Chuyên đề: phương trình bậc hai một ẩn PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘTẨN

Chun đề: phương trình bậc hai ẩn PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘTẨN C BÀI TẬP RÈN LUYỆN : Bài tập Giải phương trình sau : a/ x2 - 3x = b/ 5x2 - 20 = c/ -3x2 + = d/ (x-3)2 - = e/ x2 + 4x – 21 = f/ 2x2 + 5x – = g/ x2 – 4x + = h/ -3x2 +5x + = i/ 3x2 – 5x – = k/ -0,4x2 + 0,3x + 0,7 = (Học sinh tự giải) Bài tập Giải phương trình sau : a/ 3x4 – 2x2 – = b/ 2x4 + x2 – = c/(x2 – 3x – 7)2 – (2x2 + 3x – 12)2 = d/ 3x3 + 4x2 – 7x = e/ x3 – 5x2 – 2x +10 = f/ (x -1)(x-2)(x+3)(x+4)=24 x  x  17   x  x  12 Bài tập Tìm số a b biết 3.1 a + b = a2 + b2 = 41 3.2 a  b = ab = 36 3.3 a2 + b2 = 61 v ab = 30 g/ h/ x2 x  40 x x3 Bài tập Cho phương trình : x2 - 3x - = Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau (x1; x2 nghiệm phương trình) 1 S = x1 + x ; P = x1 x2 ; A = x1 + x 2 ; B=  ; x1 x Bài tập Cho phương trình 5x2 + (2m – 1)x – 3m2 = a/ Giải phương trình m = b/ Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m c/ Tính tổng tích nghiệm theo m Bài tập Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : a/ x2 – 2(m+3)x + m2 + = b/ (m – 1)x2 + 4mx + 4m – = Bài tập Cho phương trình x2 – mx + – m = a/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép Bài tập Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2mx + m + = (1) a/ Chứng tỏ phương trình ln ln có nghiệm b/ Xác định giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phương trình Bài tập Cho phương trình x2 + 2(m+1)x + m2 – 3m + = Tìm giá trị m để ptrình (1) : a/ Có hai nghiệm phân biệt b/ Có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 16 THCS Hựu Thành A _ Đặng Thành Đoàn_ photodoan@gmail.com _ 0938 176 161 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn Bài tập 10 Cho phương trình x2 – 2mx +m2 – m +1 = a/ Giải phương trình với m = b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài tập 11 Cho phương trình x2 + 2(m +1)x + m2 + 2m – = (m tham số) a/ Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 vơi m b/ Xác định m để x1– 2x2 = c/ Xác định m để – < x1< x2 < Bài tập 12 Cho phương trình x2 – 2(m +1)x + m – = (m tham số) a/ Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với m b/ Chứng minh giá trị biểu thức A= x1(1–x2) +x2 (1–x1) không phụ thuộc vào m c/ Xác định m để phương trình có nghiệm trái dấu có giá trị tuyệt đố Bài tập 13: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= ( m tham số) a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1  x1  ; y  x2  với x1; x2 nghiệm phương trình x2 x1 Bài tậ 14: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x  2m  1x  m2   (I) a) Giải phương trình m = – b) Tìm m để phương trình (I) có nghiệm? Có hai nghiệm phân biệt? c) Tìm m để phương trình (I) có hai nghiệm trái dấu 2 d) Tìm m để phương trình (I) có nghiệm x1 ; x2 thỏa x1  x2  e) Tìm m để phương trình (I) có nghiệm x1 ; x2 thỏa x1  2x2 f) g) h) i) j) Tìm m để phương trình (I) có nghiệm dấu Tìm m để phương trình (I) có nghiệm âm Tìm m để phương trình (I) có nghiệm dương Tìm m để phương trình (I) có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại Tìm m để phương trình (I) có nghiệm x1 ; x2 thỏa x1  x2  3 D LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập Giải phương trình sau : (Học sinh tự giải) Bài tập Đáp án a)  e) 5;  b)  57  c)  19 ;  14 d) 0;1; f) (x -1)(x+3) (x-2)( (x+4)=24  (x2+2x-3)(x2+2x-8)=24 THCS Hựu Thành A _ Đặng Thành Đoàn_ photodoan@gmail.com _ 0938 176 161 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn ĐS: (0; -2; 1  ) Đặt: t=x2+2x g) 5; ; 19 h)  97 Bài tập 3.1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích a b T a  b    a  b   81  a  2ab  b  81  ab  2 81   a  b   20  x1  Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x  x  20     x2  Vậy: Nếu a = b = a = b = 3.2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c =  b ta có : a + c = a.c =  36  x1  4 Suy a,c nghiệm phương trình : x  x  36     x2  Do a =  c = nên b =  a = c =  nên b = Cách 2: Từ  a  b    a  b   4ab   a  b    a  b   4ab  169 2 2  a  b  13   a  b   132    a  b  13  x1  4 *) Với a  b  13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x  13x  36     x2  9 Vậy a = 4 b = 9  x1  *) Với a  b  13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x  13x  36     x2  Vậy a = b = 3.3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:  a  b  11 T ừ: a2 + b2 = 61   a  b   a  b  2ab  61  2.30  121  112    a  b  11  x1  5 *) Nếu a  b  11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: x  11x  30     x2  6 Vậy a = 5 b = 6 ; a = 6 b = 5  x1  *) Nếu a  b  11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x  11x  30     x2  Vậy a = b = ; a = b = THCS Hựu Thành A _ Đặng Thành Đoàn_ photodoan@gmail.com _ 0938 176 161 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn Bài tập Đáp án S=3; P= - 4; A= 17; B=  Bài tập a) Thay m = vào pt(1): 5x2 + x – =  = – 4.5.(-3) = 61 >0 x1,2 = 1  61 10 b) Ta có:    2m  1  4.5.(3m2 ) 1  (8m)  2.8m    16 16 15  (8m  )   m 16 c) S=  2m ; P= 3m Bài tập a)  '  (m  3)2  m2  = 6m + Pt có hai nghiệm phân biệt: 6m + > m > -1 b) Đk: m   '  (2m)2  (m  1)(4m  1) = 5m -1 Pt có hai nghiệm phân biệt: 5m -1 > Bài tập a) Thay x = vào pt (1) – m.1 + – m = m=2 Ta có: x1 + x2 = m + x2 = x2 = Bài tập a) ĐK: ĐK: m  Ta có:  '  m  (m  1)(m  1) m> (Thỏa) b)   m2  4.1.(3  m) = m2 + 4m - 12 Pt (1) có nghiệm kép: m2 + 4m – 12 = m1 = 2; m2 = -6 m=2 , pt: x2 – 2x + = x1=x2= 1; m=-6 , pt: x2 + 6x + = x1=x2= -3 Tổng hai nghiệm pt: x1 + x2 = 2m m 1 = m2 – m2 + THCS Hựu Thành A _ Đặng Thành Đoàn_ photodoan@gmail.com _ 0938 176 161 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn = > m b) Pt có tích hai nghiệm m 1 5 m 1 (thỏa) m Bài tập a) Ta có: b) Pt có hai nghiệm thỏa x12 + x22 = 16  '  (m  1)2  1(m2  3m  2) = 5m -1 Pt có hai nghiệm phân biệt: 5m – > x1 + x2 =  1 2 m>  m    x1.x2  m  3m   x1  x2  2m   2  x1  x2  16 ( x1  x2 )2  2x1.x2  16 4m2 + 8m + – 2m2 + 6m – = 16 m2 + 7m – = m1 = (thỏa) m2 = -8 (loại) Bài tập 10 a) Thay m = vào pt (1): x2 - x + = a + b + c = + (-2) + = x1 = x2 = b) Ta có:  '  m2  1(m2  m  1) = m -1 Pt có hai nghiệm phân biệt: m–1>0 m > Bài tập 11 a) Ta có:  '  (m  1)2  1.(m2  2m  8) = >0  m b) Ta có:  x1.x2  m  2m  (1)   x1  x2  2m  (2)  x  2x  (3)  Từ (3) => x1 = + 2x2, vào (1) (2) ta được: m2 – 81 = m = 9 c) Ta có: THCS Hựu Thành A _ Đặng Thành Đồn_ photodoan@gmail.com _ 0938 176 161 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn x1 = -(m+1) – = -m – ; x2 = -(m+1) + = -m +2 Theo giả thiết: -5 < -m – < -m +2 <  -5 < m < Bài tập 12 a) Ta có:  '  (m  1)2  1.(m  4) = m2 + m + = (m  )  19 > m b) Ta có: A= x1(1–x2) +x2 (1–x1) = x1 + x2 – 2x1x2 = 2m + – 2m + = 10 không phụ thuộc vào m c) Pt (1) có hai nghiệm trái dấu nhau, có giá trị tuyệt đối nhau:  m40   2m   m4  m  1 Vậy m = -1 Pt (1) có hai nghiệm trái dấu có giá trị tuyệt đối Bài tập 13: a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo '  2  m  m     m2 m   m  P     Vậy m = b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có nghiệm     – m   m  (*) Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bài: 3x1+2x2 = (3) x  x  2 x  x  4 x 5 x 5       1 1 Từ (1) (3) ta có:     3x  x  3x  x  x  x  2 x  7    2   1  Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1  m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 giá trị cần tìm c) Với m  phương trình cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2) x x 1 2 2m  x  x   2   Khi đó: y  y  x  x   (m≠1) 2 x x xx m 1 1 m 2 1 1 m2 (m≠1) y y  ( x  )( x  )  x x    m 1 2 x x xx m 1 m 1 1 m2 2m  y1; y2 nghiệm phương trình: y y + = (m≠1) m 1 1 m Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = Bài tập 14 THCS Hựu Thành A _ Đặng Thành Đoàn_ photodoan@gmail.com _ 0938 176 161 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn a) Khi m = -2, pt (I) trở thành: x  x   Ta có '  b'  ac  32  1.2    Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  3 3  3  ; x2   3  1 b) Pt (I) có nghiệm  '   m  1  1.m  2   2m    m  Pt (I) có nghiệm phân biệt    '   m  1  m    2m    m  c) Tìm m để phương trình (I) có hai nghiệm trái dấu c    m2      m  a b c  2m  1; x1 x2   m  Theo hệ thức Vi_ét: x1  x2  a a d) Điều kiện phương trình có nghiệm x1 ; x2 là: m  2 Do x1  x2   x1  x2   xx x2   2m  1  2.m2  2   2m2  4m   2   m  1   m  (thỏa điều kiện) (1) x1  x  2m  1  (2) Theo hệ thức vi ét đề ta có x1x  m  x  2x (3)  2m  1 4m  1 ; x1  Từ (1) (3) ta có: x2  Thay vào (2) ta 3 e) Điều kiện phương trình có nghiệm x1 ; x2 là: m   m  1  m  1  m    m  1  m   m  16m  26  3  m  8  10 (thoûa)   m  8  10 (không thỏa)     m  '  2m   f) Phương trình có hai nghiệm dấu   c      0 m   m   a m    THCS Hựu Thành A _ Đặng Thành Đoàn_ photodoan@gmail.com _ 0938 176 161 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn  '   g) Pt có hai nghiệm âm    b    a c 0  a  m   m    m      '   h) Pt có hai nghiệm dương    b    a c 0  a i) pt có nghiệm  m    m  m   m  m     m    m     m  m    2m  a  b  c     m  1  m    m2  2m     m  1   m  c m  12     1 a 1 j) Pt có hai nghiệm thỏa: x1  x2  3 Khi nghiệm cịn lại x2  (đề phương trình có nghiệm) (1) x1  x  2m  1  (2) Theo hệ thức Vi_ét đề tai có: x1x  m  2x - 4x  - (3)  4m  2m ; x2  Từ (1) (3) ta có x1  thay vào (2) ta 3 Điều kiện m  4m  2m  m   2m4m    m   m  12 m  18   3   m  6  (TM)  m  6  THCS Hựu Thành A _ Đặng Thành Đoàn_ photodoan@gmail.com _ 0938 176 161 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn A TĨM TẮT KIẾN THỨC : Cơng thức nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (a ≠ 0) / = b/2 – ac (b = 2b/)  = b2 – 4ac  > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = / > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt b   b   ; x2 = 2a 2a  = : Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b /   / x1 = a b 2a b/   / x2 = a b /  = 0:Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = a /  < : Phương trình vơ nghiệm / < : Phương trình vơ nghiệm Hệ thức Vi-ét ứng dụng Hệ thức Vi-ét : Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (a ≠ 0) S  x1  x2  b a ; P  x1.x2  c a Ứng dụng hệ thức Vi-ét * Nếu a + b + c = phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 = 1, x2 = c a * Nếu a – b + c = phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 = –1, x2 = – c a * Nếu u + v = S, u.v = P u, v nghiệm phương trình x2– Sx+P= (ĐK để có u v S2 – 4P  ) B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ VÍ DỤ 1./ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.1 Khuyết b: ax2 + c = Chuyển vế c: ax  c ; Chia hai vế cho a: x  c ; a Dùng định nghĩa CBH  x   c  c  0) ( a a 1.2 Khuyết c: ax2 + bx = Biến đổi phương trình tích: x(ax + b) = x  Giải phương trình tích: x(ax + b) =    ax  b  1.3 Không khuyết: ax2 + bx + c = (a  0) Giải theo công thức nghiệm hoặc vận dụng Vi-ét để nhẩm nghiệm Ví dụ : Giải phương trình sau : a) 3x2+6x=0 b) x  27  c) x   d/ 2x2 – 5x – = e/ x2 – 4x – 12 = f/ x2 – 6x + = THCS Hựu Thành A _ Đặng Thành Đoàn_ photodoan@gmail.com _ 0938 176 161 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn Giải a) 3x +6x=0  x(3x + 6) =  x = hoặc x = -2 Vậy phương trình có nghiệm là: x1= x2= -2 Vậy phương trình có nghiệm là: x  3 c) Giải phương trình x   b) x  27  2x2    x  6  x  3 x  27  (vôlý ) suy phương trình vô nghiệm  x  27  x2   x    3  = b2 – 4ac = (-5)2 – 4.2.(-3) = 49 d/ 2x2 – 5x – = Phương trình có nghiệm phân biệt : x1 = e/ x2 – 4x – 12 = b     3; = 2.2 2a x2 = b    1  = 2.2 2a / = b/2 – ac = (-2)2 – 1(-12) = 16 Phương trình có nghiệm phân biệt : x1 = b '  ' b '  ' = + = ; x2 = – = -2 a a f/ x2 – 6x + = Do a + b + c = – + = nên x1 = 1; x2 = GIẢI PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1 Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = (a ≠ 0) Đặt t = x2 (ĐK: t  0) Giải phương trình at2 + bt + c = (a ≠ 0) tìm t Nếu t thỏa đk vào t = x2 tìm x 2.2 Phương trình tích hoặc đưa dạng tích A  B  A.B=0   2.3 Phương trình chứa ẩn mẫu B1: ĐKXĐ B2: Qui đồng hai vế khữ mẫu B3: Giải phương trình khữ mẫu B4: Xác định nghiệm theo ĐKXĐ Ví dụ : Giải phương trình sau đưa dạng phương trình bậc hai a/ x4 – 13x2 + 36 = b/ x3 – x2 – 3x + = c/ x2  2x  2  x  1 x   x  THCS Hựu Thành A _ Đặng Thành Đoàn_ photodoan@gmail.com _ 0938 176 161 10 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn - Hệ thức vi-et Giải a/ x – 13x + 36 = Đặt x2 = t  (a) (a) ⇒ t2 – 13t + 36 = ⇒ t1 = (nhận) ; t2 = (nhận) ▪ t2 = x2 =  x    2 ▪ t1 = x2 =  x    3 Vậy phương trình (a) có nghiệm S = 3; 3; 2; 2 b/ x3 – x2 – 3x + =  (x3 – x2) – (3x – 3) =  x2(x – 1) – 3(x – 1) = (x2 – 3)(x – 1) =  x2 – = hoặc x – =  x2 = hoặc x =  x   hoặc x =  Vậy phương trình (b) có nghiệm S = 1; 3;  c/ x2  2x  2  x  1 x   x   (ĐK : x ≠ -1; x ≠ 4) QĐKM: x2 + – 2x(x – 4) = 2(x + 1)(x – 4) ⇒ x1 = -1 (loại) ; x2 = Vậy phương trình (c) có nghiệm x = Ví dụ : Tìm hai số u v, biết:  x2 – 2x – = ( a – b + c = + – = 0) a/ u + v = 11; u.v = 28 b/ u – v = –3 ; u.v = 28 Giải a/ Hai số u v cần tìm nghiệm phương trình : x2 – 11x + 28 =  = (–11)2 – 4.1.28 = 121 – 112 = 9; x1 = 11  11  4  ; x2 = 2 Vậy u = v = hoặc u = v = b/ Ta có u – v = –3 ; u.v = 28 ⇒ u + (–v) = -3 ; u.( –v) = –28 Hai số u (-v) cần tìm nghiệm phương trình : x2 + 3x – 28 =  = 32 – 4.1.( –28) = + 112 = 121 ; x1  3  11 4 ; x2  3  11  7 Vậy u = v = PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ Phương trình bậc hai ẩn x có dạng : ax2+ bx +c = (1) (a ≠0) chưa tham số m Có ∆ = b2 – 4ac ( hoặc ∆’ = b2 – ac) S = x1 + x2 = b c ; p = x1.x2 = a a Dạng 1: Xác định giá trị tham số m để pt(1) có nghiệm phân biệt (nghiệm kép vơ nghiệm) B1: Tính ∆ ( hoặc ∆’ ) 11 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn - Hệ thức vi-et a    ( '  0) B2: Biện luận : Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  B3: Giải BPT tìm giá trị tham số m (Tìm hai nghiệm theo m : Tính x1= b   b   ; x2 = có chứa tham số m) 2a 2a o Phương trình (1) vơ nghiệm Δ <  giải BPT tìm giá trị tham số m a   giải PT tìm giá trị tham số m   ( '  0) o Phương trình (1) có nghiệm kép  (Tìm nghiệm kép : x1 = x2 = b  thay giá trị m vừa tìm để tìm nghiệm kép ) 2a Ví dụ : Cho phương trình : 2x2 – 10x + m – = (1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có a/ Hai nghiệm phân biệt b/ Có nghiệm kép Tìm nghiệm kép c/ Vơ nghiệm Giải / /2  = b – ac = (-5) – 2.(m – 1) = 25 – 2m + = 27 – 2m a  1    '  27  2m  a/ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt   – 2m > – 27  m  b/ Phương trình (1) có nghiệm kép / =  27 – 2m =  m  Nghiệm kép x = 27 27 b '  a c/ Phương trình (1) vô nghiệm / <  27 – 2m <  m > 27 Dạng 2: Xác định giá trị tham số m để pt(1) có nghiệm x = k cho trước B1: Thay giá trị k vào vị trí ẩn x ta PT cịn tham số m B2: Giải PT tìm giá trị tham số m *Tìm nghiệm cịn lại : Cách 1: Dùng hệ thức Viets thay x1=k giá trị m vừa tìm để tìm x2 Cách 2: thay giá trị m vừa tìm vào phương trình (1) giải phương trình ẩn x Ví dụ : Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x + 2m – = Tìm m đề phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại Giải: 12 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn - Hệ thức vi-et  Thay x = ta phương trình : 32 – 2(m – 1).3 + 2m – = ⇔ – 4m + = ⇔m=2  Nghiệm cịn lại: Cách 1: Ta có x1 + x2 = Cách 2: Ta có x1.x2 = b  2(m  1) ⇒ x2 = 2(m – 1) – x1 = 2(2 – 1) – = – a c 2m  2.2  3  2m  ⇒ x2 =    1 a x1 3 Cách 3: Thay m = ta phương trình x2 – 2x – = ⇒ x1 = ; x2 = – Dạng 3: Chứng minh PT(1) ln có nghiệm phân biệt với giá trị m B1: Tính Δ ( hoặc ∆’ ) , điều kiện a ≠ B2: Biến đổi Δ = (A±B)2 ≥ (bình phương biểu thức chứa tham số m ) B3: Kết luận PT(1) ln có nghiệm phân biệt với giá trị m *Chứng minh PT(1) có nghiệm phân biệt: Biến đổi Δ= (A±B)2 + k > (với k số dương ) *Chứng minh PT(1) vô nghiệm: Biến đổi Δ= - (A±B)2 + k > (với k số âm) Ví dụ : Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x + 2m – = Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Giải a/ / =    m  1    2m   = m2 – 2m + – 2m + = (m -2)2 + > Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Dạng 4: Xác định giá trị tham số m thỏa mãn biểu thức nghiệm (T) cho trước B1: Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm: Δ = b2 – 4ac ≥ ( hoặc Δ’ = b2 – ac ≥ 0) B2: Tính S = x1+x2 = b c , x1x2 = theo m a a B3: Biến đổi biểu thức (T) dạng tổng (S) tích (P) B4: Thay giá trị tổng (S) tích (P) giải phương trình hoặc bất phương trình tìm giá trị m Chú ý :  Nếu ∆ số phương ( ∈ N) dùng cơng thức nghiệm tìm x1 ; x2 theo m thay vào điều kiện (T) tìm m  Nếu (T) không biểu thức nghiệm đối xứng lập hệ phương trình từ (S);(P);(T) giải tìm x1; x2 theo m thay vào biểu thức lại tìm giá trị m 13 Chuyên đề: phương trình bậc hai ẩn - Hệ thức vi-et Ví dụ : Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x + 2m – = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22 = Giải  / =    m  1    2m   = m2 – 2m + – 2m + = (m -2)2 + > Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với m  Theo Viets: S = x1 + x2 = 2(m – 1) = 2m – ; P= x1.x2 = 2m –  x12 + x22 = ⇔ S2 – 2P = ⇒ (2m – 2)2 – 2(2m – 4) = ⇔ ⇔ 4m2 – 12m + 12 = 4m2 – 12m + = ⇒ m1 = ; m2 = Kiểm tra lại : m = ta có pt: x2 – = ⇒ x1 = ; x2 =– thỏa mãn x12 + x22 =( )2 +(- )2 =4 m = ta có pt: x2 – 2x = ⇒ x1 = ; x2 = thỏa mãn x12 + x22 = 02 + 22 = 14