Đang tải... (xem toàn văn)
W www hoc247 net F www facebook com/hoc247 net Y youtube com/c/hoc247tvc Trang | 1 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ THỨC VI ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1 Tóm tắt lý thuyết[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1.Tóm tắt lý thuyết 1.1 Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a 0) = b2 - 4ac − b+ − b− * Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = 2a 2a -b * Nếu = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2a * Nếu < phương trình vơ nghiệm 1.2 Chú ý : Trong trường hợp hệ số b số chẵn giải phương trình cơng thức nghiêm thu gọn = b'2 - ac − b '+ ' − b '− * Nếu ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = a a - b' * Nếu ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a * Nếu ' < phương trình vơ nghiệm 1.3 Hệ thức Vi - Et ứng dụng : Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình : Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : X - X.S+ P = (Điều kiện để có u v S2 P ) c Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm : x1 = 1; x = a −c Nếu a - b + c = phương trình có hai nghiệm : x1 = −1; x = a 1.4 Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a 0) có: Có nghiệm (có hai nghiệm) Vơ nghiệm Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) Hai nghiệm dấu Hai nghiệm trái dấu Hai nghiệm dương(lớn 0) Hai nghiệm âm(nhỏ 0) Hai nghiệm đối 10.Hai nghiệm nghịch đảo 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S > Tính giá trị biểu thức nghiệm Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức Bài tập vận dụng Bài tập : Định giá trị tham số m để phương trình x + m(m + 1) x + 5m + 20 = Có nghiệm x = Tìm nghiệm W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài tập : Cho phương trình x + mx + = (1) a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm 1? Tìm nghiệm Bài tập : Cho phương trình x − x + m + = (1) a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tìm nghiệm phương trình trường hợp Bài tập : Cho phương trình (m − 4) x − 2mx + m − = a) m = ? (1) có nghiệm x = (1) b) m = ? (1) có nghiệm kép Bài tập : Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m − = (1) a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với m b) m =? (1) có hai nghiệm trái dấu c) Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình (1) CMR : M = (1 − x2 ) x1 + (1 − x1 ) x2 không phụ thuộc m Bài tập : Cho phương trình x − 2(m − 1) x + m − = (1) a) Chứng minh (1) có nghiệm với m b) Đặt M = x12 + x22 ( x1 , x2 nghiệm phương trình (1)) Tìm M Bài tập 7: Cho phương trình x + ax + b − = 0(1); x + bx + c − = 0(2); x + cx + a − = 0(3) Chứng minh phương trình phương trình có nghiệm Bài tập 8: Cho phương trình x − (a − 1) x − a + a − = (1) a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấuvới a b) x1 , x2 nghiệm phương trình (1) Tìm B = x12 + x22 Bài tập 9: Cho phương trình x − 2(a − 1) x + 2a − = (1) a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với a b) a = ? (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 x2 c) a = ? (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 = Bài tập 10: Cho phương trình x + (2m − 1) x + m − = (1) a) m = ? (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 − x2 = 11 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) Chứng minh (1) khơng có hai nghiệm dương c) Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 khơng phụ thuộc m Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vô lý Bài tập 11: Cho hai phương trình x − (2m + n) x − 3m = 0(1) x − (m + 3n) x − = 0(2) Tìm m n để (1) (2) tương đương Bài tập 12: Cho phương trình ax + bx + c = 0(a 0) (1) điều kiện cần đủ để phương trình (1) có nghiệm gấp k lần nghiệm kb2 − (k + 1)2 ac = 0(k 0) Bài tập 13: Cho phương trình mx + 2(m − 4) x + m + = (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 − x2 = c) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m Bài tập 14: Cho phương trình x − (2m + 3) x + m2 + 3m + = a) Chứng minh phương trình có nghiệm với m b) Tìm m để phưong trình có hai nghiệm đối c) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m (1) Bài tập 15: Cho phương trình (m − 2) x + 2(m − 4) x + (m − 4)(m + 2) = (1) a) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm kép b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m c) Tính theo m biểu thức A = 1 + ; x1 + x2 + d) Tìm m để A = Bài tập 16: Cho phương trình x − mx − = (1) a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với b) Tìm giá trị lớn biểu thức A = c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phương trình nghiệm nguyên 2( x1 + x2 ) + x12 + x22 Bài tập 17: Với giá trị k phương trình x + kx + = có hai nghiệm đơn vị Bài tập 18: Cho phương trình x − (m + 2) x + m + = (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm Bài tập 19: Cho phương trình x − (m + 1) x + m = (1) a) CMR phương rình (1) ln có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tính x12 + x22 theo m c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 = Bài tập 20: Cho phương trình x + (2m + 1) x + m2 + 3m = (1) a) Giải phương trình (1) với m = -3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm tích hai nghiệm Tìm hai nghiệm Bài tập 21: Cho phương trình x − 12 x + m = (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 toả mãn x2 = x12 Bài tập 22: Cho phương trình (m − 2) x − 2mx + = (1) a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn (1 + x1 )(1 + x2 ) = −1 Bài tập 23: Cho phương trình x − 2(m − 1) x + m − = (1) a) Giải phương trình với m = b) CMR phương trình (1) ln có hai nghiêm phân biệt với m c) Tính A = d) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối 1 + theo m x13 x23 Bài tập 24: Cho phương trình (m − 2) x − 2mx + m − = (1) a) Tìm m để phương trình (1) phương trình bậc hai b) Giải phương trình m = c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm Bài tập 25: Cho phương trình x + px + q = ( (1) ) a) Giải phương trình p = − + ; q = 3 b) Tìm p , q để phương trình (1) có hai nghiệm : x1 = −2, x2 = c) x3 , x4 CMR : (1) có hai nghiệm dương x1 , x2 phương trình qx + px + = có hai nghiệm dương W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai d) x x 1 ; 2 x2 x1 x1 x2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 3x1va3x2 ; Bài tập 26: Cho phương trình x − (2m − 1) x − m = (1) a) CMR phương trình (1) ln có hai nghiêm phân biệt với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x1 − x2 = ; c) Tìm m để x12 + x22 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài tập 27: Cho phương trình x − 2(m + 1) x + 2m + 10 = (1) a) Giải phương trình với m = -6 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 Tìm GTNN biểu thức A = x12 + x22 + 10 x1 x2 Bài tập 28: Cho phương trình (m + 1) x − (2m − 3) x + m + = (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tính nghiệm theo nghiệm Bài tập 29: Cho phương trình x − 2(m − 2) x + (m2 + 2m − 3) = Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thoả mãn (1) 1 x1 + x2 + = x1 x2 Bài tập 30: Cho phương trình x + mx + n = có m = 16n CMR hai nghiệm phương trình , có nghiệm gấp ba lần nghiệm Bài tập 31 : Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x − x − = Khơng giải phương trình , 1 + ; tính : a) b) ( x1 − x2 ) ; c) x3 + x3 d) x1 − x2 x1 x2 Bài tập 32 : Lập phương trình bậc hai có nghiệm : a) ; b) - + Bài tập 33 : CMR tồn phương trình có hệ số hữu tỷ nhận nghiệm : a) 3− ; 3+ b) 2+ ; 2− c) 2+ Bài tập 33 : Lập phương trình bậc hai có nghiệm : a) Bình phương nghiệm phương trình x − x − = ; b) Nghịch đảo nghiệm phương trình x + mx − = W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài tập 34 : Xác định số m n cho nghiệm phương trình x + mx + n = m n Bài tập 35: Cho phương trình x − 2mx + (m − 1)3 = a) (1) Giải phương trình (1) m = -1 b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , nghiệm bình phuơng nghiệm cịn lại Bài tập 36: Cho phương trình x2 − 5x + = (1) Tính x1 x2 + x2 x1 ( Với x1 , x2 hai nghiệm phương trình) Bài tập 37: Cho phương trình (2m − 1) x − 2mx + = (1) a) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; ) b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 − x22 = Bài tập 38 : Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = (k tham số) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm Bài tập 39: Tìm giá rị a để ptrình : (a − a − 3) x + (a + 2)x − 3a = Nhận x=2 nghiệm Tìm nghiệm cịn lại ptrình ? Bài tập 40 Xác định giá trị m phương trình bậc hai : x − x + m = để + nghiệm phương trình Với m vừa tìm , phương trình cho cịn nghiệm Tìm nghiệm cịn lại ấy? Bài tập 41: Cho phương trình : x − 2(m + 1) x + m − = 1) Giải phương trình (1) với m = -5 2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm 3) ) Tìm m để x1 − x2 đạt giá trị nhỏ ( x1 , x2 (1) , (m tham số) x1 , x2 phân biệt m hai nghiệm phương trình (1) nói phần 2/ Bài tập 42: Cho phương trình Giải phương trình b= -3 c=2 Tìm b,c để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt tích chúng Bài tập 43: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = với m tham số x ẩn số W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 c) Với điều kiện câu b tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ Bài tập 44: Cho phương trình ( ẩn x) : x4 - 2mx2 + m2 – = Giải phương trình với m = 1) 2) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Cho phương trình ( ẩn x) : x2 - 2mx + m2 – Bài tập 45: =0 (1) 1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm nghiệm ptrình có giá trị tuyệt đối 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm nghiệm số đo cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền Bài tập 46: Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là: x1 = 3+ x = 3− 1) + Tính : P = 3+ 3− Bài tập 47: Tìm m để phương trình : x − 2x − x − + m = có hai nghiệm phân biệt Bài tập 48: Cho hai phương trình sau : x − (2m − 3) x + = 2x2 + x + m − = ( x ẩn , m tham số ) Tìm m để hai phương trình cho có nghiệm chung Bài tập 49: Cho phương trình : x − 2(m + 1) x + m2 − = với x ẩn , m tham số cho trước 1) Giải phương trình cho kho m = 2) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm dương x1 , x2 phân biệt thoả mãn điều kiện x − x22 = 2 Bài tập 50: Cho phương trình : ( m + 2) x2 + (1 − 2m) x + m − = ( x ẩn ; m tham số ) 1) Giải phương trình m = - 2) CMR phương trình cho có nghiệm với m 3) Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm Bài tập 51: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 1) Cho a, b , c, số dương thoả mãn đẳng thức a + b − ab = c CMR phương trình x − x + (a − c)(b − c) = có hai nghiệm phân biệt 2) Cho phương trình x − x + p = có hai nghiệm dương x1 , x2 Xác định giá trị p x14 + x24 − x15 − x25 đạt giá trị lớn Bài tập 52: Cho phương trình x2 + x – = a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Gọi x1 nghiệm âm phương trình Hãy tính giá trị biểu thức : P = x18 + 10 x1 + 13 + x1 Bài tập 53: Cho phương trình với ẩn số thực x: x2 - 2(m – ) x + m - =0 (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép Bài tập 54: Cho phương trình : x2 + 2(m-1) x +2m - =0 (1) a) CMR phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để nghiệm x1 , x2 (1) thoả mãn : x12 + x22 = 14 Bài tập 55: a) Cho a = 11 + , b = 11 − CMR a, ,b hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số nguyên b) Cho c = + 10, d = − 10 CMR c , d hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số nguyên Bài tập 56: Cho phương trình bậc hai : x + 2(m + 1) x + m2 + m + = (x ẩn, m tham số) 1) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt âm 2) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn : x1 + x2 = 3) Tìm tất giá trị tham số m để tập giá trị hàm số y = chứa đoạn 2;3 x + 2(m + 1) x + m2 + m + Bài tập 57:Cho phương trình : x2 - 2(m-1) x +2m - =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm Bài tập 58: Cho phương trình : x + x + 6a − a = 1) Với giá trị a phương trình có nghiệm 2) Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình Hãy tìm giá trị a cho x2 = x13 − x1 Bài tập 59: Cho phương trình : W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai mx2 -5x – ( m + 5) = (1) m tham số, x ẩn a) Giải phương trình m = b) Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với m c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , tính theo m giá trị biểu thức B = 10 x1 x2 − 3( x12 + x22 ) Tìm m để B = Bài tập 60: a) Cho phương trình : x − 2mx + m − = ( m tham số ,x ẩn số) Tìm tất giá trị nguyên m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện 2000 x1 x2 2007 b) Cho a, b, c, d R CMR phương trình sau có nghiệm ax + 2bx + c = 0; bx + 2cx + d = 0; cx + 2dx + a = 0; dx + 2ax + b = 0; W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I.Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II.Khoá Học Nâng Cao HSG Học Toán Online Chuyên Gia - Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III.Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video giảng miễn phí - HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động - HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10