Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóaSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA Người thực hiện: Trần Lương Hải Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường PT Nguyễn Mộng Tuân SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA Năm 2016 MỤC LỤC Phần mở đầu…………… ……………………………………………… .1 - Lí chọn đề tài…………… ………………………………………… .1 - Mục đích nghiên cứu ……… ………………………………………… .1 - Đối tượng nghiên cứu……… ………………………………………… .1 - Phương pháp nghiên cứu … ………………………………………… .1 Nội dung… …………… ……………………………………………… .2 2.1 Cơ sở lí luận SKKN… ………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN………………………… 2 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề ……………………… Phần 1: Nhắc lại bước phương pháp tọa độ hóa …….……… Phần 2: Giới thiệu số dạng tập cách chọn hệ trục tọa độ cho dạng kèm theo ví dụ minh họa………… … …………………………… Dạng Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ ………………… Dạng Hình hộp đứng có đáy hình thoi ………………….… Dang Hình chóp tứ giác ………………………………… Dạng Hình chóp tứ giác hình chữ nhật hình vng cạnh bên vng góc với đáy ………………………… ……………….…… Dạng Hình chóp tứ giác có đáy hình thoi cạnh bên vng góc với đáy …………… ………………… …………… ……… 10 Dạng Hình chóp tam giác có đáy tam giác ……… … 10 Dạng Hình chóp tam giác có đáy tam giác vng cạnh bên vng góc với đáy……………….… … ………………… 11 Dạng Hình chóp tam giác có đáy tam giác vng có mặt bên vng góc với đáy………………… ………………… ………… … 13 Dạng Hình lăng trụ đứng tam giác…… ………………….… 26 Phần Một số toán luyện tập … ………………………… ………18 2.4 Kết thực đề tài: …………………………………………………19 Kết luận kiến nghị ………………………………………………… ……19 - Kết luận …………………………………………………………… … 19 - Kiến nghị ………….……………………………………………….… 20 PHẦN MỞ ĐẦU - Lí chọn đề tài Trong chương trình Tốn học nói chung hình học nói riêng, hình học khơng gian nội dung quan trọng, đề thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng trước thi THPT Quốc gia ln có tốn hình học khơng gian Mặc dù năm gần đây, mức độ khó nội dung giảm nhiều so với trước vấn đề tương đối khó đa số học sinh Bởi hình học khơng gian u cầu người học phải có tư trừu tượng trí tưởng tượng khơng gian phong phú với khả vận dụng, kết hợp linh hoạt định lí hình học khơng gian vốn nhiều khó tưởng tượng Bên cạnh kĩ vẽ hình khơng gian vấn đề gây khó khăn cho học sinh, đặc biệt phải vẽ thêm đường phụ Trong số tốn hình học khơng gian, giải theo phương pháp tọa độ lại trở nên đơn giản Tuy nhiên phương pháp khơng đề cập nhiều chương trình sách giáo khoa THPT nên nhiều em khơng có kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp tọa độ hóa Để giúp em có thêm kinh nghiệm việc giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ hóa, giúp em tự tin để bước vào kì thi THPT qc gia, phạm vi đề tài này, tơi xin trình bày kinh nghiệm nhỏ việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa giải số tốn hình học khơng gian, “ phương pháp chọn hệ trục tọa độ giải số tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ hóa” Với chút kinh nghiệm nhỏ hi vọng em có thêm kinh nghiệm hứng thú việc giải số tốn hình học khơng gian - Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số cách chọn hệ trục tọa độ giải số tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ hóa nhằm giúp học sinh có thêm kinh nghiệm việc giải tốn hình học khơng gian - Đối tượng nghiên cứu Một số dạng tốn hình học khơng gian giải phương pháp tọa độ hóa - Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu phương pháp tọa độ hóa việc giải số tốn hình học khơng gian Nghiên cứu số kinh nghiệm giải toán hình học khơng gian phương pháp tọa độ hóa thông qua số SKKN đạt giải cấp tỉnh Nghiên cứu tốn hình học khơng gian đề thi ĐH, CĐ trước đề thi THPT Quốc gia năm gần đay + Nghiên cứu thực nghiệm: Điều tra phương pháp thường dùng việc giải tốn hình học khơng gian số học sinh lớp 12 Điều tra khó khăn việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải tốn hình học khơng gian Điều tra phương pháp thường dùng việc dạy học giải tốn hình học khơng gian số giáo viên dạy khối 12; khó khăn việc dạy học sinh sửdụng phương pháp tọa độ hóa để giải tốn hình học khơng gian + Thống kê: Xử lí thống kê tốn học kết luận 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận - Khách thể: Học sinh lớp 12 - Đối tượng nghiên cứu: Một số tốn hình học khơng gian giải phương pháp tọa độ hóa - Phạm vi nghiên cứu: Các tốn sơ cấp hình học khơng gian chương trình PTTH - Thực đề tài thời gian ôn thi tôt nghiệp học sinh lớp 12 năm học 2015 – 2016 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước thực đề tài, khảo sát chất lượng học sinh thông qua kiểm tra viết sử dụng phương pháp toạ độ khơng gian để giải tốn hình học khơng gian Tơi tiến hành kiểm tra qua tốn sau: Tìm lời giải phương pháp toạ độ: “Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (AB’D’) (C’BD)” Kết quả: - 30% học sinh biết dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán thuận tiện - 10% học sinh biết cách giải tập hoàn chỉnh tối ưu Chất lượng giải học sinh thấp, kĩ giải toán dạng yếu Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Phần 1: Nhắc lại bước phương pháp tọa độ hóa Để giải tốn hình học nói chung hình học khơng gian nói riêng phải dựa vào yếu tố, quan hệ hình học, đồng phẳng, song song, vng góc, Nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp ta chuyển thể tốn hình học sang tốn đại số với số, chữ, vectơ với phép tốn Với tốn đại số có định hướng rõ ràng khả tìm lời giải nhanh Để thực điều đó, địi hỏi học sinh phải có luyện tập, vận dụng kiến thức cần nắm quy trình giải tốn phương pháp toạ độ thích hợp Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ - Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp - Suy tọa độ điểm có liên quan Bước 2: Chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ toạ độ Bước 3: Dùng kiến thức toạ độ để giải toán Bước 4: Phiên dịch kết toán từ ngơn ngữ toạ độ sang ngơn ngữ hình học Trong bước trên, bước bước học sinh hồn tồn làm nhờ kiến thức liên hệ hình học khơng gian hệ toạ độ biết, bước học sinh sử dụng kiến thức hệ toạ độ cách sáng tạo để giải toán Buớc học sinh gặp khó khăn khơng có phương pháp cụ thể Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện phải biết dựa vào số dặc điểm toán Chọn hệ toạ độ cho gốc trùng với điểm cố định biết, dựa vào đường thẳng vng góc để gắn với trục toạ độ, điểm biết gắn với toạ độ đơn giản, thuận lợi Phần 2: Giới thiệu số dạng tập cách chọn hệ trục tọa độ cho dạng kèm theo ví dụ minh họa Dạng Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có Abc = a, AC = b, AD = c Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A( 0, 0, 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0) A’(0; 0; c) Khi ta có C(a; b; 0), B’(a; 0; c), C’(a; b; c) D’(0; b; c) Đặc biệt trường hợp tốn cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A( 0, 0, 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0) A’(0; 0; a) Khi ta có C(a;a ; 0), B’(a; 0; a), C’(a; a; c) D’(0; a; c) Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c a) Tính diện tích tam giác ACD’ theo a, b, c.b) Gọi M, N trung điểm AB, BC, tính thể tích tứ diện D’DMN theo a, b, c Hướng dẫn a) Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho A  O B  Ax, D  Ay A  Az , đó: A  0;0;0  ; B  a;0;0  ; C  a; b;0  ; D  0; b; c  ; A  0;0; c  ; D '  0; b; c  uuur uuur Ta có: AC  (a; b;0); AD  (0; b; c) uuur uuur   AC , AD   (bc;  ac; ab) uuur uuur 2  AC , AD   b c  a 2c  a 2b (đvdt)   a   b  b) M trung điểm AB  M  ;0;0 ; N trung điểm BC  N  a; ;0  2    uuuur  a uuuur uuur 3ab   uuur  b    DM   ; b;0 ; DN  a; ;0   DM , DN   0;0;   2     uuuur uuuur uuur uuuur 3abc DD '   0;0; c    DM , DN  DD '  u u u u r u u u r u u u u r 1 3abc abc VD ' DMN   DM , DN  DD '   (đvtt) 6 Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng A’B AC’ b) Gọi K trung điểm DD’ Tính góc khoảng cách đường thẳng CK A’D’  S ACD '  c) Mặt phẳng (P) qua BB’ hợp với hai đường thẳng BC’, B’D hai góc Tính sin góc Hướng dẫn Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B  Ax, D  Ay A  Az , đó: A  0;0;0  ; B  a;0;0  ; C  a; a;0  ; D  0; a;0  ; A  0;0; a  ; B  a;0; a  ; C   a; a; a  ; D  0; a; a  uuur uuuu r a) Ta có AB  a;0;  a  & AC   a; a; a  Gọi  góc tạo bở A’B AC’ ta có: uuur uuuu r AB AC   cos   uuuu r uuuu r  0  A ' B AC ' Gọi d1 khoảng cách A’B AC’ ta có: uuuu r uuuu r uuur  A ' B, A ' C  AA ' a   d1   uuuu r uuuu r  A ' B, A ' C    a  uuur  a  uuuur  b) Ta có: K  0; a; , KC a;0; & A ' D  0; a; a  2    uuur uuuur KC A ' D  cos   u uur uuuur  Gọi góc tạo CK A’D, ta có: 10 KC A ' D Gọi d2 khoảng cách CK A’D, ta có: uuur uuuur uuur  KC , A ' D  , KD a   d2   uuur uuuur  KC , A ' D    c) Ta có BB’ giao tuyến hai mặt phẳng (ABB’A’) (BCC’B’) nên: y  x  a    BB '  :   BB ' :  x  a y  Mặt phẳng (P) qua BB’ có dạng: r  P  : x  a  my    P  : x  my  a   vtpt n  1; m;0  ur uu r Vì (P) hợp với BC’, B’D (có vtcp u1  0;1;1 u2  1; 1;1 ) hai góc ( giả sử  ) nên: m 1 m sin     m  1 m  m  1  m  1  m2  4m    m  2  Với m  2  ta được: sin   2 2     2  2   22  4 6   1  Với m  2  ta được: 62 2 2 sin     22  4     1       1   1 Dạng Hình hộp đứng có đáy hình thoi Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi ABCD.A’B’C’D’ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O(0; ; 0) trùng với giao điểm hai đường chéo hình thoi ABCD - Trục Oz qua tâm hai đáy - Trục Ox, Oy chứa hai đường chéo đáy Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy · hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M, N trung điểm AA’, CC’ a) Chứng minh B’, M, D, N, thuộc mặt phẳng b) Tính AA theo a để tứ giác BMDN hình vng Hướng dẫn Gọi O O’ lad tâm hai đáy ABCD A’B’C’D’ Đặt AA’ = b · Theo gt, BAD = 600   ABD đều, ta có: OA = OC = BD a a  OB = OD= 2 Chon hệ trục tọa độ hệ trục tọa độ Oxyz cho O gốc tọa độ, D Ox, C Oy, O’ Oz a a ; 0), 2 a a a B(- ; 0; 0); A(0; ; 0); A’(0; ; b); 2 a a a a b a b B’(- ; 0; b); C’(0; ; b); D’( ; 0; b); M(0; ; ); N(0; ; ) 2 2 2 uuuur  a a b  uuuu r  a a b DM   ;  ; , NB '   ;  ;    a) Ta có: 2 2 2    uuuur uuuu r uuuu r uuuur  DM  NB '  DM NB ' phương  B’, M, D, N, thuộc mặt Khi O(0; 0; 0), D( ; 0; 0), C(0; phẳng uuuur uuuu r b) Theo câu (a),  DM  NB '  tứ giác B’DMN hình bình hành 2  a   b 2 a Ta có DM             2  2  4a  b 2 2 uuuur  a a b  4a  b  a a 3 b MB '    ; ;  MB '            2   2  2 2  DM = MB’  B’MND hình thoi Để hình thoi B’MND hình vng DM  MB’ uuuur uuuur  a  a  a 3 a b b  DM MB '           0   2  2  2  a 3a b 2a b    0   2a  b  b  a 4 4 Vậy để B’MND hình vng Â’ = a Dang Hình chóp tứ giác Cho hình chóp có đáy ABCD hình vng có cạnh a đường cao h Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O(0; ; 0) trùng với giao điểm hai đường chéo hình vng ABCD - Trục Oz chứa đường cao SO hình chóp - Trục Ox, Oy chứa hai đường chéo đáy Khi đó, hình biểu diễn hình bên thì: a a ; 0; 0), B(0; ; 0), 2 a a C( ; 0; 0), D(0; ; 0) S( 0; 0’ h) 2 A( - Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , đường cao SH = 2a M điểm thuộc đoạn AH Một mặt phẳng (  ) qua M, song song với AD SH đồng thời cắt AB, CD, SD, SA I, J, K, L a) Xác định vị trí điểm M để thiết diện IJKL tứ giác ngoại tiếp b) Xác định vị trí điểm M để thể tích khối đa diện DJKLH Đạt giá trị lớn c) Gọi N giao điểm BD với pm(  ); E giao điểm MK với NL Gọi P, · Q trung điểm AD BC Xác định vị trí điểm M để PEQ = 900 Hướng dẫn Ta có H = AC  BD AH = a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho H  O, trục Ox chứa A, trục Oy chứa D, trục Oz chứa S Khi đó: H(0; 0; 0); A( a; 0; 0); D(0; a; 0); S(0; 0; 2a); B(0; -a; 0) C(-a; 0; 0) a) Gọi M(m; 0; 0), (  m  a ) uu r uuur uuur Vectơ pháp tuyến mp(  ): n   AD, SH   (2a; 2a;0) Phương trình mp(  ): -2a(x – m) - 2ax =  x + y – m = ` ma ma  ma ma  ; ;0 , J  ; ;0  2     uur uuu r SA  (a;0; 2a), SD  (0; a; 2a) Dễ thấy I  Phương trình tham số đường thẳng SA x  a  t x   t '   :  y  ; SD là:  y  a  t '  z  2t  z  2t '   Dễ dàng tính tọa độ điểm: L(m; 0; 2a – 2m) K(0; m; 2a-2m) Tứ giác IJKL ngoại tiếp KL  IJ  IL  KJ (9  2)  m  a  9(a  m)  m  a 9 9  a;0;0  9  Vậy M  b) Đặt V =VDIJKLH = VD.IJKL + VH.IJKL  LM  IJ LK IJ  S IJKL  LM  LK / / IJ Ta có:  2(a  m)  2(a  m ) Khoảng cách tứ H đến mp(  ): m am d ( H ,( ))  ; d ( D,( ))  2 am 1 a3 2  m 2 V  2(a  m )   m0   a (a  m )  a  VMax =  3   S IJKL  (2a  2m) Vậy M trùng với H a a   a a  c) Ta có: P  ; ;0 , Q  ;  ;0  2   2  m m  Dễ thấy MNKL hình chữ nhật  E trung điểm MK  E  ; ; a  m  2  uuu r uuur · PEQ  900  EP.EQ   a  m  a  m   a  m  a  m        ( a  m)( a  m)        a   a  m  2a  2m   m  a  · Vậy để PEQ  900 M  ;0;0    Dạng Hình chóp tứ giác hình chữ nhật hình vng cạnh bên vng góc với đáy Giả sử AB = a, AD = b chiều cao SA = h Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O trùng với A, trục Ox chứa cạnh AB, trục Oy chứa cạnh AD, trục Oz chứa cạnh AS ( Như hình vẽ) Khi đó: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a;b; 0); D(0;b; 0); S( 0; 0; h) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi E trung điểm CD a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBE) b) Mặt phẳng (SBE) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Hướng dẫn giải Trong không gian, chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: A  O, AB  Ox, AS  Oy , AD  Oz Khi ta có: B(a ;0 ;0) , S (0 ; a ;0) , D(0 ;0 ; a) , C ( a ;0 ; a) a a) Ta có E trung điểm CD  E ( ;0; a ) 2 uur uur a uur uur  2 a   SB  (a; a; 0); SE  ( ; a; a )   SB, SE    a ; a ;  2   ur 2 uur uur n  2; 2;1   =  SB, SE  làm vecơ pháp tuyến mp ( SBE ) Chọn a r Phương trình mặt phẳng (SBE) qua B(a;0;0) nhận n   2; 2;1 làm véctơ pháp tuyến: ( SBE ) :  x  a   y  z   x  y  z  2a  Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBE) là: a  a  2a a d  C ;( SBE )    2  1 uur uur  uuu r a    ; SC   a ; a ; a  ; b)  SB, SE    a ; a ;    r uur uur uuu a3 a3    VSCBE  SC  SB, SE    a  a   6 12 a3 V a3 a3 a3  SBCE  123   VS BEDA  VS ABCD  VSBCE    VS BEDA a 3 12 4 Dạng Hình chóp tứ giác có đáy hình thoi cạnh bên vng góc với đáy Giả sử ABCD hình thoi có cạnh a chiều cao SA = h Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O trùng với giao điểm hai đường chéo, trục Ox chứa cạnh BD, trục Oy chứa cạnh AC, trục Oz qua giao điểm hai đường chéo vng góc với mp(ABCD) ( Như hình vẽ) Khi đó, tùy theo cụ thể mà ta suy tọa độ điểm khác Dạng Hình chóp tam giác có đáy tam giác Giả sử hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a đường cao h Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O trùng với trung điểm cạnh (chẳng hạn cạnh AB), trục Ox chứa cạnh AB, trục Oy trung a a tuyến OC Khi đó: A(- ; 0; 0); B( ; 0; 0); C(0; a a ; 0); S(0; ; h) 2 Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Biết (AMN)  (SBC), tính theo a diện tích  AMN Hướng dẫn Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O trọng tâm D ABC Gọi I trung điểm BC, ta có: AI = a a a Þ OA = , OI = BC = 2 Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: ỉa ÷ O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ỗỗỗ ; 0; ữ ÷ ÷ è ø æ a æ a a a ữ ; ; ữ Nỗ ; ; ữ ữ ỗ v ữ ữ ỗ ỗ ữ 12 2ứ ố 12 ứ ố Mỗ ç- 10 u r uuuur uuur u r uuu r uuu r ah 5a ö a2 ö ữ ữ ự= ổ ộSB, SC ự= ổ ỗ ỗ ÷ ÷ Þ n( AMN ) = é AM , AN ; 0; , n = ah ; 0; ( SBC ) ỗ ỗ ữ ữ ỳ ỳ ỷ ỗ ỷ ữ ữ, ỗ 24 è ø è ø u r ur 5a ( AMN ) ^ (SBC ) Þ n( AMN ) n( SBC ) = Þ h = 12 uuuur uuur ù a 10 Þ SD AMN = é êAM , AN û ú = 16 ë Dạng Hình chóp tam giác có đáy tam giác vng cạnh bên vng góc với đáy (Ta xét hai trường hợp) Trường hợp 1: Đáy ABC tam giác vuông A SA  (ABC) Giả sử ABC tam giác vuông A, có cạnh AB = a, AC = b chiều cao SA = h Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O trùng với A, trục Ox chứa cạnh AB, trục Oy chứa cạnh AC, trục Oz chứa cạnh SA ( Như hình vẽ) Khi đó: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; b; 0) S( 0; 0; h) Ví dụ: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc với Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là: 1cm, 2cm 3cm Tính a, b, c để thể tích hình chóp O.ABC đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn Chon hệ trục tọa độ cho O trùng với gốc tọa độ, A  Ox, B Oy, C Oz Ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) mp(OAB)  Oxy, mp(OBC)  Oyz, mp(OCA)  Oxz d(M; (OAB)) =  d(M; (Oxy)) =  zM = d(M; (OBC)) =  d(M; (Oyz)) =  xM = d(M; (OCA)) =  d(M; (Oxz)) =  yM = suy M=(1; 2; 3) x y z   1 Ta có phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là: a b c Do M(1; 2; 3)  (ABC) nên    (1) a b c 1 1 Thể tích hình chóp O.ABC: VO ABC  OC.SOAB  OC OA.OB  a.b.c 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho số dương , , ta có a b c 11  abc  27 hay VO ABC  27 a b c a b c abc Do VMin = 27,     a  3, b = c = a b c 1   3  33  33 Vậy a = 3, b = c = Trường hợp Đáy ABC tam giác vuông B SA  (ABC) Giả sử ABC tam giác vng B, có cạnh AB = a, AC = b chiều cao SA = h Ta chon hệ trục tọa độ Oxyz theo hai cách sau : Cách 1: Chon hệ trục tọa độ Oxyz cho A  O ; trục Ox nằm mp(ABC) vng góc với AC; trục Oy chứa AC; tục Oz chứa AS Khi ta có: A(0;0;0); C (0; b;0); S (0;0; h) AB a AB  AH AC  AH   AC b AB.BC a b  a  AC b  a b  a a   B ; ;0   b b    Cách 2:  BH  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O trùng với B, trục Ox chứa cạnh AB, trục Oy chứa cạnh BC, trục Oz qua B vng góc với mp(ABC) ( Như hình H.1 H 2) Khi đó: B(0; 0; 0), A(a; 0; 0), C(0; b; 0) S( a; 0; h) 12 Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáyABC tam giác vng B, cạnh bên SA vng gó với đáy (ABC) Biết AB = 3, BC = SA = a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC b) Trên AB lấy điểm E cho AE = a Mặt phẳng (P) qua E song song với SA BC cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện Tìm a để diện tích lớn Hướng dẫn ABC vuông B nên AC  AB  BC   16  Vẽ đường cao BD AB.BC 3.4 12   AC 5 AB AB  AD AC  AD   AC ABC  BD  Chon hệ trục tọa độ Oxyz cho A  O ; trục Ox nằm mp(ABC) vng góc với AC; trục Oy chứa AC; tục Oz chứa AS Khi ta có:  12  A(0;0;0); C (0;5;0); S (0;0;4); B  ; ;0   5  a) Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABC có dạng: x2+ y2+ z2 - 2ax - 2by - 2cz = Do (S) qua S, A, B, C nên ta có hệ phương trình: 16  c  a  144 81 24  18     a  b   b    25 25  25  10b  c  Suy phương trình mặt cầu (S) x2+ y2+ z2 - 25y - 4z =   Gọi I Tâm mặt cầu (S)  I  0; ;2   I trung điểm đoạn SC   Tâm I mặt cầu (S) I trung điểm đoạn SC b) Giả sử mp(P) cắt SB,SC, AC theo thứ tự H, G, F  thiết diện tứ giác EFGH mp(P) // SA  mp(P) cắt (SAB) (SAC) theo hai giao tuyến song song  EH // FG mp(P) // BC  mp(P) cắt (ABC) (SBC) theo hai giao tuyến song song  EE // FGH Vậy thiết diện EFGH hình bình hành · Mặt khác ta lại có EH // SA EF // BC Mà SA  BC  EH  EF  HEF  900  EFGH hình chữ nhật Vậy thiết diện EFGH hình chữ nhật 13 EH OE SA.OE 4(3  a )   EH   SA OA OA EF AE OC AE 4a   EF   OC AO AO 4a 4(3  a) 16  S EFGH  EF.EH   a (3  a ) 3 Do a nằm cạnh AB nên < a 0 Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si cho hai số a – a, ta có a  (3  a )  a(3  a)   a(3  a )  a(3  a)  2 Do S EFGH  16 16 a(3  a)    S EFGH  9 Dấy đẳng thức xảy a   a  a  Vậy diện tích thiết diện EFGH lớn a = Dạng Hình chóp tam giác có đáy tam giác vng có mặt bên vng góc với đáy ( Ta xét trường hợp sau) Trường hợp 1: Đáy ABC tam giác vng C, có (SAB)  (ABC)  ABC cân S Giả sử ABC tam giác vng C, có cạnh CA = a, CB = b chiều cao SH = h Gọi H trung điểm AB  SH đường cao hình chóp Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O trùng với C, trục Ox trùng với tia CA, trục Oy trùng với tia CB, trục Oz qua C vuông góc với mp(ABC) ( Như hình H 1) Khi đó: A(a; 0; 0), a b B(0; b; 0), C(0; 0; 0) S( ; ; h) 2 Trường hợp 2: Đáy ABC tam giác vng A, có (SAB)  (ABC)  SBC cân S Giả sử ABC tam giác vng A, có cạnh AB = a, AC = b chiều cao SH = h Gọi H trung điểm AB  SH đường cao hình chóp Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O trùng với A, trục Ox chứa cạnh AC, trục Oy chứa cạnh AB, trục Oz qua A vng góc với mp(ABC) 14 ( Như hình trên) Khi đó:A(0; 0; 0), B(0; a; 0), C(b; 0; 0) S(0; a ; h) Trường hợp 3: Đáy ABC tam giác vng cân tai C, có (SAB)  (ABC)  SAB cân S Giả sử AC =BC = a, chiều cao SH = h Gọi H trung điểm AB  SH đường cao hình chóp Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O trùng với H, trục Ox chứa cạnh HC, trục Oy chứa cạnh AB, trục Oz chứa cạnh HS ( Như hình trên) Khi a đó: H(0; 0; 0); A(0; ; 0); B(0; a ; 0); C( a ; 0; 0) S(0; 0; h) Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBA tam giác cạnh a vng góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC Hướng dẫn: a) Tam giác SBC đều, cạnh a H trung a điểm BC  SH  Tam giác ABC vuông cân a, có BC = a a  AB  AC  Gọi H trung điểm BC, ta có: BC a  AH   2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O º H , tia HA º tia Ox, tia HB º tia Oy tia HS º tia Oz æ a ÷ ỉ ỉa ỉa a 3ư ÷ ç ÷ ÷ ç ç ÷ C 0; ;0 ; S 0;0; ỗ ;0;0 ; B 0; ;0 ; ữ ú ta cú: H( 0; 0; 0); Aỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ố ữ ố ỗ ỗ ứ ữ ứ ỗ ố2 ứ ÷ ø è 15 uuu uur ỉa r a 3ữ ữ SA = ỗ ;0; ; BC = ( 0; - a;0) ; ỗ ữ ỗ ỗ ÷ è2 ø uur uuu r ỉ a2 uur a2 ữ ộSA, BC ự= ỗ ộSA, ữ ;0; ị ỗ ữ ỳ ỷ ỗ ữ ỗ 2ứ ố uuu r ổa a AC = ỗ - ; - ;0ữ ữ ỗ ç è 2 ÷ ø uuu r uuu r a3 ù BC ú AC = û uur uuu r éSA, BC ù= a ê ú ë û Khoảng cách hai đường thẳng SA BC: uur uuu r uuu r éSA, BC ù AC ê ú a3 a ë û d ( SA, BC ) = uur uuu = = r éSA, BC ù 4.a ê ú ë û Dạng Hình lăng trụ đứng tam giác (Ta xét hai trường hợp sau) Trường hợp 1: Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vng A Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông cân với AB = AC= a AA’ = h Gọi E, F trung điểm BC A’C’ Tìm đoạn EF điểm I cách hai mặt phẳng (ABC) (ACC’A’) Tính khoảng cách Hướng dẫn Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B  Ax, đó: A(0;0;0); B(a;0;0); C(0;a;0); A’(0;0;h); B’(a;0;h) C’(0;a;h) a a  a a   a  Vì E, F trung điểm BC A1C1 nên: E  , ,0 E  , ,0  F  0, , h  2  2    Phương trình đường thẳng EF cho bởi: a a  x   t   a a  2  Qua E  , ,0  a     EF :   EF  y  (t  R) uuur  a vtcp EF  ,0, h       z  ht    a a a  Vì I  EF nên I   t , , ht  t[0 1] 2 2  Vì I cách (ABC) (ACC1A1) nên a a a  ah a ah   t  ht  t  I , ,  2 a  2h  a  h a  2h  Khi điểm I chia đoạn EF theo tỉ sô k, tức là: x  kxF a a a xI  E   k 1 k a  2h 2(1  k ) 2h Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) (ACC1A1) 16 d  zI  ah a  2h Trường hợp 2: hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC Ta chọn hệ trục tọa độ hai hình Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, AA’=2a Gọi D trung điểm BB’; điểm M di động cạnh AA’ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ diện tích tam giác DMC’ Hướng dẫn + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O trùng với trung điểm cạnh AC, B  Ox; C  Oy; Oz vng góc với hai đáy Khi đó: a   A  0;  ; ;   a  a  B ; 0; ; B '  ; 0; 2a ;      a   a  C  0; ;0 ; C '  0; ; 2a      a  ; 0; a  D trung điểm BB’  D     a  Do M di động AA’, tọa độ M  0;  ; t với t   [0;2a]  r uuur uuu  DM , DC '   uuuur  a a  uuuur  a a  DM    ;  ;t  a  ; DC '   ; ; a   2     uuuur  at a 3 DC '    ; (2 a  t );  a    2  uuuur a 2t 3a 3a a DC '   (4a  4at  t )   4t  12a  15a 4 Diện tích tam giác DMC’: SDMC’  Ta có: uuuur  DM ,  uuuur  DM ,  17 SDMC’  r uuur uuu a  DM , DC '  4t  12at  15a   Giá trị lớn hay nhỏ SDMC’ phụ thuộc vào giá trị hàm số f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 đoạn (t [0;2a]) 3a  3a  Ta có: f(0) = 15a2 ; f(2a) = 7a2 ; f   = 6a2   GTLN hàm số f(t) [0; 2a] 15a2 Þ giá trị lớn diện tích tam a 15 giác DC’M S DC1M  Khi t = GTNN hàm số f(t) [0; 2a] 6a2 Þ giá trị lớn diện tích tam giác f’ (t) = 8t – 12a ; f '(t )   t  DC’M S DC M a2  Phần Một số dạng tốn luyện tập Bài Cho hình lăng trụ tứ giác ABCDA’B’C’D’ đường cao h Mặt phẳng (A’BD) hợp với mặt bên (ABB’A’) góc  Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ Bài Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc  = 600 , O B’ vng góc với đáy ABCD, cho BB’= a a) Tính góc cạnh bên đáy b) Tính khoảng cách từ B, B’ đến mp(ACD’) Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Tính độ dài đoạn SA biết số đo góc nhị diện (B SC D) 1200 Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Từ trung điểm H cạnh AB dung SH vng góc với mp(ABCD) cho nhị diện cạnh AD hình chóp S.ABCD có số đo 600 a) Tính SH khoảng cách từ H đến mp(SCD) b) Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh CK  SD tính số đo góc nhị diện (A, SD, C) c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) Bài Chứng minh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AC’ vng góc với mặt phẳng (B’CD’) Bài Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Trên BD AD’ lấy hai điểm thay đổi M,N cho DM  AN  x, (0  x  a 2) CMR: MN song song với mặt phẳng cố định Bài Cho tứ diện DABC góc tam diện đỉnh D vng Gọi I tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh ( ) mặt phẳng qua I khoảng 18 cách từ D xuống ( ) tổng đại số khoảng cách A, B, C xuống ( ) Bài TSĐH 2008-khối B Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a (SAB)  (ABCD) Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính cơsin góc hai đường thẳng SM, DN Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ằng a, SA vng a góc với đáy Gọi M, N hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC cho BM  3a DN  CMR hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với Bài 10 Đường thẳng (d) tạo với đường thẳng (d1) (d2) cắt góc nhau, ngồi khơng vng góc với mặt phẳng    chứa đường thẳng CMR hình chiếu vng góc (d’) đường thẳng (d) lên mặt phẳng    tạo thành góc với đường thẳng (d1) (d2) Bài 11 TSĐH 2002-khối B Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N, P trung điểm BB’, CD, A’D’.Tính góc hai đường thẳng C’N MP Bài 12 TSĐH 2006-khối A Cho ABCD.A’B’C’D’ hình lập phương có độ dài cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C MN 2.4 Kết thực đề tài: Sau thời gian thực đề tài SKKN, tiến hành kiểm tra qua tốn tìm lời giải phương pháp toạ độ: Cho hình vng ABCD cạnh a Từ trung điểm H cạnh AB dung SH vng góc với mp(ABCD) cho nhị diện cạnh AD hình chóp S.ABCD có số đo 600 a Tính SH khoảng cách từ H đến mp(SCD) b Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh CK  SD tính số đo nhị diện (A, SD, C) c Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) Kết : - 100% học sinh biết dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán thuận tiện - 80% Phiên dịch từ toán hình học khơng gian sang ngơn ngữ toạ độ - 75% học sinh biết cách giải tập hoàn chỉnh tối ưu Kết luận iến nghị - Kết luận Qua kết điểu tra khảo sát thực tiễn ta thấy giải tốn hình học không gian, học sinh thường không ý đến phương pháp toạ độ tính ưu việt lúng túng giải phương pháp toạ độ Một 19 khó khăn học sinh chưa có kinh nghiệm việc chon hệ trục tọa độ phù hợp với hình cụ thể Do học sinh ngại giải tốn khơng gian Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học mơn hình học khơng gian thấy tính ưu việt phương pháp toạ độ giải tập hình học khơng gian, thầy giáo cần hướng dẫn em chọn hệ trục tọa độ phù hợp với hình cụ thể - Kiến nghị Trong nội dung, chương trình sách giáo khoa THPT khơng đề cập đến phương pháp tọa độ hóa tốn hình học khơng gian, học sinh khơng có nhiêu thời gian để nghiên cứu vận dụng phương pháp Vì tơi có đề nghị với tổ chun mơn xây dựng chương trình giảng dạy mơn tự chọn tốn lớp 12, nên thảo luận để thống đưa phương pháp tọa độ hóa vào nội dung tiết học tự chọn để em giúp em có thêm thời gian kinh nghiệm để vận dụng phương pháp giải số tốn hình học khơng gian Trong q trình bồi dưỡng kiến thức phương pháp tọa độ hóa tiết học tự chọn, giáo viên nên cố gắng giúp em có nhìn thật đơn giản phương pháp tọa độ hóa Muốn phải trọng từ bước chọn hệ trục tọa độ hợp lí cho vừa trực quan, dễ nhìn lại vừa thuận lợi cho việc tính tọa độ điểm khác có liên quan Nếu làm điều này, em thấy đơn giản tiện lợi phương pháp Từ em tự tin có hứng thú học mơn hình học khơng gian hơin Trong q trình biên soạn chắn cịn nhiều thiếu sót, mong Thầy em học sinh đóng góp ý kiến để chun đề tơi hồn thiện áp dụng rộng rãi Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Trần Lương Hải 20 CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Thị Vân Anh: Phương pháp giải toán tự luận hình học khơng gian NXB Đai Học Quốc Gia Hà Nội năm 2008 Đặng Khắc Nhân, Lê Đỗ Tập: Giải tốn hình học khơng gian phương pháp toạ độ NXB Giáo dục - 1997 Phan Huy Khải: Phương pháp toạ độ để giải toán sơ cấp NXB Thành phố Hồ Chí Minh Văn Như Cương: Trần Đức Hun Hình học 11 NXB Giáo dục - 1993 Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí: Phương pháp giải tốn hình học giải tích khơng gian Nhà xuất Hà Nội - 2002 Một số đề tài SKKN phương pháp tọa độ hóa giải tốn hình học khơng gian giáo viên có kinh nghiệm Một số đề thi ĐH-CĐ đề thi THPT quốc gia; Đề thi thử THPQ quốc gia trường THPT 21 ... bày kinh nghiệm nhỏ việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa giải số tốn hình học khơng gian, “ phương pháp chọn hệ trục tọa độ giải số tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ hóa? ?? Với chút kinh. .. liệu phương pháp tọa độ hóa việc giải số tốn hình học khơng gian Nghiên cứu số kinh nghiệm giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ hóa thơng qua số SKKN đạt giải cấp tỉnh Nghiên cứu tốn hình. .. thêm kinh nghiệm hứng thú việc giải số tốn hình học khơng gian - Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số cách chọn hệ trục tọa độ giải số tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ hóa nhằm giúp học