Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa hai biến số

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN SỐ ðinh Văn Trung Tú & K0 Bài viết này xin trao ñổi về một phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức chứa hai biến số nhờ tập giá trị, trong ñó hai biến bị ràng buộc bởi một ñiều kiện cho trước. Bài toán tổng quát: Cho các số thực x, y thoả mãn ñiều kiện: G(x; y) = 0 Tìm GTLN , GTNN (nếu có) của biểu thức P = F(x ; y). Phương pháp giải : Gọi T là tập giá trị của P. Khi ñó, m là một giá trị của T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm (x; y): ( ) ( ) G x; y 0 F x; y m  =   =   Sau ñó tìm các giá trị của tham số m ñể hệ trên có nghiệm. Từ ñó suy ra tập giá trị T của P, rồi suy ra GTLN , GTNN (nếu có) của P. Sau ñây là các bài toán minh hoạ . Bài toán 1: Cho hai số thực x, y thoả mãn ñiều kiện: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 1 1 x x y y xy − + − = Tìm GTLN, GTNN của biểu thức F = 3 3 3 x y xy + + Lời giải: Gọi T là tập giá trị của F. Ta có m ∈ T ⇔ Hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 x x y y xy x y xy m  − + − =    + + =  (I) ðặt: 3 3 3 S x y P xy  = +   =   thì ∃ x, y ⇔ ∃ S, P: S 2 ≥ 4P Hệ (I) trở thành: 2 3 0 s S P S P m  − − =  + =  ⇔ 2 2 3 0 S S m P m S  + − =  = −  ⇔ 2 2 2 3 3 S S m S S P  + =    −  =   (II) Ta có: S 2 ≥ 4P ⇔ S 2 ≥ ( ) 2 4 3 S S − ⇔ S 2 – 4S ≤ 0 ⇔ 0 ≤ S ≤ 4 T ừ ñ ó, h ệ (I) có nghi ệ m ⇔ H ệ (II) có nghi ệ m (S; P) tho ả mãn S 2 ≥ 4P ⇔ Ph ươ ng trình S 2 – 2S – 3m = 0 có nghi ệ m S: 0 ≤ S ≤ 4, ñ i ề u này x ả y ra khi và ch ỉ khi: ' 1 1 1 3 0 0 1 1 3 4 0 1 1 3 4 s m S m S m  ∆ = + ≥    ≤ = − − + ≤    ≤ = − + + ≤     ⇔ 1 3 1 1 3 5 m m  ≥ −    ≤ + ≤  ⇔ 0 ≤ m ≤ 8. Do ñ ó: T 1 = [0; 8] V ậ y: minF = 0, maxF = 8. Bài toán 2: Cho các số thực x, y thoả mãn: x 2 - xy + y 2 = 3 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: G = x 2 + xy - 2y 2 Lời giải: Gọi T là tập giá trị của G. Ta có m ∈ T ⇔ Hệ sau có nghiệm: 2 2 2 2 x xy y 3 x xy 2y m  − + =   + − =   (III) Nếu y = 0 thì hệ (III) trở thành: 2 2 3 x x m  =   =   ⇔ 3 3 x m  = ±   =   Nếu y ≠ 0 thì ñặt x = ty ta có hệ: 2 2 2 2 ( 1) 3 ( 2) y t t y t t m  − + =   + − =   ⇔ 2 2 2 2 3 1 3( 2) 1 y t t t t m t t  =   − +  + −  =  − +  ⇔ 2 2 3 1 ( 3) ( 3) 6 0 y t t m t m t m  = ±  − +   − − + + + =  (IV) Hệ (III) có nghiệm ⇔ Hệ (IV) có nghiệm y ≠ 0 ⇔ Phương trình: (m - 3)t 2 – (m + 3)t + m + 6 = 0 (2) có nghiệm. Nếu m = 3 thì (2) có nghiệm t = 3 2 Nếu m ≠ 3 thì (2) có nghiệm ⇔  t = - 3m 2 – 6m + 81 ≥ 0 ⇔ 1 2 7 − − 1 2 7 m ≤ ≤ − + (m ≠ 3 ) Kết hợp các trường hợp trên ta ñược các giá trị của m ñể hệ (III) có nghiệm là: 1 2 7 − − 1 2 7 m ≤ ≤ − + . Do ñó: T 2 = [ 1 2 7 − − ; 1 2 7 − + ] Vậy: minG = 1 2 7 − − ; maxG = 1 2 7 − + Bài toán 3: (Tuyển sinh ñại học khối A năm 2006 ) Cho hai số thực thay ñổi x ≠ 0; y ≠ 0 thoả mãn: ( ) xyyxxyyx −+=+ 22 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 33 11 yx + Lời giải: G ọ i T là t ậ p giá tr ị c ủ a A. Ta có m ∈ T ⇔ H ệ sau có nghi ệ m x ≠ 0; y ≠ 0: ( )      =+ −+=+ m yx xyyxxyyx 33 22 11 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )      = −++ −+=+ m xy xyyxyx xyyxxyyx 3 22 22 ⇔ ( ) ( ) ( )      = + −+=+ m xy xyyx xyyxxyyx 3 2 22 ⇔ ( ) ( )      =         + −+=+ m xy yx xyyxxyyx 2 2 3 (V) ðặt    = += xyP yxS (S 2 ≥ 4P), ta có hệ:      =       −= m P S PSSP 2 2 3 (VI) H ệ (V) có nghi ệ m x ≠ 0; y ≠ 0 ⇔ H ệ (VI) có nghi ệ m (S; P) tho ả mãn S 2 ≥ 4P. Vì 0 4 3 2 1 2 2 22 >+       −=−+= yyxxyyxSP với mọi x ≠ 0; y ≠ 0 ⇒ 0> P S với mọi x ≠ 0; y ≠ 0 Từ ñó: Nếu m ≤ 0 thì hệ (V) vô nghiệm Nếu m > 0 thì từ phương trình m P S =       2 ⇒ m P S = ⇒ PmS = thay vào phương trình ñầu của hệ (VI) ñược: PmPPm 3 22 −= ⇔ ( ) 3=− Pmm (vì SP > 0 nên P ≠ 0) ðể có P từ phương trình này thì 0≠− mm ⇔ ( ) 01 >≠ mm và ta ñược: ( ) 1 3 − = mm P , do ñ ó 1 3 − = m S . Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm (S; P) thoả mãn S 2 ≥ 4P khi và chỉ khi: ( ) ( ) ( ) ( ) 4143 1 14 3 1 12 1 3 2 2 ≤⇔−≥⇔ − − ≥⇔ − ≥         − mmm mm m mmm ⇔ ( ) 1160 ≠≤< mm Tóm lại, các giá trị của m ñể hệ (V) có nghiệm x ≠ 0; y ≠ 0 là: ( ) 1160 ≠≤< mm Do ñó: T 3 = (0; 16] \ {1} Vậy: max A = 16 (chú ý không tồn tại A min) Bài toán 4: ( HSG quốc gia - Bảng A + B năm 2005 ) Cho hai số thực x, y thoả mãn: yyxx −+=+− 2313 Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức K = x + y Lời giải : ðKXð: x ≥ -1, y ≥ -2 Gọi T là tập giá trị của K. Ta có m ∈ T ⇔ Hệ sau có nghiệm:      =+ −+=+− myx yyxx 2313 ⇔ ( )      =+ =+++ myx myx 213 (VII) ðặt u = 1+x và v = 2+y thì u, v > 0 và hệ (VII) trở thành: ( )    +=+ =+ 3 3 22 mvu mvu ⇔                −−= =+ 3 92 1 3 2 m m uv m vu ⇔ u, v là nghiệm của phương trình: 03 92 1 3 2 2 =         −−+− m m t m t ⇔ 0279618 22 =−−+− mmmtt (3) Từ ñó, hệ (VII) có nghiệm (x; y) sao cho x ≥ -1, y ≥ -2 khi và chỉ khi (3) có hai nghiệm không âm và ñiều kiện là: ( )          ≥ −− = ≥= ≥−−−=∆ 0 18 279 0 3 054189 2 2/ mm P m S mm t t t ⇔ 1539 2 2139 +≤≤ + m Do ñ ó, T 4 =       + + 1539; 2 2139 V ậ y min K = 2 2139 + , max K = 1539 +    Bình luận: Ưu thế của phương pháp trên là quy bài toán tìm GTLN, GTNN về bài toán tìm tham số ñể hệ có nghiệm, vì vậy không cần chỉ rõ giá trị của biến số ñể biểu thức ñạt GTLN, GTNN. Nếu dùng các bất ñẳng thức ñể ñánh giá thì nhất thiết phải chỉ rõ các giá trị của biến số ñể tại ñó biểu thức ñạt GTLN, GTNN. Các bạn có thể mở rộng phương pháp này cho biểu thức có nhiều hơn hai biến số. *Cuối cùng là các bài tập minh hoạ phương pháp trên : Bài 1: Cho hai số thực x, y thoả mãn: x 2 + y 2 = 2(x + y) + 7 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = ( ) ( ) 3 3 22 −+− yyxx Bài 2: Cho các số thực x, y thoả mãn: 4x 2 - 3xy + 3y 2 = 6 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F = x 2 + xy - 2y 2 Bài 3: Cho các số thực không âm x, y thoả mãn: 4=+ yx Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q = 91 +++ yx Bài 4: Cho các số dương x, y thoả mãn: xy + x + y = 3 Tìm GTLN của biểu thức G = 22 1 3 1 3 yx x y y x −− + + + Bài 5: (Cao ñẳng kinh tế kỹ thuật năm 2008) Cho hai số x, y thoả mãn: x 2 + y 2 = 2 Tìm GTLN , GTNN của biểu thức P = 2(x 3 + y 3 ) -3 xy Bài 6: (ðại học Khối B năm 2008) Cho hai số thực x, y thay ñổi và thoả mãn hệ thức: x 2 + y 2 = 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = ( ) 2 2 221 62 yxy xyx ++ + . TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN SỐ ðinh Văn Trung Tú & K0 Bài viết này xin trao ñổi về một phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất. 3y 2 = 6 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F = x 2 + xy - 2y 2 Bài 3: Cho các số thực không âm x, y thoả mãn: 4=+ yx Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q = 91. năm 2005 ) Cho hai số thực x, y thoả mãn: yyxx −+=+− 2313 Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức K = x + y Lời giải : ðKXð: x ≥ -1, y ≥ -2 Gọi T là tập giá trị của K. Ta có m