Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN MỤC LỤC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2 Tìm nghiệm riêng phương trình: 2 Tìm nghiệm riêng phương trình (1) thuật tốn ơ-clit mở rộng 3 Phương pháp dùng tính chia hết .4 Dạng Phát tính chia hết ẩn .4 Dạng Phương pháp đưa phương trình ước số Dạng Phương pháp tách giá trị nguyên 16 Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ ẩn xét số dư vế 17 Dạng Sử dụng tính chẵn lẻ 18 Dạng Xét tính chẵn lẻ xét số dư vế 18 Sử dụng tính chất a(a + 1) = k2 .20 Sử dụng lý thuyết phần nguyên 21 Phương pháp dùng tính chất số phương 21 Dạng 1: Dùng tính chất chia hết số phương 21 Dạng 2: Đưa tổng số phương .22 Dạng 3: Xét số phương liên tiếp .26 Dạng 4: Sử dụng điều kiện  số phương 27 Dạng 5: Sử dụng tính chất: Nếu hai số ngun liên tiếp có tích số phương hai số nguyên liên tiếp 28 Dạng 6: Sử dụng tính chất: Nếu hai số ngun dương ngun tố có tích số phương số số phương 29 Phương pháp đưa ước số 30 Sử dụng phương pháp kẹp 34 10 Sử dụng tính chất chia hết đồng dư 38 11 Sử dụng lý thuyết đồng dư 41 12 Phương pháp xuống thang 44 13 Phương pháp dùng bất đẳng thức 46 Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển 46 Dạng 2: Sắp xếp thứ tự ẩn 48 Dạng 3: Chỉ nghiệm nguyên .51 Dạng 4: Sử dụng điều kiện   để phương trình bậc hai có nghiệm 52 14 Phương pháp khử ẩn để giải phương trình nghiệm nguyên 53 15 Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn .54 Dạng 1: Phương pháp lùi vô hạn 54 Dạng 2: Nguyên tắc cực hạn 55 16 Điều kiện phương trình có nghiệm nguyên 56 17 Bài toán đưa giải phương trình nghiệm nguyên 57 Dạng Bài toán số tự nhiên chữ số .57 Dạng Bài toán hàm số 58 Dạng Bài tốn tính chia hết số ngun tố 59 Dạng Các toán thực tế 60 C BÀI TẬP VẬN DỤNG D HƯỚNG DẪN GIẢI Biên soạn: Trần Đình Hồng 62 71 0814000158 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải phương trình nghiệm nguyên - Phương trình nghiệm ngun phương trình có nhiều ẩn số, tất hệ số phương trình số nguyên Các nghiệm cần tìm số ngun (Phương trình nghiệm ngun cịn gọi phương trình Diophantus - mang tên nhà toán học cổ Hy Lạp vào kỷ thứ II) - Giải phương trình f(x, y, z, ) = chứa ẩn x, y, z, với nghiệm nguyên tìm tất số nguyên (x, y, z, ) thỏa mãn phương trình Một số lưu ý giải phương trình nghiệm nguyên - Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm điểm đặc biệt ẩn số biểu thức chứa ẩn phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:  Phương pháp dùng tính chất chia hết  Đưa phương trình tích  Đưa ước số  Phương pháp xét số dư vế  Sử dụng lý thuyết đồng dư  Phương pháp sử dụng bất đẳng thức  Phương pháp dùng tính chất số phương  Sử dụng tính chất      Sử dụng lý thuyết phần nguyên Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn Sử dụng phương pháp kẹp Phương pháp xuống thang Sử dụng delta phương trình bậc hai B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Tìm nghiệm riêng phương trình:  Lý Thuyết Đối với phương trình bậc ẩn ax + by = c (a, b, c  Z; a, b không đồng thời 0) Định lý: Điều kiện cần đủ để phương trình ax + by = c ( nguyên ước số chung lớn a b ước c ) có nghiệm Hệ quả: Nếu ƯCLN(a;b) = phương trình (1) có nghiệm ngun  Phương pháp giải Áp dụng tính chất: Nếu phương trình (1) có nghiệm ngun (x0; y0) có vơ số nghiệm nguyên tập hợp nghiệm nguyên gồm cặp số nguyên (x; y) xác định bởi: Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán với d = ƯCLN(a;b) t = 0, 1, 2, Ví dụ (Bài tốn dân gian) “ Trăm trâu, trăm cỏ, Trâu đứng ăn năm, Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già, Ba bó” Hỏi có trâu đứng, trâu nằm trâu già? Lời giải: Gọi số trâu đứng x, số trâu nằm y số trâu già 100 – (x + y) ta có phương trình 5x + 3y + = 100 Ở x, y số nguyên dương Phương trình tương đương với: 7x + 4y = 100 Ta phải tìm nghiệm nguyên dương phương trình Dễ thấy x = 0, y0 = 25 nghiệm nguyên phương trình 7x + 4y = 100 nên tập hợp nghiệm nguyên gồm tất cặp số nguyên (x;y) sau với t số nguyên tuỳ ý Bởi x = 4t > y = 25 – 7t > nên < t < Vậy số trâu đứng 4t, số trâu nằm 25 – 7t số trâu già 25 + 3t với t = 1, 2, Tóm lại có ba khả cho số trâu loại t Số trâu đứng 12 Số trâu nằm 18 11 Số trâu già 78 81 84 Nghiệm (x0 = 0; y0 = 25) gọi nghiệm riêng nghiệm (x = 4t; y = 25 – 7t), t Z, gọi nghiệm tổng quát phương trình 7x + 4y = 100 Như để giải phương trình (1) điều kiện giải được, ta cần tìm nghiệm riêng Sau sử dụng thuật toán ơ-clit mở rộng để nghiệm riêng phương trình (1) Tìm nghiệm riêng phương trình (1) thuật tốn ơ-clit mở rộng Xét phương trình Đi-ơ-phăng bậc hai ẩn: ax + by = c với d = ƯCLN(a; b) ước Z) c, chẳng hạn c = dc’ (c’ Thực thuật toán ơ-clit mở rộng hai số a, b d hai số ngyên x’, y’ cho xảy đẳng thức ax’ + by’ = d Chúng ta nhân hai vế đẳng thức với c’ a(c’x’) + b(c’y’) = d Đẳng thức sau chứng tỏ c’x’, c’y’ nghiệm riêng phương trình (1) áp dụng định lí tất nghiệm ngun Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 1821x + 675y = Lời giải: Trước hết ta tìm cặp số nguyên x, y cho: 1821x + 675y = d (d = ƯCLN(1821; 675)) Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Thực thuận toán ơ-clit mở rộng hai số 1821 675, ta có bảng sau t q 2 r0 1821 675 471 204 63 15 r1 675 471 204 63 15 r2 471 204 63 15 x0 1 -1 -10 x1 -1 -10 43 x2 -1 -10 43 y0 -2 -8 27 y1 -2 -8 27 -116 y2 -2 -8 27 -116 Nhìn vào bảng ta d = ƯCLN(1821; 675) = x = 43; y = -116 có đẳng thức 1821.43 + 675(-116) = Chúng ta thấy d = ước nên phương trình cho có nghiệm ngun Bằng cách nhân hai vế đẳng thức với ta 1821.86 + 675(-232) = Đẳng thức cuối chứng tỏ (x = 86, y = -232) nghiệm riêng phương trình cho nghiệm tổng quát t = 0, , Ví dụ Phương trình 15x – 5y = – 20 tương đương với phương trình 3x – y = – hay y = 3x + với t = 0, nên ta , tất nghiệm phương trình 15x – 5y = – 20 Nếu |a| |b| lớn Bao ta chuyển việc tìm nghiệm nguyên phương trình (1) việc tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn mà có hệ số ẩn Ví dụ Giải phương trình vơ định: 17x – 47y = Lời giải: Bời – 47 = 17(– 3) + nên ta viết phương trình dạng: 17(x – 3y) + 4y = Z ta phương trình: 17z + 4y = Đặt x – 3y = z 17 = 4.4 + nên phương trình viết dạng: 4(y + 4z) + z = Đặt y + 4z = t Z ta phương trình: 4t + z = Đây phương trình bậc hai ẩn có hệ số ẩn z cho ta z = – 4t, t Từ y = t – 4z = t – 5( – 4t ) = – 20 + 17t x = z + 3y = (5 – 4t) = 3(– 20 + 17t) = – 55 + 47t Vậy phương trình cho có nghiệm là: t = 0, 1, Z 2, Phương pháp dùng tính chia hết Dạng Phát tính chia hết ẩn Bài Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 17y = 159 (1) Lời giải: Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn phương trình (1) Ta thấy 159 3x chia hết 17y   y  (do 17 nguyên tố nhau) Đặt y  3tt  Z  thay vào phương trình ta được: 3x + 17.3y = 159  x + 17t = 53 Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình cho Do đó: Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (53 – 17t, 3t) với t số nguyên tùy ý Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x + 13y = 156 (1) Lời giải - Phương pháp 1: Ta có 13y 13 156 13 nên 2x 13  x 13 (vì (2,3) = 1) Đặt x  13k (k  Z) thay vào (1) ta được: y  2k  12 x  13k (k  Z)  y  2k  12 Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  - Phương pháp 2: Từ (1)  x  Để x  Z  156  13y 13y  78  , 2 13y  Z Mà (13,2) =  y  Đặt y  2t(t  Z)  x  78  13t x  78  13t (t  Z)  y  2t Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình 11x + 18y = 120 (1) Lời giải Ta thấy 18y 120 chia hết cho  nên Đặt x = 6k (k nguyên) Thay vào (1) rút gọn ta được: 11k + 3y = 20 Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được: Tách riêng giá trị nguyên biểu thức này: Lại đặt với t nguyên suy k = 3t + Do đó: Thay biểu thức x y vào (1), phương trình nghiệm Vậy nghiệm nguyên (10 biểu thị công thức: với t số nguyên tùy ý Chú ý: a) Nếu đề yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương phương trình (1) sau tìm nghiệm 18t    t 11   11t  tổng quát ta giải điều kiện:  Do t = t số nguyên Nghiệm nguyên dương (1) (x, y) = (6, 3) Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Trong trường hợp tìm nghiệm ngun dương (1) ta cịn giải sau Do y  nên 11x  120  18.1  102 Do x nguyên nên x  Mặt khác x x nguyên dương nên x =  y  b) Có nhiều cách tách giá trị nguyên biểu thức y  y   4k  y   3k  k 1 (cách 1)   k 20  11k , chẳng hạn: y   3k  ;  2k (cách 2) (cách 3) Ta thấy: - Cách gọn cách cách hệ số k phân thức 1, sau đặt k 1  t ta không cần thêm ẩn phụ - Trong cách 3, nhờ đặt thừa số chung mà hệ số k phần phân số -1, sau đặt 1 k  t không cần dùng thêm thừa số phụ Bài Giải phương trình nghiệm nguyên 23x + 53y = 109 Lời giải Ta có x  109  53y 23(4  2y)  17  7y 17  7y    2y  23 23 23 Ta phải biến đổi tiếp phân số 17  7y để cho hệ số biến y 23 Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số bội thích hợp 23 17  7y 17  7y  46  46 7(9  y)  46 7(9  y)    2  23 23 23 23 Từ x   2y  7(9  y) 9y  Z , (7,23) = , Để x  Z  23 23 Đặt x   23t (t  Z)  y  53t  16 Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  Chú ý: Phương trình có dạng ax  by  c với a, b, c số nguyên  Phương pháp giải: - Rút gọn phương trình ý đến tính chia hết ẩn - Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn - Tách riêng giá trị nguyên biểu thức x - Đặt điều kiện để phân số biểu thức chứa x số nguyên , ta phương trình bậc hai ẩn y t1 Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán - Cứ tiếp tục làm ẩn biểu thị dạng đa thức với hệ số nguyên Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 6x2 + 5y2 = 74 Lời giải 2 2 Ta có: 6x  5y  74   x     10  y    2 Từ (2) suy  x    , mặt khác  6,     x     x  5t   t  N  Thay x   5t vào (2) ta có:  t   5t    2    t  ,t N  Ta có: x  0, y    Suy ra: t   0;1 10t    t5  Với t = không thỏa mãn yêu cầu toán   x  3 x   Mặt khác x, y nguyên dương nên x = 3, y = Với t = ta có:    y  2 y  Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (3, 2) Bài Có tồn hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn : HD: Biến đổi phương trình thành: và Với Với Dạng Phương pháp đưa phương trình ước số  Phương pháp: - Ta tìm cách đưa phương trình cho thành phương trình có vế tích biểu thức có giá trị nguyên, vế phải số nguyên - Ta sử dụng PP phân tích thành nhân tử, biến thành hiệu hai số phương, - Sử dụng biệt thức denta số phương ” - Thực chất biến đổi phương trình dạng: A(x; y).B(x; y)  c A(x; y), B(x; y) biểu thức nguyên, c số nguyên - Xét trường hợp A(x; y), B(x; y) theo ước c  Bài tập áp dụng Bài Giải phương trình nghiệm ngun : Lời giải: Ta có: Vì Biên soạn: Trần Đình Hồng số ngun Do ta có bảng giá trị: 0814000158 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán x–y+2 x+y+2 x y -5 -1 -5 -1 -5 -5 -2 5 1 -2 Vậy: (x; y) = (-5; 2), (-5; -2), (1; 2), (1; -2) Bài Giải phương trình nghiệm ngun : Lời giải: Ta có: Vì 2x – 2y + x y số nguyên Do ta có bảng giá trị: -11 -1 11 -1 -11 11 -5 -6 -1 5 Vậy: (x; y) = (0; -6), (-5; -1), (6; 5), (1; 5) Bài Giải phương trình nghiệm ngun : Lời giải: Cách 1: Ta có: Vì x+3 x+y–3 x y số nguyên Do ta có bảng giá trị: -2 -1 -1 -2 -5 -4 -2 -1 7 Cách 2: Ta có: Vậy: (x; y) = (-5; 7), (-4; 5), (-2; 7), (-1; 5) Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2xy – x + y = Lời giải Ta có:  4xy – 2y + 2y =  2x(2y – 1) + (2y – 1) = –  (2y – 1)(2x + 1) = Ta gọi phương trình phương trình ước số: vế trái tích thừa số nguyên, vế trái số Ta có x y số nguyên nên 2x + 2y – số nguyên ước (2x + 1) (2y – 1) ước số nên ta có: 2x + 1 -1 -5 2y – -5 -1 Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Vập phương trình có nguyện ngun (x, y) = (3, 0); (-1, -2); (2, 1); (-3, 0) Kinh nghiệm giải: Để đưa vế trái x  2y  1  phương trình dạng tích, ta biến đổi thành  2y  1 cách nhân vế phương trình với để đưa phương trình ước số Luyện tập kinh nghiệm ví dụ sau Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11 Lời giải Ta có : (*) Suy (2x + 3) (2y – 5) ước số nên ta có: 2x + -1 2y - -7 -7 -1 Vập phương trình có nguyện nguyên (x, y) = (-1, 6); (-2, -1); (2, 3); (-5, 2) Nhận xét: Đối với nhiều phương trình nghiệm nguyên việc đưa phương trình ước số khó khăn ta áp dụng số thủ thuật, bạn xem tiếp ví dụ 3: Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – 2xy + 3y – 5y + = Lời giải Ta có : (*) Vì x, y ngun nên từ PT(*) ta có trường hợp sau: 2x  4y    x  2  2x   7  y  3 2)  2x  4y   1 x   2x   y  4)  1)  3)  2x  4y   7 x   2x   y  2x  4y   x   2x   1  y  3 Vậy nghiệm nguyên (x; y) phương trình là: (-2; -3); (2; 1); (5; 1);(1; -3) Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán  Nhận xét: Trong cách giải ta sử dụng phương pháp biến đổi tam thức bậc hai trước hết ta chọn biến để đưa đẳng thức (Bình phương tổng, hiệu) chứa biến đó: ta chọn biến x : , phần lại đa thức ta lại làm với biến y: Các bạn tư tìm hướng giải sau: Xét phương trình: Với a số chưa biết cần thêm vào, xác định a sau: 7 Chọn a để   **  số phương nên 3  4a   a  Khi : Vậy: Vì x, y nguyên nên ta có trường hợp sau: 2x  4y   x  2  2x   7  y  3 2)   2x  4y   7 x    2x   y   2x  4y   1 x    2x   y  4)  1)  2x  4y   x   2x   1  y  3 3)  Vậy nghiệm nguyên (x;y) phương trình là: (-2; -3); (2; 1); (5; 1);(1; -3) Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + 12y = y2 (1) Lời giải Phương trình tương đương với : x  12x  y   x    y  36   x  y    x  y    36 Suy (x + y + 6) (x – y + 6) ước 36 Mà 36 có 18 ước nên:  x  y     1; 2; 3; 4; 6; 9; 18; 36 Kết ta tìm nghiệm nguyên là:  0,0  ;  12,0  ;  16,8  ;  16, 8  ;  4,8  ;  4, 8  Nhận xét: Phương pháp đưa phương trình ước số có bước: Phân tích thành ước xét trường hợp Hai bước khơng khó trường hợp số phải xét có nhiều ước số cần dựa vào tính chất biến (ví dụ: tính chẵn lẻ, số dư vế) để giảm số trường hợp cần xét Trong trường hợp tập ta nhận xét sau: Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 10 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Bài 127 Tìm số thực x cho số nguyên Lời giải Điều kiện x  Đặt a  x  2018  x  a  2018 x Xét b   2018  7  a 2018  2018  2018  a  2018 a  2018  b(a  2018)  2025  a 2018  ab  2015  (b  a ) 2018 Với a, b  Z  ab  2025  Z  (a  b) 2018   a  b  a  b   2025  45 + a  45  x  45  2018 + a  45  x  45  2018 Bài 128 Tìm cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn Lời giải Ta có  x  2018  y  y  11y  y   x  2018     y  y  1   x  2018    y  y  1    y  y  x  2019   y  y  x  2017   2 Vì cặp x ; y nguyên nên:   x  2018; y   y  y  x  2019   x  2018   TH1:   y  y  x  2017   y  y   x  2018; y    y  y  x  2019  1  x  2018  x  2018; y     TH2:    x  2018; y   y  y  x  2017  1  y  y   Vậy phương trình có nghiệm  x; y     2018;0  ,  2018;1 ,  2018;  ,  2018;3   Bài 129 Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 91 Lời giải 2 Đặt b  qa; c  q a  q  1 ta a   q  q   91  13.7 Trường hợp 1: Nếu q số tự nhiên ta a   a    a  1; b  9; c  81 1  q  q  91 q  a  a    a  7; b  21; c  63  1  q  q  13 q  a  13 a  13   a  13; b  26; c  52    q    q q   x Trường hợp 2: Nếu q số hữu tỷ giả sử q   x  3; y   y 2 2 2 Khi a   q  q   91  a  x  xy  y   91 y  x  xy  y  19  Ta có c  ax a       a  ty  x  xy  y  91  x  6; y  a  25; b  30; c  36 y y Vậy có số  a; b; c  thỏa mãn  1;9;81 ,  81;9;1 ,  7; 21;63 ,  63; 21;7  ; Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 121 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Bài 130 Chứng minh với số nguyên n cho trước, không tồn số nguyên dương x cho x(x + 1) = n(n + 2) Lời giải Ta có: (1) thì: Với nên số phương với khơng phải số phương mà , (1) khơng xảy cho trước, không tồn số nguyên dương x cho Vậy với Bài 131 Tìm số thực x để biểu thức số nguyên Lời giải  x  0 1) Đặt M   x   x  Ta có M   3  x  1 x  33 1 x  1 x    3.M  x   3M (Vì  x  x  0) a   x  Đặt   b   x  a  1, b  1 a  1  b a  1  b     3 3 b  b   a  b     3b  3b  b   b  a  b  1 +) Với M  1 , ta có   hệ vô nghiệm +) Với M   a  b    a  b    a  b  3ab  a  b   a  b  ab  a  b    ab  a  b   a  b   a  b   a  b     a  b  Nếu a  b  2a   a   x  Nếu a  b    M  Vì M nguyên nên M   0;1; 2   a  b  a   b  hệ vô nghiệm  M 0 3 0  a  b  a  b  a   b a   b M 1    2 2 a  b  a  ab  b  1  2b  b  b  b  b    21  a      21   21 b   b    a   b       21     21 3b  3b   b   a    a   b    b   21   Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 122 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán     21  21 a  1  x  28    x Kết hợp điều kiện ta  (TM ) 27 b   21 1  x   21   a  b  a   b 4  4b  b  2b  b  b2    M2   a  b  a  ab  b  a   b b    x  (TM ) a  Vậy với x  x  28 thỏa mãn u cầu tốn 27 Bài 132 Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: Lời giải Giả thiết (1) (*) +) Lập luận để (1) (2) y ngun dương  (1) có dạng: Nếu (vì có(*)) Khi , x ngun dương nên tìm x = (vì y nguyên dương) (1) có dạng: Nếu (vì z ngun dương) Suy (vì x nguyên dương) Đáp số Bài 133 a) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn b) Tìm số thực x, y thỏa mãn Lời giải a) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn Phân tích lời giải Đặt với Và phương trình trở thành Vì nên ước , ước chia dư lớn nên 19, Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 123 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Từ ta Vậy cặp số nguyên dương thỏa mãn toán b) Tìm số thực x, y thỏa mãn Phân tích lời giải Từ hệ thức tốn cho ta có điều kiện xác định Hệ thức cho có chứa biến mẫu chứa thức bậc hai, để tìm x, y thỏa mãn ta biến đổi hệ thức cho dạng tổng bình phương Ta có Vì nên ta có Thử lại ta thấy thỏa mãn u cầu tốn Bài 134 Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn Lời giải Để ý nên phương trình cho viết lại thành Đặt Khi ta có Từ suy chia hết cho hay chia hết cho + Với ta + Với ta + Với ta hay Do ta Suy chia hết , ta , ta , ta Vậy cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu toán Bài 135 Chứng minh không tồn số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức Lời giải Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với số nguyên tố có dạng Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 ta ln có 124 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Thật vậy, ta xét hai trường hợp sau + Trường hợp Nếu hai số a b chia hết cho p ta suy điều cần chứng minh + Trường hợp Nếu hai số a b khoog chia hết cho p Khi ta có Theo định lí Fecmat ta có Mặt khác ta có chia hết chia hết cho p Từ suy chia hết cho p, mà p số nguyên tố nên ta số nguyên tố lẻ Như trường hợp không xẩy hay bổ đề chứng minh Điều mâu thuẫn p hay ta Trở lại toán Do 4617 chia hết cho 19 nên Do 19 số nguyên tố có dạng nên áp dụng bổ đề ta suy Từ ta Điều dẫn đến mâu thuẫn 4617 khơng chia hết cho Vậy không tồn cặp số ngun thỏa mãn u cầu tốn Bài 136 Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức sau Lời giải Ta có Gọi Khi ta có nên ta Do d nguyên tố nên ta có hai trường hợp + Khi ta nên số phương chia cho khơng thể có số dư + Khi ta , kết hợp với ta suy Do Biên soạn: Trần Đình Hồng Điều vô lý 0814000158 125 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Khi số phương nên ta đặt Tứ ta a, b số nguyên dương Vì nên ta xét trường hợp sau + Trường hợp Với , hệ khơng có nghiệm ngun + Trường hợp Với Thử lại vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm Bài 137 Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: Lời giải Nhận xét: a; b số nguyên thỏa mãn thật vậy, ìï a2 º ( mod 3) ï 2 + º Û Û a , bM3 a b mod a º 0,1( mod 3) ; b º 0,1( mod 3)  ( ) ïíï ïïỵ b º ( mod 3) 2 2 2 Phương trình tương đương với ( x + y ) - ( x + y ) = 28 ×9 ìï x º ( mod 3) ï Þ x = x1 ; y = y1 ( x1 ; y1 Ỵ ¢ ) suy x + y º ( mod 3) ị ùớù ùùợ y ( mod 3) 2 Thay vào phương trình ta thu ×9 x12 + ×9 ×y12 = 28 ×9 Û ×x12 + ×y12 = 28 ×92 Lập luận tương tự ta thu x1 = 3x2 ; y1 = y2 ( x2 ; y2 ẻ Â ) V nhn c phng trỡnh ×9 x22 + ×9 ×y22 = 28 ×9 Û ×x22 + ×y22 = 28 ×9 Tương tự ta có x2 = 3x3 ; y2 = y3 ( x3 ; y3 ẻ Â ) v thu ×x32 + ×y32 = 28 Từ phương trình suy y32 £ 28 £ 22 é2 28 êy3 = Þ x32 = ê Þ x32 = 2 ; y32 = ị x22 = ì2 ; y22 = Suy ê 2 êy = Þ x = 2 ë3 Þ x12 = ì2 ; y12 = ị x = 93 ×2 ; y = Đáp số: x = ×33 ; y = 33 , x = ×33 ; y =- 33 , x =- ×33 ; y = 33 , x =- ×33 ; y =- 33 Bài 138 Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đẳng thức Lời giải Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 126 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Phương trình tương đương với ( x + y + 1) ( xy + x + y) = ( x + y + 1) + Û ( x + y + 1)( xy + x + y - 2) = Þ x + y + ước ïì x + y + = + Giải ïíï ïì x + y = Û ïí (vơ nghiệm) ïỵ xy + x + y - = ïïỵ xy = ïì x + y + =- ïì x + y =- ìïï x =- Û ïí Û í + Giải ïíï ïïỵ y =- îï xy + x + y - =- ïỵï xy = ìï x + y + = ìï x + y = ìï x = Û ïí Û ïí + Giải ïíï ï ïỵï y = + + = = xy x y xy ỵï ỵï ìï x + y + =- + Giải ïíï ìï x + y =- Û ïí (vơ nghiệm) ỵï xy + x + y - =- ïỵï xy = Vậy ( x; y) = ( 1; - 1) , ( 1; 1) Bài 139 Tìm tất số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức Lời giải Ta có: Vì x, y không âm nên (x + 1)(y + 1) = ta có (x; y) = (0; 4) ; (4; 0) Bài 140 Tìm số nguyên a để phương trình sau có nghiệm ngun: a) b) Lời giải  x1  x2  a   x1 x2  5a  a) Gọi x1 , x2  Z nghiệm phương trình (1), Theo Vi-ét ta có:  (*) 5 x1  x2  5a  25   x1  5  x2     1.2  2.1  (1).(2)  (2).(1)  x1 x2  5a  Từ (*) ta có  Suy a = a =  x1  x2   a  x1  x2  x1 x2  198   x1  1  x2  1  199  x1 x2  198  a b) Ta có:  Do 199 số nghuyên tố nên:  x1  1  x2  1  1.199  199.1  (1).(199)  (199).(1)  a  198 a = -2 Bài 141 Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình: Lời giải Đặt u  x  y , v  x y Ta có: x3  y   3xy   x  y   3xy  x  y    3xy  2 Hay u  3uv   3v    u  1  u  u  1  3v(u  1)    u  1  u  u   3v   Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 127 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Vì x, y   u  x  y   u   Vậy u  u   3v   v   u  u  1 x  y  u  Ta phải tìm x,y nguyên dương cho:   x y   u  u  1  u  u  1  u  u  Vậy ta phải có: u  x  y   x  y   2 Suy x, y hai nghiệm phương trình bậc hai X  uX  Ta có     u   Bài 142 Tìm nghiệm ngun khơng âm phương trình: Lời giải Ta có: Đặt , ta được: Chú ý 2t + 2x+1 nên ta có 2t + 2x + = 2t – 2x - = Suy phương trình có nghiệm ngun khơng âm x = 0; y = Bài 143 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: Lời giải Đặt Thay vào (1) ta Từ (2) suy ra: 28p mà (28,3) = nên p 3, đặt p = 3k Thay vào (2): đặt k = 3m ta m = Nếu m =  x = y = Nếu m =  x = 5, y = x = 4, y = Vậy (x,y) Bài 144 Tìm nghiêm nguyên phương trình: Lời giải Phương trình cho tương đương với: Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 128 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Vế trái phương trình chia hết cho 17 Đặt Dề thấy không chia hết cho 17 Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Bài 145 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: Lời giải Chú ý số hữu tỉ biểu diễn dạng liên phân số: Với Phương trình cho tương đương với Từ suy Bài 146 Tìm cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn pt Lời giải Ta viết lại phương trình: ước + Giải ( Vô nghiệm) + Giải + Giải + Giải ( Vơ nghiệm) Vậy: Bài 147 Tìm cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn điều kiện: Lời giải Ta viết lại phương trình: Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 129 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Hay: Ta có trường hợp xả yra: TH1: (loại) TH2: ( thỏa mãn) (loại) TH3: TH4: ( loại) Vậy phương trình có nghiệm (x ; y) = (1 ; 1) Bài 148 Tìm cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn điều kiện: Lời giải Ta viết lại phương trình: Vì suy khả xảy là: Ta tìm nghiệm: Bài 149 Tìm nghiệm nguyên phương trình: Lời giải Ta viết lại phương trình: , để ý phương trình nên suy khơng phả nghiệm hay , đề Từ ta tìm nghiệm phương trình là: Bài 150 Tìm nghiệm nguyên phương trình: Lời giải Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 130 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Sử dụng đẳng thức: ta có: Đặt với Suy tương đương với phương trình trở thành: Do , suy điều kiện cần là: , ý 215 = 43.5 Từ ta tìm a = 2, b = suy cặp nghiệm phương trình là: Chú ý: Với phương trình đưa ẩn x – y, xy x + y, xy ta dung phép đặt ẩn phụ để chuyển thành toán chia hết Bài 151 Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: Lời giải Từ giả thiết ta suy hay suy Ta có phân tích sau: với hay  Nếu k  Điều vơ lí Vậy Từ tìm Bài 152 Tìm cặp số ngun (x, y) thỏa mãn điều kiện: Lời giải Đặt , phương trình cho trở thành: từ suy Giải trường hợp ta thu cặp số (x; y) thỏa mãn điều kiện là: Bài 153 Tìm số nguyên dương (x ; y) thỏa mãn: Lời giải Đặt suy với (a; b) = Từ phương trình ta có: Vì (a; b) = nên Suy Nếu phương chia dư 0; 1; Suy Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Một số điều trái với giả thiết (a; b) = 131 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Vậy , cặp số thỏa mãn: Từ tính cặp nghiệm phương trình là: Bài 154 Tìm số nguyên tố (x ; y) thỏa mãn điều kiện: Lời giải Ta viết lại giả thiết thành: Hay Suy hay x – x + chia hết cho Mặt khác ta có: nên số x – x + chia hết cho Do Thay vào ta tìm x = , mà y số nguyên tố nên Bài 155 Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: Lời giải Đặt suy với thay vào phương trình ta có: Ta lại có: Thật giả sử giả sử Mà Như ta có: khơng chia hết cho Suy Bài 156 Tìm tất cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn phương trình: Lời giải Đặt ta viết lại phương trình thành Hay hay hay Tức x, y số tự nhiên nên ta suy Bài 157 Tìm cặp nghiệm số nguyên (x ; y) thỏa mãn Lời giải Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 132 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Dễ thấy với x = y = không thỏa mãn Xét vai trò nhau, giả sử Khi ta có + Nếu + Nếu + Nếu loại + Nếu loại Đáp số: Bài 158 Tìm tất số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x + y – z = Lời giải Từ điều kiện suy thay vào điều kiện ban đầu ta có: Hay , suy  x = x = Nếu x = suy y =  z = 3, x = suy Vậy có hai số (x ; y ; z) thỏa mãn điều kiện (2 ; ; 3) (3 ; ; 2) Bài 159 Tìm tất số nguyên x , y thỏa mãn điều kiện: Lời giải Ta thấy x = y = nghiệm phương trình Với giả sử thay vào phương trình ta được: Do Nếu từ tìm cặp nghiệm , kiểm tra Nếu khơng có giá trị thỏa mãn Bài 160 Tìm nghiệm nguyên phương trình Lời giải Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 133 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đặt u = x + y, v = xy ta có: ta phải có: Đáp số: Bài 161 Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: Lời giải Ta viết lại phương trình thành: Thay ta có: Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = ( 3; 2) Bài 162 Tìm nghiệm nguyên khơng âm phương trình: Trong vế trái có n dấu Lời giải Ta thấy cặp số ( 0; 0) nghiệm phương trình Nếu n = nghiệm phương trình (x; y) ( t 2; t) với Nếu n = số tự nhiên với Khi t(t + 1) = y nên Điều khơng xảy với t > phương trình có nhiệm (0; 0) Với ta có vế trái n – dấu số nguyên dương Tiếp tục làm n – lần dẫn đến Đặt Như ta lại trở trường hợp thứ có nghiệm (0;0) Giải hệ phương trình ( tìm nghiệm ngun) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình Lời giải: Phương trình thứ viết thành 2x – 3y = 5z + Ta có 2(10z + 2) – 3(5z + 1) = 5z + Do chọn x0 = 10z + 2; y0 = 5z + vậy: với Thế vào phương trình thứ hai ta được: 3(10z + + 3t) + 2(5z + + 2t) + 3z = hay 43z + 13t = – Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 134 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Giải phương trình Đi-ơ-phăng này: Đặt ta có 4z + = 13v nên Bây đặt ta v = 4u + z = 3v + u = 13u + t = –3z – v = – 43u – 30 x = 10z + + 3t = u + y = 5z + + 2t = – 21u – 14 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y; z) (với u = 0, 1, 2, ) Bài tập tương tự Giải hệ phương trình sau: a) c) b) d) Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 135 ... bảng giá trị: 081 40001 58 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán x–y+2 x+y+2 x y -5 -1 -5 -1 -5 -5 -2 5 1 -2 Vậy: (x; y) = (-5 ; 2), (-5 ; -2 ), (1; 2), (1; -2 ) Bài Giải phương trình nghiệm ngun : Lời giải: Ta... 43 x2 -1 -1 0 43 y0 -2 -8 27 y1 -2 -8 27 -1 16 y2 -2 -8 27 -1 16 Nhìn vào bảng ta d = ƯCLN( 182 1; 675) = x = 43; y = -1 16 có đẳng thức 182 1.43 + 675 (-1 16) = Chúng ta thấy d = ước nên phương trình. . .Bồi dưỡng học sinh giỏi toán A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải phương trình nghiệm nguyên - Phương trình nghiệm ngun phương trình có nhiều ẩn số, tất hệ số phương trình số nguyên Các nghiệm cần