Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN CHỨA THAM SỐ - Là phương trình có dạng: ax = b phụ thuộc vào tham số m a≠0→ x= +) Nếu +) Nếu b a b = ↔ x = 0(vo.so.nghiem) a = → 0x = b →  b ≠ ↔ ptvn Bài 1: Giải biện luận số nghiệm phương trình sau a c ( m2 − 4) x = 3m − b m( x − 2) = x + d (2m + 1) x − 2m = x − (m + 2) x − 2m = x − Lời giải a ( m2 − 4) x = 3m − (m − 4) ≠ ↔ m ≠ ±2 → x = +) Nếu +) Nếu b 3m − = m −4 m+2 m = 0 x = 0(vo.so.nghiem) (m − 4) = ↔  →  m = −2 0 x = −12( vo.nghiem) (2m + 1) x − 2m = x − ↔ (2m − 2) x = 2m − 2m − ≠ → x = +) Nếu +) Nếu 2m − =1 2m − 2m − = → m = −1 → x = → vo.so.nghiem Vậy +) Nếu m ≠1 phương trình có vơ số nghiệm +) m = phương trình vơ nghiệm c m( x − 2) = x + ↔ (m − 3) x = 2m + m−3 ≠ ↔ m ≠ 3→ x = +) +) d 2m + m−3 m − = ↔ m = → x = 7(vo.nghiem) (m + 2) x − 2m = x − ↔ (m + 1) x = 2m − m + 1) > 0∀m → pt x= Ta có: ln có nghiệm Bài 2: Cho phương trình 2m − m2 + (m − 1)( x + 2) + = m a Tìm m để x = nghiệm phương trình b Tìm m để phương trình có nghiệm c Tìm m để phương trình có nghiệm x = Lời giải a Thay x = vào phương trình, ta được: b  −4  5(m − 1) + = m ↔ 5m2 − m − = ↔ m ∈ 1;   5 ( m − 1)( x + 2) + = m ↔ (m − 1) x = −2m + m + Để phương trình có nghiệm xảy trường hợp +) Phương trình có nghiệm +) Phương trình có vơ số nghiệm Vậy m ≠ −1 ↔ m −1 ≠ ↔ m ≠ ±1  m − = ↔ m =1   −2m + m + = phương trình ln có nghiệm c Để phương trình có nghiệm dy m= Vậy  m ≠ ±1 m ≠ ±1  −4  m = ↔ ⇔m=  −2 m + m +  =3    m = −4  m2 −   −4 Bài 3: Cho phương trình m( x + 1) − x = m + m − Tìm m cho a Phương trình nhận nghiệm b Phương trình có nghiệm c Phương trình vô nghiệm Lời giải a Thay x = vào phương trình → m ∈ { −1; 2} b Phương trình có nghiệm xảy trường hợp có nghiệm có vơ số nghiệm m( x + 1) − x = m + m − ↔ (m − 2) x = m − +) Phương trình có nghiệm +) Phương trình có vơ số nghiệm ↔ m−2≠ 0↔ m ≠ m − = ↔ ↔m=2 m − = Vậy phương trình có nghiệm với m c Phương trình vơ nghiệm Bài 4: Tìm a∈Z m − = ↔ ↔ m ∈∅ m − ≠ để phương trình 3( x + 2) = ax + Lời giải có nghiệm nguyên 3( x + 2) = ax + ↔ (3 − a) x = −2 +) Nếu − a = ↔ a = → ptvn 3− a ≠ → x = +) Nếu −2 ∈ Z ↔ − a ∈ U (−2) = { ±1; ±2} ↔ a ∈ { 1; 2; 4;5} 3−a Bài 5: Giải biện luận phương trình sau a c ( m − 2) x + = 2m − x +1 b mx + =1 x −1 d 2a − = a−2 x−2 ( m + 1) x + m − =m x+3 Lời giải a Điều kiện: x ≠ −1 → (m − 2) x + = (2m − 1)( x + 1) ↔ (− m − 1) x = 2m − − m − ≠ ↔ m ≠ −1 → x = +) 2m − −m − nghiệm phải 2m − 2m − ≠ −1 ↔ ≠ −1 ↔ + ≠ ↔ 2m − − m − ≠ ↔ m ≠ −m − −m − m ≠ −1; m ≠ → x = Vậy với 2m − −m − Với m = phương trình vơ nghiệm +) −m − = ↔ m = −1 → pt ↔ x = −5(vo.nghiem) b Điều kiện xác định: x−2 ≠ ↔ x ≠ 2a − = a − ↔ ( a − 2) x = 4a − x−2 a−2≠ 0↔ a ≠ 2→ x = +) +) 4a − a−2 Xét 4a − ≠ ↔ 4a − ≠ 2(a − 2) ↔ a ≠ a−2 a − 200 ↔ a = → pt ↔ x = 3(vo.nghiem) a = 2; a = Vậy a ≠ 2; a ≠ → c Điều kiện → 4a − ≠ ↔ 4a − ≠ 2(a − 2) ↔ a ≠ a−2 Xét phương trình vơ nghiệm x= phương trình có nghiệm 4a − a−2 x ≠1 mx + = ↔ mx + = x − ↔ (m − 1) x = −2 x −1 +) m − = ↔ m = → ptvn m −1 ≠ ↔ m ≠ → x = +) Vậy Vậy m ≠ −1; m B1 → m = 1; m = −1 d Điều kiện −2 −2 −2 − m + −m − ≠1↔ −1 ≠ ↔ ≠0↔ ≠ ↔ m ≠ −1 m −1 m −1 m −1 m −1 x= phương trình có nghiệm −2 m −1 phương trình vơ nghiệm x ≠ −3 (m + 1) x + m − = m ↔ (m + 1) x + m − = m( x + 3) ↔ x = 2m + x+3 2m + ≠ −3 ↔ m ≠ Xét −5 m= Vậy −5 phương trình có nghiệm x = 2m + BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Giải biện luận số nghiệm phương trình sau a c m( x − m) = x + (m − 2) m ( x + 1) − = (2 − m) x b m x + = x + 3m m ( x − 1) + m = x(3m − 2) d Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a ( x − m)( x − 1) = m( m − 1) x = m − b Hướng dẫn a b x = ( x − m)( x − 1) = ↔  → m =1 x = m m ≠ m(m − 1) x = m − ↔ m(m − 1) ≠ ↔  m ≠ Vậy m ≠ 0; m ≠ Bài 3: Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm : phương trình có nghiệm ( m + 1) x − ( x + 2) = Giải (m + 1) x − ( x + 2) = ↔ mx − = Để phương trình vơ nghiệm m = ↔m=0   −2 ≠ Bài 4: Tìm m để phương trình sau có vơ số nghiệm : Lời giải m x − m = x − 2(1) (1) ↔ (m − 4) x = m − có vơ số nghiệm m − = ↔ ↔m=2 m − = Bài 5: Với giá trị m thì: a c x − = 5a + có nghiệm dương (a − 3a + 2) x + = 3a b 3( x + 2) = ax + có nghiệm lớn -1 có nghiệm Lời giải x − = 5a + ↔ x = 5a + ↔ x = a b 3( x + 2) = ax + ↔ (3 − a ) x = −2 3−a = ↔ a = 3→ +) thay vào phương trình vơ nghiệm 3− a ≠ ↔ a ≠ → x = +) a > −2 2 a −1 = > −1 ⇔ +1 > ↔ >0↔  3− a a −3 a −3 a−3 a < (a − 3a + 2) x + = 3a ↔ (a − 3a + 2) x = 3a − c 5(a + 1) > ↔ a > −1 2 có nghiệm Bài 6: Tìm a để phương trình có nghiệm ngun: a ≠ ↔ a − 3a + ≠ ↔  a ≠ 2 x + a − = ( x + 2)a Lời giải x + a − = ( x + 2)a ↔ x = x∈Z → Để a+3 a−2+5 = = −1 + 2−a 2−a 2−a 5 5 ∈Z → = k ∈ z (k ≠ 0) → − a = → a = − ( k ∈ Z ; k ≠ 0) 2−a 2−a k k ( Vì a khơng ngun ) → +) Nếu a nguyên ∈ Z → 5Mk → k = ±1; k = ±5 k Bài 7: Cho phương trình: − 3m = m + 1(1) 2− x Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải Điều kiện: x≠2 − 3m = m + ↔ − 3m = ( m + 1)(2 − x) ↔ ( m + 1) x = 5m 2− x m + ≠ ↔ m ≠ −1 → x = +) 5m m +1 Bài 8: Cho phương trình: Vì m ≠ −1 m ≠ −1   x ≠ →  5m ↔  m + ≠ m ≠ 2x +1 x + = 2x − m x −1 Tìm m để phương trình vơ nghiệm Lời giải x ≠ 1; x ≠ Điều kiện: m 2x + x + = ↔ (2 x + 1)( x − 1) = ( x + 3)(2 x − m) ↔ ( m − 7) x = − 3m(1) 2x − m x −1 m ≠ → (1) ↔ x = +) TH1: x= - x≠ Vì m ;x ≠1  m = −1 m − 3m m ↔ = ↔ − 6m = m − ↔  m−7 m = x =1↔ - − 3m m−7 − 3m = ↔ − 3m = m − ↔ m = m−7 nên ta có trường hợp sau: Vậy phương trình vô nghiệm ↔ m ∈ { −1; 2;7} Bài 9: Giải biện luận phương trình sau: m 3m − 4m + + = 2 x−m m −x x+m Lời giải Điều kiện xác định: x ≡ ±m m 3m − 4m + m 3m2 − 4m + + = ↔ − = → m( x + m) − 3m + 4m + = x − m ↔ ( m − 1) x = ( m − 1)(2m − 3) 2 x−m m −x x+m x − m ( x − m)( x + m) x + m m − = ↔ m = → 0.x = +) Vì x ≠ ± m → x ≠ ±1 → m = Hay +) phương trình nghiệm với S = { x ∈ R / x ≠ ±1} m − ≠ ↔ m ≠ → x = 2m − +) +) Vậy điều kiện x ≠ ±m → x ≠ m ↔ 2m − ≠ m ↔ m ≠ x ≠ − m ↔ 2m − ≠ − m ↔ m ≠ m ≠ 1; m ≠ phương trình cho có nghiệm x = 2m − x ≠ ±1 B BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẢN Dạng tổng quát: −b  a > ↔ x ≥ a ax + b ≥ ↔ ax ≥ −b ↔   a < ↔ x ≤ −b  a Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau a c 4x −1 3x − +x≥ b −b  a > ↔ x ≥ a ax + b ≥ ↔ ax ≥ −b ↔   a < ↔ x ≤ −b  a d Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình sau 10 10 x + − 5x < 1+ −b  a > ↔ x ≥ a ax + b ≥ ↔ ax ≥ −b ↔   a < ↔ x ≤ −b  a PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO A Phương trình bậc cao đưa dạng tích Phương trình bậc cao đưa phương trình tích - Dùng phương pháp nhẩm nghiệm - Dùng định lý Bezut: Nếu f(x) = có nghiệm x = a - f ( x) = ( x − a).h( x) f ( x ) = an x n + an −1 x n−1 + + a0 = x= Nếu f(x) có nghiệm hữu tỷ p  p ∈ U (a0 ) → q q ∈ U (an ) - Nếu tổng hệ số đa thức có nghiệm x = - Nếu tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ ó nghiệm x = - Có thể sử dụng lược đồ Hoocne x = 2 x − 3x − x + x − = ↔ ( x − 2)(2 x + 3)( x − x + 1) = ↔   x = −3  VD: 2 Bài 1: Giải phương trình sau 14 a d x −4 x + = x −3 x + x + = b e x2 − x + = x3 − 3x + x − = c f x +2 x − x − 18 = x − x −3 x − = Lời giải a b c d x =1 x −4 x + = ↔ ( x − 1)( x − 3) = ↔  x = x = + x − x + = ↔ ( x − 2)2 − = ↔ ( x − 2) − ( 3) = ↔   x = − x +2 x − x − 18 = ↔ ( x3 − x ) + (5 x − 15 x) + (6 x − 18) = ↔ ( x − 3)( x + x + 6) = ↔ x ∈ { ±3; −2} 23   x −3x + x + = ↔ ( x + 1)(2 x − x + 6) = ↔ ( x + 1) ( x − ) +  = ↔ x = −1 16   x − 3x + 3x − = ↔ (2 x − 1)( x − x + 1) ↔ x = e f x − x −3 x − = ↔ ( x + 1)( x − x − x − 2) = ↔ ( x + 1)( x − 2)( x + x + 1) = ↔ x ∈ { −1; 2} Bài 2: HSG – Đông Anh – 2003 Giải phương trình sau a x −4 x + = b Lời giải a b  x = −3 / x −4 x − = ↔ (2 x + 1) − 22 = ↔   x = 1/ x −2 x − 3x + 10 = ↔ ( x + 2)( x + x − 5) = ↔ x = −2 Bài 3: Giải phương trình sau 15 x −2 x − x + 10 = a x4 + x2 + x − = b ( x − 1)3 + (3 x + 3)3 = 27 x + c ( x + 1) ( x + 2) + ( x − 1) ( x − 2) = 12 d ( x +5 x ) −2( x + x ) = 24 e ( x + x + 1) = 3( x + x + 1) f x = x + x3 + x + x + Lời giải a Ta có tổng hệ số = nên có nhân tử x – x + x + x − = ↔ ( x − x ) + ( x − x ) + (2 x − x) + (8 x − 8) = ↔ ( x − 1)( x + x + x + 8) = ↔ ( x − 1)( x + 2) ( x − x + 4) = ↔ x ∈ { 1; −2} ( x − 1)3 + (3 x + 3)3 = 27 x3 + ↔ x −11x −19 x − = ⇔ (6 x −18 x ) + (7 x − 21x) + (2 x − 6) = b c  −1 −2  ↔ ( x − 3)(6 x + x + 2) = ↔ ( x − 3)(2 x + 1)(3 x + 2) = ↔ x ∈ 3; ;   3 ( x + 1) ( x + 2) + ( x − 1) ( x − 2) = 12 ↔ x +10 x − 12 = ↔ ( x − 1)( x + x + 6) = ↔ x = ( x +5 x) −2( x + x) = 24 ↔ ( x + x) − 2( x + x) + 1 − 25 = ↔ ( x + x − 1) − 52 = ↔ ( x + 1)( x + 4) d e ( x − 1)( x + 6) = ↔ x ∈ { −1; −4;1; −6} ( x + x + 1) = 3( x + x + 1) ↔ ( x + x + 1) −3( x + x + 1) = ↔ ( x + x + 1) − 3( x + x + 1)( x − x + 1) = ↔ ( x + x + 1)  x + x + − 3( x − x + 1)  = ↔ ( x + x + 1)( x − 1) = ↔ x = f x = x + x + x + x + ↔ x − x − x − x − x − = ↔ ( x −1) − ( x + x + x + x + 1) = ↔ ( x − 1)( x + x + x + x + 1) − x = ( x + x3 + x + x + 1) = ↔ ( x − 2)( x + x3 + x + x + 1) = ↔   x + x + x + x + = 0(*) (*) ↔ ( x + x ) + ( x + 1) + x = ↔ ( x + 1)( x +1) + x = ↔ ( x + 1) ( x − x + 1) + x = → vo.nghiem Bài 4: Dùng cách đặt ẩn phụ giải phương trình sau 16 a ( x +1) +(1 − x) = ( x − x + 2) (1) b ( x +3x − 4) +(2 x − x + 3) = (3 x − x − 1) c 3 − x + x +3 = d x2 + 2x + x + − = e f (2 x − 5) − ( x − 2) = ( x − 3) 3 x +8 x3 + 15 x − x − = ( x − 2)( x + 2)( x − 10) = 72 g Lời giải   x + = 0(voly a =   a = x +1; b = − x → a + b = (a + b)3 ↔ a + b3 = a +3a 2b + 3ab + b ↔ 3ab(a + b) = ↔ a = −b ⇔  x + = 3x −  b = x =  1  (*) ↔ x −3 x + = ↔ x ∈ { 1; 2} ⇒ x ∈ 1; 2;  3  b ( x +3 x − 4) + (2 x − x + 3)3 = (3 x − x − 1)3 a = x +3 x − 4; b = x − x + → a + b = x − x − → a + b3 = ( a + b)3 ↔ 3ab( a + b) = Đặt  a =  x ∈ { 1; −4}  −1   ↔ b = 1;3 / → x ∈  −4;1; ;  2   a = −b 1; −1/ c Đặt d t = −1(loai) t = x (t ≥ 0) → −t + 2t + = ↔  → x2 = ↔ x = ± t = 3( tm )  x +8 x + 15 x − x − = ↔ x +8 x3 + 16 x − x −4 x − = ↔ ( x + x) − ( x + x) − = Đặt  x = −2 ± ( x + 2) = t = −1  x + x + = t = x +4 x → t −t − = ↔  ↔ ↔ ↔  t =  x = −2 ±  x + x − = ( x + 2) = 17 x + x + x + − = ↔ x + x + + x + − = ↔ y + y − = 0( y = x + ; y ≥ 0) e y =1 x = ↔ → x +1 = →   y = −3  x = −2 f  y = 16 ( x − 2)( x + 2)( x − 10) = 72 ↔ ( y − 4)( y − 10) = 72  y = x , y ≥  ↔ y − 14 y − 32 = ↔  → x = ±4  y = −2 g Đặt a = b 5  x − = a; x − = b → a − b = x − → a − b = (a − b)3 ↔ 3ab(a − b) = ↔ a = ↔ x ∈ 3; 2;  2  b = B Phương trình dạng: ( x + a )( x + b)( x + c )( x + d ) = m(1)(a + d = b + c ) (1) ↔ ( x + a )( x + d )( x + b)( x + c ) = m ↔  x + (a + d ) x + ad   x + (b + c ) x + bc  = m Đặt t = x +( a + d ) x → (t + ad )(t + bc) = → t = → x = Bài 1: Giải phương trình sau a c e x( x + 1)( x − 1)( x + 2) = 24(1) b ( x − 4)( x − 5)( x − 6)( x − 7) = 1680 d x (8 x − 1) (4 x − 1) = f ( x + 2)( x + 3)( x − 5)( x − 6) = 180 (4 x + 3) (2 x + 1)( x + 1) = 75 (12 x + 7) (3 x + 2)(2 x + 1) = Lời giải a t = x( x + 1)( x − 1)( x + 2) = 24 ↔ ( x + x)( x + x − 2) = 24 ↔ t (t − 2) = 24 ↔ t − 2t − 24 = ↔  t = −4  x2 + x − = ↔ ↔ x ∈ { 2; −3} x + x + = 18 b ( x + 2)( x + 3)( x − 5)( x − 6) = 180 ↔ x −3 x − 14 = ±14 ↔ x ∈ { 7;3;0; −4} c ( x − 4)( x − 5)( x − 6)( x − 7) = 1680 ↔ ( x − 11x + 28)( x − 11x + 30) = 1680 ↔ ( y + 1)( y − 1) = 1680 ↔ y = ±41 +) +) d y = 41 → x − 11x − 12 = ↔ x ∈ { 1; −12} y = −41 → x − 11x + 70 = 0(vonghiem) (4 x + 3) (2 x + 1)( x + 1) = 75 ↔ (4 x + 3)(4 x + 3)(4 x + 2)(4 x + 4) = 8.75 = 24.25 Đặt t = (4 x + 3) → (4 x + 2)(4 x + 4) = (4 x + 3) − = t − → t (t − 1) = 24.25 ↔ t − t = 252 − 25 ↔ (t − 25)(t + 24) = 4 x + = x = ↔ t = 25(t ≥ 0) ↔ (4 x + 3) = 25 ↔  ↔  x + = −5  x = −2 e Nhân với ta được: x(8 x − 1)(8 x − 1)(8 x − 2) = 72 Đặt  x=  x − = y → ( y + 1) y ( y − 1) = 72 ↔ y ( y −1) = 72 ↔ y − y − 72 = ↔ ( y − 9)( y + 8) = ↔ y = ↔   x = −1  f (12 x + 7) (3 x + 2)(2 x + 1) = ↔ (12 x + 7) (2 x + 8)(12 x + 6) = 72( nhan.voi.24) Đặt  x =  y = 12 x + = y → ( y − 1) y y ( y + 1) = 72 ↔ y − y −72 = ↔  ↔  y = −8  x =  −1 −5 Bài 2: Giải phương trình sau a ( x −3x)( x +7 x + 10) = 216 b 19 (2 x − x + 3)(2 x + x − 3) + = Lời giải a ( x −3 x )( x +7 x + 10) = 216 ↔ x ( x − 3)( x + 2)( x + 5) = 216 ↔ ( x + x)( x + x − 15) = 216 ↔ y( y − 15) − 216 =  x + x − 24 =  y = 24  x = −6 ↔ y − 15 y − 216 = ↔ ( y − 24)( y + 9) = ↔  ↔ ⇔  y = −9  x + x + = 0(v.nghiem) x = b (2 x − x + 3)(2 x + x − 3) + = ↔ ( x − 3)(2 x − 1)(2 x + 3)( x − 1) + = ↔ (2 x − x + 1)(2 x − x − 9) + = t = −1  x − 3x − =  ↔ t (t + 10) + = ↔  ↔ ↔ t = −9  x − 3x =  Bài 3: HSG Bắc Giang 30/03/2013 Giải phương trình sau x − ( x − 1)( x + 1)( x + 2) = Lời giải +) Nếu +) Nếu  x = 0(loai )  x ≥ → ( x − 2)( x − 1)( x + 1)( x + 2) = ↔ ( x − 1)( x − 4) = ↔ x − x = ↔  x = 5(tm)  x = − 5(loai )  x < → (2 − x)( x − 1)( x + 1)( x + 2) = ↔ ( x − 2)( x − 1)( x + 1)( x + 2) = −4 ⇔ ( x − 1)( x − 4) = −4 ↔ x − x + = ↔ ( x − ) + = 0(vo.nghiem) Vậy phương trình có nghiệm C Phương trình dạng: Cách 1: Đặt x= ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) = mx (ad = bc) t = ( x + a )( x + b) Ví dụ1: Giải phương trình sau: 20 a ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 6) = 30 x (1) b ( x + 2)( x + 3)( x + 6)( x + 9) = 80 x (1) Lời giải a Đặt t = x +7 x + 12 → x +8 x + 12 = t + x ⇒ (1) ↔ (t + x)t = 30 x ↔ t + tx − 30 x = ↔ (t − 5tx) + (6tx − 30 x ) =  x + x + 12 = 0(vo.nghiem) t = x  x = −1 ↔ (t − x )(t + x ) = ↔  ↔ ↔  t = −6 x  x = −12  x + 13x + 12 = b ( x + 2)( x + 3)( x + 6)( x + 9) = 80 x ↔ ( x + 11x + 18)( x + x + 18) = 80 x ↔ x ∈ { −1; −8} Cách 2: +) Kiểm tra xem x = có nghiệm hay khơng? +) Xét x ≠ → pt ↔  x + (a + d ) x + ad   x + (b + c ) x + bc  = mx Chia hai vế cho x2 ta được: x + (a + d ) x + ad x + (b + c ) x + bc ad bc = m ↔ (x + + a + d )( x + + b + c ) = m ↔ (t + d + a)(t + b + c ) = m → t = → x = x x x x Ví dụ2: Giải phương trình sau: 4( x + 5)( x + 6)( x + 10)( x + 12) = 3x Lời giải 4( x + 5)( x + 6)( x + 10)( x + 12) = 3x ↔ 4( x + 5)( x + 12)( x + 6)( x + 10) = x ↔ 4( x + 17 x + 60)( x + 10 x + 60) = 3x Do x = không thỏa mãn phương trình nên ta chia hai vế cho x2, được: pt ↔ 4( x + 17 + 60 60 )( x + 16 + ) = x x 21 Đặt  t = 60 t = x+ → pt ⇔ 4(t + 17)(t + 16) = ⇔ 4t + 132t + 1085 = ↔  x t =  −31  60 −31 x+ = x 2 ↔  −35  x + 60 = −35  x   −15   x + 31x + 120 =  x ∈ −8;  ⇔ ↔   x + 35 x + 120 =   x ∈ { } D Phương trình dạng: t = x+ Cách giải: Đặt ( x + a ) + ( x + b)4 = m(1) a+b a+b a −b a+b a −b → x+a =t+a− =t+ = t+ µ ; x + b = t + b − =t− = t− µ 2 2 ( x + a ) + ( x + b) = m ↔ (t + µ ) + (t − µ ) = m → t = → x = Bài 1: Giải phương trình sau a c e ( x − 2) + ( x − 4) = 16 b (4 − x)5 + ( x − 2)5 = 32 d ( x + 1) + ( x + 3) = 16 ( x − 7) + ( x − 8) = (15 − x) ( x + 6) + ( x + 8) = 272 Lời giải a Đặt t b Đặt c t = x = t = x − → (t + 1) + (t − 1) = 16 ↔ t +6t − = ↔  ↔ x = t = −7(loai ) t =  x = −1 t = x + → (t − 1) + (t + 1) = 16 ⇔  ↔ t = −1  x = −3 (4 − x)5 + ( x − 2)5 = 32 ↔ ( x − 2)5 − ( x − 4)5 = 32 22 y = x − → x − = y + 1; x − = y − → ( y + 1)5 − ( y − 1)5 = 32 ↔ y + y + 10 y + 10 y + y + x = −( y − y + 10 y − 10 y + y − 1) − 32 = ↔ y + y − = ↔ y = ±1 →  x = Đặt d Đặt x − = a; x − = b;15 − x = c → −c = x − 15 → a + b = −c → ( x − 7) + ( x − 8) = (15 − x) ↔ a + b = c ↔ a + b − c = ↔ a + b − (a + b) = ↔ 4ab(a + ( a + b) + b ≥ 16 ( 3ab   + b ) = ↔ 4ab (a + b) + b  = ↔ ab = 16   không xảy dấu = ) ↔ ( x − 7)( x − 8) = ↔ x ∈ { 7;8} e x ∈ { −4; −10} ax + bx + cx + bx + a = E Phương trình dạng: Cách giải: ax + bx + cx + bx + a = ↔ a( x + 1) + bx( x + 1) + cx = t = x +1 t = x+ Đặt ( phương trình đối xứng ) x Ví dụ: Giải phương trình sau x − 3x − x − 3x + = Lời giải x − x3 − x − 3x + = ↔ 2( x + 1) − x( x + 1) − x = ↔ 2( x + 1) − x( x + 1) − x = Đặt  x + x + = 0(vo.nghiem) t + x =  1 t = x + → pt ↔ 2t − 3tx − x = ↔ (t − x)(2t − x) = ↔  ↔ ↔ x ∈ 2;   2  2t − x =  2t − x = 2 23 F Phương trình dạng: ax5 + bx + cx3 + cx + bx + a = ( phương trình đối xứng ) - Nhận thấy x = -1 nghiệm phương trình vế trái phương trình có nhân tử x + Sau phương trình quay trở dạng E Ví dụ: Giải phương trình sau a c x − x −4 x − x − x + = b x − 11x − 15 x − 15 x −11x + = x5 − x + 3x3 + 3x − x + = Lời giải 1  x − x −4 x3 − x − x + = ↔ ( x + 1) (2 x − 3x − x − x + 2) = ↔ x ∈ −1; 2;  4 44 4 4 43 2  dang E a b x − 11x − 15 x − 15 x −11x + = ↔ (6 x +6 x ) − (17 x +17 x ) + (2 x + x ) − (17 x + 17 x) + x + =  x = −1 ↔ ( x + 1)(6 x − 17 x3 + x − 17 x + 6) = ↔  6 x − 17 x + x − 17 x + = 0(*) (*) ↔ 6( x + 1) −17( x + 1) − 10 x = Đặt 2 x2 + x + = t = x + → pt ↔ 6t − 17tx − 10 x = ↔ 6t + 3tx − 20tx − 10 x = ↔ (2t + x )(3t − 10 x ) = ↔  3x − 10 x + = 2 2 x = 1  ↔ x − x − x + = ↔ x( x − 3) − ( x + 3) = ↔  → S = −1;3;  x = 3   24 c  x = −1 x5 − x + 3x3 + 3x − x + = ⇔ ( x + 1)( x −2 x + x − x + 1) = ↔   x − x + x − x + = 0(*) (*) ↔ ( x + 1 ) − 2( x + ) + = → vo.nghiem x x Vậy phương trình có tập nghiệm G Phương trình dạng: S = { −1} d  e ax + bx + cx + dx + e =  = ( )2  b  a - Phương trình trường hợp trường hợp đặc biệt phương trình - Cách giải: +) Đặt +) Xét t = x +1 x≠0 t = x+ Đặt x → ax + bx + c + , chia hai vế cho m m2 → t = x + + 2m → x x d e e d + = ↔ ( ax + ) + (bx + ) + c = x x x x phương trình bậc hai →t → x Ví dụ: Giải phương trình sau a c x − x +21x − 24 x + = x +3x − 27 x + x + = b x −21x +74 x − 105 x + 50 = d [ HSG Nam Trực – 2015 ] x +3x + x +3x + = e x +25 x + 12 x − 25 x + = Lời giải a Do x = khơng thỏa mãn phương trình nên ta chia hai vế cho x2, được: 25 x − x +21x − 24 x + = ↔ x − x + 21 − 24 9 3 + = ↔ ( x + ) − 8( x + ) + 21 = ↔ ( x + ) − 8( x + ) + 15 = x x x x x x   x + x =  x − 3x + = 0(vo.nghiem) ↔ ↔ ↔ x =  x + =  x − 5x + =  x t =  x2 − 6x + = 5  x −21x +74 x − 105 x + 50 = ↔ 2t − 21t + 54 = ↔  ↔  ↔ x ∈ 1; 2;5;  t = 2   x − x + 10 =  b c 2  x+ =   x2 − 7x + = 2 x 2 x +3x − 27 x + x + = ↔ 2( x + ) + 3( x + ) − 35 = ↔  ↔ ↔ x ∈ { .} x x  x + = −5  x + x + =  x d  x + = −1(vo.nghiem)  y = −  1 x x +3 x3 + x +3 x + = ↔ ( x + ) + 3( x + ) + = ↔ y + y + = ↔  ↔ ↔ x = −1 y = − x x  x + = −2   x S = { −1} Vậy phương trình có tập nghiệm e +) x= khơng nghiệm phương trình 6( x + +) Chia hai vế cho x2 ta được: 1 ) + 25( x − ) + 12 = x x Đặt  −3 x − x = 1 2 2 y = x − → x + = y + ↔ y + 25 y + 24 = ⇔ y +9 y + 16 y + 24 = ↔ (2 y + 3)(3 y + 8) = ↔  x x  x − = −8  x 26   x = −2; x =  x − = −3 x 1  ↔ ↔ → S = −2; ; −3;  3   x = −3; x = 3 x − = −8 x  BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI Bài 1: Giải phương trình sau a 1 13 + = 2 ( x + 29) ( x + 30) 36 b x −3 x + x − x + x − x + = Lời giải a 1 13 1 2 13 + = ↔ + − + = 2 2 ( x + 29) ( x + 30) 36 ( x + 29) ( x + 30) ( x + 29)( x + 30) ( x + 29)( x + 30) 36   1 2 13 13 ↔( − ) + = ↔ + +1 = +1  x + 29 x + 30 ( x + 29)( x + 30) 36 36  ( x + 29)( x + 30)  ( x + 29)( x + 30) 2   7 ↔ + 1 =  ÷  ( x + 29)( x + 30)    +) +) = − = ↔ ( x + 29)( x + 30) − = ↔ x + 59 x − 864 = ↔ x ∈ { −27; −32} ( x + 29)( x + 30) 6 −13 59 59 = ↔ x + 59 x + 870 + = ↔ ( x + ) + 870 + − ( ) = 0(vo.nghiem) ( x + 29)( x + 30) 13 13 Vậy phương trình có tập nghiệm b S = { −27; −32} x −3 x + x − x + x − x + = +) x = khơng nghiệm phương trình +) Chia hai vế cuả phương trình cho x3 ta được: 27 pt ↔ x − x + x − + t = x+ Đặt 1 1 − + = ↔ ( x + ) − 3( x + ) + 6( x + ) − = x x x x x x 1 1 1 → x + = t −2; x + = ( x + ) −3x ( x + ) = t − 3t x x x x x x Thay vào phương trình ta được: t − 3t − 3(t − 2) + 6t − = ↔ (t − 1)3 = ↔ t = ↔ x + 28 = → vo.nghiem x ... Cho phương trình 2m − m2 + (m − 1)( x + 2) + = m a Tìm m để x = nghiệm phương trình b Tìm m để phương trình có nghiệm c Tìm m để phương trình có nghiệm x = Lời giải a Thay x = vào phương trình, ... Để phương trình có nghiệm xảy trường hợp +) Phương trình có nghiệm +) Phương trình có vơ số nghiệm Vậy m ≠ −1 ↔ m −1 ≠ ↔ m ≠ ±1  m − = ↔ m =1   −2m + m + = phương trình ln có nghiệm c Để phương. .. m = −3 → (1) ↔ x ≥ vơ số nghiệm 13 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO A Phương trình bậc cao đưa dạng tích Phương trình bậc cao đưa phương trình tích - Dùng phương pháp nhẩm nghiệm - Dùng định lý Bezut: Nếu