a K B y C Ta có HC  a � SH  a 15 x Do HS, HB, HK đôi vuông góc Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, cho:   H �O, B  a;0;0  , K  0; 2a;0  , S 0;0; a 15 � A  a;0;0  , D   a;2a;0  Gọi (P) mặt phẳng chứa BD song song với SA 22 Ta có: uur uuur SA   a;0;  a 15 , BD   2a;2a;0  uur uuur 2 2 �� SA, BD � � � 2a 15, 2a 15, 2a  2a       15; 15; 1 (P) có phương trình 15 x  15 y  z  15a  d  SA, BD   d  SA,  P    d  A,  P     a 15    15a 31  2a 15 31 Ví dụ 4: � Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ABD  60 , SA   ACBD  , SA  2a Gọi M trung điểm SB, tính khoảng cách AM SD theo a Lời giải: Gọi E trung điểm SC, H giao điểm AC BD Tam giác ABD tam giác � HB  S a a , HA  2 E M A Ta có HE đường trung bình tam giác SAC Ta có HE, HB, HC đơi vng góc, nên ta chọn hệ H �O , trục tọa độ Oxyz cho �a � � a � B � ;0;0 � ,C � 0; ;0 � , E  0;0; a  �2 � � � z D H x B C y � a � �a � �a a � � � a � A� 0; ;0 � , D � ;0;0 �S � 0; ;2a �� M � ; ;a� � � � � �2 � �4 � Gọi (P) mặt phẳng chứa AM song song với SD Ta có: uuuu r �a 3a � a AM  � ; ; a � 1;3 3;4 4 � � uuur �a a � a DS  � ; ;2a � 1; 3;4 �2 �     Suy (P) có vec tơ pháp tuyến là: r n  1;3 3;4 � 1; 3;  3;0; 2   4;0; 1       Phương trình (P) là: x  z  23 d  SD, AM   d  SD ,  P    d  D,  P    2a 17 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân với hai đáy AD BC Hình chiếu S trùng với trung điểm H AD Biết AB  BC  CD  a, AD  2a , SH  a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CD theo a z Lời giải: S Gọi I trung điểm BC, K trung điểm HD Ta có: A �a � a HI  KC  CD  KD  a  � �  �2 � 2 K D H Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho H �O , B I x y C �a � I � ;0;0 � , D  0; a;0  , S  0;0; a  �2 � �a a � � A  a;0;0  , C � ; ;0 � �2 � Gọi  P mặt phẳng chứa SA song song với CD uuu r uuur �a a � a AS   a;0; a   a  1;0;1 , DC  � ; ;0 � 3; 1;0 2 � � r n   1;0;1 � 3; 1;0  1; 3; 1 (P) có vector pháp tuyến:       Phương trình (P): x  y  z  a  Ta có: d  CD, SA   d  CD,  P    d  D,  P    a   1 2.3 Bài tập áp dụng Câu Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' , tam giác A ' AC vuông cân, A ' C  a BCD ' Tính khoảng cách từ A đến  theo a a A a B a C a D Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  2a, AD  a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a khoảng cách từ D đến (SBC) 24 A a a B a C a D Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân AB  AC  a Tam giác SBC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) Tính khoảng cách từ B đến (SAC) 2a 3 A a B 2a C 2a D Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, � �  900 BA  BC  a, AD  2a SA ABC  BAD , vng góc với mặt đáy ABCD SA  a Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác ABC đến (SCD) .a a B a C a D A Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh SA vng góc với mặt đáy, SC hợp với đáy góc 450 Gọi E trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng DE SC theo a a 38 A 19 a B 10 2a C 13 a 13 D 18 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân với hai đáy BC AD Biết SB  a 2, AD  2a, AB  BC  CD  a Hình chiếu vng góc đỉnh S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H cạnh AD Tính theo a khoảng cách SB AD a 21 A 10 a B a 21 2a C D 12 Câu Cho tam giác SAD hình vng ABCD cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với Gọi M trung điểm AB a) Tính khoảng cách AB SD a A a B a C a D a C a D b) Tính khoảng cách CM SA a A a B Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A, BC  2a , AB  a mặt bên BCC ' B ' hình vng Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC ' 25 a A a B a C a D Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với (ABCD), gọi M trung điểm SD Góc tạo SD mặt đáy 45 Tính khoảng cách SB CM a A a B a C a D Kiểm nghiệm * Khảo sát hai lớp học thời điểm chưa vận dụng nội dung sáng kiến kinh nghiệm: Điểm Giỏi Điểm Khá ĐiểmTB Điểm Yếu Điểm Kém Lớp SL tỷ lệ SL tỷ lệ SL tỷ lệ SL tỷ lệ SL tỷ lệ 12A 1/45 2,2 4/45 8,9% 14/4 31,1 19/4 42,2 7/45 15,6 % % % % 12A 1/47 2,1 6/47 12,8 18/4 38,3 17/4 36,2 5/47 10,6 % % % % % * Qua thực tế giảng dạy vận dụng cho em học sinh lớp 12A6 tiếp xúc với phương pháp trên, nhận thấy kết nâng lên rõ rệt Cụ thể sau cho học sinh tiếp cận phương pháp tiến hành khảo sát, kiểm tra hai lớp học thời điểm vận dụng nội dung sáng kiến kinh nghiệm cho lớp 12A6 thu kết sau: Điểm Giỏi Điểm Khá ĐiểmTB Điểm Yếu Điểm Kém Lớp SL tỷ lệ SL tỷ lệ SL tỷ lệ SL tỷ lệ SL tỷ lệ 12A6 6/45 12A7 1/47 13,3% 14/45 31,1% 20/45 44,4% 5/45 11,2% 0/45 2,1% 8/47 17,0% 19/47 40,4% 17/47 36,2% 2/47 0% 4,3% 26 C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Thơng qua số tốn thấy vai trò ứng dụng tọa độ hình học khơng gian vào việc giải tốn hình học khơng gian Tuy nhiên, sử dụng phương pháp giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh số vốn kiến thức định kỹ nhận dạng tập Phương pháp phương pháp khác áp dụng cho tất tốn hình học khơng gian chưa phương pháp tối ưu Do học sinh cần vào đặc điểm toán, khai thác giả thiết cho nhận dạng tập để lựa chọn phương pháp giải cho thích hợp, từ có cách nhìn linh hoạt, uyển chuyển có nhuần nhuyễn kỹ giải tập hình học khơng gian Thật khó để nói hiệu đề tài, áp dụng với số dạng tốn có đặc điểm định, không áp dụng hết cho Tuy với việc so sánh lời giải toán mà tơi trình bày, điểm yếu học sinh trình bày theo cách giải hình học túy khó để khắc phục vấn đề thuộc tố chất học sinh Cách dùng phương pháp tọa độ nhằm tránh điểm yếu Phương pháp tọa độ có ưu điểm thiên tính tốn, tốn dạng cách trình bày giống tạo nên khn mẫu sẵn Từ học sinh quen 27 với dạng hình thành kĩ nhanh nhạyVới kinh nghiệm thân, tơi mong giúp đồng nghiệp làm tài liệu tham khảo hy vọng bạn đồng nghiệp vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo để đem lại hiệu giảng dạy Rất mong nhận chia sẽ, đóng góp ý kiến để đề tài hồn thiện Đề tài kinh nghiệm nhỏ, kết tìm tịi nghiên cứu cá nhân, thông qua số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi hạn chế, khiếm khuyết Vậy mong Hội đồng khoa học ngành, đồng nghiệp ngồi nhà trường góp ý để nội dung sang kiến kinh nghiệm hoàn thiện ứng dụng rộng rãi Tôi xin trân trọng cảm ơn ! Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2021 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Hiền TÀI LIỆU THAM KHẢO Trong đề tài tơi có sử dụng tài liệu sau: Sách giáo khoa, sách giáo viên tốn hình học 11 hình học 12 Tài liệu bồi dưỡng giáo viên mơn Tốn 11 Tốn 12 Tuyển tập chuyên đề hình học Tác giả: Trần Phương-Bùi Minh Mẫn Các đề thi đại học, đề thi trung học phổ thông quốc gia năm trước Internet 28 ... ? ?Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ không gian để giải số tốn hình học khơng gian nhằm nâng cao chất lượng mơn Tốn trường THPT Nơng Cống 3? ?? để giải phần khó khăn Dùng phương pháp tọa. .. kết cao kì thi THPT Quốc Gia 2021 tới tơi chọn đề tài: ? ?Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ không gian để giải số tốn hình học khơng gian nhằm nâng cao chất lượng mơn Tốn trường THPT. .. 12A6, 12A7 trường THPT Nông Cống Qua kết khảo sát lớp 12A6, 12A7 trường THPT Nông cống trước Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ không gian để giải số tốn hình học khơng gian thu kết