ÔN TẬP TUYỂN SINH 10 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ

Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ ÔN TẬP TUYỂN SINH 10 CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ I CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương trình bậc hai ẩn số phương trình có dạng: ax  bx  c   a   Xét   b  ac Nếu   phương trình vơ nghiệm Nếu   phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  Nếu   phương trình có nghiệm kép x1  x  b  2a  ; x2  b   2a b 2a Chú ý: Nếu a c trái dấu phương trình ln có hai nghiệm phân biệt II ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2: a x  b x  c   a    a  Phương trình có hai nghiệm phân biệt      0,       a  Phương trình có hai nghiệm kép      0,       a  Phương trình vơ nghiệm      0,          0,      Phương trình có hai nghiệm dấu   P  Phương trình có hai nghiệm trái dấu P  (khi P  hiển nhiên ta có   ta khơng cần kiểm tra điều kiện   ) a      0,      Phương trình có hai nghiệm phân biệt dƣơng   S  x1  x  P  x x   Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ a      0,      Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm  S  P   Bài toán Cho phương trình a b c d e Tìm Tìm Tìm Tìm Tìm m m m m m x   m  1 x  m  m   2 với m tham số để phương trình cho có nghiệm để phương trình cho có hai nghiệm dấu để phương trình cho có hai nghiệm trái dấu để phương trình cho có hai nghiệm âm để phương trình cho có hai nghiệm dương Hƣớng dẫn giải a Phương trình x   m  1 x  m  m   2 có hai nghiệm phân biệt      m  1   m  m     m    m  Vậy m  3 phương trình cho có nghiệm b Phương trình cho có hai nghiệm dấu   m     m  m         P   P  x1 x  m  m    1  m 1 m     3  m   m   m  Vậy phương trình có hai nghiệm dấu  m 1 m  c Phương trình cho có hai nghiệm trái dấu P   m  4m     m  d Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/    m  1   m  m    m         m  1   S     m  1  m   m  P   m  4m        vô nghiệm Vậy không tồn giá trị m để phương trình bậc hai cho có hai nghiệm âm e Phương trình bậc hai cho có hai nghiệm dương  m    m  1   m  m       1   m 1     3  m  1  S     m  1   m   m  P   m  m  4m        Vậy phương trình có hai nghiệm dương  m  m  Bài tốn Cho phương trình x  x   m  với x ẩn số m tham số a Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x b Tìm m để x12  x 22  Hƣớng dẫn giải a Phương trình x  x   m  có nghiệm phân biệt x1 , x     b  ac       m     m   m  Vậy với m  phương trình x  x   m  có nghiệm phân biệt b Xét phương trình x  x   m  m  Theo định lý Viet ta có  S  x1  x    3  m  P  x1 x   Ta có: x12  x 22    x1  x   x1 x       m    m   (nhận) Vậy với m   x12  x 22  Bài tốn Cho phương trình x   m   x  3m  với m tham số x ẩn số a Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ b Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình Tìm m để x12  x 22  x1 x  Hƣớng dẫn giải a Ta có:    m    12 m  m  m    m     m 2 Suy phương trình ln có nghiệm với m (đpcm)  S  x1  x   m b Theo định lý Viet ta có   P  x1 x   m Ta có x12  x 22  x1 x    x1  x   x1 x   3  m   9m   m  3m   m  m  3  m    m  3 Nhận xét Với m    , suy phương trình x   m   x  3m  Với m     , suy phương trình có hai nghiệm phân biệt x   m   x  3m  có hai nghiệm kép Bài tốn Cho phương trình x  m x  m   với m tham số x ẩn số a Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với m b Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình Tìm m để M   48 x  x  x1 x 2 đạt giá trị nhỏ Hƣớng dẫn giải a Ta có   m   m    m  m   1 7    m      0 m 2 4  Suy phương trình x  m x  m   có hai nghiệm phân biệt với m (đpcm) Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/  S  x1  x  m b Theo định lý Viet ta có:   P  x1 x  m  M   48  x  x  x1 x 2 2  48  x1  x   x1 x   48 4m   m     48  2m    12 Ta có:  m    12  12  m    2m    12  48  2m    12  m 12   4 m Suy M a x  M    Dấu "  " xảy  m     m  Bài tốn Cho phương trình x  m x   với m tham số x ẩn số a Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm trái dấu x1  x1  b Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình Tính giá trị M  x1 x2  x2   x2 Hƣớng dẫn giải I x  mx   Xét phương trình (m tham số x ẩn số) ta có: P  x1 x     m Suy phương trình ln có hai nghiệm trái dấu (đpcm) x1  x1  II M  x2  x2   x1 M  x1   x1 M   x1  x   x2  x2   x2 x1  x x1 x   M   x1  x     x1 x    S  x1  x  m Theo định lý Viet ta có:   P  x1 x   Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ Ta có:  x1  x   x12  x 22  x1 x   x1  x   x1 x  m  2 M   x1  x    1    m  4  x x   Vậy M  III ĐỊNH LÝ VIET Định lý Viet thuận Nếu phương trình a x  b x  c   a   có hai nghiệm phân biệt x1 , x b   x1  x  a  x x  c  a Hệ Cho phương trình bậc : a x  b x  c   a    *   Nếu a  b  c  phương trình  *  có nghiệm x1  nghiệm thứ hai x  c a  Nếu a  b  c  phương trình  *  có nghiệm x1   nghiệm thứ hai x  c a Định lý Viet đảo  x1  x  S Nếu có số x1 , x thỏa mãn   x1 x  P S  P  x1 , x hai nghiệm phương trình x  Sx  P  Nhẩm nghiệm Nếu a  b  c  phương trình a x  b x  c   a   có hai nghiệm: x1  1; x  c a Nếu a  b  c  phương trình a x  b x  c   a   có hai nghiệm: x1   1; x   c a Chú ý: Trước áp dụng định lý Viet ta cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt Bài tốn a Cho phương trình x  qx   có nghiệm Tìm q nghiệm thứ phương trình Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ b Cho phương trình x  qx  50  có hai nghiệm phân biệt với nghiệm bẳng lần nghiệm Xác định q nghiệm phương trình c Cho phương trình x  x  q  có hiệu nghiệm bẳng Xác định q nghiệm phương trình Hƣớng dẫn giải a Phương trình x  qx   có hai nghiệm phân biệt x     q  20     x  Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình x  qx   x1  Thay x1  vào phương trình x  qx   ta  q   suy q  Theo định lý Viet ta có x1 x   x  x1  (nhận) 20 b Phương trình x  qx  50  có hai nghiệm phân biệt  x   10 2   q  200     x  10 Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình x  qx  50   x1  x  q Theo định lý Viet ta có   x1 x  Khơng tính tổng qt, giả sử x1  x  x2   Như ta có: x 22  50  x 22  25    x2  Trường hợp 1: x   Suy x1  x   10 q  x1  x   15 (thỏa) Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ Trường hợp 2: x  Suy x1  x  10 q  x1  x  15 (thỏa) c Phương trình x  x  q  có hai nghiệm phân biệt   16  q   q  Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình x  x  q  Khơng tính tổng qt, giả sử x1  x   x1  x  Theo định lý Viet ta có:   x1 x  q  x1  x   x1     x1  x   x2  Giải hệ phương trình  Suy q  x1 x  (thỏa) Bài toán Cho phương trình x  x   có hai nghiệm phân biệt x1 x Khơng giải tìm nghiệm phương trình, lập phương trình bậc có ẩn y thỏa mãn y1  x  y  x1  x1 x2 Hƣớng dẫn giải  x1  x  Do x1 , x hai nghiệm phương trình x  x   nên theo định lý Viet ta có   x1 x   Phương trình bậc theo y có dạng y  Py  Q  với   1  x1    x1  x     P  y1  y  x  x1 x2 x1 x        Q  y1 y   x  x1   x1 x  2     x x x x         9 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ Theo định lý Viet đảo ta có phương trình cần tìm y  y   4y 9y 9  Bài toán Cho phương trình x  x   Khơng giải tìm nghiệm phương trình, tính giá trị biểu thức sau: x1  x 2 a 3 b x1  x  x c x2 2 d x1 x  x1 x Hƣớng dẫn giải Ta có   b  ac  suy phương trình x  x   có nghiệm phân biệt x1 , x Theo định lý Viet ta có b   S  x1  x  a   P  x x  c  2  a x1  x   x1  x   x1 x     2 2 x1  x   x1  x   x1 x  x1  x       x 3  x 2 x1  x 2   x1 x  2  2  x1 x  x x  x x  x  x     2 Bài tốn Cho phương trình x  x   Không giải phương trình, tính x1  10 x1 x  x 2 A x1 x  x1 x 3 Hƣớng dẫn giải Ta có   b  ac  16  suy phương trình x  x   có nghiệm phân biệt x1 , x Theo định lý Viet ta có b   S  x1  x  a    P  x x  c   a Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ x1  10 x1 x  x 2 A x1 x  x1 x   4 58 IV   x1  x   10 x1 x 2   x1 x  x  x1    10   4   28      x1  x   x1 x   10 x1 x    x1 x   x1  x   x1 x    17 80 GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC Phƣơng trình chứa dấu thức Phƣơng trình  g  x  f x  g x     f x  g x Phƣơng trình f x   f  x    g  x    g x    f  x   g  x  Phƣơng trình  x  a   x  b   x  c   x  d   k với a , b , c , d , k số cho trƣớc, abcd Ta có  x  a   x  b   x  c   x  d   k   x  ( a  b ) x  ab   x  ( c  d ) x  cd   k Khi đặt t  x  ( a  b ) x , sau khai triển sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình bậc tìm nghiệm t : ( t  ab )( t  cd )  k Từ tìm nghiệm x cách giải phương trình x  ( a  b ) x  t  Bên cạnh đó, gặp phải tốn giải phƣơng trình tích, phƣơng trình chứa mẫu số, phƣơng trình trùng phƣơng, thƣờng áp dụng phƣơng pháp đƣa phƣơng trình bậc để giải Bài tốn 10 (Phương trình chứa căn) Giải phương trình sau: a x  x  11  b 2x  3x   x  x 1 2 c  x  1 x  3x  Hƣớng dẫn giải x  x  11  a x 1 10 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/  x  x  11    x 1   2  x  x  11  x    97  97  x x  4    x  1  x   x  x  10      97  x  1  x     x   x  2   x  2   x  Để giải nhanh xác phương trình bất phương trình bậc ta sử dụng máy tính cầm tay Đối với Casio fx- 580VN X ta vào wz23 để giải bất phương trình Để giải phương trình bậc ta ấn w922 2x  3x   x  b  x 1    2   x  x    x  1 11 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/  x  1   2 2 x  3x   x  x   x  1   x  x    x  1       15  Vậy phương trình cho vơ nghiệm Chú ý: Đối với máy tính Casio fx 580vnx, dịng máy có tính thơng báo vơ nghiệm giải phương trình, hệ phương trình Để cài đặt tính thơng báo vơ nghiệm ta bấm phím sau qwR42  x  1 x  3x  Trường hợp x 1  x   vô nghiệm     x  0, x   x  3x  Trường hợp x  x  3x   x  x  3    x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x0 x3 Bài tốn 11 Giải phương trình sau: a x x  x 5 2x 1 5 x b Bình luận: ta đặt x 2x 1 6 x  x  x  phương trình chứa Để khử thức phương trình x  t t  0 Hƣớng dẫn giải 12 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ x t  0 Đặt t  Khi phương trình cho trở thành t  t  t   t  t   Ta có:     Suy phương trình cho vơ nghiệm x   b Điều kiện  1 x   Đặt t  t 2x 1 x Khi phương trình cho trở thành t  2   t   t  t  t    ( t  1)( t  5)    t t  5 Với t  ta có Với t  ta có 2x 1   x  x   x  1 x 2x 1   5x  2x 1  x  x Vậy phương trình cho có hai nghiệm x   x  Bài tốn 12 Giải phương trình x ( x  1)( x  2)( x  3)  a   x x  ( x  4)   b Hƣớng dẫn giải Ta có    nên ta phân tích phương trình cho thành  x  x   x  x     *  Đặt t  x  x Khi phương trình (*) trở thành t  t     t  2t      b   ac   Như phương trình cho có nghiệm phân biệt t1    ; t2    Với t1    ta có x  x     x  x    13 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/     1   54  Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  3  54 2 ; x2  3  54 2 Với t1    ta có x  x     x  x        1     Suy phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1  3  54 2 ; x2  3  54 2 b x  x    x      x  x    x    x    Ta có     , ta phân tích phương trình cho thành  x  x   x  x    (*) Đặt t  x  x Khi phương trình (*) trở thành:  t1   17 t  t     t  8t      t   17 Với t1   ta x  x   17  x  x   17  (1)    b   ac    17   17  Như phương trình (1) có hai nghiệm: x1    5 17 x    5 17 Với t   ta x  x   17  x  x   17  (2)    b   ac    17   17  Như phương trình (2) vơ nghiệm 14 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: x1     17 x     17 V GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP DƢỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA CASIO fx- 580VNX Bài tốn 13 Giải phương trình x  x    x  x Hƣớng dẫn giải Điều kiện xác định 3  x  x     2 x3  x  x   x   1, x    x  x   Sử dụng Shift Solve để tìm nghiệm phương trình x  x    x  x Kiểm tra thức nghiệm x  3 9 ta có:    x  0.6180339887  x     x  1.618033989  x  Như liên hợp cần tìm  x   x   x   x  1 Ta có: x  x    x  x   x   x  2  x   x  1  x  x   15 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/  3  x    x  2 3 x  x2  x  3x   3 x  x2  x   x  1 2 x  x 1  x  3x   x  3x        x  x  1   x  x 1  x  3x   3 x  x2    1  x  x 1    3 x  x2  Do  x  nên ta có   x  x 1   , suy 3 x  x2  x  x 1 1   3  x2  3x   x  3   Như phương trình cho tương đương   x 2 2  x  2  x   Vậy nghiệm phương trình x  3 Bài tốn 14 Giải phương trình  x  12 x   x   x  22 x  11 x Hƣớng dẫn giải  2 x   Điều kiện xác định  x  12 x    x  22 x  11 x     2 x    Suy  x  12 x    x    x  22 x  11 x  16 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ Sử dụng Shift Solve để tìm nghiệm phương trình  x  12 x   x   x  22 x  11 x x  ta : Thay x  8 vào thức x   5.828427125  x  x  2x 1 Ta có: 6x  12 x   x   x  22 x  11 x   x  x   x   x  22 x  11 x       x  x   x  x   x  18 x  x   x  x   x  x   x  x  18 x     x  2x 1  x 2   x   3x x   Tiếp tục sử dụng Casio fx- 580VNX để tìm nghiệm phương trình x  x   x x   17 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ Thay x  1 vào thức x   3.732050808  x x  ta :  x  2x 1 Như ta phân tích x  x   x x   sau:  x  x   3x x    x  2 x  Với a   x  a  2x 1   x2  x   3x x    x  x  D   2x 1  x  2x 1  Thay x  vào biểu thức ta tìm a   Như ta có:  x  2 x   x  x    Suy phương trình cho tương đương:   x  2x 1 Trường hợp 1:  x  2x 1  x   2x 1  x  2x 1   x  18 x      x 96    1 x  x      18 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ Trường hợp 2: x  2x 1   x2  8x      x  42    1 x  x      Trường hợp 3: x  2x 1  x2  2x      x 1    1 x  x    VI GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ BẰNG CÁCH LẬP PHƢƠNG TRÌNH Bài tốn 15 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng m Tính kích thước vườn, biết đất lại vườn để trồng trọt 4256 m Hƣớng dẫn giải Gọi x  m  chiều dài khu vườnZS Suy chiều rộng khu vườn là: 280  x  140  x  m  (ĐK: x   x  x  Sau làm lối xung quanh vườn rộng  m  thì: Chiều dài phần đất cịn lại x   m  Chiều rộng phần đất lại 140  x   136  x  m  19 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ Theo đề bài, diện tích phần đất cịn lại là: 4256  m  Áp dụng cơng thức tính diện tích hình chữ nhật ta có phương trình:  x   1  x     x  140 x  4800  Do x  nên nhận x  Khi chiều dài khu vườn 80  m  chiều rộng khu vườn 60  m  Vậy diện tích khu vườn S  80  60  4800  m  Bài toán 16 Hai xe khởi hành lúc từ lúc từ hai tỉnh A B cách 150  km  , ngược chiều nhau, sau 1h 30 p hai xe gặp Biết vận tốc xe từ A nhanh vận tốc xe từ B km / h Tìm vận tốc xe Hƣớng dẫn giải Gọi x  km / h  vận tốc xe từ A Theo đề vận tốc xe từ B x   km / h  Do hai xe ngược chiều gặp sau 1h 30 p (tức h ) nên ta có phương trình x   x    Sử dụng tính SHIFT SOLVE để giải tìm x Vậy: vận tốc xe từ A  km / h  vận tốc xe từ B 40  km / h  Bài toán 17 Hai người thợ làm cơng việc 16 làm xong Nếu đội làm xong cơng việc thời gian đội I làm đội II Tổng thời gian làm hai đội gấp lần thời gian làm chung hai đội làm xong cơng việc Hỏi đội làm phải cần thời gian để làm xong công việc Hƣớng dẫn giải 20 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56 Web: http://bitexedu.com/ - Fanpage: https://www.facebook.com/bitexedu/ Gọi x ( x  ) thời gian đội II làm xong cơng việc Suy suất làm việc đội II x (cơng việc/giờ) Theo đề x  thời gian đội I làm xong cơng việc Suy suất làm việc đội I x4 (công việc/giờ) Như vậy, hai đội làm (khi làm chung):  x x4 Suy ra, thời gian để hai đội (khi làm chung) hồn thành cơng việc là: Theo đề ta có phương trình: x   4.5 x  x  4 2x   2x  x  x  4 x  x  4 2x  (công việc) (giờ)  0.5 x  x  16  Do x  nên ta có để làm xong cơng việc đội II cần đội I cần 21 Sưu tầm & Biên soạn: Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Giáo dục – 0938 52 54 56