(Sáng kiến kinh nghiệm) GIẢI một số bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP véc tơ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Cơng Hn I THƠNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn – Hình học 11 Tác giả: Họ tên: Dương Cơng Hn Giới tính: Nam Ngày tháng năm sinh: 18/01/1985 Trình độ chun mơn: Thạc sỹ Tốn Chức vụ, đơn vị cơng tác: tổ Tốn – Tin Đồng tác giả: Khơng Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Không Đơn vị áp dụng sáng kiến Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: II BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn – Hình học 11 Mơ tả chất sáng kiến 3.1 Tình trạng giải pháp biết: * Thực trạng việc học mơn tốn, giải tập tốn học sinh THPT * Cơ sở việc nghiên cứu: từ thực trạng việc dạy học chương “Véctơ khơng gian Quan hệ vng góc khơng gian ” phân mơn Hình học * Về chương trình: Hình học 11 3.1.1 Đặt vấn đề: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Một nhiệm vụ chương trình hình học cải cách giáo dục phổ thông “Bồi dưỡng kỹ vận dụng phương pháp véctơ vào việc nghiên cứu số hình hình học, số quan hệ hình học Việc sử dụng vectơ để giải tốn hình học” Chính việc giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải toán cần thiết phù hợp với xu cải cách giáo dục Mặt khác đứng trước tốn hình học khơng gian học sinh dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng Vì lí tơi chọn đề tài : “GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” 3.1.2 Cơ sở lý luận: Các yêu cầu giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ Học sinh cần nắm số định lí: Định lí hai véctơ phương; Định lí phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương mặt phẳng; Định lí phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng không gian Học sinh cần có kỹ biến đổi biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước ghi nhớ số toán KIẾN THỨC CƠ BẢN a) Định nghĩa véctơ: +) Véctơ AB đoạn thẳng có hướng điểm A điểm đầu; B điểm cuối +) Cho điểm A, B ta có véctơ AB BA +) Khi A trùng B ta có véctơ khơng AA = B A b) Tính chất: D  AB ↑↑ CD 1) AB = CD ⇔  | AB |=| CD |  AB ↑↓ CD AB = −CD ⇔  | AB |=| CD | 2) Với điểm A, B, C ta có: AB + BC = AC ; AB − AC = CB 3) ABCD hình bình hành: AB + AD = AC ; AB = DC C O A B 4) M∈ AB ⇔ M, A, B thẳng hàng ⇔ MA = k MB với điểm O bất kì: OM = OA − k OB 1− k SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân 5) M trung điểm AB ⇔ MA + MB = với điểm O bất kì: OM = OA + OB 6) G trọng tâm tam giác ABC ⇔GA + GB + GC = OG = OA + OB + OC 7) G trọng tâm tứ giác ABCD tứ diện ABCD ta có: OA + OB + OC + OD GA + GB + GC + GD = OG = k > : b ↑↑ a   8) b = k a ⇔ k < : b ↑↓ a   b = k a 9) a + b ≤ a + b ; a − b ≥ a − b 10) Nếu a; b ≠ khơng phương ∃!c : c = x a + yb x a + yb = ⇒ x = y = 11) a.b =| a | | b | cos(a, b); a ⊥ b ⇔ a.b = 12) a, b; c ≠ không đồng phẳng khơng gian ∃!d : d = x a + yb + z c 3.2 Nội dung giải pháp: 3.2.1.Quy trình chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp véctơ Bước 1.Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “ hệ véctơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận tốn hình học không gian cho “ngôn ngữ” véctơ Bước Thực yêu cầu toán thông qua việc tiến hành phép biến đổi hệ thức véctơ theo hệ vectơ sở Bước Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học khơng gian tương ứng 3.2.2 Một số dạng tốn sử dụng phương pháp Dạng Phần quan hệ song song Bài toán Hai đường thẳng phân biệt AB CD song song với uuur uuur AB = kCD r r Bài toán Cho hai vé tơ a, b không phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) uuur r r Khi :AB//(P) ⇔ AB = xa + yb SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Bài toán Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) (MNP) uuu r uuuu r uuur  AB = xMN + yMP uuuu r uuur Khi đó: (ABC) / / ( MNP ) ⇔  uuur  AC = x1 MN + y1 MP Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E, F trọng tâm tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 Chứng minh : MN // EF Lời giải: Bước1:Chọn hệ véc tơ sở uuur r uuur r uuur r AA1 = a, AB = b, AC = c { B1 } N Theo ra: A1 +M trọng tâm tam giác AA1B1: uuuu r uuur uuur AM = ( AA1 + AB1 ) (1) M F +N trọng tâm tam giác A1B1C1: uuur uuur uuur uuuu r AN = ( AA1 + AB1 + AC1 ) (2) B E +E trọng tâm tam giác ABC: uuur uuur uuur AE = ( AB + AC ) (3) C A +F trọng tâm tam giác BCC1: uuur uuu r uuur uuuu r AF = ( AB + AC + AC1 ) (4) uuuu r uuur + MN / / EF ⇔ MN = k EF Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ uuuu r uuur uuuu r r r Từ (1), (2): MN = AN − AM = a + c (5) ( C1 ) uuur uuur uuur r r Từ (3), (4): EF = AF − AE = a + c ( ) (6) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân uuuu r uuur Từ (5), (6): MN = EF (7) Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học khơng gian Từ (7) : MN // EF Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N trung điểm cạnh AA 1, B1C1 Chứng minh: MN // (DA1C1) Lời giải: Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở uuur r uuur r uuuur r DA = a, DC = c, DD1 = b { B1 } uuuur uuur uuuu r + M trung điểm AA1: DM = DA + DA1 (1) uuur uuuu r uuuur + N trung điểm B1C1: DN = DB1 + DC1 (2) uuuu r uuuur uuuu r + MN / / ( DA1C1 ) ⇔ MN = xDC1 + yDA1 (3) ( C1 D1 A1 ) ( ) Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ uuuu r uuur uuuur r r r Từ (1), (2): MN = DN − DM = − a + 2c + b r r r r = c−a+c+b uuuu r uuuur uuuu r MN = DC1 − DA1 Suy ra: ( ( N M C B A D ) ) (4) Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian Từ (4) : MN // (DA1C1) Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N trung điểm cạnh AA1, CC1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: (MGC1) // (AB1N) Lời giải: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở uuur r uuur r uuur B1 r { AA = a, AB = b, AC = c} G uuuu r uuur + M trung điểm AA1: AM = AA1 uuur uuur uuuu r + N trung điểm CC1: AN = AC + AC1 ( C1 A1 (1) ) (2) M + G trọng tâm tam giác A1B1C1: uuur uuur uuur uuuu r AG = ( AA1 + AB1 + AC1 ) (3) uuuu r uuur uuur  MG = x AB1 + y AN uuur uuur (4) + (MGC1 ) / / ( AB1 N ) ⇔  uuuur  MC1 = x1 AB1 + y1 AN N B A C Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ Ta có: uuuu r uuur uuuu r r 1r 1r MG = AG − AM = a + b + c (5) 3 uuuu r uuur uuuu r r r r MG = x AG − y AM = ( x + y )a + xb + yc r r r Từ (5) (6) , a, b, c khơng đồng phẳng nên ta có: (6) 1 2 = x + y  r uuur uuur uuuu 1 ⇒ x = y = ⇒ MG = AB1 + AN  =x 3 3 1 3 = y  (7) Ta có: uuuur uuuu r uuuu r r r 1r 1r r MC1 = AC1 − AM = a + c − a = a + c 2 uuur uuur uuur r r AN = AC + CN = a + c uuuur uuur (10) Từ (8) (9): MC1 = AN ( ) (8) (9) Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học khơng gian SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân uuuu r uuur uuur Từ (7) : MG = AB1 + AN ⇒ MG//mp(AB1 N ) 3 uuuur uuur Từ (10) : MC1 = AN ⇒ MC1 / / mp ( AB1 N ) (11) (12) Từ (11) (12) : mp ( MGC1 ) / / mp ( AB1 N ) Bài tập vận dung Bài Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử E tâm mặt ABB1A1; N, I trung điểm CC1 CD Chứng minh : EN//AI Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N lần trọng tâm tam giác ABA1 ABC Chứng minh : MN//(AA1C1) Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E trung điểm BB1, CC1, AA1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: (MGC1)//(BA1N) (A1GN)//(B1CE) Dạng Phần góc khoảng cách Bài tốn Góc hai đường thẳng AB CD tính theo cơng thức: uuur uuur AB.CD cosϕ = uuu r uuur AB CD uuur uuur2 Bài toán Khoảng cách hai điểm A B : AB = AB = AB r Bài toán Cho điểm M đường thẳng l có véctơ phương a , điểm A thuộc l Tính khoảng cách từ M đến l Phương pháp giải: uuuur ur Đặt AM = m , gọi N hình chiếu M lên l uuuu r r r ur r uuuu r uuur uuuu r r ur Khi đó: MN = AN − AM = xa − m MN ⊥ a ⇔ xa − m a = ( uuuu r Khoảng cách cần tìm : MN = r ur ( xa − m ) ) Bài toán Cho (ABC), điểm M khơng thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) góc MA (ABC) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Phương pháp giải: uuuur ur uuur r uuur r Đặt AM = m , AB = a, AC = b , gọi N hình chiếu M lên (ABC) uuuu r uuur uuuu r r r ur Khi : MN = AN − AM = xa + yb − m r r ur r ( xa + yb − m)a = r ur r Do MN ⊥ ( ABC ) nên  r ( xa + yb − m)b = Khi cho biết x,y ta tìm khoảng cách từ M đến (ABC) ( r r xa + yb − m ) Nếu r r r r r r r r ur xa + yb ≠ góc AM (ABC) góc m xa + yb , xa + yb = AM ⊥ (ABC) ur Bài tốn Cho đường thẳng chéo nhau, d1 qua A1 có véc tơ phương a1 ; đường thẳng uu r d2 qua A2 có véc tơ phương a2 Tính khoảng cách góc hai đường thẳng Phương pháp giải: ur uu r a1.a2 r + Góc hai đường thẳng : cosϕ = ur uu a1 a2 uuuu r ur ur uu r +Đoạn vng góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), đó: P1 P2 = xa1 + m + ya2 Do uuuu r ur  P1 P2 a1 = ⇒ x, y r uu r  uuuu  P1 P2 a2 = uuuu r ur ur uu r Khoảng cách cần tìm: P1 P2 = ( xa1 + m + ya2 ) Ví dụ Cạnh đáy lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 a, điểm O O tương ứng trọng tâm dáy ABC A 1B1C1.Độ dài hình chiếu đoạn thẳng AO đường thẳng B1O 5a Hãy tính đường cao lăng trụ Lời giải: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân uuuur ur uuu r r uuur ur Chọn hệ véc tơ sở AA1 = m, AB = n, AC = p { } C1 ur Giả sử h = m A1 O1 N Ta có: B1 uuuu r uuuur uuur uuuu r ur r ur AO1 = AA1 + AB1 + AC1 = 3m + n + p 3 uuur uuur uuur ur r ur B1O = AO − AB1 = −3m − 2n + p ( ) ( ( ) ) Suy ra: uuuu r uuur AO1 = B1O = 9h + 3a uuuu r uuur 6h + a AO1.B1O = − ( 6h + a ) , cosϕ = ( 3h + a ) A C O M B uuuu r 5a Vì: AO1 cosϕ = nên 9h + 3a (6h + a ) 5a a = ⇒h= 2 6(3h + a ) Ví dụ Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC với cạnh 1, cạnh SA vng góc vng góc với đáy, SA = Mặt phẳng ( α ) song song với đường thẳng SB AC, mặt phẳng ( β ) song song với đường thẳng SC AB Tính giá trị góc hai mặt phẳng (α) ( β ) Lời giải: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Chon hệ véc tơ sở uuu r r uuu r r uuur S r { AS = a, AB = b, AC = c} ur r Giả sử m, n véc tơ khác r 0, tương ứng vng góc hai mặt phẳng (α) ( β ) , cịn ϕ góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) ur r m.n Thế thì: cosϕ = ur r m.n C A ur r r r Đặt m = xa + yb + zc Ta có: B r r r r r uur ur  b − c xa + yb + zc = ur  SB.m = m ⊥ ( α ) ⇔  uuur ur ⇔ r r r r  AC.m = c ( xa + yb + zc ) = ( )( )  y = −23 6 x − y − z =  ⇔   y + 2z =  x = − z ur Số phương trình bé số ẩn, điều chứng tỏ m ⊥ ( α ) không xác định ur r r r Chọn z = −1 ⇒ x = 1, y = nên m = a + 4b − 2c véc tơ vng góc với ( α ) uuu rr  r r r r  SC.n = o t = − u ⇔ rr Tương tự : n = ta + ub + vc ⊥ ( β ) ⇔  uuu v = −2u  AB.n = ur r m.n Khi : cosϕ = ur r = m.n r r r r Chọn : u = −2 ⇒ v = 4, t = ⇒ n = a − 2b + 4c Bài tập vân dụng 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Cơng Hn Bài Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin góc cạnh đối diện Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h Tính cosin góc: 1.Giữa AB1 BC1 2.Giữa AB B1C Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Bài Cho tứ diện SABC cạnh BD đường cao tam giác ABC Tam giác BDE nằm mặt phẳng tạo với cạnh AC góc ϕ , biết điểm S E nằm phía mặt phẳng (ABC) Tính SE Dạng Phần quan hệ vng góc uuur uuur Bài toán Hai đường thẳng phân biệt AB CD vng góc với AB.CD = r r Bài toán 10 Cho hai a, b không phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) uuu rr  AB.a = rr Khi :AB ⊥ (P) ⇔  uuu  AB.b = Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M N điểm thuộc đường chéo BA1 CB1 cho: BM CN = , = Chứng minh rằng: MN ⊥ BA1 , MN ⊥ CB1 MA1 NB1 Lời giải: uuu r r uuur r uuur r Chọn hệ véc tơ sở BA = a, BB1 = b, BC = c { } C1 D1 r r r rr rr rr Khi đó: a = b = c = a; a.b = c.b = a.c = A1 B1 N Theo : uuuu r uuur BM = ⇒ BM = BA1 = 3 MA1 uuur uuur CN = ⇒ CN = CB1 = 3 NB1 Mặt khác: r r ( a + b) ( r r b−c M D ) C A B 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân uuur uuur uuur r r BN = BC + CN = 2b + c uuuu r uuur uuuu r r r r MN = BN − MN = −a + b + c ( ) ( ) Do đó: uuuu r uuur r r r MN BA1 = −a + b + c uuuu r uuur r r r MN CB1 = − a + b + c ( ( )( r r a + b = ⇒ MN ⊥ BA1 )( r r b − c = ⇒ MN ⊥ CB1 ) ) Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có mặt hình thoi Các góc phẳng góc tam diện đỉnh A1 Chứng minh rằng: A1C ⊥ ( AB1 D1 ) Lời giải: uuur r uuuur r uuuur r Chọn hệ véc tơ sở A1 A = a, A1 B1 = b, A1 D1 = c { } D1 C1 O1 Theo giả thiết : ∠AA1 D1 = ∠D1 A1 B1 = ∠AA1 B1 = ϕ B1 A1 Gọi m độ dài cạch hình hộp Ta có: uuur r r r uuur uuur r r r r r A1C = a + b + c ⇒ A1C AB1 = (a + b + c ) b − a = uuur uuur ⇒ A1C ⊥ AB1 (1) uuur uuuu r r r r r r A1C AD1 = (a + b + c ) c − a = uuur uuuu r ⇒ A1C ⊥ AD1 (2) ( ( ) ) D C A B Từ (1) (2) suy A1C ⊥ ( AB1 D1 ) Bài tập vân dụng Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N trung điểm cạnh AD BB’ Chứng minh : MN ⊥ A’C Bài Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ (ABC), SA=a , AC=2a, AB=a, ∠ABC = 90 O Gọi M N hai điếm cho: 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân uuur uuur r 3MB + MS = uuu r uuur r NS + 3NC = Chứng minh: SC ⊥ (AMN) Bài Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC tam giác cân A Vẽ SO ⊥ (ABC), D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: DC ⊥ (SOE)) 3.3 Hiệu sáng kiến Kiểm tra: 45 phút Đề bài: Đề 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=4 Điểm D nằm cạnh SC, CD=3, khoảng cách từ A đến đường thẳng BD Tính chiều cao hình chóp Đề 2: Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC cạnh , cạnh bên SC vng góc với đáy có độ dài M,N trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo góc khoảng cách SM CN Đáp án Lời giải đề 1: 13 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân uur r uur r uuu r r Chọn hệ véc tơ sở SA = a, SB = b, SC = c { } S Đặt ϕ góc phẳng đỉnh hình chóp D N hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng BD uuur uuur uuur uuur uuur r r r AN = DN − DA = xDB − DA = − a + xb) + (1 − x )c Do C A N AN ⊥ DB B uuur uuur r r r r r ⇒ AN DB = ⇔ −a + xb + (1 − x)c (b − c) = ( ) ⇔ (17 x − 1) − 8( x + 1)cosϕ = (1) uuur Mặt khác: AN = ⇔ AN = ⇔ 17 x − x + 13 − 8( x + 1) cos ϕ = (2) Từ (1) (2) ta x = 55 Vì : cosϕ = 64 Ta tính độ dài đường cao hình chóp SO.Vì O trọng tâm tam giác ABC nên 1 SO = ( SA + SB + SC ) = (a + b + 4c) 3 1 ⇒| SO |= (a + b + 4c ) = 48 + 96 cos ϕ = 58 3 Lời giải đề 2: 14 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Ta chọn hệ véc tơ sở uuu r r uuu r r uuu r r CA = a, CB = b, CS = c { S } +Ta tìm góc ϕ SM CN? Ta có: P uuur uuuu r uuu r r r SM = CM − CS = (b − 2c) uuur r r CN = (a + b) A C Khi đó: N M uuur uuur SM CN cosϕ = uuur uuur = ⇒ ϕ = 450 SM CN B +Tính khoảng cách SM CN? uuur uuur uuur uuu r r r r Gọi P thuộc SM Q thuộc CN Khi đó: PQ = xSM + yCN + SC =  ya + ( x + y ) b − ( x + ) c  Do PQ đoạn vng góc chung SM CN nên:  uuur uuur r x=−   PQ.SM = 3 x + y = −1  ⇔  uuur uuur r ⇔  x + y =  PQ.CN = y =  uuur r r r uuur r r r ⇒ PQ = a − b − 2c ⇒ PQ = a − b − 2c 6 ( ) ( ) = 3 KẾT QUẢ Sau dạy số tiết lớp số buổi bồi dưỡng tơi cho tiến hành kiểm tra khả tiếp thu kiến thức học sinh lớp tơi dạy thu kết sau: Lớp 11M 11C 11D Năm học 2018-2019 2018-2019 2018-2019 Số học sinh đạt yêu cầu 25/35 (71,42 %) 32/42(76,19%) 30/42(71,42 %) 15 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân 3.4 Điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Thực phạm vi số buổi chữa tập với tập mức độ vừa phải Giáo viên đưa phương pháp giải, ví dụ mẫu hệ thống tập, học sinh nêu lời giải có tốn Sau cho học sinh tìm tịi, phát số vấn đề xung quanh giải mức độ đơn giản Thực số buổi công tác bồi dưỡng học sinh mức độ tốn cao Hình thức cần thực liên tục trình học tập học sinh, làm cho khả tư duy, tính sáng tạo học sinh ngày tăng lên 3.5 Cam kết không chép hay vi phạm quyền: Tôi xin cam kết không chép vi phạm quyền tác giả KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Cần tăng cường hệ thống ví dụ giải tốn hình học khơng gian phương pháp véctơ hệ thống tập sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để học sinh tự nghiên cứu vận dụng véctơ trình giải tốn hình học khơng gian KẾT LUẬN Trong đề tài này, chủ yếu đưa số phương pháp phân tích, đánh giá để có lời giải tốn hình học khơng gian phương pháp véctơ Tuy nhiên trình thực đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong muốn có đóng góp ý kiến đồng nghiệp bạn đọc nội dung đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn ! Vĩnh yên, ngày 25 tháng năm 2020 CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 16 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Dương Công Huân 17 ... hình học khơng gian học sinh dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng Vì lí tơi chọn đề tài : “GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC... TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” 3.1.2 Cơ sở lý luận: Các yêu cầu giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ Học sinh cần nắm số định lí: Định lí hai véctơ phương; Định... chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp véctơ Bước 1.Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “ hệ véctơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận tốn hình học không gian cho “ngôn ngữ” véctơ Bước