Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 Chuyên đề Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC MỤC LỤC I LÝ THUYẾT II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp Sử dụng phép biến đổi đồng Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc hai đơn giản .3 Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc bốn đơn giản 10 Dạng Tìm GTNN GTLN biểu thức dạng Dạng Tìm Min, Max biểu thức có điều kiện biến 31 Dạng Sử dụng bất đẳng thức bản: 41 Dạng Tìm Min, Max cách sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối 44 14 Phương pháp Phương pháp chọn điểm rơi 47 Phương pháp Sử dụng phương pháp đặt biến phụ 54 Phương pháp Sử dụng biểu thức phụ 56 Phương pháp Phương pháp miền giá trị .59 Phương pháp Phương pháp xét khoảng giá trị 61 Phương pháp Phương pháp hình học 64 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán I LÝ THUYẾT Định nghĩa  M gọi GTLN f(x,y, ) miền xác định D điều kiện sau đồng thời thoả mãn : f(x,y, )  M (x,y, )  D  (x0, y0, )  D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, )  D  M gọi GTNN f(x,y, ) miền D đến điều kiện sau đồng thời thoả mãn : f(x,y, )  M (x,y, )  D  (x0, y0, )  D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = fmin với (x,y, )  D Các kiến thức thường dùng 2.1 Luỹ thừa: a) x2  x  R  x2k  x  R, k  z  x2k  Tổng quát : f (x)2k  x  R, k  z  f (x)2k  Từ suy : f (x)2k + m  m x  R, k  z M f (x)2k  M b)  x   ( )2k  x  ; k z Tổng quát : ( )2k   A  (A biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: a) |x|   xR b) |x + y|  |x| + |y| ; "=" xảy  x.y  c) |x y|  |x| |y| ; "=" xảy  x.y  |x|  |y| 2.3 Bất đẳng thức côsi: ai  ; i = : nN, n  dấu "=" xảy  a1 = a2 = = an 2.4 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số a1, a2, , an ; b1, b2, ,bn ta có : (a1b1 + a2b2 + + anbn)2  ( Dấu "=" xảy  = Const Nếu bi = xem = 2.5 Bất đẳng thức Bernonlly : Với a  : (1 + a)n  + na Dấu "=" xảy  a = n N Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp Sử dụng phép biến đổi đồng Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách hạng tử cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức không âm (hoặc khơng dương) số Từ : Để tìm Max f(x,y, ) miền D ta : cho f(x0,y0, ) = M Để tìm Min f(x,y, ) miền D ta : cho f(x0,y0, ) = m  Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số cách đưa dạng A(x) { A(x) } Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) k với k số + Chỉ dấu "=" xảy Để tìm giá trị lớn biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) k với k số + Chỉ dấu "=" xảy Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc hai đơn giản Phương pháp: Áp dụng đẳng thức bình phương tổng hiệu Bài Tìm giá trị nhỏ đa thức sau: a) A = x2 + 4x + b) R = 3x2 – 5x + c) d) A = x2 + 2x + y2 + e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) B = x2 + y2 + 2xy + o) p) M = 5x2 – |6x – 1| – q) HD: q) Đặt Dấu “=” xảy t =  Bài Tìm giá trị lớn đa thức sau a) A = – x2 + 6x – 15 b) B = 5x2 4x + Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com c) C = – x2 + 4x – < Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán d) D = 4x – 10 – x2 g) h) i) j) k) l) Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) b) c) d) e) f) g) h) Q = xy + yz + zx x2 y2 z2 HD: h) Ta có : Q = xy + yz + zx Q= x2 y2 z = (2x2 + 2y2 + 2z2 2xy 2yz 2xz) [(x y)2 + (y z)2 + (z x)2]  x,y,z  MaxQ =  x = y = z Vậy: MaxQ =  x = y = z Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau cách đưa HĐT a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán k) l) m) n) o) p) q) r) s) C = a2 + ab + b2 – 3x – 3b + 1989 u) A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x – 4y + 2013 t) A = 3x + 4y2 + 4xy + 2x – 4y + 26 v) A = 5x2 + 9y2 – 12xy + 24x – 48y + 82 w) x) 2 2 2 2 y) F = 2x + 6y + 5z – 6xy + 8yz – 2xz + 2y + 4z + z) B = 3x + 3y + z + 5xy – 3yz – 3xz – 2x – 2y + aa) B = 2x + 2y + z + 2xy – 2xz – 2yz – 2x – 4y HD: a) b) c) d) Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán e) f) g) h) i) j) k) l) Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán m) n) o) p) q) r) s) t) Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán u) v) w) x) y) Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn z) aa) Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau cách đưa HĐT a) b) c) d) 2 e) F = – x + 2xy – 4y + 2x + 10y – HD: f) a) b) c) d) Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán e) f) Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc bốn đơn giản Phương pháp: a) Phân tích thành biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ b) Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất nhân tử để đặt ẩn phụ c) Sử dụng đẳng thức Dạng 2.1 Biểu thức có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Bài Tìm GTNN biểu thức sau: a) b) c) d) e) f) g) D(x) = x4 – x2 + 2x + HD: a) Biến đổi biểu thức dạng b) c) d) Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn (Vơ lí) + Nguyên nhân: Min = + Lời giải Đặt t = Đến ta quay “Bài toán 1” Cho t 4, Tìm giá trị nhỏ biểu thức + Ta thấy Điểm rơi đạt t = Ta có: Dấu “=” xảy Ta có: Với t = hay MinS = Ta trình bày lời giải cho tốn sau: Do t =  a = b = nên ta có: Đẳng thức xảy a = b = Bài Cho a, b > Tìm GTNN biểu thức + Nhận xét: Ta nhận thấy hai biểu thức nghịch dảo Dễ dàng giải toán cách đưa toán dạng “Bài toán 1” + Lời giải Đặt Khi ta có: Ta có: (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số a b) với t + Xác định điểm rơi: Ta chọn điểm rơi t = Ta có: Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Dấu “=” xảy  Ta có: Vậy MinP = Bài Cho a t =  a = b > 10; b 100; c 1000 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=a+b+c+ Phân tích Cả ba biến a, b, c không ràng buộc điều kiện nào, xảy chất tốn là: + Tìm giá trị nhỏ P1 = a + với a 10 + Tìm giá trị nhỏ P2 = b + với b 100 + Tìm giá trị nhỏ P3 = c + với c 1000 Áp dụng BĐT Cơ - si ta có P1 = Suy minP1 = 10 + , đạt a = 10 Tương tự minP2 = 100 + minP3 = 1000 + , đạt b = 100 , đạt c = 1000 , đạt đựơc a = 10, Do Min P = P1 + P2 + P3 = 1110 b = 100, c = 1000 Bài Tìm GTNN biểu thức Bài Cho số thực với x Tìm GTNN biểu thức Phân tích Ta có: + Sai lầm: Phân tích đến ta vội vàng dẫn đến sai làm sau: Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn + Nguyên nhân (vô lý) Dấu “=” xảy + Lời giải đúng: Đặt t = t (Như ta biến đổi A dạng Bài toán 1) Lúc ta dễ dàng nhận thấy điểm rơi đạt t = cho cặp số kt Dấu “=” xảy  Như Vậy MinA = Bài t =  x = Tìm GTNN biểu thức Phương pháp Sử dụng phương pháp đặt biến phụ I Phương pháp Bằng cách đặt biến phụ sử dụng phép biến đối tương đương Sử dụng bất đẳng thức ta chuyển biến thức cho biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị II Bài tập vận dụng Bài Tìm GTNN C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 HD: C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) (x2 + 3x + 5) + 17 C1 = (x2 + 3x + 5)2 (x2 + 3x + 5) + 17 Đặt : x2 + 3x + = a C1 = a2 6a + 17 = a2 + 6a + + C1 = (a 3)2 +  (a 3)2  a  C1min =  a – =  a =  x2 + 3x + =  Vậy : C1min =  Bài Tìm GTNN C2 = với x, y > HD: Đặt :  C2 = 2.( a2 =a2  2) 5a + = 2a2 = a2 5a + Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Ta thấy : a   C2 = 2a2 5a +   C2min =  a =  x = y > Vậy : C2min =  x = y > Bài Tìm GTNN C3 = + 2004 với x, y > HD: Đặt :  =a2 = a2 C3 = (a2 2) 3a + 2004 C3 = a2 3a + 2004 = a2 3a + + 2002 C3 = (a 1)(a 2) + 2000 Do ta có : a   a > ; a   (a 1) (a 2)   C3 = (a 1) (a 2) + 2000  2000  C3 = 2000  a =  x = y ; xy > Vậy C3 = 2000  x = y xy > Khi : Bài Cho x, y, z > Tìm GTNN C4 = HD: Đặt : a = ; ; c= =  ;  Khi : b= ; C4 = C4 = Theo Cơsi với a,b,c >0 ta có :  C4   C4min =  a = b = c  x = y = z > Vậy C4min =  x = y = z > Bài Tìm GTLN, GTNN C5 = HD: Ta có :  a.b (1) a, b Đặt : (2) Khi : C5 = a.b Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com a, b Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Theo (1) (2) ta có :  C5 = ab     C5   Ta có :  1 ; Do :  0 1  C5   (x2 C5min = C5max = 1)2 = (x2 + 1)2  x = y2)2 = (1 + y2)2  y =  (1 x=0 Vậy : C5min = C5max = y=0 III Bài tập tự luyện Tìm GTNN A = x2 + - x + Tìm GTLN B = Cho a  - ;b- với a ;c- a+ b + c = Tìm GTLN C = Cho x,y > Tìm GTNN D = Phương pháp Sử dụng biểu thức phụ I Phương pháp Để tìm cực trị biểu thức đó, đơi người ta xét cực trị biểu thức khác so sánh với nó, biểu thức phụ dễ tìm cực trị Ví dụ : Để tìm cực trị biểu thức A với A > 0, ta xét cực trị biểu thức : kA, k + A, |A| , A2 (k số) II Bài tập vận dụng Bài Tìm GTLN A = HD: a) Xét x =  A = giá trị GTLN A với x  ta có A > b) Xét x  đặt P = Amax  Pmin Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com , A, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán với cách đặt ta có : P = ta có : x2 + (theo cơsi)  P  + =  Pmin =  x = Do : Amax =  x=1 Bài Tìm GTNN B = với x > HD: Đặt P1 = B P1max  Mmin với x >  P > Ta có : P1 = Đặt P2 = > với x > P2 Min  P1 Max P2 = P2 = P2 = (do 0 x > 0)  P2 Min = 8008  x = 2002  P1 Max =  BMin =  x = 2002  x = 2002 Vậy BMin =  x = 2002 Bài Cho a,b, c dương a + b + c = Tìm GTLN C = HD: Do a, b, c >  C > Đặt : P = C2  CMax Ta có : P = ( )2  P  (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki P  3.9(a + b + c) = 81 a + b + c =  PMax = 81  a = b = c = = 81  a = b = c =   CMax =   a = b = c = Vậy CMax =   a = b = c = Bài Cho x, y, z, t > Tìm GTNN D = HD: Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Đặt P = 2D ta có : P= P= P= P + + + (theo côsi) P  15  PMin = 15  x = y = t >  DMin =  x = y = t Vậy DMin = Bài Cho x, y > 7x + 9y = 63 HD: Đặt : P = 63.E ta có : Tìm GTLN E = x.y P = 63xy = 7x.9y  = P  (theo côsi)  PMax = Dấu "=" xảy  7x = 9y =  EMax = x=y=t : 63 =   Bài Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN F = 2x + 3y HD: Xét : P1 = |F| P1 = |2x + 3y| Đặt : P2 = P2 = (2x + 3y)2 Theo Bunhiacôpxky : P2  (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4  P2 Max = 13.13.4   P1 Max = 26 Do F  |F| = P  FMax = 26  Vậy FMax = 26  Bài Cho x, y > Tìm GTNN G = HD: Đặt : P = G ta có : P = -2 P= P=  PMin =  x = y > Vậy GMin =  x = y > Bieân soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán III Bài tập vận dụng Cho x,y, z > x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN A Cho x  Tìm GTNN B = Cho x  Tìm GTLN C = Cho a2 + b2 + c2 = Tìm GTLN D = a + 2b + 3c Cho a,b > a + b = Tìm GTNN E = Cho a, b, c, d > Tìm GTNN F = Cho a,b  |R Tìm GTNN G = Phương pháp Phương pháp miền giá trị I Phương pháp Trong số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số cho có hai biến số đưa dạng tam thức bậc ta sử dụng kiến thức miền già trị hàm số để giải thấy hiệu  Đường lối chung : Giải sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x  D Điều có nghĩa điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm Sau giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm (x biến, coi y tham số) Thường đưa đến biểu thức sau : m  y  M Từ  Min f(x) = m với x  D  Max f(x) = M với x  D II Bài tập vận dụng Bài Tìm GTNN f(x) = x2 + 4x + HD: Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = x2 + 4x +  x2 + 4x + y = (có nghiệm)  ' = + y   y1 Vậy f(x) Min =  x = Bài Tìm GTLN f(x) = x2 + 2x HD: Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = x2 + 2x (có nghiệm)  x2 2x + y +  ' = y  Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán  y Vậy f(x)Max =  x = Bài Tìm GTLN, GTNN f(x) = HD: Gọi y giá trị f(x)  yx2 + 2yx + 3y Ta có : y =  (y 1)x2 + (y 2).x + 3y x2 4x 6=0 = (có nghiệm) * Nếu y =  x = * Nếu y   ' = (y  y2 4y + 2)2 + (3y 3y2 + 3y + 6y Ta thấy :