PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: "Giải số toán vận dụng nghiệm phương trình bậc hai” Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Kiều Nga Tam Dương, năm 2019 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN I Lời giới thiệu Trong kỳ thi HSG toán 9, thi tuyển sinh vào lớp 10, vào trường chuyên, lớp chọn ta thường gặp dạng tốn mà học sinh vận dụng "Điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai” để giải cách nhanh chóng, tránh gặp sai sót cách đáng tiếc xẩy Là giáo viên giao nhiệm vụ bồi dưỡng giảng dạy mơn Tốn 9, lớp mà em bước vào nhiều kì thi quan trọng giáo viên phải học hỏi tích lũy nhiều điều phân dạng để xây dựng phương pháp giải cho dạng Trong sáng kiến đưa "Giải số tốn vận dụng nghiệm phương trình bậc hai” Hy vọng đem lại nhiều điều bổ ích cho tất giáo viên học sinh người yêu toán II Tên sáng kiến: "Giải số tốn vận dụng nghiệm phương trình bậc hai” III Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Kiều Nga - Địa tác giả sáng kiến:Trường THCS Đồng Tĩnh– Huyện Tam Dương – Tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0362644498 Email: nguyenthikieunga.c2dongtinh@vinhphuc.edu.vn IV Chủ đầu tư tạo sáng kiến Giáo viên: Nguyễn Thị Kiều Nga V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bồi dưỡng học sinh đại trà VI Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: - Đối học sinh lớp 9A: ngày 18/5/2018 VII Mô tả chất sáng kiến: - Về nội dung sáng kiến: Cơ sở lí luận khoa học Dạy học tốn điều quan trọng bậc hình thành cho học sinh kỹ giải tốn cách thơng minh, khoa học nhanh gọn Đó mục tiêu học, mảng toán, sở tồn kiến thức tốn học học sinh, điều quan trọng để xây dựng cho học sinh khả vận dụng sáng tạo kiến thức học vào đường hình thành phương pháp tư khoa học sống Cùng với việc dạy học kiến thức cho học sinh, việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh, việc cung cấp cho học sinh kiến thức nâng cao đường đào sâu kiến thức có vị trí then chốt, cung cấp cho học sinh vốn kiến thức nâng cao cách giải vấn đề khó khăn học tốn, giải tốn Qua giáo dục, rèn luyện tồn diện học sinh theo mục đích mơn, góp phần lớn vào việc thực mục tiêu chung giáo dục Kiến thức sở * Phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) ⇔ ax + bx = −c ⇔ x2 + b c x=− a a 2 b b b c ⇔ x + 2.x + ÷ = ÷ − 2a a a a 2 b b − 4ac ⇔x+ ÷ = 2a 4a Người ta ký hiệu: ∆ = b − 4ac - Nếu ∆ > phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm phân biệt: x1 = −b + ∆ ; 2a x2 = −b − ∆ 2a - Nếu ∆ = phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm kép: x1 = x2 = − b 2a - Nếu ∆ < phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) vô nghiệm * Phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) , đặt b=2b’ 2 Thì: ∆ = b − 4ac = ( 2b ') − 4ac = 4b ' − 4ac = ( b ' − ac ) Ký hiệu: ∆ ' = b '2 − ac , ta có: ∆ = 4∆ ' - Nếu ∆ ' > phương trình có nghiệm phân biệt x1 = −b '+ ∆ ' ; a x2 = −b '− ∆ ' a - Nếu ∆ ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = − b' a - Nếu ∆ ' < phương trình vơ nghiệm Vậy: Đối với phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm ∆≥0 ∆' ≥ Thực trạng vấn đề nghiên cứu Phương trình bậc hai ẩn loại toán sử dụng từ cấp hai tiếp nối lên THPT kiến thức phương trình bậc hai sở dạng tập khác nói cơng cụ giải tập khảo sát hàm số sau nên cần khắc sâu, rèn thành kĩ Xuất phát từ lý qua trình giảng dạy, rút số kinh nghiệm dạybài tốn bậc hai Tơi chọn đề tài "Giải số toán vận dụng nghiệm phương trình bậc hai” nhằm phục vụ cho trình dạy học giáo viên trình học tập học sinh Mơ tả, phân tích giải pháp *Phương pháp sử dụng: Phương pháp đọc, nghiên cứu tài liệu Phương pháp thảo luận nhóm Phương pháp luyện giải Dạng 1: Tìm cực trị biểu thức I Biểu thức có dạng phân thức : Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: 4x + a, A = x +1 2x2 − 2x + b, B = x + 2x + Giải: a) A = 4x + x2 + Ta có x2+1 ≠ với ∀x ∈ R , nên A = 4x + ⇔ A(x2+1)=4x+3 ⇔ Ax2 + A = 4x+3 x +1 ⇔ Ax2 - 4x +A – = (2) - Nếu A=0 phương trình (2) ⇒ - 4x – = ⇔ x= −3 A=0 ⇔ x= −3 (*) - Nếu A ≠ 0, phương trình bậc hai ẩn x: Ax2 - 4x +A – = (2) Có nghiệm khi: ∆ ' ≥ ⇔ (-2)2-A(A-3) ≥ ⇔ 4-A2+3A ≥ ⇔ (4-A)(A+1) ≥ 4 − A ≥ A ≤ A + ≥ A ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ A ≤ 4 − A < A > (VN ) A + < A < −1 *Max A=4, Thay vào (2) ta có: 4x2 – 4x + = ⇔ x = *Min A=1, Thay vào (2) ta có: –x2 - 4x – 4=0 ⇔ x= - Đối chiếu với (*) ta có: Max A=4 ⇔ x = Min A= -1 ⇔ x= - 2x2 − 2x + b, B = x + 2x + Ta có: x2 +2x+5=(x+1)2+4 ≠ 0, ∀x ∈ R 2x2 − 2x + ⇔ B(x2 + 2x + 5) = 2x2 - 2x + Nên B = x + 2x + ⇔ (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = (3) Nếu B=2 phương trình (3) ⇒ 6x+1=0 ⇔ x= −1 Nếu B ≠ phương trình bậc hai ẩn x: (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = có nghiệm khi: ∆ ' ≥ ⇔ (B+1)2-(B-2)(5B-9) ≥ ⇔ B2+2B+1-5B2+9B+10B-18 ≥ ⇔ -4B2+21B-17 ≥ ⇔ 4B2-21B+17 ≤ ⇔ (B-1)(4B-17) ≤ B ≥ B − ≥ B ≤ 17 17 4 B − 17 ≤ ⇔ ⇔ ⇔1≤ B ≤ B − < B < 17 (VN ) 4 B − 17 > B > Vậy: Max B= 17 −7 ⇔x= Min B=1 ⇔ x=2 Bài toán 2: Tìm a,b để biểu thức M = ax + b ; (4) đạt giá trị nhỏ − , đạt giá 2 x +2 trị lớn Giải: Ta có: x + ≠ , với ∀x ∈ R ; Nên (4) ⇔ M(x2+2) = ax+b ⇔ Mx2-ax+2M-b=0 (*) - a = b = Nếu M=0 (*) ⇔ ax+b=0 ⇔ −b a ≠ 0, x = a - Nếu M ≠ phương trình (*) ẩn x có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ (-a)2- 4M(2M-b) ≥ ⇔ a2-8M2+4bM ≥ 2 Để M đạt giá trị nhỏ − , đạt giá trị lớn 1, − , nghiệm phương trình bậc hai: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M) Vì phương trình: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M) có hệ số a,c trái dấu nên ln có nghiệm, theo hệ thức viet ta có: a = −2 −4b b − + = − + = b = 2 −8 b = ⇔ ⇔ ⇔ 2 a = a = ±2 − 1 = a 1 = a −8 b = Vậy: Để biểu thức M = ax + b ; (4) đạt giá trị nhỏ − , đạt giá trị lớn x +2 a = −2 a = b = b = thì: Bài tốn 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: x + xy + y A= với x ≠ ; x2 + y - Xét y=0 ⇒ A=1(*) - x xy y x x + + ÷ + +1 y2 y2 y2 y y = Xét y ≠ ta có A = x2 y2 x + y ÷ +1 y2 y2 x t2 + t +1 t2 + t +1 = t ⇔ At2+A=t2+t+1 ≠ Đặt y , ta có: A = , ta có: t +1 Nên : A = t +1 t +1 ⇔ (A-1)t2-t+A-1=0 - Nếu A=1 t=0 (**) - Nếu A ≠ 1, phương trình bậc hai: (A-1)t2-t+A-1=0 (ẩn t) có nghiệm: ⇔ 1-4(A-1)(A-1) ≥ ⇔ 4A2-8A+3 ≤ ⇔ (2A-1)(2A-3) ≤ A < (VN ) 2 A − < A > 2 A − > ⇔ ⇔ 2 A − ≥ A ≥ ⇔ ≤ A≤ 2 A − ≤ 2 A ≤ 3 ≤ A ≤ (***)Từ (*),(**) (***) ta có: Max A= ⇔ x=y 2 MinA= ⇔ x=-y Bài tập tự luyện Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x2 − x + x2 + x + b) B = 2x2 + x + x2 + c) C = x − xy + y x + xy + y II Biểu thức đa thức hai biến : Bài tốn ( §Ị thi TS líp 10- Tỉnh Hà tĩnh- năm học 2010 - 2011) Tìm x ®Ĩ y lín nhÊt thâa m·n: x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y +13 = (1) Giải (1) ⇔ x2 + 2(y – 4).x + 2y2 - 6y +13 = ∆ ' =( y – 4)2 - 2y2 + 6y -13 ∆ ' =- y2 -2 y +3 Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ -y2 - 2y +3 ≥ ⇔ y2 + 2y -3 ≤ ⇔ ( y – 1)(y + 3) ≤ y − ≤ y ≤ ⇔ −3 ≤ y ≤ y + ≥ y ≥ − ⇔ ⇔ y − ≥ y ≥ (VN ) y + ≤ y ≤ −3 Vậy Max(y) = ⇔ x = -3 Bài tốn 2.( §Ị thi TS lớp 10- ĐHQG Hà nội - năm học 04 - 05) Tìm căp số ( x; y) cho y nhá nhÊt tháa m·n: x + 5y2 +2y - 4xy -3 = 0(2) Giải (2) ⇔ x2 - 4xy+ 5y2 +2y -3 = Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ 4y2 - 5y2 -2y +3 ≥ ⇔ -y2 -2y +3 ≥ ⇔ ( y – 1)(y + 3) ≤ ⇔ -3 ≤ y ≤ Vậy: ( x; y) = ( 6; -3) Bài tốn 3: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- Hà Tĩnh năm học 2010-2011) Tìm x để y lớn thỏa mãn: x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0 (3) Giải: x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0 ⇔ x2+2(y-4)x+2y2-6y+13=0; (Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm: 2 ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ (y-4) -(2y -6y+13) ≥ ⇔ y2-8y+16-2y2+6y-13 ≥ ⇔ -y2-2y+3 ≥ y − ≤ y ≤ ⇔ −3 ≤ y ≤ y + ≥ y ≥ − ⇔ y2+2y-3 ≤ ⇔ (y-1)(y+3) ≤ ⇔ ⇔ y − > y ≥ (VN ) y + < y ≤ −3 Nên y có giá trị lớn 1, thay y=1 vào phương trình (5) ta có: x2+2+2x-8x-6+13=0 ⇔ x2-6x+9=0 ⇔ (x-3)2=0 ⇔ x-3=0 ⇔ x=3 Vậy x=3 y đạt giá trị lớn Bài toán 4: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- ĐHQG Hà Nội- Năm học 2004-2005): Tìm cặp số (x;y) cho y nhỏ thỏa mãn: x2+5y2+2y-4xy-3=0; (4) Giải: Ta có: x2+5y2+2y-4xy-3=0 ⇔ x2-4yx +5y2+2y-3=0 (Phương trình bậc hai ẩn x) có nghiệm: 2 2 ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ (-2y) -(5y +2y-3) ≥ ⇔ 4y -5y -2y+3 ≥ ⇔ -y -2y+3 ≥ y − ≤ y ≤ ⇔ −3 ≤ y ≤ y + ≥ y ≥ − ⇔ y2+2y-3 ≤ ⇔ (y-1)(y+3) ≤ ⇔ ⇔ y − > y ≥ (VN ) y + < y ≤ −3 Nên y có giá trị nhỏ -3, thay y=-3 vào phương trình (4) ta có: x2+5(-3)2+2(-3)-4x(-3)-3=0 ⇔ x2+12x+36=0 ⇔ (x+6)2=0 ⇔ x=-6 Vậy: (x;y)=(-6;-3) Bài tốn 5: Tìm m để phương trình ẩn x sau x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 (5) có nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất: Giả sử x0 nghiệm phương trình cho, phương trình ẩn m sau có nghiệm: m2+2(x0+1)m+ x 04 +2 x02 +1=0 ∆ ' ≥ ⇔ (x0+1)2 - ( x 04 +2 x02 +1) ≥ ⇔ (x0+1)2 - ( x02 +1)2 ≥ ⇔ ( x0+1+ x02 +1) ( x0+1- x02 -1) ≥ ⇔ ( x02 +x0+2) ( x0- x02 ) ≥ Vì x02 +x0+2= (x0+ )2+ >0 Nên ( x02 +x0+2) ( x0- x02 ) ≥ khi: ( x0- x02 ) ≥ ⇔ x0(1- x0) ≥ x0 ≥ 1 − x0 ≥ ⇔ ⇔ ≤ x0 ≤ x0 < 1 − x0 < Dấu “=” xảy x0=0; x0=1 thay vào (5) ta có: Khi x0=0 m2+2m+1=0 ⇔ m= -1 Khi x0=1 : m2+4m+4 = ⇔ m= - Vậy: Để phương trình ẩn x: x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 có nghiệm lớn x0=1 m= - 2, có nghiệm nhỏ x0=0 m= -1 Bài tốn 6: Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn: x − y + x − = y ; (6) cho x đạt giá trị lớn Giải: - Nếu x=1 y=0 - Nếu x>1, Xem phương trình (6) phương trình bậc ẩn y Phương trình (6) ⇔ x − 1y − y + x − = có nghiệm: ⇔ ∆≥0 ( −1) − x − x − ≥ ⇔ 1- 4(x-1) ≥ (vì x>1) ⇔ 1-4x+4 ≥ ⇔ x ≤ Suy x có giá trị lớn Thay x = vào (6) ta có: 10 5 − 1y + −1 = y 4 1 ⇔ y2 + − y = 2 ⇔ y − y +1 = ⇔ ( y − 1) = ⇔ y =1 Vậy: Cặp số (x;y) thỏa mãn: 5 x − y + x − = y ; Sao cho x đạt giá trị lớn (x;y)= ;1÷ 4 Bài tốn 7: Cho số thực thõa mãn: 9x2+y2=1 Tìm giá trị lớn biểu thức: M= x − y Giải Đặt: A=x-y, Suy ra: y=x-A 9x2+y2=1 ⇔ 9x2+(x-A)2-1=0 ⇔ 10x2-2Ax+A2-1=0 ( phương trình bậc ẩn x) có nghiệm: ⇔ ∆' ≥ ⇔ A2-10(A2-1) ≥ ⇔ -9A2+10 ≥ ⇔ A2 ≤ 10 ⇔ A ≤ 10 10 10 Hay: M= x − y ≤ Hay giá trị lớn M 3 Bài tốn 8: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- Năm học 2008-2009- Hà Tĩnh) Cho số x,y thỏa mãn: x2+2y2+2xy+8(x+y)+7=0 ; (8) Tìm Min, Max S=x+y Giải: Từ: S=x+y, Suy : y=S-x, thay vào (8) ta có: x2+2(S-x)2+2x(S-x)+8(x+S-x)+7=0 ⇔ x2+2(S2-2Sx+x2)+2xS-2x2+8S+7=0 ⇔ x2+2S2-4Sx+2x2+2xS-2x2+8S+7=0 ⇔ x2-2Sx +2S2+8S+7=0 ( Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm 2 2 ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ (-S) -(2S +8S+7) ≥ ⇔ S -2S -8S-7 ≥ ⇔ S2+8S+7 ≤ ⇔ (S+1)(S+7) ≤ 11 S + ≤ S ≤ −1 ⇔ −7 ≤ S ≤ − S + ≥ S ≥ − ⇔ ⇔ S + ≥ S ≥ −1 (VN ) S + ≤ S ≤ −7 Hay: −7 ≤ x + y ≤ −1 x = −1 Vậy: Max S=-1 ⇔ y = x = −7 Min S=-7 ⇔ y = Bµi tËp tù lun: 1) T×m Max P = -x2 – y2 + xy + 2x + 2y + 2) T×m P = 2x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 3) Tìm cặp số (x;y) cho y nhá nhÊt tháa m·n: x + 5y2 – 4xy + 2y – = 4) Cho c¸c sè thùc (x;y) tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy + 6x + 8y + = T×m min, Max cđa S = x + y +2010 5) Cho x + y + z =3 T×m Max D = xy + 2yz + 3xz 6) Cho c¸c sè thùc (x;y; z) tháa m·n: x + y +2z = T×m P = 2x2 + 2y2 – z2 7) Cho x, y, z số không ©m tháa m·n: x+y+z = T×m Max P = ( x+2y+3z)(6x+3y+2z) Dạng 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: Bài toỏn 1: Tìm nghiệm nguyên đa thức: 5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + = (1) Giải (1) ⇔ 5x2 + 2( 4y – 1)x + 5y2 + 2y + = ( pt bËc Èn x) ∆ ' =16y2 – 8y +1- 25y2 -10y -10 = - 9y2 -18y - = - 9( y + 1)2 ≤ (1) có nghiệm ⇔ ∆ ' = ⇔ y =- Từ suy x = Thư l¹i ta cã (x;y) = ( 1;-1) Bài tốn ( §Ị TS 10 Chuyên tỉnh Hà tĩnh 07- 08) Tỡm nghim nguyên phương trình: x2-xy+y2=2x-3y-2 Giải: x2-xy+y2=2x-3y-2 12 ⇔ x2-(y+2)x+y2+3y+2=0 (Phương trình bậc hai ẩn x, y tham số) có nghiệm: ( ) ⇔ ∆ ≥ ⇔ − ( y + 2) − y + y + ≥ ⇔ y2+4y+4-4y2-12y-8 ≥ ⇔ -3y2-8y-4 ≥ ⇔ 3y2+8y+4 ≤ y < −2 y + < y > −2 −2 3 y + > ⇔ (y+2)(3y+2) ≤ ⇔ ⇔ ⇔ −2 ≤ y ≤ y + ≥ y ≥ −2 −2 3 y + ≤ y ≤ Vì y ∈ Z nên: −2 ≤ y ≤ −1 : - Với y=-2, thay y=-2 vào phương trình x2-xy+y2=2x-3y-2 ta được: x2+2x+4=2x+6-2 ⇔ x2=0 ⇔ x=0 ta có: (x;y)=(0;-2) - Với y=-1, thay y=-1 vào phương trình x2-xy+y2=2x-3y-2 ta được: x2+x+1=2x+3-2 ⇔ x2-x=0 ⇔ x(x-1)=0 ⇔ x=0 x=1 ta có: (x;y)=(0 ;-1) (x;y)=(1;-1) Vậy: Phương trình có nghiệm ngun l: (x;y)=(0;-2) (x;y)=(0 ;-1) (x;y)=(1;-1) Bi toỏn 3: Tìm cặp sè (x, y ) nguyªn tháa m·n: 3x2 + 4y2 + 6x +4 y = (3) Giải (3) ⇔ 3x2 + 6x + 4y2 +4 y - = Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ – 3(4y2 + 4y – 5) ≥ ⇔ -y2 - y + ≥ ⇔ ( y – 1)(y + 2) ≤ ⇔ -2 ≤ y ≤ Vì y∈ Z, nên y = ( -2; -1; 0; 1) Suy ra: (x; y) = (-1; 2), (-1; 1) Bài tập :Tỡm cặp số (x, y ) nguyên thỏa mÃn: 13 1) 2) 3) 4) x2 + y2 + xy - 2x - y = x2 + 2y2 - 2xy + 3x - 3y + = x2 + 2y2 + 2xy - 3y - = 2x2 + y2 - 2xy + y = Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức: Bài toán 1: Cho x,y thỏa mãn điều kiện: x2+y2=xy+x-2y; (1) Chứng minh: − 3 ≤x≤ 3 Giải: x2+y2=xy+x-2y ⇔ y2+(2-x)y+x2-x=0 (*) Xét phương trình (*) phương trình bậc hai ẩn y, ta có: Phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ (2-x)2-4(x2-x) ≥ ⇔ 4-4x+x2-4x2+4x ≥ x≤ 3 ⇔ -3x2+4 ≥ ⇔ x ≤ 4 ⇔ x≤ 3 ⇔ − ≤ x ≤ (ĐPCM) 3 Bài toán 2: Cho x,y,z thỏa mãn: x2+4y2+z2=4xy+5x-10y+2z-5; (2) Chứng minh rằng: ≤ x − y ≤ Giải: Ta có: x2+4y2+z2=4xy+5x-10y+2z-5 ⇔ z2 -2z +x2-4xy+ 4y2-5x+10y+5=0 (*) Xem phương trình (*) phương trình bậc hai ẩn z, có nghiệm: ⇔ ∆' ≥ ⇔ 1-(x-2y)2+5x-10y-5 ≥ ⇔ (x-2y)2-5(x-2y)+4 ≤ ⇔ (x-2y-1)(x-2y-4) ≤ x − y − ≥ x − y − ≤ ⇔ ⇔ 1≤ x − 2y ≤ x − y − < x − y − > Vậy: ≤ x − y ≤ Bài toán Cho đẳng thức: x2 - x + y2 - y = xy ( 3) Chứng minh rằng: (y - 1)2 ≤ , (x - 1)2 ≤ Giải 14 ⇔ ( 3) ⇔ x2 – ( y – 1)x + (y2 - y) = (4) ∆ = (y + 1)2 - 4(y2 - y) = - 3y2 + 6y + Để phương trình (4) ẩn x có nghiệm, ta phải có ∆ ' ≥ , tức 3y2 - 6y - ≤ ⇔ 3y2 - 6y + ≤ ⇔ 3(y - 1)2 ≤ ⇔ (y - 1)2 ≤ Vai trị x y (3) bình đẳng Do ta có (x - 1)2 ≤ Bài toán 4: Cho a,b hai số thực thỏa mãn: a2+4b2=1; (4) Chứng minh rằng: a − b ≤ Giải: Đặt a-b=x; ⇒ a=b+x, thay vào (4) ta có: (b+x)2+4b2=1 ⇔ 5b2+2xb+x2-1=0 (*) (Phương trình bậc hai ẩn b) có nghiệm ⇔ ∆'≥ ⇔ x2-5(x2-1) ≥ ⇔ -4x2+5 ≥ ⇔ x2 ≤ ⇔ x ≤ Hay: a − b ≤ 2 Bài toán 5: Cho a,b,c thỏa mãn: a + b + c = ab + bc + ca = Chứng minh rằng: ≤ a , b, c ≤ b + c = − a b + c = − a a + b + c = ⇔ ⇔ bc = − a ( b + c ) bc = − a ( − a ) ab + bc + ca = Giải: Ta có Khi b,c hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn x sau: x2-(4-a)x+5-4a+a2=0, có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ (a-4)2-4(5-4a+a2) ≥ ⇔ a2-8a+16-20+16a-4a2 ≥ ⇔ -3a2+8a-4 ≥ ⇔ 3a2-8a+4 ≤ ⇔ (a-2)(3a-2) ≤ a − > 3a − < ⇔ ⇔ ≤a≤2 a − ≤ 3a − ≥ ⇒ ≤a≤2 15 Tương tự ta có: 2 ≤ b ≤ ; ≤ c ≤ Vậy: ≤ a, b, c ≤ 3 Bài toán 6: ( Đề Thi HSG Toán huyện Cẩm Xuyên năm học 2013- 2014) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2x + − x − x + (5) Giải ĐK: −2 − ≤ x ≤ − (5) ⇔ P - 2x = − x − x + ⇔ P2 – 4Px + 4x2 = -x2 -4x+ ⇔ 4Px + 5x2 – 4(P – 1)x + P2 – 1= Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm 2 ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ -P – 8P + ≥ ⇔ 25 –(P + 4) ≥ ⇔ -9 ≤ P ≤ Vậy Max(P) = ⇔ x = * Qua việc áp dụng đề tài tơi có số giải pháp sau: Rèn cho học sinh khả tri giác, khả phân tích, tổng hợp khái quát hoá toán với yêu cầu cụ thể Để từ hướng dẫn cho học sinh khả phát triển, khai thác toán theo hướng khác nhằm khắc sâu kiến thức phương pháp giải Giáo viên cần tập mà cần phải xét đến tính tổng quát vấn đề để phát triển khai thác tập Từ dẫn dắt học sinh vào giới toán học phong phú lí thú, tạo điều kiện cho em lĩnh hội tinh hoa nhân loại Việc khai thác vấn đề tốn học địi hỏi giáo viên phải đầu tư suy nghĩ, có sáng tạo linh hoạt nhìn nhận vấn đề Bên cạnh để truyền đạt cho học sinh ý tưởng cần phải có phương pháp khéo léo phù hợp để em hiểu lĩnh hội kiến thức Khêu gợi cá nhân học sinh sáng tạo cho em hội thể lĩnh tri thức trước vấn đề tốn học + Bài tập khó biết tạo cho học sinh dàn ý đưa thành tập đơn giản sở điền khuyết +Bài tập vân dụng có tính chất phân loại cho học sinh từ đơn giản đến phức tạp + Phân loại tập theo nhóm 16 * Đối với giáo viên: - Phải xác định mục tiêu môn học, lựa chọn phương pháp phù hợp, linh hoạt với kiểu bài, dạng bài, ý phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh - Tâm huyết, yêu nghề, có tinh thần trách nhiệm, chịu khó tìm tịi, học hỏi, nghiên cứu để nâng cao trình độ chun mơn - Lựa chọn nội dung, chuyên đề phù hợp vừa đảm bảo kiến thức bám sát vừa nâng cao, chuyên sâu hợp lí - Qua việc nêu vấn đề nhận thức, tạo động cơ, hứng thú cho học sinh, giáo viên cố gắng biến ý đồ dạy học thành nhiệm vụ học tập tự nguyện, tự giác học sinh, chuyển giao cho trị tình để trị hoạt động - Khuyến khích học sinh sưu tầm tài liệu để có cách giải hay liên quan đến chuyên đề - Giảng dạy cho học sinh nắm chất, trọng tâm vấn đề Sau gợi mở cho em hướng tự nghiên cứu, khai thác vấn đề Cần có câu hỏi tự ôn tập, tự kiểm tra cho em - Coi trọng kết quả, đánh giá học sinh theo tinh thần đổi mới, kiểm tra đánh giá sở bám sát chuẩn kiến thức, kĩ môn học, trọng đến phát triển lực người học * Đối với học sinh: - Xác định mục đích học tập đắn, nghiêm túc - Xác định nhiệm vụ chủ động hoạt động nhận thức hướng dẫn giáo viên - Luôn biết đưa câu hỏi, vấn đề nảy sinh trình nhận thức - Vừa biết tư độc lập, vừa biết phối hợp nhóm cần thiết để tìm tri thức - Ln chuẩn bị chu đáo trước đến lớp VIII Những thông tin cần bảo mật: Không IX Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: + Nguồn lực: - Học sinh đại trà - Giáo viên: vững chun mơn, nhiệt tình, trách nhiệm + Thời gian: bố trí thời gian phù hợp dành cho chuyên đề + Cơ sở vật chất: có phịng học đầy đủ, trang thiết bị dạy học (máy chiếu, máy tính,….) 17 X Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: - Từ chuyên đề em có nội dung kiến thức,kĩ thiết thực giúp em hình thành lực toán học cho thân; khơi dậy cho em niềm say mê, ham học hỏi, tìm tịi, sáng tạo Việc rèn luyện phương pháp kĩ khai thác kết tốn có tác dụng tích cực việc củng cố đào sâu kiến thức phục vụ mục tiêu trước mắt thi vào 10 tạo phần tảng kiến thức cho học sinh Qua học sinh tìm thấy đam mê học tập có ý chí vươn lên Trong trình giảng dạy học sinh đại trà lớp triển khai dạng toán dạng tập áp dụng phương trình bậc hai theo hướng thu kết điểm kiểm tra khảo sát tìm hiểu tâm lý học sinh sau: Tỉ lệ điểm khảo sát lý sinh Điểm SL Tâm lý Số HS 25 (lớp Số HS 9) 25 (lớp 9) Kém Yếu S % % Thích L học SL % 0 17 68,0 Trung bình Khá Giỏi Tâm học SL % SL % SL % Bình thường Khơng thích SL 20, % SL28, % 52, 13 0 32,0 0 Kết nói chung tư học tốn học sinh đội tuyển nâng lên Tạo cho học sinh hứng thú học tập, say mê mơn học tìm lời giải hướng khai thác cho toán Đặc biệt qua lời giải học sinh, ta thấy tính tích cực, linh hoạt, sáng tạo học sinh giỏi Tuy nhiên phận học sinh tiếp thu chưa nhanh lực học sinh bước đầu chưa quen, chưa củng cố khắc sâu Với đối tượng giáo viên cần ý hơn, kiên trì có kết cao Qua kết học tập thấy phần tính ưu việt phương pháp dạy học mới: Lấy học sinh làm trung tâm Từ giúp cho giáo viên củng cố hoàn thiện kiến thức trau dồi chuyên môn nghiệp vụ Đề tài “Giải số toán vận dụng nghiệm phương trình bậc hai” vấn đề khó q trình tìm hiểu tơi thấy đề tài hữu ích khơng cho bồi dưỡng học sinh giỏi mà bồi dưỡng kiến thức cho giáo viên, đặc biệt em học sinh muốn thi tuyển vào lớp chọn, lớp chuyên trung 18 học phổ thông, hy vọng qua đề tài góp phần nhỏ vào kho tàng kiến thức quý thầy cô giáo em học sinh XI Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: Số Tên tổ chức/cá TT nhân Lớp 9A Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THCS Đồng Tĩnh-Bồi dưỡng cho học sinh lớp Tam Dương- Vĩnh Phúc Tam Dương, ngày tháng năm 2019 Thủ trưởng đơn vị (Ký tên, đóng dấu) Tam Dương,ngày 25 tháng 02 năm 2019 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Kiều Nga 19 B ỨNG DỤNG VÀO CƠNG TÁC GIẢNG DẠY I Q trình áp dụng thân: Bản thân nghiên cứu xong sáng kiến này, giảng dạy sáng kiến cho hai đối tượng học sinh Khá, Giỏi, tùy đối tượng mà chọn tập cho phù hợp thấy đa số em tiếp thu nội dung sáng kiến cách dễ dàng, em hứng thú tự lập toán tương tự II Hiệu áp dụng đề tài Khi giảng dạy đề tài cho học sinh lớp chọn 9D năm học 2015 – 2016 cho em làm kiểm tra kết thu sau: LỚP 9D SĨ SỐ 32 GIỎI SL % KHÁ SL % 12 13 % % TB SL % % III Những học kinh nghiệm rút ra: Qua đề sáng kiến nhận thấy muốn dạy cho học sinh hiểu vận dụng vấn đề trước hết người thầy phải hiểu vấn đề cách sâu sắc, người thầy phải ln học hỏi, tìm tịi, đào sâu suy nghĩ tốn, khơng ngừng nâng cao trình độ cho thân 20 IV Những kiến nghị đề xuất Khi giảng dạy sáng kiến cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng phù hợp với đối tượng học sinh PHẦN III KẾT LUẬN Đề tài “Giải số tốn vận dụng nghiệm phương trình bậc hai” vấn đề khó q trình tìm hiểu thấy đề tài hữu ích cho bồi dưỡng học sinh giỏi mà bồi dưỡng kiến thức cho giáo viên, đặc biệt em học sinh muốn thi tuyển vào lớp chọn, lớp chuyên trung học phổ thông, hy vọng qua đề tài góp phần nhỏ vào kho tàng kiến thức quý thầy cô giáo em học sinh Trên số tốn suy nghĩ tơi việc nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Rất mong bạn đồng nghiệp góp ý xây dựng để thực tế giảng dạy mơn tốn nói chung mơn đại số nói riêng ngày có chất lượng Mặc dù cố gắng với kiến thức cịn hạn chế chắn tơi chưa thể đưa vấn đề cách trọn vẹn được, mong thầy giáo đóng góp ý kiến xây dựng để sáng kiến hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Tháng 09 năm 2016 Người thực 21 ... từ lý qua q trình giảng dạy, tơi rút số kinh nghiệm dạybài toán bậc hai Tơi chọn đề tài "Giải số tốn vận dụng nghiệm phương trình bậc hai? ?? nhằm phục vụ cho trình dạy học giáo viên q trình học tập... dựng phương pháp giải cho dạng Trong sáng kiến tơi đưa "Giải số tốn vận dụng nghiệm phương trình bậc hai? ?? Hy vọng đem lại nhiều điều bổ ích cho tất giáo viên học sinh người yêu toán II Tên sáng kiến: ... kiến: "Giải số toán vận dụng nghiệm phương trình bậc hai? ?? III Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Kiều Nga - Địa tác giả sáng kiến: Trường THCS Đồng Tĩnh– Huyện Tam Dương – Tỉnh Vĩnh Phúc - Số