Phòng GD & ĐT TP Tuy Hòa Trường THCS LÊ LỢI GV: TRẦN NHẬT CHUYÊN ĐỀ DẠY TỰ CHỌN MÔN TỐN CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨNHỆ THỨC VI-ÉT A) MỤC TIÊU: - Giúp đối tượng HS TB yếu nắm cách giải dạng phương trình bậc hai ẩn dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét , gồm vấn đề sau: 1) Phương pháp giải Phương trình bậc hai ẩn: a) Giải theo Phương trình tích b) Giải theo cơng thức nghiệm c) Giải phương pháp đồ thị d) Giải cách đặt ẩn phụ (đưa phương trình bậc hai ) e) Giải cách dung hệ thực Vi-et để nhẩm nghiệm 2) Giải biện luận nghiệm phương trình bậc hai 3) Giải tốn cách lập phương trình 4) Các dạng tốn áp dụng hệ thức Vi-et - Rèn luyện cho HS khả giải pt thành thạo biết phân tích ; tổng hợp giải pt cách linh hoạt – nhanh – xác Nắm vững phương pháp giải dạng pt Biết tính nhẩm nghiệm pt theo Vi-et - Giáo dục HS tinh thần tự giác , ham học hỏi u thích mơn Tốn Biết vận dụng tốn học vào môn học khác áp dụng vào đời sống KH kĩ thuật - Tăng tính tự tin vào thân để học tốt mơn tốn B) TĨM TẮT MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - HỆ THỨC VI-ET I.CHUYÊN ĐỀ 1: Các phương pháp giải phương trình bậc hai ẩn 1) Giải theo phương trình tích: Có thể biến đổi tương đương để pt bậc hai thành pt tích ( tích thừa số bậc nhất) Ví dụ: Giải theo pt tích pt sau: a) x - 5x + = x - 3x – 2x + = ( x- 3) ( x- 2) = O x = x = DeThiMau.vn b ) x - 2x + = 2) Phương pháp dùng công thức nghiệm: ( x – )2 = x = Bước 1: Lập biệt số: ∆ = b - 4ac Bước 2: * Nếu ∆ > O : PT có hai nghiệm phân biệt : b b ; x2 = 2a 2a * Nếu O : PT có nghiệm kép x = x = -b/2a * Nếu < O : PT vơ nghiệm x1 = Ví dụ: Dùng cơng thức nghiệm giải phương trình sau: a) x - 5x + = ; b) x - 9x + 20 = c) 15 72 x x 2x2 =2 ; d) Các BT SGK SBT toán 3) Phương pháp đồ thị : Tách pt bậc hai thành hai phần hai vế khác + Một vế có dạng hàm số : y= a.x + Một vế có dạng hàm số: y = ax + b Sau vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng tọa độ a) Nếu đồ thị ( D) y= a.x + b cắt đồ thị (P): y = a.x2 hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình cho b) Nếu đồ ( D) tiếp xúc với ( P) điểm hồnh độ tiếp điểm nghiệm pt cho c) Nếu đồ thị ( D) nằm ngồi ( Khơng có điểm chung ) với ( P ) pt vơ nghiệm Ví dụ: Giải pt bậc hai sau đồ thị: a) x2 – 3x + = ; b) –x2 + 4x – = Tách a) thành hai hàm số có dạng : y = x2 ( P ) y = 3x – ( D) Bài b) : y = x2 ( P ) y = 4x – (D) Kết : a) (P) cắt (D) ( 1;1) ( 2;4) nên pt có hai nghiệm x = x = b) (P) cắt (D) điểm ( ; -4) nên pt có nghiệm kép x = x = 4) Giải phương trình đưa pt bậc hai ( cách đặt ẩn phụ) a) Phương trình bậc cao: Giải cách : * Đưa pt tích * Dùng ẩn phụ Ví dụ: Giải pt sau: 1) x4 + x3 + x + = x3 ( x + ) + ( x + ) = ( x + ) ( x3 + ) = ( x + )2 ( x2 – x + ) = ( x + ) = x2 – x + = Kq: pt có nghiệm x = -1 b) Phương trình trùng phương: Là pt có dạng ax4 + bx2 + c = ( a ≠ ) * Cách giải: Đặt ẩn phụ X = x2 ≥ Ta pt bậc hai: ax2 +bx + c = Ứng với pt trung gian ẩn X hai nghiệm có giá trị đối pt cho Ví dụ: Giải pt trùng phương sau: 1) x4 – 29x2 + 100 = ; 2) 4x4 – x2 – = ; 3) x4 – 8x2 + 16 = 4) 2x4 – x2 + = ; 5) 2x4 + 5x2 + = c) Phương trình có ẩn mẫu thức: Đối với pt đưa dạng giải : P ( P ; Q đa thức chứa ẩn số ) ta dung thuật Q P P = Q Q DeThiMau.vn Ví dụ : giải pt sau: 1) 1 0; x1 x9 x 2) x4 0 x x(x 2) x(x 2) d) Dùng ẩn phụ để giải pt: 1 ) - 3( 1- ) – = ; Đặt ( 1- ) = t Ta pt: t2 -3t – = x x x x1 x x1 x 2) Ta pt: t 2t 2 Đặt t Thì x1 t x x1 x e) Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Dạng : 1) f(x) = k f(x) = k với k > Nếu k < pt vơ nghiệm 2) f(x) = g(x) với g(x) < : Pt vơ nghiệm Với g(x) >0 pt f(x) = g(x) 3) f(x) = g(x) f(x) = g(x) Ví dụ: Giải pt sau: 1) x2 – 4x + = 2x - 6 ; 2) 2x2 – 3x +1 = x2 – 5x + 4 3) x2 - = x + ; 4) x2 – 3x +2 = x2 – 2x Ví dụ: 1) ( 1- 5) Phương trình bậc hai có chứa tham số m: a) Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện đề pt có hai nghiệm p/b hay pt có nghiệm kép hay pt vơ nghiệm PHƯƠNG PHÁP: + Lập biệt số ∆ ( ∆’ ) pt bậc hai theo m + Nếu pt có hai nghiệm p/b : ∆ > ∆’ > Pt có nghiệm kép thì: ∆ = ∆’ = Pt vơ nghiệm : ∆ < ∆’ < + Từ điều kiện nêu giải tìm giá trị tham số m Ví dụ: 1/ Tìm giá trị tham số m để pt : x2 – 3mx + m2 – = có nghiệm p /b? 2/ Tìm giá trị tham số m để pt ( m +7) x2 – ( m – ) x – 7m + 15 = có ngh.kép 3/ Tìm giá trị tham số m để pt ( m – 3)x2 – 2(3m+1)x + 9m – = vô nghiệm Kết quả: 1/ m ∊ R ; 2/ m = m = -3 ; 3/ m < 1/7 b) Giải biện luận số nghiệm pt bậc hai: PHƯƠNG PHÁP: B1: Lập biệt số ∆ ∆’ B2: Biện luận ba trường hợp ∆ ∆’: + Nếu: ∆ > ∆’ > Suy m để pt có nghiệm p/b Tính ngh P/b + Nếu: ∆ = ∆’ = Suy m để pt có nghiệm kép Tính ngh Kép + Nếu: ∆ < ∆’ < Suy m để pt vơ nghiệm Ví dụ: Giải biện luận nghiệm pt bậc hai sau: 1) x2 – 2(m + 1) x + m2 – = 2) x2 – ( m + ) x + 3m + = Đáp số: m < : Pt có ngh p/b m = 2: PT có nghiệm kép ; m > 2: Pt vô nghiệm 3) x2 – 3(m + )x – ( m + )2 = ĐS: Pt ln có hai nghiệm p/b với m 4) mx2 – 2(m+1)x + m – = Đáp số: m = : Pt có ngh.: x = -5/2 m > -1/7 : PT có hai ngh p/b ; m < -1/7 DeThiMau.vn 6) Giải tốn cách lập phương trình bậc hai ẩn: a) Các bước giải : B1: Lập pt: * Chọn ẩn cho đại lượng cần tìm ( Đặt đ/k & đơn vị ẩn có) * Biểu thị đại lượng lại theo ẩn * Biểu thị tương quan đại lượng để lập phương trình B2: Giải phương trình B3: Kiểm nghiệm trả lời kết b) Các dạng toán: Chọn lọc ba loại theo SGK SBT HS rèn luyện giải tốn + Lọai tìm hai số - phân chia đồng – toán liên quan đến mơn học khác vật lí – hóa học v.v… + Loại toán chuyển động + Loại toán suất II CHUYÊN ĐỀ 2: VẬN DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT: I.Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai PHƯƠNG PHÁP: Vận dụng ba điều sau: a) Biết : S = x + x = -b/a ; P = x x = c/a Suy x x b) Biết : a + b + c = Suy : x = ; x = c/a c) Biết : a – b + c = Suy : x = -1 ; x = - c/a Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm pt sau: 1) x2 – 9x + 14 = ; 2) 2x2 – 11x + = ; 3) 3x2 + 7x + = II Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x x : PHƯƠNG PHÂP: B1: Lập tổng S tích P B2: Lập phương trình có dạng là: X2 – SX + P = Ví dụ: Lập pt bậc hai biết nghiệm; 1) -3 ; 2) 2 ; 3) - III Tìm hai số thỏa điều kiện đề cho biết: PHƯƠNG PHÁP: Vận dụng định lí Vi-ét tổng , tích hai nghiệm pt bậc hai Ví dụ: Tìm hai số: a) a+b = a2 + b2 = 13 b) a – b = ab = 80 c) a2 + b2 = 29 ab = 10 Giải: a) Tìm tích ab: Ta có ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 25 = 13 + 2ab ab = Ta có P= S = a + b = Vậy a ; b nghiệm pt: x2 - 5x +6 = giải pt ta : x = ; x = Nếu a = b = a = b = Đáp số b) Ta pt: : x2 - 2x – 80 = giải pt ta : x = 10 ; x = -8 Nếu a = 10 b = -8 a = -8 b = 10 c) TH: a + b = Ta pt: : x2 - 7x + 10 = giải pt ta : x = ; x = Nếu a = b = a = b = TH: a + b = -7 Ta pt: : x2 + 7x + 10 = giải pt ta : x =- ; x =- Nếu a = -5 b =- a = -2 b = -5 DeThiMau.vn IV Tính giá trị biểu thức theo nghiệm phương trình bậc hai cách khơng giải phương trình: PHƯƠNG PHÁP: B1: Xét biệt số ∆ = b2 - 4ac > pt có hai nghiệm phân biệt : x ; x ( ∆’ ) B2: Tìm tổng S tích P B3: Biến đổi biểu thức cho thành biểu thức chứa S P B4: Thay giá trị S P ( tìm bước ) vào biểu thức tính kết cần tìm Ví dụ1: Cho pt: x2 - 6x + = Khơng giải pt tính: a) A = x + x 2 ; b) B = 1 + x1 x2 ; c) C = x - x 2 Giải: a) Ta có : ∆’ = b’2 – ac = – = > PT có nghiệm x ; x Tổng : S = x + x = -b/a = tích: P = x x =c/a = 2 Do đó: A = x + x = ( x + x )2 - x x = S2 – 2P = 36 – 16 = 20 Đáp số : B = 3/4; C = } 12 V LẬP MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ NGHIỆM THỎA MÃN BIỂU THỨC CHỨA HAI NGHIỆM CỦA MỘT PT CHO BIẾT: PHƯƠNG PHÁP: B1: Tìm tổng S Tích P hai nghiệm Pt muốn lập B2: Lập Pt theo dạng X2 – SX + P = * Chú ý: Dấu nghiệm số p/t bậc hai: ∆ = b2 – 4ac P ∆0 ax2 + bx + c = ( a ) P = x x = c/a S = x + x = -b/a Hai nghiệm trái dấu S>0 Hai nghiệm dương S a/ P/t có nghiệm m = b/ P/t có nghiệm trái dấu khi: m < c/ P/t có hai nghiệm dương : < m < 25/3 VI/ Tính giá trị tham số có p/t bậc hai ẩn thỏa mãn theo hệ thức cho trước: PHƯƠNG PHÁP: B1: Xét biệt số ∆ = b2 - 4ac > pt có hai nghiệm phân biệt : x ; x ( ∆’ ) Tìm đ/k tham số ( có để p/t có nghiệm) B2: Tìm tổng S tích P pt DeThiMau.vn B3: Biến đổi hệ thức hay biểu thức cho thành biểu thức chứa tổng tích hệ thức Vi-et B4: Thay tổng S tích P tính vào biểu thức ( hệ thức) để tìm giá trị tham số B5: Nhận xét , so với đ/k trả lời Ví dụ: 1/ Cho p/t: x2 + 4x + m + = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x ; x p/t thỏa hệ thức: x + x 2 = 10 Gợi ý: - Đ/k m để p/t có nghiệm khi: ∆’ = 22 – 1( m + ) = - m + ⇔ m ≤ - Ta có: x + x = -b/a = -4 ; x x = c/a = m + - Nên: x + x 2 = 10 ⇔ ( x + x ) - x x = 10 ⇔ m = ( thỏa mãn) Vậy m = x ; x p/t thỏa hệ thức: x + x 2 = 10 2/ Cho p/t bậc hai: x2 – ( 2m + ) x + m2 + = Tìm gía trị tham số m để hai nghiệm x ; x p/t thỏa hệ thức : x x - (x + x ) + = Gợi ý: - Đ/k: m ≥ 7/4 - Tìm : m = m = 4/3 - Giá trị m = thỏa mãn đ/k nên nhận 3/ Cho p/t bậc hai: x2 – 8x + m = Tìm gía trị tham số m để hai nghiệm x ; x p/t thỏa hệ thức : 2x + 3x = 26 4/ Cho p/t : 3x2 – mx + = Tìm gía trị tham số m để hai nghiệm x ; x p/t thỏa hệ thức : 3x x = x - *********** ********* Chúc em học sinh tự rèn luyện nắm bắt tóm tắt số cách giải dạng toán học tự chọn tự học nhà tăng niềm tin vào thân để học tốt mơn tốn DeThiMau.vn ... Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x x : PHƯƠNG PHÂP: B1: Lập tổng S tích P B2: Lập phương trình có dạng là: X2 – SX + P = Ví dụ: Lập pt bậc hai biết nghiệm; 1) -3 ; 2) 2 ; 3) - III Tìm hai. .. hai nghiệm x = x = b) (P) cắt (D) điểm ( ; -4) nên pt có nghiệm kép x = x = 4) Giải phương trình đưa pt bậc hai ( cách đặt ẩn phụ) a) Phương trình bậc cao: Giải cách : * Đưa pt tích * Dùng ẩn. .. Đáp số : B = 3/4; C = } 12 V LẬP MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM THỎA MÃN BIỂU THỨC CHỨA HAI NGHIỆM CỦA MỘT PT CHO BIẾT: PHƯƠNG PHÁP: B1: Tìm tổng S Tích P hai nghiệm Pt muốn lập B2: Lập Pt