Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề Phương trình bậc hai với hệ số thực Toán 12 A Lý thuyết 1 Căn bậc hai của số thực âm Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ i2 = –1, ta nói i là một căn bậc hai của – 1; – i cũng là[.]
Chuyên đề Phương trình bậc hai với hệ số thực - Toán 12 A Lý thuyết Căn bậc hai số thực âm Tương tự bậc hai số thực dương, từ i2 = –1, ta nói i bậc hai – 1; – i bậc hai –1 (–i)2 = –1 Từ đó, ta xác định bậc hai số thực âm, chẳng hạn Căn bậc hai –16 ±4i (±4i)2=−16 Căn bậc hai –5 ± 5i ± =−5 Tổng quát, bậc hai số thực a âm Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = với a; b ; c∈ℝ; a ≠ 0 Xét biệt số ∆ = b2 – 4ac phương trình Ta thấy: Khi ∆ = 0, phương trình có nghiệm thực Khi ∆ > 0, có hai bậc hai thực ∆ phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, xác định công thức Khi ∆ < 0, ta có hai bậc hai ảo ∆ có hai nghiệm phức xác định cơng thức – Nhận xét: Khi đó, phương trình Trên tập hợp số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm (khơng thiết phân biệt) Tổng quát: Mọi phương trình bậc n (n≥1): a0.xn + a1.xn – + ….+ an–1.x + an = Trong đó; a0 ; a1;… ; an∈ℂ; a0 ≠0đều có n nghiệm phức (các nghiệm không thiết phân biệt) B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Phương trình z2 + 4x + = có nghiệm A ± i B -2 ± i C ± i D -4 ± i Lời giải: Ta có: Δ' = 22 - 1.5 = -1 = i2 Phương trình có hai nghiệm là: Bài 2: Phương trình z2 + 8z + 17 = có hai nghiệm A - i - 2i B - i + i C -4 - i -4 + i D -2 + 2i -2 + 4i Lời giải: Ta có: Δ = 16 - 17 = -1 = i2 Phương trình có nghiệm là: z1 = -4 - i, z2 = -4 + i Bài 3: Phương trình z2 - 4z + = có hai nghiệm Giá trị biểu thức T = |z1| + |z2| bằng A – B C Lời giải: Ta có: Δ' = - = -5 = 5i2 Phương trình có hai nghiệm là: z1,2 = Vậy T = Bài 4: Phương trình z4 + 3z2 - = có nghiệm phức z1, z2, z3, z4 Giá trị biểu thức T = |z1| + |z2| + |z3| + |z4| bằng A Lời giải: Ta có ⇒ |z1| = |z2| = 1; |z3| = |z4| = Vậy T = + + + = Bài 5: Số phức z thỏa mãn Giá trị biểu thức A B C D 3672 Lời giải: Ta có: Xét phương trình (1): Ta có: Δ = - 4.1.1 = -1 = i2 Phương trình (1) có hai nghiệm là: Do Ta có: Vậy T = + = Bài 6: Phương trình z2 -az + b = (a, b ∈ R) có nghiệm z = + i A a = 2, b = -2 B a = 2, b = C a = -2, b = D a = -2, b = -2 Lời giải: Thay z = + i vào phương trình đã cho ta có: Chọn đáp án B Bài 7: Phương trình 2z2 + 4z + = có nghiệm Lời giải: Ta có: Δ' = - 10 = -6 = 6i2 Phương trình đã cho có nghiệm Chọn đáp án C Bài 8: Phương trình z2 - z + = có hai nghiệm Lời giải: Ta có: Δ = 12 - = -3 = 3i2 Các nghiệm phương trình đã cho Chọn đáp án A Bài 9: Để phương trình z2 + bz + c = nhận z1 = -4 + 2i z2 = -4 - 2i làm nghiệm A b = -8, c = 20 B b = -8, c = -20 C b = 8, c = 20 D b = 8, c = 20 Lời giải: Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: Để phương trình đã cho nhận z1, z2 làm nghiệm Chọn đáp án D Bài 10: Phương trình z2 + 6z + 15 = có nghiệm z1, z2.Giá trị biểu thức T = |z1| + |z2| bằng: B Lời giải: Ta có:Δ' = - 15 = -6 = 6i2 Các nghiệm phương trình Do Chọn đáp án A II Bài tập tự luận có lời giải Bài 1: Phương trình z1 = + 2i, z2 = - 3i có nghiệm z = + i A a = 1, b = B a = -1, b = C a = -1, b = -4 D a = 1, b = -4 Lời giải: Thay z = + i vào phương trình đã cho ta có: Bài 2: Phương trình (1 + i)2 = -7 + i có nghiệm là? Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với Viết -3 + 4i = 4i2 + 4i + = (2i + 1)2, ta có: z2 = (2i + 1)2 z = ±(2i + 1) Chú ý: Nếu việc viết -3 + 4i = (2i + 1)2 gặp khó khăn có thể đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Ta có : (a + bi)2 = -3 + 4i a2 - b2 + 2abi = -3 + 4i Từ phương trình thứ hai hệ ta có Thay vào phương trình thứ hệ ta có Vì a ∈ R a2 ≥ nên a2 = hay a = ±1 Từ ta có hai nghiệm : z1 = -1 - 2i z2 = + 2i Câu 3: Phương trình z2 -az + b = (a, b ∈ R) có nghiệm z = + i Lời giải: Thay z = + i vào phương trình đã cho ta có: Câu 4: Phương trình 2z2 + 4z + = có nghiệm là? Lời giải: Ta có: Δ' = - 10 = -6 = 6i2 Phương trình đã cho có nghiệm Chọn đáp án C Câu 5: Phương trình z2 - z + = có hai nghiệm là? Lời giải: Ta có: Δ = 12 - = -3 = 3i2 Các nghiệm phương trình đã cho Câu 6: Để phương trình z2 + bz + c = nhận z1 = -4 + 2i z2 = -4 - 2i làm nghiệm thì? Lời giải: Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: Để phương trình đã cho nhận z1, z2 làm nghiệm Câu 7: Phương trình z2 + 6z + 15 = có nghiệm z1, z2.Giá trị biểu thức T = |z1| + |z2| bằng? Lời giải: Ta có:Δ' = - 15 = -6 = 6i2 Các nghiệm phương trình Do Câu 8: Phương trình z1 = + 2i, z2 = - 3i có nghiệm z = + i Lời giải: Thay z = + i vào phương trình đã cho ta có: Câu 9: Phương trình (1 + i)2 = -7 + i có nghiệm Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với Viết -3 + 4i = 4i2 + 4i + = (2i + 1)2, ta có: z2 = (2i + 1)2 z = ±(2i + 1) Chú ý: Nếu việc viết -3 + 4i = (2i + 1)2 gặp khó khăn có thể đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Ta có : (a + bi)2 = -3 + 4i a2 - b2 + 2abi = -3 + 4i Từ phương trình thứ hai hệ ta có Thay vào phương trình thứ hệ ta có Vì a ∈ R a2 ≥ nên a2 = hay a = ±1 Từ ta có hai nghiệm : z1 = -1 - 2i z2 = + 2i Câu 10: Phương trình z2 + 4x + = có nghiệm Lời giải: Ta có: Δ' = 22 - 1.5 = -1 = i2 Phương trình có hai nghiệm là: III Bài tập vận dụng Bài Phương trình z2 + 8z + 17 = có hai nghiệm là? Bài Phương trình z2 - 4z + = có hai nghiệm Giá trị biểu thức T = |z1| + |z2| bằng? Bài Phương trình z4 + 3z2 - = có nghiệm phức z1, z2, z3, z4 Giá trị biểu thức T = |z1| + |z2| + |z3| + |z4| bằng? Bài Thế bậc hai số thực dương a ? Bài Tìm bậc hai phức số sau: -7;-8;-12;-20;-121 Bài Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) -3z2 + 2z - = b) 7z2 + 3z + = c) 5z2 - 7z + 11 = Bài Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z4 + z2 - = b) z4 + 7z2 + 10 = Bài Cho a, b, c ∈R,a ≠ 0,z1 , z2 hai nghiệm phân biệt ( thực phức) phương trình ax2+bx+c=0 Hãy tính z1+z2 z1.z2 theo hệ số a, b, c Bài Cho z = a + bi số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z z− làm nghiệm Bài 10 Tìm bậc hai w = -5 + 12i ... ≠ 0,z1 , z2 hai nghiệm phân biệt ( thực phức) phương trình ax2+bx+c=0 Hãy tính z1+z2 z1.z2 theo hệ số a, b, c Bài Cho z = a + bi số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z z−... Phương trình z4 + 3z2 - = có nghiệm phức z1, z2, z3, z4 Giá trị biểu thức T = |z1| + |z2| + |z3| + |z4| bằng? Bài Thế bậc hai số thực dương a ? Bài Tìm bậc hai phức số sau: -7;-8; -12; -20; -121 ... 2abi = -3 + 4i Từ phương trình thứ hai hệ ta có Thay vào phương trình thứ hệ ta có Vì a ∈ R a2 ≥ nên a2 = hay a = ±1 Từ ta có hai nghiệm : z1 = -1 - 2i z2 = + 2i Câu 10: Phương trình z2 + 4x +