TÀI LIỆU THAM KHẢO CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Sử dụng phương pháp biến đổi: biến đổi tương đương, phân tích thành phương trình dạng tích, nhân chia biểu thức liên hợp… Ví dụ (Trích đề thi ĐH Khối A - 2004) Giải bất phương trình: 2( x  16) x  x  7 x x Lời giải ĐK: x 4 2( x  16)  x    x  Bpt  x 5    x  10   10  34  x 5   x  16 0   10  x   2( x  16)  10  x   10  x 0    2( x  16)  (10  x) 34 VT(*) < (do x  ) nên (*) vơ nghiệm Ví dụ Giải bất phương trình sau: ( x  x) x  3x  0 (2) Lời giải Ta xét hai trường hợp:  x 2 TH 1: x  x  0   , bpt ln  x   2  2 x  x    TH 2: BPT   x  x      1 1  x    ;     2;    2  x    ;     3;     2   x    ;0   3;    Vậy tập nghiệm bpt cho là: T ( ;  ]  {2}  [3; )  x  xy  y 2 y  x (1) Ví dụ Giải hệ phương trình:  (2)  y x  y   x 2 Lời giải (3)  x y 2 ĐK: x  y  0 (1)  x  y  xy  y  y  x 0  ( x  y )( x  y  2) 0    x 2  y (4)  Từ (3) & (2) ta có x=y=1   x 2  y  Từ (4) & (2) ta có   y  y 2 y  y 0; x 2   y  ; x 8 3   1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;1 ;  x; y   2;  ;  x; y   ;    3 xy  2  x  y  x  y 1 (1) Ví dụ (Trích Báo TH&TT) Giải hệ phương trình:   x  y x2  y (2)  Lời giải ĐK: x  y  2 Ta có (1)  x  xy  y  xy x y  xy 1  ( x  y )   xy 0 x y xy (3)  x 1  y  2  x  y  x  y 0 (4)  x y Vì x  y  nên phương trình (4) vô nghiệm  y 0; x 1 Từ (3) (2) ta có y  y 0    y 3; x   xy   ( x  y  1)  x  y    0  x y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;0  ;  x; y    2;3  (1)  x (1  x  y ) 2  Ví dụ (Trích đề thi HSG QG 1996) Giải hệ phương trình:   y (1  ) 4 (2)  x y Lời giải ĐK x 0; y 0 Dễ thấy x = y = không thõa mãn hệ Với x >0, y >0 ta có  2     1   x y 3x 3x 7y 1       ( nhân vế với vế)  x  y 3x y 1      2  x  y x y 7y 3x 7y   21xy (7 y  24 x)( x  y)  24 x  38 xy  y 0  y 6 x (vì x, y dương) Thay vào phương trình (1) ta được Từ suy x y 1     0  7    7x x x 21   4   Bài tập tương tự:  4   1 x  4  1 y  4  x y  2 x  y  ( Trích đề thi HSG Cần Thơ – 2012) x y  1 x  y  Ví dụ Giải bất phương trình: x3 (1  x  3x ) x  Lời giải  y 0 Đặt y  x    , ta được bất phương trình  y 2 x  x  y  x  y  x  x y  y 0 (2) *TH1: Xét y =  x  1 thay vào BPT thỏa mãn  x  nghiệm 2 2  x  x  x  x  *TH2: Xét y > BPT (2)        0    1   1 0  y  y  y  y   x   y 2 x y suy   x 0      x 0 x      x  2 x   x  1     x    x  4 x  1  Vậy tập nghiệm BPT S =   ;     2 x  x 2 x y  y  x, y    Ví dụ Giải hệ phương trình  x  12 x  12 y   y  x    Lời giải ĐK: x 0; y 0 2 Phương trình (1)  x  x  1  y  x  1   x  y   x  1 0  x  y (Vì x   0, x   ) Thế vào phương trình (2) ta có x  12 x  12 x  3 x  x   Đặt a 2 x  1, a 1 , ta có phương trình   x2  x 1   3 x  x  2 2 x  3a 3x  a  x  3a 9 x  6ax  a  a x 2  x  3a 9 x  6ax  a  x  6ax  2a 0    a  x  L   x 1   x 3  2 Khi a x , ta có x 2 x   x  x  0    x 1   L   y 3  2 Thử lại thấy thỏa mãn   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2;3  2 Bài tập luyện tập: Bài Giải phương trình: 10 x  3x 1   x  x 1 ( Đề thi HSG Lạng Sơn 2012) Bài Giải bất phương trình: x  x  Bài Giải bất phương trình  x  2  x 0 ( Đề thi HSG Nghệ An 2012) 6( x  x  1)  x  x  0 2 Bài Giải phương trình:  x  1   x  x  x  2  x  x  Bài Giải phương trình:  x  x   5 x3  Bài Giải phương trình x  2 x   x  x  y x y  xy  1 Bài Giải hệ phương trình:   x  y   y  14  x    y   x   x  y  x  y Bài Giải hệ phương trình:   x  y  x  11    Bài Giải phương trình: Bài 10 Giải phương trình: x   10  x  x  x  66 0 3x   x  3x  x  Bài 11 Giải phương trình: x 1  x  x  x   x  20  x  y   4  x  y   x  y  Bài 12 Giải hệ phương trình:  2 x  y   Hướng dẫn giải Bài Phương trình cho  x   2 x    x  2 x2  x 5 3 2 x  ( x  2)( x  2) x  1  x 2   2( x  2)    x  (1)  x   x  1 Ta có phương trình (1)     x  2   x  1    0 nên (1) vô nghiệm x2    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   2;  Bài ĐK x  y  0 Từ (1) ta có x=y x2 = 2y (Loại) x = y, thay vào phương trình ta có: x  x   x  14  x   x  x   x  14   x   0    x2  2x        0  3   x  14  x     x    x2  x  x  14   x 1   x  x  0    x 1     Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    2;1  ;  2;1    x   x  y  x  y  y  1  Bài Hệ cho tương đương với  2   x  y   x  11  Từ (1) suy y 0 , vì y0, VT(1) > VP( 1)  1   x2   x  y  x2   x  y     x y    x   x  y   y 0 x y   x  y   x  y 1 x2  x  y  y2 x2  x  y  y 0   x2   x  y  x y   0  x  y  0   x  y  1    x  y   x  y 1 x  x y  y   Thế y x  vào phương trình (2) ta được: x  x   x  11   x  1  x   10 0 Đặt t  x  1, t 0 , ta có t  3t  10 0   t    t  2t  4t   0  t 2 Khi  3  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   ;  2  2 Phương pháp đặt ẩn phụ x  2  x   x  y  xy  4 y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình:  2  y ( x  y ) 2 x  y  (2) Lời giải: Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ  x2 1  y  x  y 4  Với y khác không, chia hai vế (1) (2) cho y ta được:  ( x  y ) 2 x    y a x  y a  b 4   Đặt  x  ta có  a 2b  b  y  Từ ta tìm được x y b 4  a   a 2(4  a)  b 4  a   a  2a -15 0  a  5, b 9  a 3, b 1    x  y  x y  xy  xy  Ví dụ Giải hệ phương trình:   x  y  xy (1  x )   Lời giải:  2  x  y  xy ( x  y )  xy  Hệ cho tương đương với  ( x  y )2  xy    x  y a Đặt  , ta được hệ  xy b   a  ab  b    a  b    b   a  a  a  a   a   4 a    a  a  0  a 0; b     a  ; b  b   a   2 Từ ta tìm được x, y Ví dụ (Đề thi HSG Vĩnh Long 2012) Giải phương trình: x  x  1  x  x  x3  x Lời giải: Đặt t  x  x  1, t  Khi phương trình trở thành: 4t  t  7t   t  6t    t  4t   0 2   t  3   t   0   t  t  1  t  t   0 (*)  t  t  0 (*)    t  t  0 Ÿ Với t  1 thì t  t  0 có nghiệm t  2 Ÿ Với t    21 thì t  t  0 có nghiệm t  2  1  1 Ÿ Khi t  thì x  x     x  x      x  1 0   1  x 2    21    21 ŸKhi t  thì x  x     x  x   21 0 2    x   19  21   19  21 x 2 Vậy phương trình cho có nghiệm  x    19  21 ; x    19  21 2 Bài tập luyện tập: Giải phương trình, hệ phương trình sau 1  2  x   y  x  y   y 0  x  y  x  y 5  x  y  xy ( x  y  4) 0 1)  2)  3)  ( x  y )( x  y ) 4 xy  x  x  y    x  0  xy  1  x  y   2   x  xy  y  51  x  y   0 4)    x    x  y   0  x y  y  16 11xy 5)  2  x 2 y 12 y 3xy 3.Phương pháp hàm số Phương pháp hàm số phương pháp quan trọng để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Muốn làm tốt phương pháp việc nắm kĩ thuật sử dụng hàm số cần phải ý sai lầm thường gặp phương pháp Khi giải tốn thường sử dụng tính chất sau: Cho K khoảng ( nửa khoảng, đoạn) Tính chất 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục K, hàm số y  f  x  ln đồng biến ln nghịch biến K phương trình f  x  c (c số) có nhiều nghiệm K Tính chất 2: Cho hàm số y  f  x  ; y g  x  liên tục K, hàm số y  f  x  đồng biến K, y  g  x  ln nghịch biến K phương trình f  x  g  x  có nhiều nghiệm K Tính chất 3: Cho hàm số y  f  x  liên tục K, hàm số y  f  x  đồng biến ln nghịch biến K với u , v  K ta có f  u   f  v   u v Tính chất 4: Cho hàm số y  f  x  liên tục có đạo hàm K, phương trình f '  x  0 có nhiều n nghiệm K phương trình f  x  0 có nhiều n+1 nghiệm K Tính chất 5: Cho hàm số y  f  x  liên tục K, hàm số y  f  x  đồng biến K với u , v  K ta có f  u   f  v   u v Ví dụ (Trích đề thi HSG Nghệ An 2012) Giải phương trình:  x  2   x   2 x  3 x  ( x  ) Lời giải Điều kiện xác định: x  Phương trình cho tương đương: 3x  3x   x   2x   x   2x   0 2x  2x  3x  5  f ( x)  x   2 x   Đặt với x thuộc  ;    2x  2  10  f '( x)     với x  2 x   2x  4  x  5 5   hàm số f ( x) đồng biến  ;    2   phương trình f ( x ) 0 có tối đa nghiệm Ta có f (3) 0 (1) (2) Từ (1) (2) suy phương trình cho có nghiệm x 3 Nhận xét: Ngoài việc nắm rõ tính chất 1, để giải được tập cần phải lựu chọn hàm số cần khảo sát Ta xét tiếp tập sau: Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2012) Giải phương trình: 3x  x  x.3x 1  x   Lời giải  x 0  3x 1  TH1:  x  x.3 1  (3  1)(1  x) 0    x 1  x   2x 1 x x x 0( x  ) (1) TH2:  x  x.3    2x  2 x 1 1 1   x , x    ;    ;   Xét hàm số f  x  3  2x  2    f '  x  3x ln   0, x  2  x  1 x x x 1    Suy ra, f  x  đồng biến khoảng   ;  ;  ;   2    1 1   Nên khoảng   ;  ;  ;   PT (1) có nhiều nghiệm 2    Mà f  1  f   1 0 Suy ra, (1) có nghiệm x 1   Vậy phương trình cho có tập nghiệm là:   1; 0; ;1   Nhận xét: Nếu khơng nắm tính chất học sinh hay mắc sai lầm là: 1    khẳng định f  x  đồng biến khoảng   ;  ;  ;   vội vàng kết luận phương trình 2    1    có nhiều nghiêm   ;    ;   2    Ví dụ (Trích đề thi thử Đại học tỉnh Bắc Ninh 2013- 2014) Giải hệ phương trình:  xy x   3 y   y   x, y     3  x  1 x y  xy   x  x y  x 0  Lời giải: ĐK: x y  xy 5   Xét phương trình (1) y   y  y  y 0, y ; y 2 Mà x y  xy 5  y  x  x    y    x   x 0, x; y  x   3 3 Khi ta có: x x   x      y y  y  1a  Xét hàm số f  t  t t   t , t   0;    f '  t   t   t2 t 1   0, t   0;    Hàm số f  t  đồng biến  0;    3 3 Do phương trình  1a   f  x   f    x   y  y x  y Thay y  vào phương trình (2) ta có x  3x  1 3x   x  x  x 0   3x  1   x  1   3x   x 4 x  12 x  x  x  3x  3x    4 x  12 x  x   x  x    x   0 3x   x 3x   x   3x   x 1  0, x  )  x  x  0   ( Vì x  3x   x  x 2  3 Vậy hệ phương trình có nghiệm  1;3 ;  2;   2 Ví dụ Giải bất phương trình: 3x(2  x  3)  (4 x  2)(1   x  x ) 0  1 Lời giải: Viết lại phương trình dạng: 3x(2  (3 x)  3)  (2 x 1)(2  [  (2 x  1) ]  Xét hàm số f  t  t (2  t  3),  t   ; f ' (t ) 2  t   t2 t2 3 0 hàm số f  t  đồng biến  Do (1)  f  3x   f   x  1  3x  x   x    Vậy tập nghiệm bất phương trình T   ;     Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2013) Giải hệ phương trình:  x  log x log  x  y.2 x   2 log x  log y   x log x  y     2 Lời giải: ĐK: x  0; y   x Phương trình  1  x  log x log   y  1   x  log x  x  log  y  1  x  y  Thế vào (2) ta có log x  log x  x log x  3x 0  log x  0  3  log x  3  log x  x  0    2log x  x 0   Giải (4), xét f  x  2 log x  x  x    f '  x   1 x ln 2 ln Lập BBT, từ suy phương trình (4) có nhiều hai nghiệm Mà f    f   0    có hai nghiệm x 2; x 4 f '  x  0  x  Vậy hệ phương trình cho có ba nghiệm  x; y  :  8;7  ;  2;1 ;  4;3 Bài tập luyện tập: Giải phương trình, hệ phương trình sau  x 6 2x  1) x3  x  x   x   x  2)3  x  3)  x  10 x  17 x  2 x x  x3 4) x  15  3x   x  x   x  x   y    x  1  y  1 5)  4 x y   x  x  x  3 x    x3  y   x  y    x  y   0 6)   3 x   y  3 7) x 1   x 1  x  8)2 x  x    1 8x2 x  x  y  1   x  1 x 6  10)  2  x y  y 1 x  x 1  2   x  y  x  y  33 29 y 9)    2x   x y   Phương pháp đánh giá  x    x  1  y  x  3x  y    , x, y   (x; y  R) Ví dụ Giải hệ phương trình:    y  y   y  x   Lời giải ■ Điều kiện :  y  y  0  3x  5 ( x  1)  y  ( x  1)   3x    y   y 3 x    3x   y  ( x   y ) 0    y x  Với y = 3x - thay vào (2) ta được  y  y    vô nghiệm Với y x  thay vào (2) ta được  x  x  x  (*) Điệu kiện   x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1.1.1  x   x4  x4 Từ (3) ta có: x  x    x  x  12 x  0 2   x  1  x  x   0  x 1 Thử lại x = thỏa mãn (*) Vậy hệ cho có nghiệm (1; 0)  2 2  x  x  y   x 2  x  y  Ví dụ Giải hệ phương trình:  76 x  20 y   x  x  1  Lời giải: Điều kiện: x  y Pt  x  x  y   x  2  x  x   x  y 2   x  x  y  0     x  y   x     x  y 0  x  y  x x  x  y   x  y   0    x  x  y  y x  x 2 Khi pt (2) trở thành: 96 x  20 x   x  x  1   x  1  8x  8x 1 1  x  x  1 Sử dụng BĐT Cô si cho số ta tìm được nghiệm phương trình x        Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    ;  ;  ;    8   8    x 12  y  y (12  x ) 12 Ví dụ (Đề thi Đại học khối A – năm 2014) Giải hệ phương trình   x  x  2 y  Lời giải: Ta có x 12  y  (12  x ) y  Dấu “=” xảy  x 12  y  12  y y Khi (1) tương đương với (3)  x 0  (3)   2  x y 144  12 x  12 y  x y Thế (4) vào (2) ta có x  12  x   12  y  y  12  x y  (12  y )(12  x ) (3)  x 0  x 0    2 12 y 144  12 x  y 12  x (4) (2)  x3  x  2 10  x  x  x   10  x 0    x  x    10  x 0   x  3  x  x  1    x  3  x  x  1   x2  (10  x )  10  x 0  2( x  3)  0   x  3  x  3x    0  10  x  10  x    x 3   x  3x   2( x  3) 0   10  x  x 3  y 3  x 3 Vậy   y 3 Một số tập khác Bài Giải phương trình x  15 x  34 3 x   1 Lời giải: Ta có x  15 x  34   3 x    x  Cách 1:(Liên hợp thành phần)  1  x  15 x  28 3  x      x    x     x 4     2x  7    12  x  8 12  x    x  8  4x   0  *  4x   + Nếu x   VT  *   phương trình (*) vô nghiệm + Nếu x   VT  *   phương trình (*) vô nghiệm + Nếu x 4 Thỏa mãn phương trình (*) Vậy phương trình cho có nghiệm x 4 Cách 2:(Liên hợp hoàn toàn)  1  x  16 x  32 3 x    x    x    x  14    x  4  2  x  8  3 x   x     x   0  x 4   x  14   2 0  * 2   x  8  3 x   x     x    Vậy phương trình cho có nghiệm x 4 Cách 3:(Phương pháp đánh giá) Ta có: 3  x   8.8 4 x    x   x  ( Theo bất đẳng thức Cơ si) Do x  15 x  34 x    x   0  x 4 Thử lại thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x 4 Bài (Trích đề thi thử Đại học khối A tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 – 2013)  x  x y  x  x  y  Giải hệ phương trình  3  x  y   x  y   15 3 x  Lời giải:  1  x3  x y x  x  y   x  x  y    x  y  x    x  y   x  1 x   x  y  0 (vì x   0, x ) Thế vào phương trình (2) ta có x3  x  x  3 x   x  1   x  1  x    3 x   3 Xét hàm số f  t  t  3t  f '  t  3t    t     f  t  đồng biến  Phương trình (3)  f  x  1  f   6x2   x   6x2  3 3  x  x  x  0   x  1 2  x  1  x    x  1  x  2 1  y 3 21 21  1  x ; y  ;3   Vậy hệ phương trình có nghiệm      1 2   x  x  y   x  y  x  y Bài Giải hệ phương trình:    y  x  x  0 Lời giải:  1  x3  xy   x  y  x  y 0  x  x  x  y    x2  y  0  x 0  2x  x2  y   ( Vì x =y =0 không nghiệm hệ )  y 3 x Thế vào pt (2) ta có y  y  y  0 (*) Ta giải phương trình (*) tập      Thật vậy: xét y    2;  , Đặt y 2sin t , t    ;  ,  2  Pt(*) trở thành: 8sin t  4sin t  2sin t 1 0  4sin t   2sin t  1  4sin t  4sin t.cos 2t 4 cos t   sin 4t cos3t ( Do cos t 0 không nghiệm pt)  k 2  t     14  sin 4t sin   3t     k   2   t    k 2   5 3        5 3   ;  2sin  Vì t    ;   t   ; ;    y  2 sin ; 2sin 14 14 14   2  14 14 14   Mà phương trình bậc có tối đa nghiệm nên pt(*) có nghiệm   2sin   14  y 2sin  x  14 Kết hợp với điều kiện y 0 ta có  3  2sin  14  y 2sin  x  14 Từ tìm được nghiệm hệ phương trình Bài (Trích đề kiểm tra lực giáo viên THPT tỉnh Bắc Ninh năm học 2012-2013)  x  13 x  17  y  3 y     x  26 x  42  x  13 x  19 Giải hệ phương trình:  y 1  x  x  1 ( y  1)  Lời giải:  x  26 x  42 0   3  x   ĐK:  y   x    y    17  7 2 x  13x  19  2, x   3;  Ta có  x  26 x  42 0,   2  x  26 x  42  x  13x 17   x  26 x  42   2 2 x  13x 19 x  13 x  19 Do đó,  y  3 y  12    y   y   12 0  y  2  y 3 ln  x  1 ln  y  1  x y 1 ln a , a   0;   Xét hàm số g  a   a  ln a g '  a   , g '  a  0  a e a ln ln  5 ; y  4  g  y  1  g    Do x    2;   g  x  1 g    2  2 Từ suy x 3, y 3 Thử lại x 3, y 3 thỏa mãn hệ phương trình Với y 3 ta có     3x   y   x  x y 0  x, y    Bài 5: Giải hệ phương trình   x  y    x Lời giải:  x  ; y  3 3  4 Nhận xét:  x; y    ;   khơng nghiệm hệ Do x  y  4  3 ĐK  3 x  y     x  x  y  0   x  y    x  0  3x   y   3x   y    x  y Thay vào phương trình (2) ta có  1  x3  3x    3x   x3  x  1    x   , Vì  1  x  0, 3x   y    3x 0   x  x  1  x      x    3x    0   Ta có x     x  1   x   3x   x  x    x  1  x 2  x   3x2   x  1  x    x   2  2  x   3x    x 1   3x2   3 2  x   3x   , với  x  3  1 x 2 Do ta có  x  x  0    1 x   1 1   1 1  ; ; Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    ;    2    x3  3x   y  y  x, y    Bài 6: Giải hệ phương trình    14 x  y  48  x  x  Lời giải: ĐK x 3; y 0;  14 x  y  48 0  Ta có: x  x   x  3  x     x 3  x   0  x  1  x 4 Mà  14 x  y  48 0  y 14 x  48 8  y 4  1   x  1    x  1   y 3  y 3 Xét hàm số f  t  t  3t , t   1;   f '  t  3t   t   1;    f  t  đồng biến  1;   Khi phương trình  1  f  x  1  f   y 3  x  1 y 3 Thế vào phương trình (2) ta có x  18 x  44   x  x   2  x     x  3  x    x     x    x   0  x   x   x 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   7;33 Một số tập tham khảo Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: x  x  x   x  20 1) x 1  2) 4( x  1) (2 x  10)(1   2x )2 3)  x  1  x x  40 4) x  x   x  ( Trích đề thi HSG Đắc Lắc 2013) 5) x   x  3 x   22 x  0 (Trích đề thi HSG TP HCM 2013) 6) ( x  4)  x3  x 13 7) x  8) 1 x  5 x  x   x2   x    1   x    x  3  y2  2 x  y  x x 9)    y   x  1 10) x    x 2 x  x  11) ( x  2)(2 x  1)  x  4  1 x 12)  x 1  ( x  6)(2 x  1)  x  6x  x  x  y  y  x    1 14)   x  y  x  1  y    2  x y  xy  y 2 xy  x 1 13)  2  x  y  xy  0 2 x  y  y  x  0 15)   x  x    y  y  3  13 0 12 x  y  xy 16 16)   x   y  6  ( x  y )  x  y x 17)  2 4 y x  y  y x  x x   ( y  2) y xy 18)  ( x  y  2) x   xy  x  x   y 1 19)  2  x  xy  y 7 20)  x  1 5  x x   y  ( x  2013)(5  x)  x  21) 2 log x  log ( x  y  2) log (3 y  3) 2    xy   y x  22)  ( Trích đề thi HSG Nam Định 2013) 2  y   x  1 x  x  2 x  x 3 23) 3x  x 2  ( x3  3x  1)32 x  x 34 x 1 (Trích đề thi HSG Ninh Bình 2012)  xy  y  x  xy  y   x  24)  (Trích đề thi HSG TP HCM 2013)  x  y y  6 y   x  2x x  y    25)  x y x  y ( Trích đề thi chọn đội tuyển QG – Hà Nội) 2 x  y  x   y   26) ( x  2)    x  x    x  2 x  x  (Trích đề thi chọn đội tuyển QG – Kon Tum 2013)  x y 1  y  1 x  27)  2x2  x   y 1   x  18 x  20  2x  9x   (Trích đề thi chọn đội tuyển QG – TP HCM 2013)  x  xy  x  0  28)  2  x  1   y  1  xy  x y  y 0   x  xy  y 0 29)  2  x  x  4 y  y  ... 5)  2  x 2 y 12 y 3xy 3 .Phương pháp hàm số Phương pháp hàm số phương pháp quan trọng để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Muốn làm tốt phương pháp việc nắm kĩ thuật sử...    x   0  x   x   x 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   7;33 Một số tập tham khảo Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: x  x  x   x  20 1)... x   19  21   19  21 x 2 Vậy phương trình cho có nghiệm  x    19  21 ; x    19  21 2 Bài tập luyện tập: Giải phương trình, hệ phương trình sau 1  2  x   y  x  y  