Dạng 14: Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1 , x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số... Phan huy Th«ng.[r]
(1)Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn Nhắc lại biến đổi đồng I.PhÐp nh©n c¸c ®a thøc: Với A, B, C, D, E là các đơn thức thì: A(B + C) = (B + C)A = AB + AC (A + B)(C + D - E) = AC + AD – AE + BC + BD – BE II.Những đẳng thức đáng nhớ: (A + B)2 = A2 + 2AB + b2 (A - B)2 = A2 - 2AB + b2 A2 – b2 = (a + b)(a – b) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3ab2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3ab2 - B3 A3 – b3 = (a – b)( A2 + AB + b2) = (A - B)3 + 3ab(a – b) A3 + b3 = (a + b)( A2 - AB + b2) = (A + B)3 - 3ab(a + b) (A + B+c)2 = A2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca Lưu ý: - Khi giải các bài toán vận dụng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các đẳng thức theo hai chiÒu khai triÓn vµ thu gän mét c¸ch linh ho¹t - Hai đa thức với giá trị biểu thức tất các hệ số chúng tương ứng b»ng - Một đa thức đa thức không tất các hệ số nó không III Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: PP đặt nhân tử chung PP dùng đẳng thức PP nhãm nhiÒu h¹ng tö PP t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö PP thªm bít cïng mét h¹ng tö PP xÐt gi¸ trÞ riªng ( NÕu ®a thøc A(x) cã nghiÖm x = a th× tån t¹i ®a thøc B(x) cho A(x) = (x- a).B(x) ) Chó ý: Khi sö dông mét c¸c PP 3, , : sau nhãm, t¸ch, thªm bít h¹ng tö th× qu¸ tr×nh ph©n tÝch ph¶i tiÕp tôc ®îc ( Sö dông PP hoÆc ) IV Phân thức đại số Hai ph©n thøc b»ng nhau: A C AD BC B D http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net-1- (2) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn NÕu ®a thøc M kh¸c ®a thøc kh«ng th×: AM A A : M A ; BM B B : M B C¸c phÐp tÝnh: a) PhÐp céng: A B A B ( M ≠ 0) M M M Nếu hai phân thức khác mẫu thì cần quy đồng mẫu thức thực hành cộng trên Các bước quy đồng mẫu thức: (Biến đổi các phân thức thành các phân thức có cùng mÉu) Bước 1: Tìm mẫu thức chung (MTC) : - MTC phải chia hết cho tất các mẫu cần quy đồng - Nếu các mẫu cần quy đồng không có nhân tử chung thì lấy MTC là tích tất các mẫu đó Bước 2: Tìm nhân tử phụ (NTP): NTP = MTC chia cho mẫu tương ứng Bước 3: Lấy tử và mẫu phân thức nhân với NTP tương ứng, ta các ph©n thøc cã cïng mÉu thøc b) PhÐp trõ: A C A C ( ) B D B D c) PhÐp nh©n: d) PhÐp chia: A C A.C B D B.D A C A D AD : B D B C BC Một số lưu ý: - Trước quy đồng mẫu thức hay thực các phép tính, có thể thì nên rút gọn phân thức trước Kết sau biến đổi các biểu thức hữu tỷ cần rút gọn - Các phép tính với đa thức có đầy đủ các tính chất các số thực ( giao hoán, kết hîp, ph©n phèi) - Khi gi¶i c¸c bµi to¸n liªn quan tíi gi¸ trÞ cña ph©n thøc cÇn chó ý t×m §KX§ cña ph©n thøc http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net-2- (3) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Giải và biện luận: ∆ = b2 – 4ac ( Hoặc ∆’ = b’2 – ac, với b’ = b/2) +) Nếu ∆ > ( Hoặc ∆’ > 0): Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 b 2a (Hoặc x1,2 b ' ' ) a +) Nếu ∆ = ( Hoặc ∆’ = 0): Phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b a ( Hoặc x1 x2 b' ) a +) Nếu ∆ < ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trình vô nghiệm Hệ thúc Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 thì: b x1 x2 a x x c a C¸c d¹ng to¸n Dạng 1: Xác định số nghiệm phương trình ax2 + bx + c = Phương pháp giải: Xác định các hệ số a, b, c phương trình: - Nếu a = 0: Phương trình trở thành PT bậc ẩn: bx + c =0 - NÕu a ≠ 0: TÝnh biÖt thøc ∆ = b2 – 4ac ( hoÆc ∆’ = b’2 – ac, víi b’ = b ) Nếu ∆ < ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trình vô nghiệm Nếu ∆ = ( Hoặc ∆’ = ): Phương trình có nghiệm kép Nếu ∆ > ( Hoặc ∆’ > ): Phương trình có hai nghiệm phân biệt Lu ý: - Kh«ng cÇn tÝnh nghiÖm - Nếu ac<0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 1.1: Xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và cho biết số nghiệm các phương trình bậc hai sau: 1) 3x2 – 7x + = 2) -2x2 - 8x -7 =0 http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net-3- (4) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn 3) ( 1) x x 5) x x 0 16 4) 2x2 + 5x + 25 =0 6) x x Bài 1.2: Không cần tính biệt số ∆, chứng tỏ các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: a) x2 9x b) (2 3) x x m 3m ( m lµ tham sè) Bài 1.3: Hãy xác định tham số k để phương trình vô nghiệm? a) x x k c) x kx b) 2 x 2kx k d) x 4kx k k Bài 1.4: Hãy xác định tham số k để phương trình sau có: hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép: a) 20 x x 3k b) (k 1) x 2kx k c) x 4kx k Bµi 1.5: Cho c¸c hÖ sè a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a > c > 0, b > a + c Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt Bài 1.6: Với a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh phương trình c x (a b c ) x b ( x lµ Èn sè) v« nghiÖm ( HDÉn: Sö dông B§T tam gi¸c) Dạng 2: Giải phương trình bậc hai Phương pháp giải: - Đưa phương trình cần giải dạng: ax2 + bx + c = - Xác định các hệ số a, b, c phương trình - TÝnh ∆ hoÆc ∆’ -áp dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai để kết luận nghiÖm ( Chó ý rót gän c¸c nghiÖm nÕu cã thÓ) C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 2.1: Giải các phương trình sau: a) 3x2-5x-8=0 b) 5x2 - 3x + 15 = c) x2 – 4x + = d) 3x2 + 7x + = Bài 2.2: Giải các phương trình sau: a) x 10 x 0 49 b) x2 4x 0 12 http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net-4- (5) Phan huy Th«ng c) x Phương trình bậc hai ẩn x 0 16 Bài 2.3: Giải các phương trình sau: a) (5 2) x 10 x b) ( 2) x ( 1) x c*) x x d*) (1 2) x 2(1 2) x e) ( 1) x x f) x (2 3) x Dạng 3: Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = Phương pháp giải: * Với a = 0: Phương trình trở thành phương trình bậc bx + c = - Nếu b ≠ thì phương trình có nghiệm nhất: x c b - Nếu b = và c ≠ thì phương trình có vô nghiệm - Nếu b = và c = thì phương trình có vô số nghiệm * Với a ≠ : Phương trình trở thừnh phương trình bậc hai Ta có: ∆ = b2 - 4ac ( hay ∆’ = b’2 – ac ) - Nếu ∆ < thì phương trình vô nghiệm - Nếu ∆ = thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = - b 2a (=- - Nếu ∆ > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b b ; x2 2a 2a ( x1,2 * Kết luận cho tất các trường hợp đã biện luận C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 3.1: Giải và biện luận các phương trình: ( x là ẩn) a) (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = b) x2 + (1 – m)x – m = c) (m – 3)x2 - 2mx +m – = d) (m – )x2 – 2(3m + 1)x + 9m – = e) (3 – k)x2 + 2(k – 2)x – k + = f) (4 + 3m)x2 + 2(m + 1)x + ( m – 2) = g) ( m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = h) 2x2 – 2(2m + 1) x + 2m2 + m – = http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net-5- b ' ) a b' ) a (6) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn Bài 3.2: Giải và biện luận phương trình ( ẩn x) : 2 x3 (3 2m) x 2mx m ( HDÉn: Coi m lµ Èn, x lµ tham sè ) Dạng 4: Hệ phương trình chứa hai ẩn x và y gồm phương trình bậc và phương trình bậc hai Phương pháp giải: - Từ phương trình bậc hệ, tìm y theo x ( x theo y ) - Thay biểu thức y theo x tìm trên vào phương trình bậc hai hệ ta phương trình bậc hai - Giải phương trình tìm x, sau đó thay vào biểu thức y để tìm y C¸c bµi tËp vËn dông: 2 x y Bài 4.1: Giải hệ phương trình: y x 4x x y Bài 4.2: Cho hệ phương trình: 2 y x a Xác định a để: a) HÖ v« nghiÖm b) HÖ cã nghiÖm nhÊt c) HÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt 3 x y Bài 4.3: Giải các hệ phương trình: a ) xy 3( x y ) 2 x y b) xy x y x y m Bài 4.4: Giải và biện luận hệ phương trình: 2 x y 2x Dạng 5: Định tham số để hai phương trình có nghiệm chung Phương pháp giải: - Giả sử x0 là nghiệm chung hai phương trình Thay x = x0 vào hai phương trình ta hệ phương trình với ẩn là các tham số - Giải hệ để tìm tham số -Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 5.1: Cho hai phương trình : x2 + x + a = và x2 + ax + = a) Định a để hai phương trình trên có nghiệm chung http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net-6- (7) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn b) Định a để hai phương trình tương đương Bài 5.2: Chứng minh hai phương trình : x2 + ax + b = và x2 + cx + d = 0, có nghiệm chung thì: (b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = Bài 5.3: Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 + mx + = và x2 + 2x + m = ? Bài 5.4: Xác định m, n để hai phương trình sau tương đương: x2 – (2m + n)x – 3m = vµ x2 – (m + 3n)x – = HDẫn: Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1); x3, x4 là nghiệm phương trình (2) Để hai Phương trìh tương đương thì x1 = x3 và x2 = x4 ngược lại Nên S1 = S2 và P1 = P2 Bài 5.5: Tìm các giá trị m để hai phương trình sau có ít nghiệm chung: x2+ (m – 8)x + m + = (1) x2 + (m – 2)x + m - = (2) Bài 5.6: Tìm các giá trị a để hai phương trình sau có ít nghiệm chung: a) x2 + x + a = x2 + ax + = b) x2 + ax + = x2 + 2x + a = c) x2 + ax + = x2 + x + a = Bài 5.6: Tìm các giá trị a để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : (x2 + x + a)( x2 + ax + 1) = Dạng 6: Phương trình có hai ẩn số 1.Phương pháp giải: Trong phương trình có hai ẩn số, ta xem ẩn là tham số giải phương trình theo ẩn còn lại PP này gọi là phương pháp đặt tham số C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 6.1: Chứng minh có cặp số (x, y) thoả mãn phương trình: x2 - 4x + y - y + 13 = x y Bài 6.2: Giải hệ phương trình: 2 x xy y y Bài 6.3: Giải phương trình: y y x 11 y xy y x 40 x 52 2 10 x y xy 38 x y 41 Bài 6.4: Giải hệ phương trình: 2 3 x y xy 17 x y 20 698 x y Bài 6.5: Giải hệ phương trình: 81 x y xy x y Dạng 7: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm số http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net-7- (8) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn 1.Phương pháp giải: - Tính ∆ và chứng tỏ ∆ ≥ để phương trình có nghiệm - áp dụng định lý Vi-ét : S x1 x2 b a ; P x1.x2 c a C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 7.1: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm các phương trình sau: a) x x c) b) x x 3x x d) x x Dạng 8: Giải phương trình cách nhẩm nghiệm 1.Phương pháp giải: - áp dụng địnhlý Vi-ét : x1 + x2 = - b c ; x1.x2 = a a - Nhẩm : x1 + x2 = m + n ; x1.x2 = m.n thì phương trình có nghiệm là x1 = m ; x2 = n - NÕu a + b + c = th×: x1 = ; x2 = c a - NÕu a - b + c = th×: x1 = -1 ; x2 = - c a C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 8.1: Dùng định lý Vi-ét để nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) x 10 x 16 b) x 15 x 50 c) (m + 1)x2 + 3mx + 2m – = ( m ≠ -1) d) (2m – 1)x2 – mx – m – = (m≠ ) Bài 8.2: Phương trình 3x2 + 7x + m = có các nghiệm Xác định số m và nghiệm còn lại ? Bài 8.3: a) Phương trình 0,1x2 - x + k = có các nghiệm -1 Xác định số k và nghiệm còn lại ? b) Phương trình 15x2 + bx - = có các nghiệm Xác định số b và nghiệm còn lại ? D¹ng 9: Ph©n tÝch ax2 + bx + c thµnh nh©n tö Phương pháp giải: Nếu phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 thì ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2) Dạng 10: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm nó 1.Phương pháp giải: - TÝnh tæng hai nghiªm : S x1 x2 vµ tÝch hai nghiÖm : P x1.x2 - Phương trình nhận x1, x2 làm nghiệm là: X2 – SX + P = http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net-8- (9) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 10.1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau: b) vµ a) vµ Bài 10.2: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là : 1 vµ 10 72 10 Bài 10.3: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là : a) 15 vµ 15 b) vµ c) vµ d) 5 vµ 5 5 5 Bài 10.4: Gọi m, n là các nghiệm phương trình : x (1 2) x bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: (m<n) Lập phương trình 1 vµ 1 n m Bài 10.5: Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có nghiệm là : 5 5 Bài 10.6: Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có nghiệm là : 5 5 Dạng 11: Dấu nghiệm số phương trình bậc hai 1.Phương pháp giải: Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = (a ≠ ) : * Phương trình có hai nghiệm trái dấu P < * Phương trình có hai nghiệm cùng dấu P * Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt S P * Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt S P C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 11.1: Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x + m + = (1) Định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hao nghiệm dương phân biệt http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net-9- (10) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn c) Có đúng nghiệm dương Bài 11.2: Cho phương trình : (m – 4)x2 - 2(m – 2)x + m – = Định m để phương trình : a) Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương? b) Cã hai nghiÖm cïng dÊu? Bài 11.3: Cho phương trình : x2 + 2(m – 2)x – 2m + = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm cùng dương ? hai nghiệm trái dấu ? Bài 11.4: Cho phương trình x2 – mx + m2 – = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ? b) Tìm m để phương trình có nghiệm dương ? Bài 11.5: Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu ? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? a) x2 – 2mx + (5m – 4) = b)mx2 + mx + = Bài 11.6: Cho phương trình : mx2 – 2(m + 1)x + m + = a) Định m để phương trình có nghiệm b) Định m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối và trái dấu Dạng 12: Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thoả điều kiện cho trước 1.Phương pháp giải: * Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : ∆ ≥ * Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét giải hệ nghiệm x1, x2 thay vào phương trình thứ ba hệ để tìm tham số * KiÓm tra l¹i m cã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cã nghiÖm kh«ng råi kÕt luËn C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 12.1: Xác định m để phương trình x2 + 2x + m = có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 3x1 + 2x2 = 1? Bài 12.2: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 3x1 - 4x2 = 11 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm c) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m Bài 12.3: Xác định k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2: a) x2 + 6x + k = b) x2 + kx + = Bài 12.4: Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn các điều kiện sau: a) x12 - x22 = 12 ; b) x12 + x22 = Bài 12.5: Cho phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 3m – = a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12 b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net -10- (11) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn Bài 12.6: Cho phương trình (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m – = a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phương trình có nghiệm ; tính nghiệm c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 x1 x2 d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2x12 + 2x22 + x1 x2 Bài 12.7: Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x + 2m + = (1) a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Cho biểu thức: A = x12 + x22 + 6x1 x2 Tìm m cho A đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó? Bài 12.8: Cho phương trình (m - 1)x2 - 2m x + m + = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức : Bài 12.9: Cho phương trình : x2 - 2(m - 2)x - 2m + = x1 x2 x2 x1 ( m lµ tham sè) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và -x12 - x22 + 2006 đạt giá trị lớn Dạng 13: Biểu thức đối xứng các nghiệm phương trình bậc hai 1.Phương pháp giải: * Biểu thức x1, x2 gọi là đối xứng ta thay x1 x2 và x2 x1 thì biểu thức không đổi * Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P ( tổng và tích các nghiệm số) Ch¼ng h¹n: x12 + x22 = (x1+ x2)2 - x1x2 = S2 – 2P x12 + x23 = (x1+ x2)3 - x1x2(x1+ x2) = S3 – 3PS 1 x1 x2 S x1 x2 x1 x2 S P ; x1 x2 x1 x2 P x2 x1 x1 x2 P 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 13.1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm phương trình: x2 + mx + = Tính giá trị các biểu thức sau; a) x13 + x23 b) x12 x2 x2 x12 Bài 13.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm phương trình: x2 + 2mx + = Xác định m cho x14 + x24 ≤ 32 Dạng 14: Tìm hệ thức các nghiệm x1 , x2 phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số 1.Phương pháp giải: http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net -11- (12) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn * Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: ∆ ≥ * Tõ hÖ thøc Vi-Ðt t×m S, P theo tham sè m * Khử tham số m từ S, P để có hệ thức S, P ( tức là hệ thức x1, x2 ) không phụ thuéc vµo m 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 14.1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 - = Tìm hệ thức x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m? Bài 14.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm phương trình: x2 – (m – 3)x + 2m + = Tìm hệ thức x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m? Bài 14.3: Cho phương trình : x (2m 3) x m 3m a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với m ; b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối ; c) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m ? Bài 14.4: Cho phương trình : (m 2) x 2(m 4) x (m 4)(m 2) (m 2) a) Với giá trị nào m thì phương trình có nghiệm kép : b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m ; c) TÝnh theo m biÓu thøc A 1 ; x1 x2 d) Tìm m để A = Bài 14.4: Cho phương trình : x mx a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với m ; b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A 2( x1 x2 ) x12 x2 c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phương trình là số nguyên HDÉn: b) Theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã x1 + x2 = m ; x1x2 = -4 Ta cã A A 2m xác định với m và m2 2m Am 2m A m 8 (*) Víi A = th× m = 3,5 Víi A ≠ 0, ta coi (*) lµ PT bËc hai Èn lµ m vµ cã nghiÖm nªn ∆ ≥ 1 A http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net -12- (13) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn MaxA Khi đó PT (*) có nghiệm kép m = 8 Dạng 15: Giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn 1.Phương pháp giải: * Hệ gọi là đối xứng hai ẩn x, y hệ không thay đổi thay x y, y x * C¸ch gi¶i: + §Æt S = x + y, P = x.y + Đưa hệ đã cho hệ hai ẩn S, P Chú ý đến các biểu thức đối xứng x, y + Giải tìm S, P Khi đó x, y là nghiệm phương trình X2 – SX + P = + NÕu ( x, y ) lµ nghiÖm th× ( y, x ) còng lµ nghiÖm 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 15.1: Giải hệ phương trình: x y xy a) 2 x y x y xy b) 2 x y x y xy 11 c) 2 x y 3( x y ) 28 x y 13 d) y x x y 2 x xy x e) 2 y xy y Một số phương trình quy phương trình bậc hai Dạng 1: Giải phương trình trùng phương(ax4 + bx2 + c = 0) 1.Phương pháp giải: Đặt t = x2 ( t 0), đưa phương trình bậc hai at2 + bt + c = (1) Phương trình trùng phương có nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm dương phân biệt, đó ta giải hệ sau theo m : S P Phương trình trùng phương có hai nghiệm trái dấu P Phương trình trùng phương vô nghiệm (1) vô nghiệm (∆ < 0) (1) có hai nghiÖm cïng ©m, tøc lµ: S P 2.C¸c bµi tËp vËn dông: http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net -13- (14) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn Bài 1.1: Cho phương trình: x 2(m 1) x m (1) Xác định m để phương trình : a) Cã nghiÖm ph©n biÖt b) V« nghiÖm c) Cã nghiÖm ph©n biÖt Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn mẫu 1.Phương pháp giải: Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm với ĐKXĐ, loại các giá trị không thoả mãn, các giá trị thoả mãn ĐK là nghiệm phương trình đã cho Giải và biện luận phương trình chứa ẩn mẫu * Đặt ĐK để phương trình có nghĩa; * Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu; * Giải và biện luận phương trình bậc hai; * KiÓm tra ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 2.1: Giải các phương trình sau: a) 2x 3x x 1 x b) 4x x 1 x2 x2 c) 2x 5 x x x 5x d) 1 x 27 x 3 Bài 2.2: Giải các phương trình sau: a) x 1 x2 4x 1 2x x 2x2 x b) 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11x 30 2 Bài 2.3: Giải phương trình sau: (1 x) 1 x mx ( m lµ tham sè ) Bài 2.4: Giải các phương trình sau: a) x2 (3 x 2)(3 x 2) x x 2x x3 http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net -14- (15) Phan huy Th«ng b) Phương trình bậc hai ẩn x2 10 x 3x x x( x 9) Dạng 3: Giải phương trình đưa dạng tích 1.Phương pháp giải: A( x) A( x) B( x) B( x) 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 3.1: Giải các phương trình sau: a) (4x2 - 25)(2x2 – 7x – 9) = b) (2x2 – 3)2 – 4(x – 1)2 = c) 2x(3x – 1)2 – 9x2 – = d) x3 + 3x2 + x + = Dạng 4: Phương trình bậc ba có nghiệm cho trước 1.Phương pháp giải: Phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) có nghiệm x = Bằng phép chia đa thức ( Hoặc dùng sơ đồ Hoocner) phân tích vế trái thành: x ( x )(ax b1 x c1 ) ax b1 x c1 Giải phương trình bậc hai ax b1 x c1 ta các nghiệm khác ngoài nghiệm x phương trình bậc ba Sơ đồ Hoocner: Chia ®a thøc P( x) a0 x n a1 x n 1 an 1 x an cho x ta cã: P( x) ( x )(a0 x n a1 x n 1 an 1 x an ) Sơ đồ xác định các bi : a0 a1 a2 … an b0 b1 b2 … bn Víi b0 = a0 vµ bi = bi-1 + ( i = 1, 2, 3, … , n ) 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 4.1: Giải các phương trình sau: a ) x3 x 11x b) x x x Bài 4.2: Xác định m để phương trình : x3 (2m 3) x (m 2m 2) x m có ba nghiệm phân biệt ? Bài 4.3: Xác định m để phương trình : x3 x 16 x m có nghiệm là Tìm các nghiệm còn lại ? Bài 4.4: Xác định m để phương trình : x3 (2m 1) x 3(m 4) x m 12 có ba nghiệm phân biệt ? http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net -15- (16) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn Dạng 5: Phương trình bậc bốn dạng (x + a)(x + b)(x + c)( x + d) =m với a + b = c + d 1.Phương pháp giải: * Phương trình viết thành [ x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = m * Đặt t = x2 + (a + b)x, ta phương trình bậc hai : (t + ab)(t + cd) = m * Giải tìm t sau đó tìm x cách giải phương trình : x2 + (a + b)x – t = 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 5.1: Giải phương trình : (x - 1)(x + 5)(x - 3)( x + 7) =297 Bài 5.2: Xác định m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : a )( x 1)( x 3)( x 5) m b) x (2m 1) x m Bµi 5.3: Cho c¸c sè a, b, c, d tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a b c d vµ ad bc 2m Giải phương trình : ( x a )( x b)( x c)( x d ) m HDẫn: Phương trình đã cho tương ứng với : x (a b) x ab x (c d ) x cd m §Æt t x (a b) x V× a b c d nªn Ta cã : (t ab)(t cd ) m t (ab cd )t abcd m (ab cd ) 4(abcd m ) (ab cd ) 4m Vì ad bc 2m nên (ab cd ) 4m , đó Vậy phương trình vô nghiệm Dạng 6: Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c 1.Phương pháp giải: §Æt t x ab ab ab ab xt ) (t ) c Phương trình trở thành: (t 2 2 Khai triển và rút gọn ta phương trình trùng phương ẩn t Chó ý: ( x y ) x x3 y x y xy y 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 6.1: Giải phương trình : (x + 3)4 + (x + 5)4 = Bài 6.1: Giải các phương trình : a )( x 2) ( x 4) 82 b)( x 2) ( x 8) 272 c)( x 2) ( x 1) 33 12 HDÉn: a) §Æt x + = y http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net -16- (17) Phan huy Th«ng Phương trình bậc hai ẩn b)§Æt x + = y c) x = lµ mét nghiÖm Víi x > 1, VT > VP Víi x < 1, VT < VP VËy x = lµ nghiÖm nhÊt Dạng 6: Phương trình dạng ax bx3 cx bx a (1) ( PT bậc có hệ số đối xứng) 1.Phương pháp giải: * x = không là nghiệm phương trình; * Chia hai vế phương trình cho x2, ta được: a ( x * §Æt x 1 t ( x ) t x t Phương trình trở thành: x x x at bt c 2a - 1 ) b( x ) c x x (2) Giải phương trình tìm t, thay vao phương trình x Dạng 7: Phương trình dạng ax bx3 cx bx a t để tìm x x (1)( PT bậc có hệ số đối xứng lệch) 1.Phương pháp giải: http://violet.vn/nguyenthanh1981 Lop7.net -17- (18)